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浙江省杭州市余杭区普通高中第二共同体2015届高三上学期期中数学试卷(文科)


2014-2015 学年浙江省杭州市余杭区普高第二共同体高三(上)期中数学试卷(文科)

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.已知集合 A={x|x+3>0},则?RA=( )

A. (﹣∞,﹣3) B. (﹣∞,﹣3] C. (﹣3,+∞) D. C. (﹣3,1) D. (1, ﹣1)

/>3.已知角α 的终边上一点的坐标为( A. B. C. D.

) ,角α 的最小正值为(



4. “a>b>0”是“log2a>log2b”的(



A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6 等于( A. 8 B. 10 C. 12 D. 14



6.若当 x∈R 时,函数 f(x)=a 始终满足 0<|f(x)|≤1,则函数 y=loga| |的图象大致 为( )

|x|

A.

B.

C.

D.

7.函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0,|φ |<

)的最小正周期为π ,若其图象向右平移 ) ) D. y=sin(2x+ )

个单位后关于 y 轴对称,则 y=f(x)对应的解析式为 ( A. y=sin(2x﹣ ) B. y=cos(2x+

) C. y=cos(2x﹣

8.函数 f(x)=loga(6﹣ax)在上为减函数,则 a 的取值范围是(



A. (0,1) B. (1,3) C. (1,3] D. 时,f(x)=x.若在区间 x∈(﹣1,1] 内,g(x)=f(x)﹣mx﹣m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是( A. (0, ] B. )

20.在数列{an}中,a2+1 是 a1 与 a3 的等差中项,设 足 .

,且满

(1)求数列{an}的通项公式; (2)记数列{an}的前 n 项的和为 Sn,若数列{bn}满足 bn=anlog2(sn+2) ,试求数列{bn}的前 n 项的和 Tn.

21.已知函数 f(x)=|x﹣a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

22.设函数 f(x)=a ﹣(k﹣1)a (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)求 k 值; (2)若 f(1)<0,试判断函数单调性并求使不等式 f(x +tx)+f(4﹣x)<0 恒成立的 t 的取值范围; (3)若 f(1)= ,且 g(x)=a +a 故选 B. 点评: 考查描述法表示集合,区间表示集合,以及补集的运算.
2x ﹣2x 2

x

﹣x

﹣2mf(x)在 C. (﹣3,+∞) D. .

2.向量 =(﹣1,3) , =(2,﹣1) ,则 ﹣2 等于(



A. (﹣5,5) B. (5,﹣5) C. (﹣3,1) D. (1,﹣1)

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用向量的坐标运算求解即可. 解答: 解:向量 =(﹣1,3) , =(2,﹣1) , 则 ﹣2 =(﹣1,3)﹣2(2,﹣1)=(﹣5,5) . 故选:A. 点评: 本题考查向量的坐标运算,基本知识的考查.

3.已知角α 的终边上一点的坐标为( A. B. C. D.

) ,角α 的最小正值为(



考点: 终边相同的角. 专题: 计算题. 分析: 将点的坐标化简,据点的坐标的符号判断出点所在的象限,利用三角函数的定义求出 角α 的正弦,求出角α 的最小正值 解答: 解: ∴角α 的终边在第四象限 ∵ ∴ ∴α 的最小正值为 故选 D 点评: 已知一个角的终边上的一个点求角的三角函数值,应该利用三角函数的定义来解决. 到原点的距离为 1 =

4. “a>b>0”是“log2a>log2b”的(



A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 证明题. 分析: 利用对数函数的单调性和定义即可判断 解答: 解:由对数函数的单调性:y=log2x 在(0,+∞)上为单调增函数 ∴log2a>log2b?a>b>0 故选 C 点评: 本题考查了利用定义判断命题充要条件的方法,对数函数的单调性和定义

5.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6 等于( A. 8 B. 10 C. 12 D. 14



考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质和已知可得 a2,进而可得公差,可得 a6 解答: 解:由题意可得 S3=a1+a2+a3=3a2=12, 解得 a2=4,∴公差 d=a2﹣a1=4﹣2=2, ∴a6=a1+5d=2+5×2=12, 故选:C. 点评: 本题考查等差数列的通项公式和求和公式,属基础题.

6.若当 x∈R 时,函数 f(x)=a 始终满足 0<|f(x)|≤1,则函数 y=loga| |的图象大致 为( )

|x|

A.

B.

C.

D.

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 作图题. 分析: 由于当 x∈R 时,函数 f(x)=a 始终满足 0<|f(x)|≤1,利用指数函数的图象和 性质可得 0<a<1. 先画出函数 y=loga|x|的图象, 此函数是偶函数, 当 x>0 时, 即为 y=logax, 而函数 y=loga| |=﹣loga|x|,即可得出图象. 解答: 解:∵当 x∈R 时,函数 f(x)=a 始终满足 0<|f(x)|≤1. 因此,必有 0<a<1. 先画出函数 y=loga|x|的图象:黑颜色的图象. 而函数 y=loga| |=﹣loga|x|,其图象如红颜色的图象. 故选 B.
|x| |x|

点评: 本题考查指数函数与对数函数的图象及性质,属于难题.

7.函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0,|φ |<

)的最小正周期为π ,若其图象向右平移 ) ) D. y=sin(2x+ )

个单位后关于 y 轴对称,则 y=f(x)对应的解析式为 ( A. y=sin(2x﹣ ) B. y=cos(2x+

) C. y=cos(2x﹣

考点: 由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由周期求得ω ,根据诱导公式以及 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,可得 y=f(x) 的解析式. 解答: 解:由题意可得 =π ,∴ω =2. 个单位后, ) , )为偶函数,

把函数 f(x)=sin(2x+φ )图象向右平移

所得图象对应的函数解析式为 y=sin=sin(2x+φ ﹣

由于所得函数的图象关于 y 轴对称,故 y=sin(2x+φ ﹣ ∴φ ﹣ =kπ + ,k∈z,即 φ =kπ + ,可得φ = .

再结合,|φ |< 故选:C.

,∴f(x)=sin(2x+

)=cos(2x﹣

) ,

点评: 本题主要考查诱导公式的应用,利用了 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,属于基础 题.

8.函数 f(x)=loga(6﹣ax)在上为减函数,则 a 的取值范围是(



A. (0,1) B. (1,3) C. (1,3] D. 上为减函数,结合底数的范围,可得内函 数为减函数,则外函数必为增函数,再由真数必为正,可得 a 的取值范围. 解答: 解:若函数 f(x)=loga(6﹣ax)在上为减函数, 则 解得 a∈(1,3) 故选 B 点评: 本题考查的知识点是复合函数的单调性,其中根据已知分析出内函数为减函数,则外 函数必为增函数,是解答的关键.

9.若不等式

对于一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是(



A. 2<a<3 B. 1<a<2 C. 1<a<3 D. 1<a<4

考点: 不等关系与不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 不等式 用基本不等式可得 解答: 解:∵不等式 . ∵ ≥2,当且仅当|x|=1 时取等号. 对于一切非零实数 x 均成立?|a﹣2|+1< .再利用绝对值不等式的解法即可得出. 对于一切非零实数 x 均成立,∴|a﹣2|+1< . ,利

∴|a﹣2|+1<2,即|a﹣2|<1, ∴﹣1<a﹣2<1,解得 1<a<3. ∴实数 a 的取值范围是(1,3) . 故选 C. 点评: 正确把问题等价转化和利用基本不等式、解绝对值不等式等是解题的关键.

10.已知函数 f(x)+1=

,当 x∈时,f(x)=x.若在区间 x∈(﹣1,1]内,g(x) )

=f(x)﹣mx﹣m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是(

A. (0, ] B. 内,g(x)=f(x)﹣mx﹣m 有两个零点, 转化为 m= 有 2 个解,令 k(x)= ,作出图象,运用图象的交点判断零点个数,

得出参变量 m 的取值范围. 解答: 解:∵f(x)+1= ∴数 f(x)= ﹣1, ,

∵当 x∈时,f(x)=x. ∴当 x∈时,f(x)= ∵∴f(x)=m(x+1)有 2 个解 即 m= 有 2 个解 ﹣1= ﹣1,

令 k(x)=



则 k(x)=

k(x)图象如下:

k(1)= , ∴k(x)= ,与 y=m 有 2 个交点时,0

∴g(x)=f(x)﹣mx﹣m 有两个零点,则实数 m 的取值范围为: (0, ], 故选:A 点评: 本题综合考察了函数的图象的交点,函数的零点,方程的根的关系,考察了数形结合 的思想.

二、填空题(共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) 11.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ,f(3)= 4 .

考点: 函数的值.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 由分段函数的性质得 f(3)=f(1)=f(﹣1)=log216=4. 解答: 解:∵定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ∴f(3)=f(1)=f(﹣1)=log216=4. 故答案为:4. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. ,

12.已知 z=x﹣2y,其中 x,y 满足不等式组

,则 z 的最小值为 ﹣4 .

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由 x,y 满足不等式组 取得最小值. 解答: 解:由 x,y 满足不等式组 ,画出可行域. ,画出可行域.可知:当直线 z=x﹣2y 经过点 B 时,z

当直线 z=x﹣2y 经过点 B(0,2)时,z 取得最小值﹣4. 故答案为:﹣4.

点评: 本题考查了线性规划的有关知识,考查了数形结合的思想方法,属于基础题.

13.若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=486,则 log3a1+log3a2+?+log3a20= 50 .

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 先根据等比中项的性质可知 a10a11=a9a12,进而根据 a10a11+a9a12=486,求得 a10a11 的值, 最后根据等比数列的性质求得答案. 解答: 解:∵a10a11=a9a12, ∴a10a11+a9a12=2a10a11=486 ∴a10a11=486 ∴log3a1+log3a2+?log3a20=log3(a10a11) =10log3(a10a11)=50. 故答案为:50. 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.解题的关键是灵活利用了等比中项的性质.
10

14.若 sin(

﹣a)= ,则 cos(

+2a)等于 ﹣



考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 将已知等式中的角 ﹣α 变形为 ﹣( +α ) ,利用诱导公式化简求出 cos( +

α )的值,然后把所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后,将 cos( 可求出值. 解答: 解:∵sin( ∴cos( ﹣α )=sin=cos( +α )=2cos (
2

+α )的值代入即

+α )= , +α )﹣1=2×( ) ﹣1=﹣ .
2

+2α )=cos2(

故答案为:﹣ 点评: 此题考查了二倍角的余弦函数公式,以及诱导公式,熟练掌握公式,灵活变换角度是 解本题的关键.

15.若正数 x,y 满足 x+4y﹣xy=0,则 x+2y 的最小值为



考点: 基本不等式.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 正数 x,y 满足 x+4y﹣xy=0,可得 x+2y=x+ = , (x>4) .因此

+6,利用基本不等式的性质即可得出.

解答: 解:∵正数 x,y 满足 x+4y﹣xy=0, ∴ ∴x+2y=x+ y= ,解得 x>4. = +6 +6= +6,当且仅当 x=4+2 ,

+1 时取等号. , .

∴x+2y 的最小值为 故答案为:

点评: 本题考查了基本不等式的性质,属于基础题.

16.在矩形 ABCD 中,AB=1,BC= 则

,点 Q 在 BC 边上,且 BQ=

,点 P 在矩形内(含边界) ,

的最大值为 ? 2 ?? .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由于| 为向量 果. 解答: 解:由| 得 ∴要使 最大,只需向量 |= = 在 上的射影最大, , , 在 |为定值,所以只需 cos∠PAQ 最大,于是将 的最大值问题转化 的值即得结

上的射影的最大值问题,从而确定 P 点的位置,再计算此时

显然,当点 P 与 C 重合时,射影最大. 过 C 作 CE⊥AQ,交 AQ 的延长线于 E,如右图所示, 由 知 Rt△ABQ≌Rt△CEQ, ,及∠AQB=∠CQE,

∴|CE|=|AB|=1. 又矩形对角线长 ∴ 从而 的最大值为 , =|AC|cos∠PAE=|AE|= . ,

故答案为 2.

点评: 本题考查了数量积的定义及几何意义,化归思想的运用,关键是抓住“变”与“不变” , 将 进行转化,并充分利用图形的几何特征才得以顺利求解.

17.已知函数 f(x)=2mx ﹣2(4﹣m)x+1,g(x)=mx,若对于任一实数 x,f(x)与 g(x) 至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是 (0,8) .

2

考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题. 分析: 当 m≤0 时,显然不成立;当 m>0 时,因为 f(0)=1>0,所以仅对对称轴进行讨论 即可. 解答: 解:当 m≤0 时,显然不成立 当 m>0 时,因 f(0)=1>0 当 即 0<m≤4 时,函数 f(x)与 x 轴的交点都在 y 轴右侧,结论显然成立;

当 即 4<m<8 综上可得 0<m<8

且 m>0 时即 m>4,只要△=4(4﹣m) ﹣8m=4(m﹣8) (m﹣2)<0 即可,

2

故答案为: (0,8) 点评: 本题主要考查对一元二次函数图象的理解.对于一元二次不等式,一定要注意其开口 方向、对称轴和判别式.

三、解答题(共 5 小题,满分 72 分) 18.已知函数 f(x)=cosx? (sinx+cosx) (I)求 f(x)的最小正周期; (II)设 ,判断函数 g(x)的奇偶性,并加以证明.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的奇偶性. 专题: 计算题. 分析: (I)利用二倍角与两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式,然 后直接求 f(x)的最小正周期; (II)求出 的表达式,通过函数的奇偶性的定义,直接证明即可.
2

解答: 解: (I)由 f(x)=cosxsinx+cos x= sin2x+ cos2x+ = .

∴f(x)的最小正周期是π . (II)因为 = =g(x) , ∴函数 g(x)是偶函数. 点评: 本题考查三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的奇偶 性的判断,考查计算能力. = ,

19.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,且 acosC+ (1)求角 A 的值; (2)若 a=2,求△ABC 面积的最大值.

asinC=b+c,

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)已知等式利用正弦定理化简,整理并利用两角和与差的正弦函数公式变形,根 据 sinC 不为 0 变形后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,利用特殊角的 三角函数值求出 A 的度数即可; (2)由余弦定理列出关系式,把 a,cosA 的值代入并利用基本不等式求出 bc 的最大值,进 而确定出三角形面积的最大值. 解答: 解: (1)已知等式 acosC+ 利用正弦定理化简得:sinAcosC+ +sinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC, asinC=b+c, sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C)

整理得:

sinAsinC=cosAsinC+sinC, sinA﹣cosA=1,即 sin(A﹣ ∈(﹣ ;
2 2 2

∵sinC≠0,∴

)= ,

∵A∈(0,π ) ,∴A﹣ ∴A﹣ = ,即 A=



) ,

(2)由余弦定理得:a =4=b +c ﹣2bccos ∴bc≤4, ∴S△ABC= bcsinA= bc≤

,即 4+bc=b +c ≥2bc,

2

2

,当且仅当 b=c=2 时取等号, .

则△ABC 面积的最大值为

点评: 此题考查了正弦定理,余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本 题的关键.

20.在数列{an}中,a2+1 是 a1 与 a3 的等差中项,设 足 .

,且满

(1)求数列{an}的通项公式; (2)记数列{an}的前 n 项的和为 Sn,若数列{bn}满足 bn=anlog2(sn+2) ,试求数列{bn}的前 n 项的和 Tn.

考点: 数列的求和;等比数列的通项公式;等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)通过向量平行,判断数列是等比数列,然后求数列{an}的通项公式; (2)求出{an}的前 n 项的和为 Sn,然后求出 bn=anlog2(sn+2)的表达式,利用错位相减法求 数列{bn}的前 n 项的和 Tn. 解答: 解: (1)因为 所以 an+1=2an,数列{an}是等比数列,公比为 2, 又 a2+1 是 a1 与 a3 的等差中项, 2(a2+1)=a1+a3,即 2(2a1+1)=5a1, 解得 a1=2, , ,

数列{an}的通项公式 an=2?2

n﹣1

=2 ; =2 ﹣2,
n+1 n n+1

n

(2)数列{an}的前 n 项的和为 Sn=
n

数列{bn}满足 bn=anlog2(sn+2)=2 log2(2 ﹣2+2)=2 ? (n+1) , Tn=2×2 +3×2 +4×2 +?+(n+1) ?2 ?①, ①×2 得 2Tn=2×2 +3×2 +4×2 +?+(n+1) ?2 ?②, ①﹣②得,﹣Tn=2×2 +2 +2 +?+2 ﹣(n+1) ?2 =2﹣(n+1) ?2 + =2﹣(n+1) ?2 +2 ﹣2 =﹣n?2 , 数列{bn}的前 n 项的和 Tn=n?2 . 点评: 本题考查数列的判断,通项公式的求法,错位相减法求和的方法,考查计算能力.
n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 1 2 3 n n+1 2 3 4 n+1 1 2 3 n

21.已知函数 f(x)=|x﹣a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

考点: 绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 专题: 综合题;压轴题;转化思想. 分析: (1)不等式 f(x)≤3 就是|x﹣a|≤3,求出它的解集,与{x|﹣1≤x≤5}相同,求 实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,根据 f(x)+f(x+5) 的最小值≥m,可求实数 m 的取值范围. 解答: 解: (1)由 f(x)≤3 得|x﹣a|≤3, 解得 a﹣3≤x≤a+3. 又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣1≤x≤5}, 所以 解得 a=2. (6 分)

(2)当 a=2 时,f(x)=|x﹣2|.

设 g(x)=f(x)+f(x+5) ,

于是

所以当 x<﹣3 时,g(x)>5; 当﹣3≤x≤2 时,g(x)=5; 当 x>2 时,g(x)>5. 综上可得,g(x)的最小值为 5. 从而,若 f(x)+f(x+5)≥m 即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为(﹣∞,5]. (12 分) 点评: 本题考查函数恒成立问题,绝对值不等式的解法,考查转化思想,是中档题,

22.设函数 f(x)=a ﹣(k﹣1)a (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)求 k 值; (2)若 f(1)<0,试判断函数单调性并求使不等式 f(x +tx)+f(4﹣x)<0 恒成立的 t 的取值范围; (3)若 f(1)= ,且 g(x)=a +a
2x ﹣2x 2

x

﹣x

﹣2mf(x)在 本题主要考查指数型复合函数的性质以

及应用,函数的奇偶性的应用,以及函数的恒成立问题,属于中档题.


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