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一个圆锥曲线问题的解析与探究


高中数学教 与学  
。数学探 究 o 

2 0 10 互 



个 圆 锥 曲 线 问 题 的 触 析 与 探 究 
刘海 东  
( 江苏省东 台市 第一 中学 , 2 2 4 2 0 0 )  

每年的数学 高考 都会 留下许 多 佳题 , 在 

这些考题 中蕴 藏着 丰 富 的数学 思 想方 法 , 对 

下面主要探究第 ( 2 )问.   解法 1   由( 1 ) 知, F   ( 一 2 , 0 ) , F 2 ( 2 , 0 ) ,   所 以直线 A F   的方程为 
Y=  一 (   +2 ) , 即3 x一4 y+6 = 0 ;   直线 A F : 的方 程 为  =2 .  

高中数学教 学 有一 定 的引 领作 用 , 并 成 为高  中数学教 学 的经典 案例. 2 0 1 0年 安徽 高 考数 
学第 1 7题便是其 中有代表性的一道佳题.   试题  已知椭圆 E经过点 A ( 2 , 3 ) , 对称  轴为坐标轴 , 焦点 F   , F : 在 轴上 , 离心率 e=  
1  

由点  在椭 圆 E上的位置知 , 直线 z 的斜  率为正数. 设 P (  , Y )为直线 z 上任意一点 , 则 


2’   I   一2   I .  

( 1 ) 求椭 圆 E的方程 ;   ( 2 ) 求  F  
方程 ;   ( 3 )略.  

3 

的角平分线所在直线 Z 的 

若3  一4 y+6=5 x一1 0 , 贝 0  + 2 y一8=  

0 ( 因其斜率为负值 , 舍去) . 于是 , 3  一4 y+6 _  


1 0— 5 x , 得2 x—Y一1=0 , 所 以直 线 Z 的方 

程为 2  —Y一】:0 .  

评注  解法 1 直接从 角平分线 的性质 出  

发, 根据点到直线 的距离公 式 , 求 出角平 分线 
的轨迹方程 , 这是一种通法.   解法2   设 直线 z 与F   的交点为 B(   。 ,  
图 1  

0 ) , 则点 B (  , 0 ) 到 直线 A F . 的 距 离 等 于 其 

本题 以椭 圆为 载体 , 考 查 直线 与 圆锥 曲  线 的位置关系及椭 圆的定义 、 标 准方 程 、 椭 圆 

到直线 A F , 的距离 , 即 
l  3  
— —  

+6   l  
— 一



  0— 2 I   l,  

的简单几何性 质 、 直线 的点 斜式 方 程与 一般  方程 、 点到直线的距离 公式等 基础知识 ; 考查  解析几何的基本思想 、 综合运算 能力 , 探究 意 
识与创新意识. 仔细分 析题 目的条件 , 通过 多  角度 联想 , 探 求 一题 多 解 , 可 以开 拓 解 题思 

解得  。=8 ( 舍去) , 或  。 =÷.  

所 以 B ( 了 1 , 0 ) , 所 以  = 2 .  
故直线 Z 的方程为 2 x—Y一1=0 .  

路, 优化思维 品质. 特别 是第 ( 2 )问不 仅解法  众多 , 而且还 蕴 涵着 圆锥 曲线 的一个 一 般性 
结 论.  


评注  受解法 l的启示 , 在角 平分线 上  取一特殊点 —— 角平分线 与  轴 的交点 , 运 
算更简捷 , 比解法 1 更快捷 !  
解法3   由题 意知 I   A   l =3 , I   F   l =   4 , J   A F  I =5 . 设直 线 Z 与 F 。 F  的 交 点 为 



解 法 分 析 
2   2 

易 得 椭 圆 E的 方程 为  +   Y =1 -  
?

4 0 ?  

第l 1  

高 中数学教 与学  
评 注  由 △F   A F   为直 角三 角 形 , 自然  联想三角 函数定 义 , 利用 倍角公式求 出点  坐  标, 进而求 出角平 分线的方程 !  
解法 6   A( 2, 3 ) , F   ( 一2, 0) , F   ( 2, 0 ),  
’ . .

B(   。 , 0 ) , 根据三角形 内角平分 线定理 , 有 
}AF.1   l  F  B  I  
2  

5  

I   AF2   I — I   F I 一 3‘  

又 I   Fl B   I +I   B F 2}= 4,  
’ . .

I   F l 曰I =— }, I  

I =÷.  

A F,= ( 一4,一3 ), A F z= ( 0,一3 ) .  
A ,   AF2  
。 — — 

’ .



F, ( 一2 , 0) , F 2 ( 2, 0 ),  




— —

_+ 

? . 



( ÷ , 0 ) ~ k= 2 .  

I   AF1   l  


I   AF2   l  

所 以直 线 Z 的方 程 为 2 x—Y一1 =0 .  

÷ ( 一 4 , 一 3 ) + ÷ ( 0 , 一 3 )  


评 注  受解法 2的启示 , 发 现 图 中: 有三 



角形 4 F   F : , 自然联想到三角形 内角平分线定 


÷( 1 , 2 ) .  
k z: 2,  
Z:2 x —Y 一 1 : 0 .  

理, 顺利求解.   解 法4   由题意知 l   A F   } =3 , I   F   F :   I =   4 , l   A F   l =5 , 可知 △F   A F   是直角三角形. 设 



.  

‘ . .  

评注  由角平 分线联想到菱形 的对角线 
平 分其对角 , 从而 利用 单位 向量 构造 出菱形 ,   求 出角平 分线 的斜 率 , 再 利 用点 斜 式 求 出角 
平 分 线 的 方 程.  
二、 拓 展 研 究 

其内心为 C (  , _ y ) , 内切 圆半径为 r , 则点 c在 z  


目 .  
 AF2 I   I+I  Fl F2   l~l   AF   2   , 、  


1, ,  

我们 知 道 , 过 曲线 的切 点且 垂 直 于过 此 
点切线 的直线 , 称 曲线在该 点 的法线 ; 连结 圆 
锥 曲线上任 一点 与焦 点 的线段 , 称 为 该 圆锥 
曲线 的一 条焦 半 径 . 椭 圆有 两 个 焦 点 , 故 过 椭 

即 △F 。 A F 2 的 内心 C ( 1 , 1 ) , k   c :2 .   所以直线 l 的方程为 2 x—Y一1 =0 .   评 注  利 用 三 角 形 的 内 角 平 分 线 交 点 为 

圆上任一点 , 都有 两条 焦半 径. 由解 析几何 知 

三 角形 内心 , 由 △ 。 A F   边 的关 系知其为直角  三 角形 , 可求 出内心 坐标 , 进而求 出角平分 线 
的方 程 .  

识很容 易 得 出过 二 次 曲 线上 一 点 P 。 (   Y)  
的切线方程 , 于是 有下面的性质 :  

解法5   设直线 z 与F 。 F : 的交点为 B(   。 ,  
0 ) .  ̄R t Z X F   有 
t a n   Fl AF2 = t a n   2/ _BAF2  

过椭 圆  +百 Y =1 ( 0 >b>0 )   一点 

中, t a n / _F   A   =下 4


由题 意 

P o ( X 0 ' Y 0 ) 的 切 线  + 孚: 1 等 分 点P 处的  
两条焦半 径 所成 的 角 的外 角. 此 时点 P 。 (   。 ,  
Y 。 ) 处 的 两 条 焦 半 径 所 成 角 的 平 分 线 所 在 直 

2t a n/ _BAF2  


4  

1一t a n  / BAF  一 3 ’  

线 方程为  一X   o Y=  
0  0  0  

一  


.  

解得

t a n / _ B A F 2=÷ ,  

这个 性 质 证 明如 下 :  

t a n/B A F  =一2( 舍 去) ,  
?

当点 P (   。 , Y o ) 位 于椭 圆的 4个 顶点 时结 
论 显 然 成 立.  





t a n/ BA  

=  



字 ,  

设点 P  位于椭 圆在第 一象 限 的部 分 , 如 

?



.  

(   1 , 0 ) ,  = 2 .  

图 2 , 设 切 线 交   轴 于 点 A ( 、  ,  0 1 , F , ( 一 c , 0 ) ,  
『 1  

,  

所 以直线 l 的方 程为 2 x—Y一1=0 .  

( c , 0 ) , 且点 A分有 向线段F . F   的 比为 A, 则 
?

41 ?  

高中数学教 与 学  
。数 学应 用 o  

2 0 1 0 置 

实 际应 用 问题 中最值 的求 解 
张  忠  
( 江苏省 南京 市溧 水县第 二高级 中学 , 2 1   1 2 0 0 )  
求 实 际应 用 问 题 中 的最 值 , 近 年 来 很 受  i 岛考 命 题 人 的 青 睐 , 因 能 考 查 学 生 对 数 学 知 
识 的灵 活 转 化 和 实 际 应 用 的 能 力 , 能 全 面 体 





利 用 基 本 不 等 式 求 目标 函 数 的 最值 

例 l   ( 2 0 1 0江 苏 高 考题 )某 兴 趣 小 组 测  量 电视 塔 AE的高 度 口( 单位 1 7 1 ) , 如示 意 图 1 ,   垂 直 放 置 的 标 杆 BC高 度 h:4   m, 仰 角 /A B E  
=  
, 

现学生的数 学综 合素 质 , 所 以 成 为 近 年 来 高 
考常考题型. 许 多 同 学 在 处 理 此 类 题 目时 , 往  往 难 以下 平 , 不知如何 处理 繁杂 的条件 , 如 何  建   数 学 模 型 .本 文 试 图 就 几 类 常 见 实 际 应  

ADE : 口.  

( 1 )该 小 组 已 经 测 得 一 组 O / , 口的值 , t a n  


1 . 2 4, t a n   =1 . 2 0, 请 据 此算 出  的值 ;  
( 2 )该 小 组 分 析 若   r 测 得 的数 据 后 , 发 现 

用问题 吖 = l 最 值 的求 法 , 给 读 者 一 些 有 益 的 启 
, J  .  

适 当调 整 标 杆 到 电视 塔 的距 离 ( 单位 m), 使 
? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… - ●… ? ●… ? ●… ? ●… t ●… - ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… - ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… - ●… ? ●… ? ●… ? ●… . ●… - ●… ? ● 

? ●… ? ●…

A  




一   —二 一

= 一 

:  

— —

一一  2  



( _ 1 )一 +e x o — j   —  

\  

l   A F ] I  
l  

一  .  
Po F  J  
’  

一 e x o  

/ . 7  三  
一 一  


/ -



一,一 

0 

~ 一
一   一  

r  

图 2  

r h ■角形外 角平分线性质知 , 切线  4 是  F   P l   的外角平 分线. 由于  F , P o F 2 的外  角半分 线 与其 内 角 半 分 线 互 相 垂 直 , 所 以  F   的内角平分线所在直线办程为 


1 _ l 卜 过 点 A ( 2 , 3 ) 的 切 线 方 程 为 寺+   一  


1 , 可知法线的斜率为 2 , 从而法 线方氍 为 y   3=2 (   一2 ) , 这就是所求角的平 分线.  
值得注 意 的是 , 对 双 曲线 和抛 物线 也 有 

所 以  j   r l  = 1 6 , 6  = 1 2 , A ( 2 , 3 ) 时, 叮得 

类 似性 质 .  

内角平分 线的方程 为 2 x— Y一1:0 .  
这就是 j 二 而 高 考 题 的答 案.  

通过 J : 述 命题 的证 明町以发现 这道高考  题 在曲线选择 、 设问方式 、 求解 思路上 要优 于  其它曲线( 圆、 双 曲线 、 抛 物线 ) , A观 的几何  背景 、 多 种 的思考 入 r ] 、 }富 的知 识交 : , 兼  具基 础性 、 发胰 性 、 探 究性 的特点 , 充分 体现  “ 不同的人 在数 字 j   缁  到不 阿 的 发展 ”的理 
念.   此我f 『 J 自瑚 r “ 倪此题 
2 

其实椭 圆的这 一性质 由椭 圆的光学性 质  和光线 的反 射规 律 立 即可 以得 到. 我们 只 要  求 出椭 圆过点 P的切线 , 就可以得到过点  的 
法线 方程 ( 切 线 与法线互 柏垂 直 ) , 这 就是 所  求 角的平分线.   因此 对于上面的这道高考题 : 由椭 圆  +  
10 
?

? 通佳题  电会 

成 为 高 考数 学 的 一 个经典.  

4 2.  


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