tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

一个圆锥曲线问题的解析与探究


高中数学教 与学  
。数学探 究 o 

2 0 10 互 



个 圆 锥 曲 线 问 题 的 触 析 与 探 究 
刘海 东  
( 江苏省东 台市 第一 中学 , 2 2 4 2 0 0 )  

每年的数学 高考 都会 留下许 多 佳题 , 在 
这些考题 中蕴 藏着 丰 富 的数学 思 想方 法 , 对 

下面主要探究第 ( 2 )问.   解法 1   由( 1 ) 知, F   ( 一 2 , 0 ) , F 2 ( 2 , 0 ) ,   所 以直线 A F   的方程为 
Y=  一 (   +2 ) , 即3 x一4 y+6 = 0 ;   直线 A F : 的方 程 为  =2 .  

高中数学教 学 有一 定 的引 领作 用 , 并 成 为高  中数学教 学 的经典 案例. 2 0 1 0年 安徽 高 考数 
学第 1 7题便是其 中有代表性的一道佳题.   试题  已知椭圆 E经过点 A ( 2 , 3 ) , 对称  轴为坐标轴 , 焦点 F   , F : 在 轴上 , 离心率 e=  
1  

由点  在椭 圆 E上的位置知 , 直线 z 的斜  率为正数. 设 P (  , Y )为直线 z 上任意一点 , 则 


2’   I   一2   I .  

( 1 ) 求椭 圆 E的方程 ;   ( 2 ) 求  F  
方程 ;   ( 3 )略.  

3 

的角平分线所在直线 Z 的 

若3  一4 y+6=5 x一1 0 , 贝 0  + 2 y一8=  

0 ( 因其斜率为负值 , 舍去) . 于是 , 3  一4 y+6 _  


1 0— 5 x , 得2 x—Y一1=0 , 所 以直 线 Z 的方 

程为 2  —Y一】:0 .  

评注  解法 1 直接从 角平分线 的性质 出  

发, 根据点到直线 的距离公 式 , 求 出角平 分线 
的轨迹方程 , 这是一种通法.   解法2   设 直线 z 与F   的交点为 B(   。 ,  
图 1  

0 ) , 则点 B (  , 0 ) 到 直线 A F . 的 距 离 等 于 其 

本题 以椭 圆为 载体 , 考 查 直线 与 圆锥 曲  线 的位置关系及椭 圆的定义 、 标 准方 程 、 椭 圆 

到直线 A F , 的距离 , 即 
l  3  
— —  

+6   l  
— 一



  0— 2 I   l,  

的简单几何性 质 、 直线 的点 斜式 方 程与 一般  方程 、 点到直线的距离 公式等 基础知识 ; 考查  解析几何的基本思想 、 综合运算 能力 , 探究 意 
识与创新意识. 仔细分 析题 目的条件 , 通过 多  角度 联想 , 探 求 一题 多 解 , 可 以开 拓 解 题思 

解得  。=8 ( 舍去) , 或  。 =÷.  

所 以 B ( 了 1 , 0 ) , 所 以  = 2 .  
故直线 Z 的方程为 2 x—Y一1=0 .  

路, 优化思维 品质. 特别 是第 ( 2 )问不 仅解法  众多 , 而且还 蕴 涵着 圆锥 曲线 的一个 一 般性 
结 论.  


评注  受解法 l的启示 , 在角 平分线 上  取一特殊点 —— 角平分线 与  轴 的交点 , 运 
算更简捷 , 比解法 1 更快捷 !  
解法3   由题 意知 I   A   l =3 , I   F   l =   4 , J   A F  I =5 . 设直 线 Z 与 F 。 F  的 交 点 为 



解 法 分 析 
2   2 

易 得 椭 圆 E的 方程 为  +   Y =1 -  
?

4 0 ?  

第l 1  

高 中数学教 与学  
评 注  由 △F   A F   为直 角三 角 形 , 自然  联想三角 函数定 义 , 利用 倍角公式求 出点  坐  标, 进而求 出角平 分线的方程 !  
解法 6   A( 2, 3 ) , F   ( 一2, 0) , F   ( 2, 0 ),  
’ . .

B(   。 , 0 ) , 根据三角形 内角平分 线定理 , 有 
}AF.1   l  F  B  I  
2  

5  

I   AF2   I — I   F I 一 3‘  

又 I   Fl B   I +I   B F 2}= 4,  
’ . .

I   F l 曰I =— }, I  

I =÷.  

A F,= ( 一4,一3 ), A F z= ( 0,一3 ) .  
A ,   AF2  
。 — — 

’ .



F, ( 一2 , 0) , F 2 ( 2, 0 ),  




— —

_+ 

? . 



( ÷ , 0 ) ~ k= 2 .  

I   AF1   l  


I   AF2   l  

所 以直 线 Z 的方 程 为 2 x—Y一1 =0 .  

÷ ( 一 4 , 一 3 ) + ÷ ( 0 , 一 3 )  


评 注  受解法 2的启示 , 发 现 图 中: 有三 



角形 4 F   F : , 自然联想到三角形 内角平分线定 


÷( 1 , 2 ) .  
k z: 2,  
Z:2 x —Y 一 1 : 0 .  

理, 顺利求解.   解 法4   由题意知 l   A F   } =3 , I   F   F :   I =   4 , l   A F   l =5 , 可知 △F   A F   是直角三角形. 设 



.  

‘ . .  

评注  由角平 分线联想到菱形 的对角线 
平 分其对角 , 从而 利用 单位 向量 构造 出菱形 ,   求 出角平 分线 的斜 率 , 再 利 用点 斜 式 求 出角 
平 分 线 的 方 程.  
二、 拓 展 研 究 

其内心为 C (  , _ y ) , 内切 圆半径为 r , 则点 c在 z  


目 .  
 AF2 I   I+I  Fl F2   l~l   AF   2   , 、  


1, ,  

我们 知 道 , 过 曲线 的切 点且 垂 直 于过 此 
点切线 的直线 , 称 曲线在该 点 的法线 ; 连结 圆 
锥 曲线上任 一点 与焦 点 的线段 , 称 为 该 圆锥 
曲线 的一 条焦 半 径 . 椭 圆有 两 个 焦 点 , 故 过 椭 

即 △F 。 A F 2 的 内心 C ( 1 , 1 ) , k   c :2 .   所以直线 l 的方程为 2 x—Y一1 =0 .   评 注  利 用 三 角 形 的 内 角 平 分 线 交 点 为 

圆上任一点 , 都有 两条 焦半 径. 由解 析几何 知 

三 角形 内心 , 由 △ 。 A F   边 的关 系知其为直角  三 角形 , 可求 出内心 坐标 , 进而求 出角平分 线 
的方 程 .  

识很容 易 得 出过 二 次 曲 线上 一 点 P 。 (   Y)  
的切线方程 , 于是 有下面的性质 :  

解法5   设直线 z 与F 。 F : 的交点为 B(   。 ,  
0 ) .  ̄R t Z X F   有 
t a n   Fl AF2 = t a n   2/ _BAF2  

过椭 圆  +百 Y =1 ( 0 >b>0 )   一点 

中, t a n / _F   A   =下 4


由题 意 

P o ( X 0 ' Y 0 ) 的 切 线  + 孚: 1 等 分 点P 处的  
两条焦半 径 所成 的 角 的外 角. 此 时点 P 。 (   。 ,  
Y 。 ) 处 的 两 条 焦 半 径 所 成 角 的 平 分 线 所 在 直 

2t a n/ _BAF2  


4  

1一t a n  / BAF  一 3 ’  

线 方程为  一X   o Y=  
0  0  0  

一  


.  

解得

t a n / _ B A F 2=÷ ,  

这个 性 质 证 明如 下 :  

t a n/B A F  =一2( 舍 去) ,  
?

当点 P (   。 , Y o ) 位 于椭 圆的 4个 顶点 时结 
论 显 然 成 立.  





t a n/ BA  

=  



字 ,  

设点 P  位于椭 圆在第 一象 限 的部 分 , 如 

?



.  

(   1 , 0 ) ,  = 2 .  

图 2 , 设 切 线 交   轴 于 点 A ( 、  ,  0 1 , F , ( 一 c , 0 ) ,  
『 1  

,  

所 以直线 l 的方 程为 2 x—Y一1=0 .  

( c , 0 ) , 且点 A分有 向线段F . F   的 比为 A, 则 
?

41 ?  

高中数学教 与 学  
。数 学应 用 o  

2 0 1 0 置 

实 际应 用 问题 中最值 的求 解 
张  忠  
( 江苏省 南京 市溧 水县第 二高级 中学 , 2 1   1 2 0 0 )  
求 实 际应 用 问 题 中 的最 值 , 近 年 来 很 受  i 岛考 命 题 人 的 青 睐 , 因 能 考 查 学 生 对 数 学 知 
识 的灵 活 转 化 和 实 际 应 用 的 能 力 , 能 全 面 体 





利 用 基 本 不 等 式 求 目标 函 数 的 最值 

例 l   ( 2 0 1 0江 苏 高 考题 )某 兴 趣 小 组 测  量 电视 塔 AE的高 度 口( 单位 1 7 1 ) , 如示 意 图 1 ,   垂 直 放 置 的 标 杆 BC高 度 h:4   m, 仰 角 /A B E  
=  
, 

现学生的数 学综 合素 质 , 所 以 成 为 近 年 来 高 
考常考题型. 许 多 同 学 在 处 理 此 类 题 目时 , 往  往 难 以下 平 , 不知如何 处理 繁杂 的条件 , 如 何  建   数 学 模 型 .本 文 试 图 就 几 类 常 见 实 际 应  

ADE : 口.  

( 1 )该 小 组 已 经 测 得 一 组 O / , 口的值 , t a n  


1 . 2 4, t a n   =1 . 2 0, 请 据 此算 出  的值 ;  
( 2 )该 小 组 分 析 若   r 测 得 的数 据 后 , 发 现 

用问题 吖 = l 最 值 的求 法 , 给 读 者 一 些 有 益 的 启 
, J  .  

适 当调 整 标 杆 到 电视 塔 的距 离 ( 单位 m), 使 
? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… - ●… ? ●… ? ●… ? ●… t ●… - ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… - ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… - ●… ? ●… ? ●… ? ●… . ●… - ●… ? ● 

? ●… ? ●…

A  




一   —二 一

= 一 

:  

— —

一一  2  



( _ 1 )一 +e x o — j   —  

\  

l   A F ] I  
l  

一  .  
Po F  J  
’  

一 e x o  

/ . 7  三  
一 一  


/ -



一,一 

0 

~ 一
一   一  

r  

图 2  

r h ■角形外 角平分线性质知 , 切线  4 是  F   P l   的外角平 分线. 由于  F , P o F 2 的外  角半分 线 与其 内 角 半 分 线 互 相 垂 直 , 所 以  F   的内角平分线所在直线办程为 


1 _ l 卜 过 点 A ( 2 , 3 ) 的 切 线 方 程 为 寺+   一  


1 , 可知法线的斜率为 2 , 从而法 线方氍 为 y   3=2 (   一2 ) , 这就是所求角的平 分线.  
值得注 意 的是 , 对 双 曲线 和抛 物线 也 有 

所 以  j   r l  = 1 6 , 6  = 1 2 , A ( 2 , 3 ) 时, 叮得 

类 似性 质 .  

内角平分 线的方程 为 2 x— Y一1:0 .  
这就是 j 二 而 高 考 题 的答 案.  

通过 J : 述 命题 的证 明町以发现 这道高考  题 在曲线选择 、 设问方式 、 求解 思路上 要优 于  其它曲线( 圆、 双 曲线 、 抛 物线 ) , A观 的几何  背景 、 多 种 的思考 入 r ] 、 }富 的知 识交 : , 兼  具基 础性 、 发胰 性 、 探 究性 的特点 , 充分 体现  “ 不同的人 在数 字 j   缁  到不 阿 的 发展 ”的理 
念.   此我f 『 J 自瑚 r “ 倪此题 
2 

其实椭 圆的这 一性质 由椭 圆的光学性 质  和光线 的反 射规 律 立 即可 以得 到. 我们 只 要  求 出椭 圆过点 P的切线 , 就可以得到过点  的 
法线 方程 ( 切 线 与法线互 柏垂 直 ) , 这 就是 所  求 角的平分线.   因此 对于上面的这道高考题 : 由椭 圆  +  
10 
?

? 通佳题  电会 

成 为 高 考数 学 的 一 个经典.  

4 2.  



推荐相关:

浙江专版2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何热点探究课5平面...

热点探究课(五) 平面解析几何中的高考热点问题 [命题解读] 圆锥曲线是平面解析几何的核心内容, 每年高考必考一道解答题, 常以求 曲线标准方程、位置关系、定点...


圆锥曲线内容分析

圆锥曲线内容分析 隐藏>> 选修1-1、选修2-1教学内容对比 选修 1-1 2.1 椭圆 2.1.1 椭圆及其标准方程 探究与发现:为什么截口曲线是椭圆 2.1.2 椭圆的简单...


圆锥曲线定义及应用

圆锥曲线定义及应用_高三数学_数学_高中教育_教育...分析:本题是有关折叠问题的一道题,应注意折叠前后...于是笔者进一步引导学生作 如下的探究: 变式(1)...


高中数学 第三讲 圆锥曲线性质的探讨单元整合学案 新人...

第三讲 圆锥曲线性质的探讨 单元整合 知识网络 专题探究 专题一 正射影问题 正...在两个平行平面上的射影是相 同的. 解析:在面 ABCD 和面 A1B1C1D1 上的...


专题7.16:解析几何中曲线类型问题的研究与拓展

专题7.16:解析几何中曲线类型问题的研究与拓展 - 专题 7.16:解析几何中曲线类型问题的研究与拓展 【探究拓展】 探究 1:设圆锥曲线 Γ 的两个焦点分别为 F1,...


...热点探究课5 平面解析几何中的高考热点问题

热点探究课(五) 平面解析几何中的高考热点问题 [命题解读] 圆锥曲线是平面解析几何的核心内容,每年高考必考一道解答 题,常以求曲线标准方程、位置关系、定点、...


2018高考数学总复习专题探究课5 平面解析几何中的高考...

2018高考数学总复习专题探究课5 平面解析几何中的高考热点问题 理 北师大版_...153 页) [命题解读] 圆锥曲线是平面解析几何的核心内容, 每年高考必考一道解答...


高中数学 第三讲 圆锥曲线性质的探讨 第三节 平面与圆...

高中数学 第三讲 圆锥曲线性质的探讨 第三节 平面与圆锥面的截线课堂导学案 新人教A版选修4-1 - 第三节 平面与圆锥面的截线 课堂导学 三点剖析 一、圆锥...


高中数学 第二章 圆锥曲线 2.1 截面欣赏2.2 直线与球、...

高中数学 第二章 圆锥曲线 2.1 截面欣赏2.2 ...求这 两个截面间的距离. 【思路探究】 【自主解答...【解析】 平面 ACC1A1 截球所得截面图形如图所示....


高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 抛物线 2.2.2 抛...

高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 抛物线 2....引申探究 等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y =2...答案 4p 2 2 2 2 m m m m 解析 因为抛物线...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com