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四川省成都市高新区2015届高三9月月考数学(文)试题 Word版含答案


2014 年高 2015 届成都高新区学月统一检测

数学(文)
(考试时间:9 月 4 日下午 2:00—4:00 总分:150 分)

第Ⅰ卷(选择题,共
http://www.klyj.net 命题学校:成都玉林中学 命题人:周先华 审核:

50 分)

一.选择题:本大题

共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。

(m ? ni) ? 1. 已知 m, n ? R, i 是虚数单位,若 2 ? ni 与 m ? i 互为共轭复数,则
2

(A) 5 ? 4i

(B) 5 ? 4i

(C) 3 ? 4i

(D) 3 ? 4i

2. 设集合 A ? {x x ? 1 ? 2}, B ? {x |1 ? x ? 4}, 则 A ? B ? (A) [1,3)
8

(B) (1,3)
2

(C) [0,2]

(D) (1,4) (D)8

班级:______ 姓名:_________ 考号:

3. 在 (1 ? x) 的展开式中,含 x 项的系数为 (A)28 (B)56 (C)70

4. 设 {an } 是公比为 q 的等比数列,则“ {an } 为递增数列”是“ q ? 1 ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 5. 将函数 y ? 3sin 2 x 的图象向左平移 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? 个单位长度,所得图象对应的函数 2 ? ? ? ? (A) 在区间 [ ? , ] 上单调递减 (B) 在区间 [ ? , ] 上单调递增 4 4 4 4 ? ? ? ? (C) 在区间 [ ? , ] 上单调递减 (D) 在区间 [ ? , ] 上单调递增 2 2 2 2 6. 执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 1,则输出的 n 的值为
(A)5 (B)3 (C)2 7. 某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为 (A) 8 ? 2? (B) 8 ? ? (C) 8 ? (D)1

学校:___________

? 2

(D) 8 ?

? 4

1

? x 2 ? 2tx ? t 2 , x ? 0 ? 8.已知 f ( x) ? ? ,若 f (0) 是 f ( x) 的最小值,则 t 的取值范围为 1 x ? ? t , x ? 0 ? x ?
(A)[-1,2] (B)[-1,0] (C)[1,2] (D) [0, 2]

9. 为了研究某药物的疗效, 选取若干名志愿者进行临床试验, 所有志愿者的舒张压数据 (单 位:kPa ) 的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编 号为第一组,第二组,……,第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已知第 一组与第二组共有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人,则第三组中有疗效的人数为 (A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 18

10. 当 x ?[?2,1] 时,不等式 mx ? x ? 4 x ? 3 恒成立,则实数 m 的取值范围是
3 2

(A) [ ?6, ? ]

9 8

(B) [?6, ?2]

(C) [?5, ?3]

(D) [?4, ?3]

2

2014 年高 2015 届成都高新区学月统一检测

数学(文)
第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二.填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 11.函数 f ( x) ?

http://www.klyj.net 命题学校:成都玉林中学 命题人:周先华 审核:

1 的定义域是 1? 2x

(用区间表示);

12. 在等差数列 {an } 中, a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 {an } 的前 5 项和 S5 = 13. 函数 f(x)=x2-2x+b 的零点均是正数,则实数 b 的取值范围是 14. 在 ?ABC 中, A ? 60?, b ? 4, a ? 2 3 ,则 ?ABC 的面积等于

; ; ;

15.下图展示了一个由区间 (0,1) 到实数集 R 的映射过程:区间 (0,1) 中的实数 m 对应数轴上

班级:______ 姓名:_________ 考号:

的点 m ,如图 1;将线段 AB 围成一个圆,使两端点 A, B 恰好重合,如图 2;再将这 个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在 y 轴上,点 A 的坐标为 (0,1) ,如图 3.图 3 中直线 AM 与 x 轴交于点 N (n,0) ,则 m 的象就是 n ,记作 f (m) = n .

下列说法中正确命题的序号是 ①方程 f (x) = 0 的解是 x = ③ f ? x ? 是奇函数;
1 ? ⑤ f ? x ? 的图象关于点 ? ? , 0 ? 对称. ?2 ?

.(填出所有正确命题的序号) ② f ? ? ?1; ④ f ? x ? 在定义域上单调递增;

学校:___________

1 ; 2

?1? ?4?

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16.(本题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin ? x ?

? ?

??

3 2 , x?R . ? ? 3 cos x ? 3? 4

3

(Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ? x ? 在闭区间 ? ?

? ? ?? , ? 上的最大值和最小值. ? 4 4?

17. (本题满分 12 分)某手机厂生产 A, B, C 三类手机,每类手机均有黑色和白色两种型号, 某月的产量如下表(单位:部): 手机 A 黑色 白色 100 300 手机 B 150 450 手机 C 400 600

(Ⅰ )用分层抽样的方法在 C 类手机中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总 体,从中任取 2 部,求至少有 1 部黑色手机的概率; (Ⅱ)用随机抽样的方法从 B 类白色手机中抽取 8 部,经检测它们的得分如下: 9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这 8 部手机的得分看成一个总体,从中任取一个数, 求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.

4

http://www.klyj.net 命题学校:成都玉林中学 命题人:唐云平 审核:谢勤明

18. (本题满分 12 分 ) 已 知 f ( x ) 为 定 义 在 [- 1 , 1 ] 上 的 奇 函 数 , 当 x ? [

1 , 0时 ] ,函数解析式为

1 1 - x (b R) . x 4 2 (Ⅰ )求 f ( x ) 在 [0,1] 上的解析式; (Ⅱ )求 f ( x ) 在 [0,1] 上的最大值. f ( x) =

学校:___________

班级:______ 姓名:_________ 考号:

5

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中, PA ^ 底面 ABCD , AD ^ AB , AB // DC ,

AD = DC = AP = 2 , AB = 1 ,点 E 为棱 PC 的中点.
(Ⅰ )证明: BE ^ DC ; (Ⅱ )求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正切值.

6

20. (本小题满分 13 分) 已知等差数列 {an } 的公差为 2 ,前 n 项和为 S n ,且 S 1 , S2 , S4 成等比数列。 (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )令 bn = (?1)
n ?1

4n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 an an ?1

7

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? e ? kx ( k 为常数)的图象与 y 轴交于点 A ,曲线 y ? f ?x ? 在点 A 处的
x

切线斜率为 ? 1 . (Ⅰ )求 k 的值及函数 f ?x ? 的极值; (Ⅱ )证明:当 x ? 0 时, x ? e ;
2 x

(Ⅲ )证明:对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,使得当 x ? ?x0, ? ?? ,恒有 x ? ce .
2 x

8

2014 年高 2015 届成都高新区学月统一检测

数学(文)标准答案与评分细则
一、选择题:1-5:DAADA 部分解答: 6-10: BBDCB 7. 解析:选 B。由三视图知:几何体是正方体切去两个 圆柱, 正方体的棱长为 2,切去的圆柱的底面半径为 1,高为 2, ∴ 几何体的体积 V=23﹣2× ×π×12× 2=8﹣π. 8.解析:选 D。 解法一:排除法。 当 a=0 时,结论成立,排除 C; 当 a=-1 时,f(0)不是最小值,排除 A、B,选 D。 解法二:直接法。 由于当 x ? 0 时, f ( x) ? x ?

1 ? a 在 x ? 1 时取得最小值为 2 ? a ,由题意当 x ? 0 时, x

f ( x) ? ( x ? a)2 递减,则 a ? 0 ,此时最小值为 f (0) ? a2 ,所以 a2 ? a ? 2,?0 ? a ? 2 ,
选 D。 10. 解析:选 B。 当 x=0 时,不等式 ax3﹣x2+4x+3≥0 对任意 a∈ R 恒成立; 当 0<x≤1 时,ax3﹣x2+4x+3≥0 可化为 a≥ ,

令 f(x)=

,则 f′(x)=

=﹣

(*) ,

当 0<x≤1 时,f′(x)>0,f(x)在(0,1]上单调递增, f(x)max=f(1)=﹣6,∴ a≥﹣6; 当﹣2≤x<0 时,ax3﹣x2+4x+3≥0 可化为 a≤ ,

由(*)式可知,当﹣2≤x<﹣1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当﹣1<x<0 时,f′(x) >0,f(x)单调递增, f(x)min=f(﹣1)=﹣2,∴ a≤﹣2; 综上所述,实数 a 的取值范围是﹣6≤a≤﹣2,即实数 a 的取值范围是[﹣6,﹣2]. 二、填空题:11. (??, ) 部分解答: 15. 解析:

1 2

12. 15

13. (0,1]

14. 2 3

15.① ④ ⑤

9

① f ( x) ? 0 则 x ? 1 ,正确;
2

② 当 m ? 1 时,∠ ACM= ? ,此时 n ? ?1 故 f ( 1 ) ? ?1 ,不对;
4 2 4

③ f ( x) 的定义域为 (0,1) 不关于原点对称,是非奇非偶函数; ④ 显然随着 m 的增大, n 也增大;所以 f ? x ? 在定义域上单调递增 ,正确; ⑤ 又整个过程是对称的,所以正确。 三、解答题: 16.解: (Ⅰ )由已知,有

骣 ?1 sin x + 3 cos x÷ ÷ f ( x) = cos x 诅 ÷ ? ÷ ? 2 2 桫

3 cos 2 x +

3 4

=

1 sin x ?cos x 2

3 3 cos 2 x + 2 4

..................................2 分

=

1 3 3 sin 2 x (1 + cos 2 x) + 4 4 4
1 sin 2 x 4 3 1 骣 p cos 2 x = sin ? 2x - ÷ ÷. ? ? 4 2 桫 3÷
2p = p. 2
....... ....... ....... ....... 4 分

=

所以, f ( x) 的最小正周期 T = (Ⅱ )因为 f ( x) 在区间 犏 - ,-

.................................. 6 分

轾p 犏 臌4

轾p p p 上是减函数,在区间 犏 , 上是增函数. ...8 分 犏 12 臌12 4 骣p÷ 1 =- , ÷ ÷ ? 桫 12 2 骣 p÷ 1 f? ÷= . ? ? 桫 4÷ 4

根据图像的对称性知其最小与最大值分别为: f ? ?-

所以,函数 f ( x) 在闭区间 犏 - ,

轾p p 1 1 上的最大值为 ,最小值为 . ..........12 分 犏 4 2 臌4 4

17.解:(Ⅰ )设所抽样本中有 a 部黑色手机, 400 a 由题意得 = ,即 a=2. 1 000 5 因此抽取的容量为 5 的样本中,有 2 部黑色手机,3 部白色手机。........2 分 用 A1,A2 表示 2 部黑色手机,用 B1,B2,B3 表示 3 部白色手机,用 E 表示事件“在该 样本中任取 2 部,其中至少有 1 部黑色手机”, 则基本事件空间包含的基本事件有: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,

10

B3),(B2,B3)共 10 个.

......................... 4 分

事件 E 包含的基本事件有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2, B2),(A2,B3)共 7 个. 7 7 故 P(E)= ,即所求概率为 . 10 10 ................................6 分

1 (Ⅱ )样本平均数 x = × (9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9. 8 设 D 表示事件“从样本中任取一数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5”,则基 本事件空间中有 8 个基本事件,事件 D 包括的基本事件有:9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共 6 个, 6 3 3 所以 P(D)= = ,即所求概率为 ........................................12 分 8 4 4 18.解:(Ⅰ )设 x∈ [0,1],则-x∈ [-1,0]. 1 1 x x ∴ f(-x)= -x- -x=4 -2 . 4 2 又∵ f(-x)=-f(x) ∴ -f(x)=4x-2x. ∴ f(x)=2x-4x. 所以, f ( x ) 在 [0,1] 上的解析式为 f(x)=2x-4x (Ⅱ )当 x∈ [0,1],f(x)=2x-4x=2x-(2x)2, x ∴ 设 t=2 (t>0),则 f(t)=t-t2. ∵ x∈[0,1],∴ t∈ [1,2]. 当 t=1 时,取最大值为 1-1=0. 所以,函数在[0,1]上的最大值分别为 0。 19.解: (Ⅰ )如图,取 PD 中点 M ,连接 EM , AM . 由于 E , M 分别为 PC , PD 的中点, 故 EM // DC ,且

.................... 6 分

................... 12 分

EM =

1 DC , 2

又由已知,可得 EM // AB 且 EM = AB , 故四边形 ABEM 为平行四边形,所以 BE // AM . 因为 PA ^ 底面 ABCD ,故 PA ^ CD , 而 CD ^ DA ,从而 CD ^ 平面 PAD , 因为 AM ? 平面 PAD ,于是 CD ^ AM , 又 BE // AM ,所以 BE ^ CD . ............................... 6 分

(Ⅱ )连接 BM ,由(Ⅰ )有 CD ^ 平面 PAD ,得 CD ^ PD , 而 EM // CD ,故 PD ^ EM . 又因为 AD = AP , M 为 PD 的中点,故 PD ^ AM ,

11

可得 PD ^ BE ,所以 PD ^ 平面 BEM , 故平面 BEM ^ 平面 PBD . 所以直线 BE 在平面 PBD 内的射影为直线 BM , 而 BE ^ EM ,可得 ?EBM 为锐角, 故 ?EBM 为直线 BE 与平面 PBD 所成的角. 依题意,有 PD = 2 2 ,而 M 为 PD 中点,可得 AM = 故在直角三角形 BEM 中, tan ? EBM ..................9 分

2 ,进而 BE =

2.

EM AB 1 2 = = = BE BE 2 2
2 2
....................12 分

所以直线 BE 与平面 PBD 所成的角的正切值为

20.解: (Ⅰ ) d ? 2, S1 ? a1 , S2 ? 2a1 ? d , S4 ? 4a1 ? 6d ,
2 ? S1, S2 , S4成等比? S2 ? S1S4

解得 a1 ? 1,? an ? 2n ?1 (Ⅱ ) bn ? (?1)
n ?1

............................. 5 分

4n 1 1 ? (?1) n?1 ( ? ) an an?1 2n ? 1 2n ? 1

........................7 分

1 1 1 1 1 当n为偶数时,Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3 3 5 5 7 1 1 1 1 ?( ? )?( ? ) 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
?Tn ? 1 ? 1 2n ? 2n ? 1 2n ? 1
.......................10 分

1 1 1 1 1 当n为奇数时,Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3 3 5 5 7 1 1 1 1 ?( ? )?( ? ) 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
? Tn ? 1 ? 1 2n ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1

? 2n , n为偶数 ? ? 2n ? 1 ?Tn ? ? ? 2n ? 2 , n为奇数 ? ? 2n ? 1

................... 13 分

12

21.解: (Ⅰ )由 f ( x) ? e x ? kx ,得 f '( x) ? e x ? k . 又 f '(0) ? 1 ? k ? ?1 ,得 k ? 2 . 所以 f ( x) ? ex ? 2x, f '( x) ? e x ? 2 . 令 f '( x) ? 0 , 得 x ? ln 2 . 当 x ? ln 2 时 , ............................ 2 分

f '( x) ? 0, f ( x) 单 调 递 减 ; 当 x ? ln 2 时 , f ( x) 取 得 极 小 值 , 且 极 小 值 为
.............. 5 分

f '( x) ? 0, f ( x) 单 调 递 增 . 所 以 当 x ? l n 2时 ,

f (ln 2) ? eln 2 ? 2ln 2 ? 2 ? ln 4 ? 0, f ( x) 无极大值.
(Ⅱ )令 g ( x) ? e x ? x 2 ,则 g '( x) ? e x ? 2 x . 由(Ⅰ )得 g '( x) ? f ( x) ? f (ln 2) ? 0 , 故 g ( x) 在 R 上单调递增,又 g (0) ? 1 ? 0 , 因此,当 x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 x ? e .
2 x x x 2

................9 分
x

(Ⅲ )① 若 c ? 1 ,则 e ? ce .又由(II)知,当 x ? 0 时, x ? e . 所以当 x ? 0 时, x ? ce .取 x0 ? 0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? cx .........11 分
2 x 2 2

② 若 0 ? c ? 1 ,令 k ?

1 ? 1 ,要使不等式 x 2 ? ce x 成立,只要 e x ? kx 2 成立.而要使 e x ? kx 2 成 c
2

立,则只要 x ? ln(kx ) ,只要 x ? 2ln x ? ln k 成立. 令 h( x) ? x ? 2ln x ? ln k ,则 h '( x) ? 1 ?

2 x?2 ? . x x

所以当 x ? 2 时, h '( x) ? 0, h( x) 在 (2, ??) 内单调递增. 取 x0 ? 16k ? 16 ,所以 h( x) 在 ( x0 , ??) 内单调递增. 又 h( x0 ) ? 16k ? 2ln(16k ) ? ln k ? 8(k ? ln 2) ? 3(k ? ln k ) ? 5k . 易知 k ? ln k , k ? ln 2,5k ? 0 .所以 h( x0 ) ? 0 .即存在 x0 ?

16 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 c

x 2 ? ce x .
综上,对任意给定的正数 c,总存在 x0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce . .....14 分
2 x

解法二: (Ⅰ )同解法一(Ⅱ )同解法一(Ⅲ )对任意给定的正数 c,取 xo ?
13

4 c

由(Ⅱ )知,当 x>0 时, e x ? x ,所以 e ? e 2 ? e 2 ? ( ) ( ) ,当 x ? xo 时,
x 2 2

2

x

x

x 2

x 2

x x 4 x 1 2 e x ? ( )2 ( )2 ? ( )2 ? x 2 2 c 2 c
因此,对任意给定的正数 c,总存在 x0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce .
2 x

14


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