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高中数学竞赛专题讲座之二:数列


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高中数学竞赛专题讲座之二:数列
一、选择题部分 1. 2006 年江苏)已知数列 {an } 的通项公式 an = ( 年江苏) A. a1 B. a2

2 3 2. 2006 安徽初赛)正数列满足 a 1 = 1 , a2 = 10 , an an 2 = 10an t ( n ≥ 3) ,则 lg (a100 ) = ( ( 安徽初赛)

2 ,则 {an } 的最大项是(B) n 4n + 5 C. a3 D. a4
2



A.98 B.99 C.100 D.101 3. 2006 吉林预赛)对于一个有 n 项的数列 P=(p1,p2,…,pn),P 的“蔡查罗和”定义为 s1、s2、…sn、的算术平均 ( 吉林预赛) 值,其中 sk=p1+p2+…pk(1≤k≤n),若数列(p1,p2,…,p2006)的“蔡查罗和”为 2007,那么数列(1,p1,p2,…,p2006) 的“蔡查罗和”为 (A) A.2007 B.2008 C.2006 D.1004 4.(集训试题 集训试题)已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn。则满足不等 集训试题 式|Sn-n-6|< A.5

1 的最小整数 n 是 125
B.6 C.7 D.8





解:由递推式得:3(an+1-1)=-(an-1),则{an-1}是以 8 为首项,公比为-

1 的等比数列, 3

1 8[1 ( ) n ] 3 =6-6×(- 1 )n,∴|S -n-6|=6×( 1 )n< 1 ,得:3n-1>250,∴满足条件的 ∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)= n 1 3 3 125 1+ 3 最小整数 n=7,故选 C。
5.(集训试题 集训试题)给定数列{xn},x1=1,且 xn+1= 集训试题 A.1 B.-1

3xn + 1 3 xn

2005

,则

∑x
n =1

n

= D.-2+ 3





C.2+ 3

解:xn+1=

xn + 1

3 xn 3

3 3 ,令 x =tanα ,∴x =tan(α + π ), ∴x =x , x =1,x =2+ 3 , x =-2- 3 , x =-1, x =-2+ 3 , n n n+1 n n+6 n 1 2 3 4 5

6

2005

x6=2- 3 , x7=1,……,∴有

∑x
n =1

n

= x1 = 1 。故选 A。

{b 6. 2006 陕西赛区预赛)已知数列 {an }、 n } 的前 n 项和分别为 An , Bn 记 Cn = an Bn + bn An an bn ( n > 1) 则数列 ( 陕西赛区预赛)
{ Cn }的前 10 项和为 A. A10 + B10 B. (C)

A10 + B10 2

C. A10 B10

D.

A10 B10

7. 2006 年浙江省预赛) f (n) 为正整数 n 十进制) ( 年浙江省预赛) 设 ( 的各数位上的数字的平方之和, 比如 f (123) = 12 + 2 2 + 3 2 = 14 。 记 f 1 ( n) = f ( n) , f k +1 ( n) = f ( f k ( n)) , k = 1,2,3, …, f 2006 (2006) = 则 A.20 B.4 C.42 解:将 f ( 2006) = 40 记做 2006 → 40 ,于是有 从 16 开始, f n 是周期为 8 的周期数列. 故 f 2006 ( 2006) = f 2004 (16) = f 4 + 250×8 (16) = f 4 (16) = 145. 正确答案为 D。
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(D)

D.145

2006 → 40 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → L

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二、填空题部分 1.数列 {an } 的各项为正数,其前 n 项和 S n 满足 S n =

1 1 (a n + ) ,则 a n =___ n n 1 ___. an 2 2. 200 6 天津)已知 a, b, c, d 都是偶数,且 0 < a < b < c < d , d a = 90 ,若 a, b, c 成等差数列, b, c, d 成等比数 天津) ( 列,则 a + b + c + d 的值等于 194 .
3. 2006 吉林预赛)如图所示,在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列 1,3, ( 吉林预赛) 6,10,…,记这个数列前 n 项和为 S(n),则 lim

n3 =________. n → +∞ S ( n )

1 1 1 2 1 1

1 4. 2006 年江苏)等比数列 {an } 的首项为 a1 = 2020 ,公比 q = . 1 1 4 3 6 3 4 1 1 年江苏) ( 2 1 5 10 10 5 1 设 f ( n ) 表示这个数列的前 n 项的积,则当 n = 12 时, N N N M O O O

f ( n ) 有最大值.

5.在 x 轴的正方向上,从左向右依次取点列

{A }, j = 1,2,L ,以及在第一象限内的抛物线 y
j

2

=

取点列 {Bk }, k = 1,2,L ,使 Ak 1 Bk Ak ( k = 1,2,L )都是等边三角形,其中 A0 是坐标原点,则第 2005 个等边三

3 x 上从左向右依次 2

角形的边长是 2005. 【 解 】 设 第 n 个 等 边 三 角 形 的 边 长 为 a n 。 则 第 n 个 等 边 三 角 形 的 在 抛 物 线 上 的 顶 点 Bn 的 坐 标 为 : ( a1 + a 2 + L + a n 1 +

an , 2

a 3 。 a1 + a 2 + L + a n 1 + n ) 2 2
2 an

再 从 第 n 个 等 边 三 角 形 上 , 我 们 可 得 Bn 的 纵 坐 标 为

3 1 an = an 。 从 而 有 2 2

2

3 an = 2

a 1 2 a 3 a1 + a 2 + L + a n 1 + n ,即有 a n = a1 + a 2 + L + a n 1 + n 。 2 2 2 2 an 1 2 + an 2 2
(1)

由此可得 a1 + a 2 + L + a n = 以及

a1 + a 2 + L + a n 1 =

(1)-(2)即得 变形可得

a n 1 1 2 + a n 1 (2) 2 2 1 1 a n = (a n a n 1 ) + ( a n a n 1 )(a n + a n 1 ) . 2 2 (a n a n 1 1)(a n + a n 1 ) = 0 .
1 1 a1 = a12 ,而 a1 ≠ 0 ,故 a1 = 1 。 2 2 2005!+1 . 2005!

由于 a n + a n 1 ≠ 0 ,所以 a n a n 1 = 1 。在(1)式中取 n = 1,可得 因此第 2005 个等边三角形的边长为 a 2005 = 2005 。

6.(2005 年浙江 年浙江)已知数列 xn ,满足 ( n + 1) xn +1 = xn + n , 且 x1 = 2 , 则 x2005 = 【解】 :由 (n + 1) x n +1 = x n + n ,推出 x n +1 1 =

xn 1 。因此有 n +1 x 1 x n 1 1 xn2 1 x1 1 1 x n +1 1 = n = = =L= = . n + 1 (n + 1)n (n + 1)n(n 1) (n + 1)n(n 1) L 2 (n + 1)! 2005!+1 1 即有 x n +1 = + 1 。 从而可得 x 2005 = 。 (n + 1)! 2005!
7.(2005 全国 全国)记集合 T = {0,1,2,3,4,5,6}, M = { 排列,则第 2005 个数是

a1 a 2 a3 a 4 + + + | ai ∈ T , i = 1,2,3,4}, 将 M 中的元素按从大到小的顺序 7 72 73 7 4 ( )

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5 5 6 3 5 5 6 2 B. + 2 + 3 + 4 + 2 + 3 + 4 7 7 7 7 7 7 7 7 1 1 0 4 1 1 0 3 C. + 2 + 3 + 4 D. + 2 + 3 + 4 7 7 7 7 7 7 7 7 4 解:用 [ a1 a 2 K a k ] p 表示 k 位 p 进制数,将集合 M 中的每个数乘以 7 ,得
A.

M ′ = {a1 73 + a2 7 2 + a3 7 + a4 | ai ∈ T , i = 1, 2,3, 4} = {[a1a2 a3 a4 ]7 | ai ∈ T , i = 1, 2,3, 4}.

M ′ 中的最大数为

[6666]7 = [2400]10 。在十进制数中,从 2400 起从大到小顺序排列的
第 2005 个数是 2400-2004=396。而 [396]10 = [1104]7 将此数除以 7 ,便得 M 中的数
4

1 1 0 4 + 2 + 3 + 4 . 故选 C. 7 7 7 7 8. (2004 全国)已知数列 a0 , a1 , a2 ,..., an ,..., 满足关系式 (3 an +1 )(6 + an ) = 18, 且a0 = 3 , 全国) . (


∑a
i=o

n

1
i

的值是_________________________。

解:设 bn =

1 1 1 , n = 0,1, 2,..., 则(3 )(6 + ) = 18, an bn +1 bn 1 1 1 即 3bn +1 6bn 1 = 0. ∴ bn +1 = 2bn + , bn +1 + = 2(bn + ) 3 3 3
bn +
n

故数列 {bn + } 是公比为

1 3

2 的等比数列,

1 1 1 1 1 1 = 2n (b0 + ) = 2n ( + ) = × 2 n +1 ∴ bn = (2n +1 1) 。 3 3 a0 3 3 3

n n 1 1 1 1 2(2n +1 1) = ∑ bi = ∑ (2i +1 1) = (n + 1) = ( 2n + 2 n 3) 。 ∑ a i =0 i =0 3 3 2 1 i=o i 3

9.2005 四川) r , s, t 为整数, ( 四川) 设 集合 {a | a = 2 + 2 + 2 ,0 ≤ t < s < r} 中的数由小到大组成数列 {a n } : ,11,13,14,L , 7
r s t

则 a 36 =

131



2 解:∵ r , s, t 为整数且 0 ≤ t < s < r ,∴ r 最小取 2,此时符合条件的数有 C 2 = 1

r = 3 , s, t 可在 0,1,2 中取,符合条件有的数有 C 32 = 3
2 同理, r = 4 时,符合条件有的数有 C 4 = 6

r = 5 时,符合条件有的数有 C 52 = 10 r = 6 时,符合条件有的数有 C 62 = 15
2 r = 7 时,符合条件有的数有 C 7 = 21

因此, a 36 是 r = 7 中的最小值,即 a 36 = 2 + 2 + 2 = 131
0 1 7

三、解答题部分 1. (200 6 天津)已知数列 {a n } 满足 a1 = p , a 2 = p + 1 , a n + 2 2a n +1 + a n = n 20 ,其中 p 是给定的实数, n 是 天津) . ( 正整数,试求 n 的值,使得 a n 的值最小. 【解】令 bn = a n +1 a n , n = 1,2, L 由题设 a n + 2 2a n +1 + a n = n 20 ,
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有 bn +1 bn = n 20 ,且 b1 = 1 ………5 分 即 bn b1 = [1 + 2 + L + ( n 1)] 2n( n 1) .

于是


i =1

n 1

(bi +1 bi ) =

∑ (i 20) ,
i =1

n 1

(n 1)(n 40) + 1. (※) …………………10 分 2 又 a1 = p , a 2 = p + 1 ,则 a 3 = 2a 2 a1 + 1 20 = p 17 < a1 < a 2 .
∴ bn = ∴当 a n 的值最小时,应有 n ≥ 3 , a n ≤ a n +1 ,且 a n ≤ a n 1 . 即 bn = a n +1 a n ≥ 0 , bn 1 = a n a n 1 ≤ 0 . …………………… 15 分

2. 2006 陕西赛区预赛)(20 分)已知 sin(2α + β ) = 3sin β ,设 tan α = x, tan β = y ,记 y = f ( x) . ( 陕西赛区预赛) (1)求 f ( x ) 的表达式;

(n 1)(n 40) ≥ 2 n ≥ 40 * 由(※)式,得 由于 n ≥ 3 ,且 n ∈ N ,解得 , (n 2)(n 41) ≤ 2 n ≤ 40 ∴当 n = 40 时, a 40 的值最小. …………………………………………… 20 分

f ( x) =

x 1 + 2x 2

(2)定义正数数列 {an }; a1 =

1 2 2 n2 , an +1 = 2an f (an )(n ∈ N * ) 。试求数列 {an } 的通项公式。 a n = n 1 . 2 +1 2

3. 2006 安徽初赛)已知数列 {an } ( n ≥ 0 ) 满足 a0 = 0 ,对于所有 n ∈ N + ,有 an +1 = 2 30an ( an + 1) + 11an + 5 ,求 an 的通项 ( 安徽初赛) 公式. 4. 2006 吉林预赛) 吉林预赛) 设{an}为一个实数数列, 1=t, n+1=4an(1-an)。 a a 求有多少个不同的实数 t 使得 a2006=0. (
*

( 22004+1)

5. 2006 年南昌市)将等差数列{ a n }: an = 4n 1 ( n ∈ N ) 中所有能被 3 或 5 整除的数删去后,剩下的数自小到大排成 ( 年南昌市) 一个数列{ bn },求 b2006 的值. 解:由于 a n +15 a n = 60 ,故若 a n 是 3 或 5 的倍数,当且仅当 a n +15 是 3 或 5 的倍数. 现将数轴正向分成一系列长为 60 的区间段:(0,+∞)=(0,60)∪(60,120)∪(120,180)∪…, 注意第一个区间段中含有{ a n }的项 15 个,即 3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{ bn }的项 8 个, 为: b1 = 7 , b2 = 11 , b3 = 19 ,

b4 = 23 , b5 = 31 , b6 = 43 , b7 = 47 , b8 = 59 , 于是每个区间段中恰有 15 个{ a n }的项,8 个{ bn }的项, 且有 b8 k + r br = 60k ,k∈N,1≤r≤8. 由于 2006=8×250+6,而 b6 = 43 所以 b2006 = 60 × 250 + b6 = 60 × 250 + 43 = 15043 . ,
6. 2004 湖南)设数列 {a n } 满足条件: a1 = 1, a 2 = 2 ,且 a n + 2 = a n +1 + a n ( n = 1, 2, 3, L ) ( 湖南) 求证:对于任何正整数 n,都有
n

a n +1 ≥ 1 +

1
n

an

证明:令 a 0 = 1 ,则有 a k +1 = a k + a k 1 ,且

1=

ak a + k 1 (k = 1, 2, L) , 于是 n = a k +1 a k +1



ak + k =1 a k +1

n

∑a
k =1

n

a k 1
k +1

由算

术-几何平均值不等式,可得 1 ≥ n

a a a a a1 a 2 L n + n 0 1 L n 1 a 2 a3 a n +1 a 2 a3 a n +1

注意到

a 0 = a1 = 1 ,可知 1 ≥

1
n

a n+1

+

1
n

,即

n

a n a n+1

a n +1 ≥ 1 +

1
n

an

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a n + 1, 当 n 为偶数时, 2 7. (2006 年上海) 数列 {an } 定义如下: a1 = 1 ,且当 n ≥ 2 时, an = 年上海) . ( 1 , 当 n 为奇数时. an 1 30 已知 an = ,求正整数 n. 19 解 :由题设易知, an > 0, n =1, 2, L .又由 a1 = 1 ,可得,当 n 为偶数时, an > 1 ;当 n ( > 1) 是奇数时, 1 an = <1. ………………(4 分) an 1 30 30 11 n > 1 ,所以 n 为偶数,于是 a n = 1 = < 1 ,所以, 是奇数. 由 an = 19 19 19 2 2 19 n 19 8 n2 于是依次可得: a n = > 1 , 1 是偶数, a n 2 = 1 = < 1 , 是奇数, 1 11 2 11 11 4 2 4 11 n6 11 3 n6 an2 = > 1 , 是偶数, a n 6 = 1 = < 1, 是奇数, 1 8 4 8 8 8 4 8 8 n 14 8 5 n 14 a n 6 = > 1 , 是偶数, a n 14 = 1 = > 1 , 是偶数, 1 3 8 3 3 16 8 16 5 2 n 14 a n 14 = 1 = < 1 , 是奇数, ……………(9 分) 3 3 32 32 3 n 46 3 1 n 46 a n 14 = > 1 , 是偶数, a n 46 = 1 = < 1 , 是奇数, 1 2 32 2 2 64 32 64 n 110 a n 46 = 2 > 1 , 是偶数, a n 110 = 2 1 = 1 , 1 64 64 128 n 110 所以, = 1 ,解得,n=238. ……………… (14 分) 128
13.(2005 全国 全国)数列 {a n } 满足: a 0 = 1, a n +1 =

, n ∈ N. 2 证明: (1)对任意 n ∈ N , a n 为正整数;(2)对任意 n ∈ N , a n a n +1 1 为完全平方数。
证明: (1)由题设得 a1 = 5, 且 {a n } 严格单调递增.将条件式变形得
2 2 2 2a n +1 7a n = 45a n 36 , 两边平方整理得 a n+1 7 a n a n +1 + a n + 9 = 0
2 2 ∴ a n 7 a n 1 a n + a n 1 + 9 = 0

2 7 a n + 45a n 36





①-②得 ( an +1 an 1 )( an +1 + an 1 7 an ) = 0,Q an +1 > an ,∴ an +1 + an =1 7 an = 0

a n+1 = 7 a n ab 1 .



由③式及 a 0 = 1, a1 = 5 可知,对任意 n ∈ N , a n 为正整数.…………………………10 分 (2)将①两边配方,得 ( a n +1 + a n ) 2 = 9( a n a n +1 1),∴ a n a n +1 1 = ( 由③ an +1 + an = 9an ( an 1 + an ) ≡ ( an + an 1 ) ( mod 3) ∴ an +1 + an ≡ (1)
n

a n +1 a n 2 ) .④ 3

( a1 + a0 ) ≡0(mod3)∴

④式成立.∴ a n a n +1 1 是完全平方数.……………………………………20 分

an +1 + an 为正整数 3

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