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3.3.1几何概型上课


3.3.1 几何概型

复习回顾

古典概型的两个基本特征?
(1) 有限性:在一次试验中,可能出现的结果只有有限 个,即只有有限个不同的基本事件; (2) 等可能性:每个基本事件发生的可能性是相等的.

现实生活中,有没有实验的所有可能 结果是无穷多的情况? 相应的概率如何求?

一、

创设情景,引入新课
在转盘游戏中,当指针停止时,为什 么指针指向红色区域的可能性大?

因为红色区域的面 积大,所以指针落 在红色的区域可能 性大。

二、主动探索,领悟归纳

? 问题:甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜, 否则乙获胜. 求甲获胜的概率是多少? ? 点击右侧的小转盘,更换一个转盘后,甲获胜的概率是多 少?

主动探索
上述问题中,基本事件有无限多个, 虽然类似于古典概型的“等可能性” 还存在,但显然不能用古典概型的方 法求解,怎么办呢?

思考:上述每个扇形区域对应的圆弧的长度(或扇形 的面积)和它所在位置都是可以变化的,从结论来看, 甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的哪个因素有关? 哪个因素无关?
B N B N B N B B

N B

N

与扇形的弧长(或面积)有关,与扇 形区域所在的位置无关.

领悟归纳

定 义

?如果每个事件发生的概 率只与构成该事件区域 的长度(面积或体积) 成比例,则称这样的概 率模型为几何概率模型 ,简称为几何概型.

领悟归纳
?几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无 限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 古典概型与几何概型的区别 ? 相同:两者基本事件发生的可能性都是相等的; ? 不同:古典概型要求基本事件有有限个,几何概 型要求基本事件有无限多个 对于具有几何意义的随机事件,或可以化归为几 何问题的随机事件,一般都有几何概型的特性,我 们希望建立一个求几何概型的概率公式.

思考1:有一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置 剪断,那么剪得的两段的长度都不小于1m的概率是多 少?你是怎样计算的? 思考2:在玩转盘游戏中,对于下列两个转盘,甲获 胜的概率分别是多少?你是怎样计算的?
B N B N N B N B N B B

思考3:在装有5升纯净水的容器中放入一个小生物, 现从中随机取出1升水,那么这1升水中含有小生物的 概率是多少?你是怎样计算的?
结论:一般地,在几何概型中事件A发生的概率的计 算公式:

P A) ( =

构成事件A的区域长度( 面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度( 面积或体积)

?如何求几何概型的概率?
问题1:射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环,从外 问题2:取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪 问题3: 有一杯1升的水,其中漂浮有1个微 向内为白色、黑色、蓝色、红色,靶心为金色.金色 生物,用一个小杯从这杯水中取出0.1升, 断,那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大? 靶心叫“黄心”. 求小杯水中含有这个微生物的概率. 奥运会的比赛靶面直径为 1m 1m 122cm,靶心直径为12.2cm, 3mP(C)= 0.1 ? 0.1 运动员在70m外射.假设射箭 1 1 都能中靶,且射中靶面内任意 2 1 ? ? ? 12.2 4 P(B)= 3 ? 0.01 一点都是等可能的,那么射中 P(A)= 1 靶心的概率有多大? ? ? ? 1222
4

思考4:向边长为1的正方形内随机抛掷一粒 芝麻,那么芝麻落在正方形中心和芝麻不落 在正方形中心的概率分别是多少?由此能说 明什么问题?

● ●

在几何概型下,概率为0的事件可能会发 生,概率为1的事件不一定会发生.

三、巩固深化,应用拓展
几何概型的计算 例一 :一个质地均匀的陀螺的圆周上均 匀地刻有[0 , 5)上诸数字,在桌面上旋转 它,求当它停下来时,圆周与桌面接触处的 刻度位于区间 [2 , 3] 上的概率。

S ? [0, 5)
L( S ) = 5- 0 = 5

A

= [2 , 3]

L ( A) = 3-2 = 1
2 3 1 4 0

L( A) 1 P ( A) ? ? L( S ) 5

例二:某人午觉醒来,发现表停了,他 打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间 不多于10分钟的概率. 解:设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所 关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于 分析:假设他在0-60分钟之间任何一个时刻打开 [50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率 收音机是等可能的,但0-60之间有无穷个时刻, 的公式得 不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率。

60 ? 50 1 P( A) ? ? , 60 6 可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生 1 即“等待的时间不超过10分钟”的概率为 的概率。 6

例三:一海豚在水池中自由游弋,水池为长30m,宽 20m的长方形,求此刻海豚嘴尖离岸小于2m的概率.
30m

20m
2m

解:设事件A“海豚嘴尖离岸边小于2m”(见阴影部分)
d的测度 = P(A)= D的测度
30 ? 20 ? 26 ?16 184 ? ? 0.31 30 ? 20 600

答:海豚嘴尖离岸小于2m的概率约为0.31.

练习
1.公共汽车在0~5分钟内随机地到达车站,求汽 车在1~3分钟之间到达的概率。 分析:将0~5分钟这段时间看作是一段长度为5 个单位长度的线段,则1~3分钟是这一线段中 的2个单位长度。 解:设“汽车在1~3分钟之间到达”为事件A,则 3?1 2 P ( A) ? ? 5 5 2 所以“汽车在1~3分钟之间到达”的概率 5 为

练习
2.如右图,假设你在每个 图形上随机撒一粒黄 豆,分别计算它落到红 色部分的概率.

练习
3.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子随机地 扔到桌面上,假设豆子不落在线上,求下列事 件的概率: (1)豆子落在红色区域; (2)豆子落在黄色区域; (3)豆子落在绿色区域; (4)豆子落在红色或绿色区域; (5)豆子落在黄色或绿色区域。

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练习
4.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那 么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?
1m 3m 1m

解:如上图,记“剪得两段绳子长都不小于 1m”为事件A,把绳子三等分,于是当剪断位 置处在中间一段上时,事件A发生。由于中间 一段的长度等于绳子长的三分之一,所以事 件A发生的概率P(A)=1/3。

练习
5.在半径为1的圆上随机地取两点,连成一条线,则 其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少? 解:记事件A={弦长超过圆内接 等边三角形的边长},取圆内接 等边三角形BCD的顶点B为弦 的一个端点,当另一点在劣弧 CD上时,|BE|>|BC|,而弧CD 的长度是圆周长的三分之一, 所以可用几何概型求解,有
1 P ( A) ? 3
B

.0 C E D

1 则“弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为 3

练习6:在边长为a的正方形ABCD内随机取一点P, 求∠APB > 90°的概率. 1 a 2 ?( ) ? D C P ( A) ? d的测度 ? 2 2 ? . D的测度 a2 8
P
A B

∠APB =90°?
d的 测 度 0 P( B) ? ? 2 ? 0. D的 测 度 a

概率为0的事件可能发生!

学法领悟
提 示

?对于复杂的实际问题, 解题的关键是要建立模 型,找出随机事件与所有 基本事件相对应的几何 区域,把问题转化为几何 概率问题,利用几何概率 公式求解.

四、总结评价,促进成长
?1.几何概型的特点. ?2.古典概型与几何概型的区别: 1)两种模型的基本事件发生的可能性都相等; 2)古典概型要求基本事件是有限个,而几何概型 则要求基本事件有无限多个。 ?3.几何概型的概率公式及运用.
构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) ? 全部结果所构成的区域长度(面积或体积)


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