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高中数学选修1-2:2.2.2同步练习


高中数学人教 A 版选修 1-2 同步练习

1.用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时,假设正确的是( ) A.三个内角中至少有一个钝角 B.三个内角中至少有两个钝角 C.三个内角都不是钝角 D.三个内角都不是钝角或至少有两个钝角 解析:选 B.“至多有一个”即要么一个都没有,要么有一个,故假设为“至少有两个”. 2.用反证法证明命题:“a,b∈

N,ab 可被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 5 整除” 时,假设的内容应为( ) A.a,b 都能被 5 整除 B.a,b 都不能被 5 整除 C.a,b 不都能被 5 整除 D.a 不能被 5 整除 解析:选 B.“至少有一个”的否定是“一个也没有”,即“a,b 都不能被 5 整除”. 3.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为 an=an+2,bn=bn+1(a,b 是常数),且 a>b,那么 两个数列中序号与数值均相同的项有________个. 解析:假设存在序号和数值均相等的项,即存在 n 使得 an=bn,由题意 a>b,n∈N*,则恒 有 an>bn,从而 an+2>bn+1 恒成立,∴不存在 n 使 an=bn. 答案:0 4.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤: ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为 180°矛盾,故假设错 误. ②所以一个三角形不能有两个直角. ③假设△ABC 中有两个直角,不妨设∠A = 90 °,∠ B = 90 ° . 上述步骤的正确顺序为 ________. 解析:由反证法证明数学命题的步骤可知,上述步骤的顺序应为③①②. 答案:③①② [A 级 基础达标] 1.下列命题错误的是( ) A.三角形中至少有一个内角不小于 60° B.四面体的三组对棱都是异面直线 C.闭区间[a,b]上的单调函数 f(x)至多有一个零点 D.设 a、b∈Z,若 a+b 是奇数,则 a、b 中至少有一个为奇数 解析:选 D.a+b 为奇数?a、b 中有一个为奇数,另一个为偶数.故 D 错误. 2.(2012· 东北师大附中高二检测)用反证法证明命题:“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1, 且 ac+bd>1,则 a,b,c,d 中至少有一个负数”时的假设为( ) A.a,b,c,d 全都大于等于 0 B.a,b,c,d 全为正数 C.a,b,c,d 中至少有一个正数 D.a,b,c,d 中至多有一个负数 解析:选 A.至少有一个负数的否定是一个负数也没有,即 a,b,c,d 全都大于等于 0. 3.“M 不是 N 的子集”的充要条件是( ) A.若 x∈M,则 x∈N B.若 x∈N,则 x∈M C.存在 x1∈M 且 x1∈N,又存在 x2∈N 且 x2∈M
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D.存在 x0∈M 且 x0?N 解析:选 D.假设 M 是 N 的子集,则 M 中的任一个元素都是集合 N 的元素,所以,要使 M 不是 N 的子集,只需存在 x0∈M 且 x0?N. 4.设实数 a、b、c 满足 a+b+c=1,则 a、b、c 中至少有一个数不小于________. 1 解析:假设 a、b、c 都小于 ,则 a+b+c<1 与 a+b+c=1 矛盾.故 a、b、c 中至少有一 3 1 个不小于 . 3 1 答案: 3 5.已知 p3+q3=2,用反证法证明 p+q≤2 时,得出的矛盾为________. 解析:假设 p+q>2,则 p>2-q. ∴p3>(2-q)3=8-12q+6q2-q3, 将 p3+q3=2 代入得 6q2-12q+6<0, ∴(q-1)2<0 这不可能.∴p+q≤2. 答案:(q-1)2<0 1 6.已知 a,b,c∈(0,1),求证(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不可能都大于 . 4 1 证明:假设三个式子同时大于 , 4 1 1 1 即(1-a)b> ,(1-b)c> ,(1-c)a> , 4 4 4 1 三式相乘得(1-a)a· (1-b)b· (1-c)c> 3, ① 4 a+1-a 2 1 又因为 0<a<1,所以 0<a(1-a)≤( )= . 2 4 1 1 同理 0<b(1-b)≤ ,0<c(1-c)≤ , 4 4 1 所以(1-a)a· (1-b)b· (1-c)c≤ 3, ② 4 ①与②矛盾,所以假设不成立,故原命题成立. [B 级 能力提升] 7.设 a,b,c 均为正实数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P、Q、 R 同时大于零”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 C.首先若 P、Q、R 同时大于零,则必有 PQR>0 成立.其次,若 PQR>0 且 P、Q、 R 不都大于零,则必有两个为负,不妨设 P<0,Q<0,即 a+b-c<0,b+c-a<0,∴b<0 与 b>0 矛盾,故 P、Q、R 都大于零. 1 1 1 8.设 x,y,z 都是正实数,a=x+ ,b=y+ ,c=z+ ,则 a,b,c 三个数( ) y z x A.至少有一个不大于 2 B.都小于 2 C.至少有一个不小于 2 D.都大于 2 1 1 1 解析:选 C.若 a,b,c 都小于 2,则 a+b+c<6①,而 a+b+c=x+ +y+ +z+ ≥6②, x y z 显然①②矛盾,所以 C 正确. 9.完成反证法证题的全过程. 设 a1,a2,?,a7 是 1,2,?,7 的一个排列,求证:乘积 p=(a1-1)(a2-2)?(a7-7)为偶
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数. 证明:反设 p 为奇数,则 a1-1,a2-2,?,a7-7 均为奇数. 因奇数个奇数之和为奇数,故有 奇数=________________① =________________② =0. 但 0≠奇数,这一矛盾说明 p 为偶数. 解析:将 a1-1,a2-2,?,a7-7 相加后,再分组结合计算. 答案:(a1-1)+(a2-2)+?+(a7-7) (a1+a2+?+a7)-(1+2+?+7) 10.(2012· 佛山高二检测)设函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a,b,c 均为整数,且 f(0),f(1) 均为奇数.求证:f(x)=0 无整数根. 证明:假设 f(x)=0 有整数根 n, 则 an2+bn+c=0(n∈Z), 而 f(0),f(1)均为奇数,即 c 为奇数,a+b 为偶数,则 a,b,c 同时为奇数或 a,b 同时为偶 数,c 为奇数,当 n 为奇数时,an2+bn 为偶数;当 n 为偶数时,an2+bn 也为偶数,即 an2 +bn+c 为奇数,与 an2+bn+c=0 矛盾. ∴f(x)=0 无整数根. 11.(创新题)已知直线 ax-y=1 与曲线 x2-2y2=1 相交于 P,Q 两点,是否存在实数 a,使得 以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O?若存在,试求出 a 的值;若不存在,请说明理由. 解:假设存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O,则 OP⊥OQ.设 P(x1,y1), y1 y2 Q(x2,y2),则 · =-1,∴(ax1-1)(ax2-1)=-x1·x2,即(1+a2)x1·x2-a(x1+x2)+1= x1 x2 -4a -3 -3 0.由题意得 (1- 2a2)x2+4ax -3=0,∴ x1+ x2= , x · x2= .∴ (1+ a2)· - 1-2a2 1 1-2a2 1-2a2 -4a a· +1=0,即 a2=-2,这是不可能的.∴假设不成立.故不存在实数 a,使得以 PQ 1-2a2 为直径的圆经过坐标原点 O.

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