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导数 综合题


函数与导数综合题
1.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1 (a ? R) . x

(Ⅰ)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ )当 0 ≤ a ?

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性. 2

r />2. 设函数 f ( x) ? (1 ? x)2 ? 2ln(1 ? x) . (I)求 f ( x ) 的单调区间;

3] (II)当 0<a<2 时,求函数 g ( x) ? f ( x) ? x2 ? ax ?1 在区间 [0, 上的最小值.

3.已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x (a ? R) . 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? x ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 a 的
2

取值范围. 4.已知 f ( x) ? x ? a sin x . (Ⅰ)若 f ( x) 在 (??, ??) 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当常数 a ? 0 时,设 g ( x) ?
f ( x) ? ? 5? ? ,求 g ( x) 在 ? , ? 上的最大值和最小值. x ?6 6 ?

5. 已知函数 f ( x) ? ? 增.

1 4 2 3 x ? x ? ax 2 ? 2 x ? 2 在区间 ?? 1,1? 上单调递减,在区间 ?1,2? 上单调递 4 3

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若关于 x 的方程

f (2 x ) ? m 有三个不同实数解,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)若函数 y ? log2 ? f ( x) ? p?的图象与坐标轴无交点,求实数 p 的取值范围.
6. 已知函数 f ( x) ? 2a ln x ? x (常数 a ? 0) .
2 2

(1)求证:无论 a 为何正数,函数 f ( x ) 的图象恒过点 A(1, ?1) ; (2) 当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程;
2 (3)讨论函数 f ( x ) 在区间 (1, e ) 上零点的个数( e 为自然对数的底数)

第- 1 -页 共 35 页

7.已知三次函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? cx ? a, b, c ? R ? . (Ⅰ)若函数 f ( x ) 过点 (?1, 2) 且在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 ,求函数 f ? x ? 的解 析式; ( Ⅱ ) 在 ( Ⅰ ) 的 条 件 下 , 若 对 于 区 间 ? ?3, 2? 上 任 意 两 个 自 变 量 的 值 x1 , x2 都 有

?

?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? t ,求实数 t 的最小值;
(Ⅲ)当 ?1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 1,试求 a 的最大值,并求 a 取得最大值时 f ? x ? 的表达式.

8.已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在(-∞,0)上是减函数, 在(0,1)上是增函数,函数 f ( x ) 在 R 上有三个零点,且 1 是其中一个零点。 (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求 f (2) 的取值范围; (Ⅲ)设 g ( x) ? x ? 1 ,且 f ( x) ? g ( x) 的解集为(-∞,1) ,求实数 a 的取值范围。

f ? x? ? x ?
9.已知函数 (1) 求函数

a (a ? g ? x ? ? ln x x R) , .
的单调区间;

F ? x? ? f ? x? ? g ? x?

g ? x? ? f ? x ? ? 2e 2 (e 为自然对数的底数)只有一个实数根, 求 a 的值. (2) 若关于 x 的方程 x

10.已知函数 f ( x) ? e x ? kx( x ? R) (1)若 k ? e ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若 k ? 0 且对任意 x ? R , f (| x |) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; 11.已知函数 f ( x) ? ax ? ln x(a ? R) .
2

(1)当 a ?

1 时,求 f ( x ) 在区间 ?1,e? 上的最大值和最小值; 2

(2)如果函数 g ( x) , f 1( x ) , f 2( x) ,在公共定义域 D 上,满足 f 1( x) ? g ( x) ? f 2( x) ,那么 第- 2 -页 共 35 页

就称为 g ( x) 为 f1 ( x), f 2 ( x) 的“活动函数” . 已知函数 f 1( x) ? ( a ? ) x ? 2ax ? (1 ? a ) ln x , f 2( x) ?
2 2

1 2

1 2 x ? 2ax . 2

①若在区间 ?1, ?? ? 上,函数 f ( x ) 是 f 1( x ) , f 2( x) 的“活动函数” ,求 a 的取值范围; ②当 a ?

2 时,求证:在区间 ?1, ?? ? 上,函数 f 1( x ) , f 2( x) 的“活动函数”有无穷多个. 3
4

12.已知 f ( x) ? log 2 (1 ? x ) ?

1 ? mx ( x ? R) 是偶函数。 1 ? x2

(I)求实常数 m 的值,并给出函数 f ( x ) 的单调区间(不要求证明) ; (II)k 为实常数,解关于 x 的不等式: f ( x ? k ) ? f (| 3x ? 1|).

13.已知函数 f ( x) ? ln( ? (I)若 x ?

1 2

1 ax) ? x 2 ? ax. (a为常数, a ? 0) 2

1 是函数 f ( x) 的一个极值点,求 a 的值; 2 1 (II)求证:当 0 ? a ? 2时, f ( x)在[ ,+?)上是增函数; 2 1 2 (III)若对任意的 a ? (1, 2), 总存在 x0 ? [ ,1], 使不等式f ( x0 ) ? m(1 ? a ) 成立,求实数 m 的 .. .. 2
取值范围。 14.设函数 f ( x) ? x ? ae
x ?1



(I)求函数 f ( x ) 单调区间; (II)若 f ( x) ? 0对x ? R 恒成立,求 a 的取值范围;

15、设函数 f ( x) ? (1 ? x) ? 2 ln(1 ? x) 。
2

(Ⅰ)若在定义域内存在

x0

,而使得不等式0能成立,求实数 m 的最小值;
2

f (x ) ? m ? 0

?0, 2? 上恰有两个不同的零点, (Ⅱ) 若函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? x ? a 在区间 求实数 a 的取值范围。

第- 3 -页 共 35 页

16.已知函数 f(x)=

2? x ; x ?1

(1)证明:函数 f(x)在 (?1, ??) 上为减函数; (2)是否存在负数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 3 0 成立,若存在求出 x0 ;若不存在,请说明理由。
x

17.设函数 f ( x) ? x ? a( x ? 1) ln( x ? 1), ( x ? ?1, a ? 0) (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 1 时,若方程 f ( x) ? t 在 [ ?

1 ,1] 上有两个实数解,求实数 t 的取值范围; 2

(Ⅲ)证明:当 m>n>0 时, (1 ? m) n ? (1 ? n) m . 18.已知函数 f ( x) ? ax 3 ? 3x 2 ? 6ax ? 11, g ( x) ? 3x 2 ? 6x ? 12 ,和直线 m : y ? kx ? 9 . 又 f ?(?1) ? 0 . (1)求 a 的值; (2)是否存在 k 的值,使直线 m 既是曲线 y ? f ( x) 的切线,又是 y ? g ( x) 的切线;如果存在,求 出 k 的值;如果不存在,说明理由. (3)如果对于所有 x ? ?2 的 x ,都有 f ( x) ? kx ? 9 ? g ( x) 成立,求 k 的取值范围.

3 2 19、 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d ( x ? R, a ? 0) ,? 2 是 f (x) 的一个零点, f (x) 在 x ? 0 又

处有极值,在区间 (?6,?4) 和 (?2,0) 上是单调的,且在这两个区间上的单调性相反. (I)求

b 的取值范围; a

(II)当 b ? 3a 时,求使 ?y | y ? f ( x),?3 ? x ? 2? ? ?? 3,2?成立的实数 a 的取值范围. 20.已知函数 f ( x) ? ?(2m ? 2) ln x ? mx ? (I)讨论 f ( x ) 的单调性;

m?2 (m ? ?1) . x

? x 2 ? 2 x ? 5 ( x ? 1) ? (II)设 g ( x) ? ? 1 13 .当 m ? 2 时,若对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ? ( x ? 1) ? x? ?2 2

第- 4 -页 共 35 页

,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 k 的最小值. [k , k ? 1] ( k ? N )

21.设函数

f ? x ? ? ax3 ? 3ax, g ( x) ? bx2 ? ln x(a, b ? R) ,已知它们在 x ? 1 处的切线互相平行.

(1)求 b 的值;

? f ( x), x ? 0 2 (2)若函数 F ( x) ? ? ,且方程 F ? x ? ? a 有且仅有四个解,求实数 a 的取值范围. ? g ( x), x ? 0

22. 已知函数 f ( x) ? ax ln x 图像上点 (e, f (e)) 处的切线与直线 y ? 2 x 平行(其中 e ? 2.71828 ? ) g ( x) ? x 2 ? tx ? 2. , (II)求函数 f ( x)在[n, n ? 2](n ? 0) 上的最小值; (III)对一切 x ? ? 0, e? ,??3 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 t 的取值范围。 23.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? a ln x. (Ⅰ )若函数 f ( x)在区间(0,1) 上是单调函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ )当t ? 1时,不等式 f (2t ? 1) ? 2 f (t ) ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围. (I)求函数 f (x) 的解析式;

24. 某企业科研课题组计划投资研发一种新产品,根据分析和预测,能获得 10 万元~1000 万元的 投资收益.企业拟制定方案对课题组进行奖励, 奖励方案为: 奖金 y(单位: 万元)随投资收益 x(单位: 万元)的增加而增加,且奖金不超过 9 万元,同时奖金也不超过投资收益的 20%,并用函数 y= f(x) 模拟这一奖励方案. (Ⅰ)试写出模拟函数 y= f(x)所满足的条件; (Ⅱ)试分析函数模型 y= 4lgx-3 是否符合奖励方案的要求?并说明你的理由. 25. 已知函数 f ( x ) ? ?

? ? x 3 ? x 2 ( x ? 1) ?a ln x( x ? 1)

(Ⅰ)求 f(x)在[-1,e] 为自然对数的底数)上的最大值; (e (Ⅱ)对任意给定的正实数 a,曲线 y= f(x)上是否存在两点 P,Q,使得△POQ 是以 O 为直角顶 点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?

第- 5 -页 共 35 页

26. 设函数f ( x) ? e x ? sin x, g ( x) ? ax, F ( x) ? f ( x) ? g ( x).

(1)若x=0是F ( x)的极值点,求a的值; a 1 (2)当a= 时,若存在x1、x2 ? ? 0, ?? ? 使得f (x1 )=g(x2 ),求x2 -x1的最小值; 3 (3)若x ? ?0,+? ?时,F(x)? F(-x)恒成立,求a的取值范围。

27.已知 f ( x) ? x ln x, g( x) ? ?x 2 ? ax ? 3. (1)求函数 f ( x)在[t, t ? 2](t>0) 上的最小值; (2)对一切 x ? (0, ??),2 f ( x)≥g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x>

1 2 ? 成立. x e ex

第- 6 -页 共 35 页

1.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1 (a ? R) . x

(Ⅰ)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程;

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性. 2 2 解: )当 a = - 1 时, f ( x ) = ln x + x + - 1 , x ? (0, (Ⅰ x
(Ⅱ )当 0 ≤ a ?

).

x + x- 2 (x 所以 f ′ ) = , x ? (0, x2

2

) . ???(求导、定义域各一分) 2 分

(2) 因此 f ′ = 1 . 即曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线斜率为 1. ???? 3 分
又 f (2) = ln 2 + 2 , ???????????????????? 4 分

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 x - y + ln 2 = 0 . ??? 5 分 (Ⅱ )因为 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1, x

(x 所以 f ′ ) =

1 a- 1 ax2 ? x ? 1 ? a - a+ 2 ? ? , x ? (0, x x x2
2

).

???? 7 分

令 g ( x) = ax - x + 1- a , x ? (0, ① a ? 0 时, g ( x) = - x + 1, x ? (0, 当

),
),

(x 当 x ? (0, 1) 时, g ( x) > 0 ,此时 f ′ ) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减;??? 8 分 (x 当 x ? (1, ? ?) 时, g ( x) ? 0 ,此时 f ′ ) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增. ?? 9 分
② 0?a? 当 此时

1 1 2 (x 时,由 f ′ ) ? 0 即 ax ? x ? 1 ? a ? 0 解得 x1 = 1 , x2 = - 1 . 2 a

1 - 1> 1> 0 , a

(x 所以当 x ? (0, 1) 时, g ( x) ? 0 ,此时 f ′ ) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减;?10 分
x ? (1, 1 ? 1) 时, g ( x) ? 0 ,此时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增;??11 分 a

1 x ? ( ? 1, ? ? ) 时, g ( x) ? 0 ,此时 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减. ?12 分 a
综上所述: 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (0, 1) 上单调递减,在 (1, + 第- 7 -页 共 35 页

) 上单调递增;

当0 ? a ? 调递减.

1 1 1 - 1) 上单调递增;在 ( - 1, + 时,函数 f ( x ) 在 (0, 1) 上单调递减,在 (1, 2 a a
??????????????

) 上单

2. 设函数 f ( x) ? (1 ? x)2 ? 2ln(1 ? x) . (I)求 f ( x ) 的单调区间;

3] (II)当 0<a<2 时,求函数 g ( x) ? f ( x) ? x2 ? ax ?1 在区间 [0, 上的最小值.
解: (I)定义域为 (?1, ??) .

1 2 x( x ? 2) ? . x ?1 x ?1 2 x( x ? 2) ? 0 ,所以 x ? ?2 或 x ? 0 . 令 f ?( x) ? 0 ,则 x ?1 f ?( x) ? 2(1 ? x) ?
因为定义域为 (?1, ??) ,所以 x ? 0 . 令 f ?( x) ? 0 ,则

2 x( x ? 2) ? 0 ,所以 ?2 ? x ? 0 . x ?1

因为定义域为 (?1, ??) ,所以 ?1 ? x ? 0 . 所以函数的单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (?1, 0) . (II) g ( x) ? (2 ? a) x ? 2ln(1 ? x) ( x ? ?1 ) . ?????7 分

2 (2 ? a) x ? a ? . 1? x 1? x a ? 0. 因为 0<a<2,所以 2 ? a ? 0 , 2?a a 令 g ?( x) ? 0 可得 x ? . 2?a a a ) 上为减函数,在 ( , ??) 上为增函数. 所以函数 g ( x) 在 (0, 2?a 2?a a 3 ? 3 ,即 0 ? a ? 时, ①当 0 ? 2?a 2 a a ) 上为减函数,在 ( ,3) 上为增函数. 3] 在区间 [0, 上, g ( x) 在 (0, 2?a 2?a a 2 ) ? a ? 2 ln 所以 g ( x) min ? g ( . 2?a 2?a a 3 ? 3 ,即 ? a ? 2 时, g ( x) 在区间 (0, 上为减函数. 3) ②当 2?a 2 g ?( x) ? (2 ? a) x ?
所以 g ( x)min ? g (3) ? 6 ? 3a ? 2ln 4 .

第- 8 -页 共 35 页

综上所述,当 0 ? a ? 当

3 2 时, g ( x) min ? a ? 2 ln ; 2 2?a
???14 分

3 ? a ? 2 时, g ( x)min ? 6 ? 3a ? 2ln 4 . 2
3.已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x (a ? R) . 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? x 2 ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 a 的 取值范围. 解: f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ?

2 ( x ? 0) . x
2 . 3

??????2 分

(Ⅰ) f ?(1) ? f ?(3) ,解得 a ? (Ⅱ) f ?( x) ?

??????3 分

(ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) . x

??????5 分

①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ? 1 ? 0 , 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) ,单调递减区间是 (2, ??) . ②当 0 ? a ? ??????6 分

1 1 时, ? 2 , a 2 1 a 1 a

在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 (2, ) . ????7 分 ③当 a ? ④当 a ?

1 a

1 a

1 ( x ? 2) 2 时, f ?( x) ? , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ??) . ???8 分 2 2x 1 1 时, 0 ? ? 2 , 2 a 1 a 1 a

在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) . (Ⅲ)由已知,在 (0, 2] 上有 f ( x)max ? g ( x)max . 由已知, g ( x)max ? 0 ,由(Ⅱ)可知, 第- 9 -页 共 35 页

1 a

1 a

???9 分

??????10 分

①当 a ?

1 时, f ( x ) 在 (0, 2] 上单调递增, 2

故 f ( x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 , 所以, ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1,故 ln 2 ? 1 ? a ? ②当 a ?

1 . ?????11 分 2

1 1 1 时, f ( x ) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, 2 a a

故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ? 由a ?

1 a

1 ? 2 ln a . 2a

1 1 1 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 , 2 ln a ? ?2 , ?2 ln a ? 2 , 2 2 e
??????13 分

所以, ?2 ? 2 ln a ? 0 , f ( x)max ? 0 , 综上所述, a ? ln 2 ? 1. 4.已知 f ( x) ? x ? a sin x . (Ⅰ)若 f ( x) 在 (??, ??) 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当常数 a ? 0 时,设 g ( x) ?

f ( x) ? ? 5? ? ,求 g ( x) 在 ? , ? 上的最大值和最小值. x ?6 6 ?

解:(Ⅰ)∵ f ( x) 在 (??,? ?) 上为增函数, ∴ f ?( x) ? 1 ? a cos x ? 0 对 x ? (??,? ?) 恒成立.
1] 令 t ? cos x ,则 1? at ? 0 对 t ? [?1, 恒成立,

??2 分

∴?

? 1 ? a ? (?1) ? 0 ,解得 ?1 ? a ? 1, ?1 ? a ?1 ? 0

1] ∴实数 a 的取值范围是 [ ?1, .

????????6 分

(Ⅱ)当 a ? 0 时, g ( x) ?

f ( x) a sin x a( x cos x ? sin x) ,∴ g ?( x) ? ,???????8 分 ? 1? x x x2

记 h( x) ? x cos x ? sin x,x ? (0,? ) ,则 h?( x) ? ? x sin x ? 0 对 x ? (0,? ) 恒成立, ∴ h ( x ) 在 x ? (0,? ) 上是减函数,∴ h( x) ? h(0) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,
f ( x) ? ? 5? ? 在 ? 0,? ? 上是减函数,得 g ( x) 在 ? , ? 上为减函数. x ?6 6 ? ? 3a 5? 3a ∴当 x ? 时, g ( x) 取得最大值 1 ? ;当 x ? 时, g ( x) 取得最小值 1 ? . 6 ? 6 5?

∴当 a ? 0 时, g ( x) ?

5. 已知函数 f ( x) ? ? 增.

1 4 2 3 x ? x ? ax 2 ? 2 x ? 2 在区间 ?? 1,1?上单调递减,在区间 ?1,2?上单调递 4 3

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若关于 x 的方程

f (2 x ) ? m 有三个不同实数解,求实数 m 的取值范围;
第- 10 -页 共 35 页

(Ⅲ)若函数 y ? log2 解: (Ⅰ)∵函数

? f ( x) ? p?的图象与坐标轴无交点,求实数 p 的取值范围.

f (x) 在区间 ?? 1,1?上单调递减,在区间 ?1,2?上单调递增,

∴x

? 1 为其极小值点, f ?(1) ? 0 , a ?

1 2

????? 3 分

(Ⅱ)由(1)得

1 2 1 f ( x) ? ? x 4 ? x 3 ? x 2 ? 2 x ? 2 4 3 2

f ?( x) ? ?x3 ? 2x 2 ? x ? 2 ? ??x ? 1??x ? 2??x ? 1?
可得函数

f (x) 的极大值为 f (?1) ? ?

37 5 8 , f (2) ? ? ,极小值为 f (1) ? ? 12 12 3

∵关于 x 的方程 在t ?

f (2 x ) ? m 有三个不同实数解,令 2 x ? t (t ? 0) ,即关于 t 的方程 f (t ) ? m

?0,???上有三个不同实数解,即 y ? f (t ) 的图象与直线 y ? m 在 t ? ?0,??? 上有三个不
f (t ) 的图像,观察可得 ?

同的交点,画出 y ?

37 8 ?m?? 12 3

综合①②得

5 17 ? p? 12 12

?????

6. 已知函数 f ( x) ? 2a ln x ? x (常数 a ? 0) .
2 2

(1)求证:无论 a 为何正数,函数 f ( x ) 的图象恒过点 A(1, ?1) ; (2) 当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (3)讨论函数 f ( x ) 在区间 (1, e2 ) 上零点的个数( e 为自然对数的底数) 解:(1)∵ f (1) ? 2a2 ln1 ? 1 ? 0 ? 1 ? ?1 ∴无论 a 为何正数,函数 f ( x ) 的图象恒过点 A(1, ?1) .
2 (2)当 a ? 1 时, f ( x) ? 2ln x ? x ,

2 ? 2x . x ? f ?(1) ? 0 . 又? f (1) ? ?1 , ∴曲线 y ? f ( x) 在点 x ? 1 处的切线方程为 y ? 1 ? 0 . ? f ?( x) ?
(3) f ( x) ? 2a ln x ? x ,所以
2 2

????3 分 ????4 分

f ?( x) ?

2a 2 2a 2 ? 2 x 2 ? 2x ? x x
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?2( x ? a )( x ? a ) . x 因为 x ? 0 , a ? 0 , 于是当 0 ? x ? a 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 . ?
所以 f ( x ) 在 ? 0, a ? 上是增函数,在 ? a, ?? ? 上是减函数. 所以, f ( x)max ? f (a) ? a2 (2ln a ?1). 讨论函数 f ( x ) 的零点情况如下.

???????5 分 ????6 分 ??7 分 ??8 分

①当 a 2 (2 ln a ? 1) ? 0,即 0 ? a ? e 时,函数 f ( x ) 无零点,在 (1, e2 ) 上也无零点;②当

a2 (2ln a ?1) ? 0 ,即 a ? e 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 内有唯一零点 a ,
而 1? a ? e ? e ,
2

∴ f ( x ) 在 (1, e2 ) 内有一个零点; ③当 a (2ln a ?1) ? 0 ,即 a ?
2

?10 分

e 时, 2 由于 f (1) ? ?1 ? 0 , f (a) ? a (2ln a ?1) ? 0 , f (e2 ) ? 2a2 ln e2 ? e4 ? 4a2 ? e4 ? (2a ? e2 )(2a ? e2 ) ,
e2 e2 ? e2 , f (e2 ) ? 0 ,由单调性可知, 时, 1 ? e ? a ? 2 2 2 2 函数 f ( x ) 在 (1, a ) 内有唯一零点 x1 、在 (a, e ) 内有唯一零点 x2 满足, f ( x ) 在 (1, e ) 内有两
当 2a ? e ? 0 时,即 e ? a ?
2

个零点;?11 分

1 e2 ? e 时, f (e2 ) ? 0 ,而且 f ( e ) ? 2a 2 ? ? e ? a 2 ? e ? 0 , 2 2 2 2 f (1) ? ?1 ? 0 由单调性可知,无论 a ? e 还是 a ? e , f ( x) 在 (1, e ) 内有唯一的一个零点,
当 2a ? e ? 0 时,即 a ?
2

在 [ e , e2 ) 内没有零点,从而 f ( x ) 在 (1, e2 ) 内只有一个零 点; ???????????13 分 (注:这一类的讨论中,若没有类似“ f ( e ) ? 0 来说明唯一零点在 (1, e ) 内”的这一步, 则扣去这 2 分) 综上所述,有: 当 0 ? a ? e 时,函数 f ( x ) 无零点; 当a ? 当 e?a?

e或a ?

e2 时,函数 f ( x ) 有一个零点; 2

e2 时,函数 f ( x ) 有两个零点. 2
3 2

7.已知三次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? a, b, c ? R ? . (Ⅰ)若函数 f ( x ) 过点 (?1, 2) 且在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 ,求函数 f ? x ? 的解 析式; ( Ⅱ ) 在 ( Ⅰ ) 的 条 件 下 , 若 对 于 区 间 ? ?3, 2? 上 任 意 两 个 自 变 量 的 值 x1 , x2 都 有

?

?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? t ,求实数 t 的最小值;

第- 12 -页 共 35 页

(Ⅲ)当 ?1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 1,试求 a 的最大值,并求 a 取得最大值时 f ? x ? 的表达式.

解: )∵ (Ⅰ 函数 f ( x ) 过点 (?1, 2) ,∴ f (?1) ? ?a ? b ? c ? 2 ,



又 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,函数 f ( x ) 点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 , ∴?

? f (1) ? ?2 ?a ? b ? c ? ?2 ,∴? , ? f ?(1) ? 0 ?3a ? 2b ? c ? 0
2

② -----------4 分

由① 和② 解得 a ? 1 , b ? 0 , c ? ?3 ,故 f ( x) ? x3 ? 3x ; (Ⅱ )由(Ⅰ f ?( x) ? 3x ? 3 ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?1 , ) ∵ f (?3) ? ?18 , f (?1) ? 2 , f (1) ? ?2 , f (2) ? 2 , ∴ 在区间 ? ?3, 2? 上 f max ( x) ? 2 , f min ( x) ? ?18 ,

∴ 对于区间 ? ?3, 2? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 20 , ∴t ? 20 ,从而 t 的最小值为 20; (Ⅲ )∵ f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c , --------------8 分

? f ?(0) ? c ? 则 ? f ?( ?1) ? 3a ? 2b ? c ,可得 6a ? f ?(?1) ? f ?(1) ? 2 f ?(0) . ? f ?(1) ? 3a ? 2b ? c ?
∵ ?1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 1,∴ f ?(?1) ? 1, f ?(0) ? 1 , f ?(1) ? 1, 当 ∴6 | a |? f ?(?1) ? f ?(1) ? 2 f ?(0) ? f ?(?1) ? f ?(1) ? 2 f ?(0) ? 4 ,

2 2 ,故 a 的最大值为 , 3 3 ? f ?(0) ? c ? 1 ? 2 当 a ? 时, ? f ?(?1) ? 2 ? 2b ? c ? 1 ,解得 b ? 0 , c ? ?1 , 3 ? ? f ?(1) ? 2 ? 2b ? c ? 1 2 3 ∴a 取得最大值时 f ? x ? ? x ? x . ---------------------------------------14 分 3
∴a ?

3 2 8.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? bx ? c 在(-∞,0)上是减函数, 在(0,1)上是增函数,函数 f ( x )

在 R 上有三个零点,且 1 是其中一个零点。 (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求 f (2) 的取值范围;

第- 13 -页 共 35 页

(Ⅲ)设 g ( x) ? x ? 1 ,且 f ( x) ? g ( x) 的解集为(-∞,1) ,求实数 a 的取值范围。 解: (Ⅰ )∵f(x)=-x3+ax2+bx+c,∴ f ? ? x ? ? ?3x2 ? 2ax ? b . ∵f(x)在在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数, ∴当 x=0 时,f(x)取到极小值,即 f ? ? 0? ? 0 .∴b=0. (Ⅱ )由(1)知,f(x)=-x3+ax2+c, ∵1 是函数 f(x)的一个零点,即 f(1)=0,∴c=1-a. 5分 3分 1分

2a ∵ f ? ? x ? ? ?3x2 ? 2ax ? 0 的两个根分别为 x1 ? 0 , x2 ? . 3
∵ f(x)在(0,1)上是增函数,且函数 f(x)在 R 上有三个零点, ∴ x2 ?

3 2a ? 1 ,即 a ? . 2 3

7分

∴ f ? 2 ? ? ?8 ? 4a ? ?1 ? a ? ? 3a ? 7 ? ? 故 f(2)的取值范围为 ? ?

5 . 2
9分

? 5 ? , ?? ? . ? 2 ?

(Ⅲ)解法 1:由(Ⅱ )知 f ? x ? ? ?x3 ? ax2 ? 1 ? a ,且 a ? ∵1 是函数 f ? x ? 的一个零点,∴ f ?1? ? 0 ,

3 . 2

∵ g ( x) ? x ? 1, ∴ g (1) ? 0 , ∴点 (1, 0) 是函数 f ( x) 和函数 g ( x) 的图像的一个交点. 10 分 结合函数 f ( x) 和函数 g ( x) 的图像及其增减特征可知,当且仅当函数 f ( x) 和函数 g ( x) 的图像 只有一个交点 (1, 0) 时, f ( x) ? g ( x) 的解集为 (??,1) . 即方程组 ?

? y ? x ? 1, ? y ? ? x ? ax ? 1 ? a
3 2

(1)只有一个解 ?

? x ?1 . 11 分 y?0 ?

3 2 3 2 由 ? x ? ax ? 1 ? a ? x ? 1 ,得 x ? 1 ? a x ? 1 ? ? x ? 1? ? 0 . 2 即 ? x ? 1? x ? x ? 1 ? a ? x ? 1?? x ? 1? ? ? x ? 1? ? 0 . 2 即 ? x ? 1? ? x ? ?1 ? a ? x ? ? 2 ? a ? ? ? 0 . ? ?

?

? ?

?

?

?

∴ x ? 1 或 x ? ?1 ? a ? x ? ? 2 ? a ? ? 0 . 12 分
2

由方程 x ? ?1 ? a ? x ? ? 2 ? a ? ? 0 , (2)
2
2 得 ? ? ?1 ? a ? ? 4 ? 2 ? a ? ? a ? 2a ? 7 .∵ a ? 2

3 , 2
13 分

当 ? ? 0 ,即 a ? 2a ? 7 ? 0 ,解得
2

3 ? a ? 2 2 ?1 2

第- 14 -页 共 35 页

此时方程(2)无实数解,方程组(1)只有一个解 ? 所以

? x ?1 . ?y ? 0
14 分

3 ? a ? 2 2 ? 1 时, f ( x) ? g ( x) 的解集为 (??,1) . 2

(Ⅲ)解法 2:由(Ⅱ )知 f ? x ? ? ?x3 ? ax2 ? 1 ? a ,且 a ? ∵1 是函数 f ? x ? 的一个零点

3 . 2

? f ( x) ? ?( x ? 1) ? x 2 ? ?1 ? a ? x ? 1 ? a ? ? ?
又 f ( x) ? g ( x) 的解集为 (??,1) ,

? f ( x) ? g ( x) ? ?( x ? 1) ? x 2 ? ?1 ? a ? x ? 2 ? a ? ? 0解集为? -?,1? ? ?

10 分

? x2 ? ?1 ? a ? x ? 2 ? a ? 0恒成立
? ? ? ?1 ? a ? ? 4 ? 1 ? ? 2 ? a ? ? 0
2

11 分 12 分

? a 2 ? 2a ? 7 ? 0

? ? a ? 1? ? 8
2

3 3 ?3 ? 又?a ? ? ? a ? 2 2 ? 1? a的取值范围为? , 2 ? 1? 2 2 2 ?2 ?
f ? x? ? x ?
9.已知函数 (1) 求函数

14 分

a (a ? g ? x ? ? ln x x R) , .
的单调区间;

F ? x? ? f ? x? ? g ? x?

g ? x? ? f ? x ? ? 2e 2 (e 为自然对数的底数)只有一个实数根, 求 a 的值. (2) 若关于 x 的方程 x

(1)解: 函数
'

F ? x? ? f ? x? ? g ? x? ? x ?

a ? ln x ? 0, ?? ? . x 的定义域为

a 1 x2 ? x ? a F ? x? ? 1 ? 2 ? ? x x x2 ∴ .
① 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即 ∴函数

a??

1 ' 4 时, 得 x 2 ? x ? a ? 0 ,则 F ? x ? ? 0 .
??2分 第- 15 -页 共 35 页

F ? x?



? 0, ?? ? 上单调递增.

② 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即

a??

1 ' 4 时, 令 F ? x ? ? 0,

得 x ? x ? a ? 0,
2

解得

x1 ?

?1 ? 1 ? 4a ?1 ? 1 ? 4a ? 0, x2 ? 2 2 .

1 ?1 ? 1 ? 4a ? ?a?0 x2 ? ?0 2 (ⅰ) 若 4 , 则 .


x? ? 0, ???

, ∴

F ' ? x? ? 0

,

∴函数

F ? x?



? 0, ?? ? 上单调递增.

?? 4分

? ?1 ? 1 ? 4a ? x ? ? 0, ? ' ? ? 2 ? ? 时, F ? x ? ? 0 ; a ? 0 ,则 (ⅱ)若 ? ?1 ? 1 ? 4a ? x?? , ?? ? ' ? ? 2 ? ? 时, F ? x ? ? 0 , ? ?1 ? 1 ? 4 a ? ? ?1 ? 1 ? 4a ? , ?? ? ? 0, ? ? ? ? ? ? 2 2 F ? x? ? 上单调递减, 在区间 ? ? 上单调递增. ∴函数 在区间 ?
?? 6分 综上所述, 当 a ? 0 时, 函数

F ? x?

的单调递增区间为

? 0, ?? ? ;

? ?1 ? 1 ? 4 a ? ? 0, ? ? ? 2 F ? x? ? ? , 单调递增区间为 a?0 时 , 函数 当 的单调递减区间为
? ?1 ? 1 ? 4a ? , ?? ? ? ? ? 2 ? ?.

?? 8分

g ? x? ln x a ln x ? x ? ? 2e ? x 2 ? 2ex ? a ? f ? x ? ? 2e 2 2 x x x x (2) 解: 由 , 得 , 化为 .
h ? x? ? ln x 1 ? ln x h' ? x ? ? ' x , 则 x 2 .令 h ? x ? ? 0 , 得 x ? e .
' '



h ? x? ? 0 h ? x? ? 0 当 0 ? x ? e 时, ; 当 x ? e 时, .
∴函数

h ? x?

在区间

? 0, e ? 上单调递增,
h ? x?

在区间

? e, ?? ? 上单调递减.
h ?e? ? 1 e.
?? 10分

∴当 x ? e 时, 函数 而函数

取得最大值, 其值为
2

m ? x ? ? x 2 ? 2ex ? a ? ? x ? e ? ? a ? e 2

,

第- 16 -页 共 35 页

m ? x? m ? e? ? a ? e 当 x ? e 时, 函数 取得最小值, 其值为 .
2

?? 12分

a ? e2 ?
∴ 当

g ? x? 1 1 a ? e2 ? ? f ? x ? ? 2e e, 即 e 时, 方程 x 2 只有一个根.

?? 14

10.已知函数 f ( x) ? e x ? kx( x ? R) (1)若 k ? e ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若 k ? 0 且对任意 x ? R , f (| x |) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围;

解: (1) f ?( x) ? e x ? e ,令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? 1 当 x ? (1,??) 时, f ?( x ) ? 0 ,? f (x ) 在 (1,? ?) 单调递增; 当 x ? (??,1) 时, f ?( x ) ? 0 ,? f (x ) 在 (1,? ?) 单调递减 (2)? f (| x |) 为偶函数,? f (| x |) ? 0 恒成立等价于 f ( x ) ? 0 对 x ? 0 恒成立 当 x ? 0 时, f ?( x ) ? e x ? k ,令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? ln k (1)当 ln k ? 0 ,即 k ? 1 时, f ( x ) 在 (0, lnk ) 减,在 (lnk ,??) 增

? f ( x )min ? f (lnk ) ? k ? kl lnk ? 0 ,解得 1 ? k ? e ,? 1 ? k ? e
x (2)当 ln k ? 0 ,即 0 ? k ? 1 时, f ?( x ) ? e ? k ? 0 ,? f ( x ) 在 [0,? ?) 上单调递增,

? f ( x )min ? f (0) ? 1 ? 0 ,符合,? 0 ? k ? 1
综上, 0 ? k ? e 11.已知函数 f ( x) ? ax ? ln x(a ? R) .
2

(1)当 a ?

1 时,求 f ( x ) 在区间 ?1,e? 上的最大值和最小值; 2

(2)如果函数 g ( x) , f 1( x ) , f 2( x) ,在公共定义域 D 上,满足 f 1( x) ? g ( x) ? f 2( x) ,那么 就称为 g ( x) 为 f1 ( x), f 2 ( x) 的“活动函数” . 已知函数 f 1( x) ? ( a ? ) x ? 2ax ? (1 ? a ) ln x , f 2( x) ?
2 2

1 2

1 2 x ? 2ax . 2

①若在区间 ?1, ?? ? 上,函数 f ( x ) 是 f 1( x ) , f 2( x) 的“活动函数” ,求 a 的取值范围; 第- 17 -页 共 35 页

②当 a ?

2 时,求证:在区间 ?1, ?? ? 上,函数 f 1( x ) , f 2( x) 的“活动函数”有无穷多个. 3

解: (1)当 a ?

1 1 1 x2 ?1 时, f (x) ? x 2 ? ln x , f ?(x) ? x ? ? ; 2 2 x x 对于 x ?[1, e],有 f ?(x) ? 0 ,∴f ( x ) 在区间[1, e]上为增函数,

1 e2 , f min ( x ) ? f (1) ? . 3 分 2 2 (2)① 在区间(1,+∞)上,函数 f ( x ) 是 f1 (x), f 2 (x) 的“活动函数”,则 f 1 ( x ) ? f ( x ) ? f 2 ( x )

∴f max (x) ? f (e) ? 1 ?

令 p ( x) ? f ( x) ? f 2 ( x) ? (a ? ) x ? 2ax ? ln x <0,对 x ? (1,+∞)恒成立,
2

1 2

1 且 h(x)=f1(x) – f(x)= ? x 2 ? 2ax ? a 2 ln x <0 对 x ? (1,+∞)恒成立, 5 分 2

∵ p`(x) ? (2a ? 1) x ? 2a ? 1)若 a ?

1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[(2a ? 1) x ? 1] ? ? x x x

(*)

1 1 ,令 p`(x) ? 0 ,得极值点 x 1 ? 1 , x 2 ? , 2 2a ? 1 1 ? a ? 1 时,在( x2 ,+∞)上有 p`(x) ? 0 , 2

当 x 2 ? x1 ? 1 ,即

此时 p (x) 在区间( x 2 ,+∞)上是增函数,并且在该区间上有 p (x) ∈ p( x2 ) ,+∞) ( ,不合题 意; 当 x 2 ? x 1 ? 1 ,即 a ? 1 时,同理可知, p (x) 在区间(1,+∞)上,有

p(x) ∈ p(1) ,+∞) ( ,也不合题意;
2) 若 a ?
1 ,则有 2a ?1 ? 0 ,此时在区间(1,+∞)上恒有 p`(x) ? 0 , 2

7分

从而 p (x) 在区间(1,+∞)上是减函数; 要使 p( x) ? 0 在此区间上恒成立,只须满足 p (1) ? ? a ? 所以 ?
1 1 ?a? . 2 2

1 1 ?0?a?? , 2 2
9分

又因为 h/(x)= –x+2a– h(x)<h(1)= ?

a2 ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? (x ? a ) 2 = <0, h(x)在(1, +∞)上为减函数, ? x x x

1 +2a ? 0, 2
1 1 , ]. 2 4

所以 a ?

1 4

综合可知 a 的范围是[ ?

12 分

另解: (接在(*)号后) 先考虑 h(x), 第- 18 -页 共 35 页

h`(x) = – x + 2a ?

a2 ( x ? a)2 ? 0, =? x x
8分

1 1 ? 2a ? 0 ,解得 a ? . 4 2 ( x ? 1)[( 2a ? 1) x ? 1] 1 而 p`(x)= 对 x?(1,+?) 且 a ? 有 p`(x) <0. 4 x 1 1 只要 p(1) ? 0, a ? ? 2a ? 0 ,解得 a ? ? , 2 2 1 1 所以. ? ? a ? . 12 分 2 4
h(x)在(1,+?)递减,只要 h(1) ? 0, 得 ? ② a? 当
2 1 4 5 1 4 时, f1 (x) ? x 2 ? x ? ln x, f 2 (x) ? x 2 ? x 3 6 3 9 2 3

5 1 则 y=f2(x) –f1(x)= x2 – lnx, x ? (1,+∞) . 9 3

因为 y /=

2x 5 6x2 ? 5 ? ? >0,y=f2(x) –f1(x)在 (1,+∞)为增函数, 3 9x 9x
1 . 3

所以 f2(x) –f1(x)> f2(1) –f1(1)=

1 设 R(x)=f1(x)+ ? (0< ? <1), 则 f1(x)<R(x)<f2(x), 3 所以在区间(1,+∞)上,函数 f1 (x), f 2 (x) 的“活动函数”有无穷多个. 其他如 R(x)= ? f1(x)+ ? f2(x) 0< ? , ? <1,且 ? + ? =1)等也可以 (

12.已知 f ( x) ? log 2 (1 ? x ) ?
4

1 ? mx ( x ? R) 是偶函数。 1 ? x2

(I)求实常数 m 的值,并给出函数 f ( x ) 的单调区间(不要求证明) ; (II)k 为实常数,解关于 x 的不等式: f ( x ? k ) ? f (| 3x ? 1|).

(Ⅰ)? f ( x) 是偶函数, ? f (? x) ? f ( x) , 解:

1 ? mx mx ? 1 ? log 2 (1 ? x 4 ) ? , 2 1? x 1 ? x2 ? mx ? 0 ,? m ? 0 . 2分 1 ? f ( x) ? log 2 (1 ? x 4 ) ? , f ( x) 的递增区间为 [0, ??) ,递减区间为 ( ??, 0] . 1 ? x2 ? log 2 (1 ? x 4 ) ?
4分 (Ⅱ)? f ( x) 是偶函数 ,? f ( x ? k ) ? f ( x ? k ) , 第- 19 -页 共 35 页

不等式即 f ( x ? k ) ? f ( 3x ?1) ,由于 f ( x) 在 [0, ??) 上是增函数,

? x ? k ? 3x ?1 , ? x2 ? 2kx ? k 2 ? 9 x2 ? 6 x ? 1 ,
即 8x ? (6 ? 2k ) x ? (1 ? k ) ? 0 ,
2 2

k ?1 k ?1 )( x ? )?0, 7分 2 4 k ?1 k ? 1 3k ? 1 ? ? (? )? , 2 4 4 1 ? k ? 时,不等式解集为 ? ; 3 1 k ?1 k ?1 k ? 时,不等式解集为 ( ? , ); 3 4 2 1 k ?1 k ?1 k ? 时,不等式解集为 ( ,? ). 3 2 4

? (x ?

12 分

13.已知函数 f ( x) ? ln( ? (I)若 x ?

1 2

1 ax) ? x 2 ? ax. (a为常数, a ? 0) 2

1 是函数 f ( x) 的一个极值点,求 a 的值; 2 1 (II)求证:当 0 ? a ? 2时, f ( x)在[ ,+?)上是增函数; 2 1 2 (III)若对任意的 a ? (1, 2), 总存在 x0 ? [ ,1], 使不等式f ( x0 ) ? m(1 ? a ) 成立,求实数 m 的 .. .. 2
取值范围。

a2 ? 2 1 2ax( x ? ) a 2a . f ?( x) ? 2 ? 2x ? a ? 解: 1 1 1 ? ax ? ax 2 2
(Ⅰ)由已知,得 f ?( ) ? 0 且

1 2

a2 ? 2 ?0, 2a

? a 2 ? a ? 2 ? 0 ,? a ? 0 ,? a ? 2 .
2分

a 2 ? 2 1 a 2 ? a ? 2 (a ? 2)(a ? 1) (Ⅱ)当 0 ? a ? 2 时,? ? ? ? ? 0, 2a 2 2a 2a 1 a2 ? 2 ? ? , 2 2a
第- 20 -页 共 35 页

?当 x ?

1 2ax a2 ? 2 ? 0, 时, x ? ? 0 .又 2 1 ? ax 2a

1 5分 ? f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 [ , ? ?) 上是增函数. 2 1 1 1 (Ⅲ) a ? (1, 2) 时,由(Ⅱ)知, f ( x) 在 [ ,1] 上的最大值为 f (1) ? ln( ? a ) ? 1 ? a , 2 2 2
于是问题等价于:对任意的 a ? (1, 2) ,

1 a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1) ? 0 恒成立. 2 1 1 2 记 g (a) ? ln( ? a) ? 1 ? a ? m(a ? 1) , 1 ? a ? 2 ) ( 2 2 1 a ? 1 ? 2ma ? [2ma ? (1 ? 2m)] , 则 g ?(a ) ? 1? a 1? a ?a ? 0 , ? g (a) 在区间 (1, 2) 上递减,此时, g (a) ? g (1) ? 0 , 当 m ? 0 时, g ?(a) ? 1? a
不等式 ln( ? 由于 a ? 1 ? 0 ,? m ? 0 时不可能使 g (a) ? 0 恒成立,故必有 m ? 0 ,
2

1 2

? g ?(a ) ?


2ma 1 [a ? ( ? 1)] . 1? a 2m

1 1 ? 1 ? 1 ,可知 g (a) 在区间 (1, min{2, ? 1}) 上递减, 2m 2m

在此区间上,有 g (a) ? g (1) ? 0 ,与 g (a) ? 0 恒成立矛盾, 故

1 ? 1 ? 1 ,这时, g ?(a) ? 0 , g (a) 在 (1, 2) 上递增, 2m

?m ? 0 1 ? 恒有 g (a) ? g (1) ? 0 ,满足题设要求,? ? 1 ,即 m ? , 4 ? 2m ? 1 ? 1 ?
所以,实数 m 的取值范围为 [ , ? ?) .

1 4

14 分

14.设函数 f ( x) ? x ? ae

x ?1



(I)求函数 f ( x ) 单调区间; (II)若 f ( x) ? 0对x ? R 恒成立,求 a 的取值范围;

解: (I) f ?( x) ? 1 ? ae

x ?1

??????1 分 第- 21 -页 共 35 页

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 R 上是增函数????2 分 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ? ln a ????????3 分 若 x ? 1 ? ln a 则 f ?( x) ? 0 ,从而 f ( x) 在区间 (??,1 ? ln a) 上是增函数 若 x ? 1 ? ln a 则 f ?( x) ? 0 ,从而 f ( x) 在区间 (1 ? ln a, ? ?) 上是减函数 综上可知:当 a ? 0 时, f ( x) 在区间 (??, ? ?) 上是增函数。当 a ? 0 时,在区间 (??,1 ? ln a) 上是增函数, f ( x) 在区间 (1 ? ln a, ? ?) 上是减函数????5 分 (II)由(I)可知:当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 不恒成立????6 分 又当 a ? 0 时, f ( x) 在点 x ? 1 ? ln a 处取最大值, 且 f (1 ? ln a) ? 1 ? ln a ? ae? ln a ? ? ln a ??????8 分 令 ? ln a ? 0 得 a ? 1 故若 f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围是 ?1, ? ?? ??9 分 15、设函数 f ( x) ? (1 ? x) ? 2 ln(1 ? x) 。
2

(Ⅰ)若在定义域内存在

x0 ,而使得不等式f(x0)?m?0能成立,求实数 m 的最小值;
2

?0, 2? 上恰有两个不同的零点, (Ⅱ) 若函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? x ? a 在区间 求实数 a 的取值范围。
解:(Ⅰ)要使得不等式

f ( x0 ) ? m ? 0 能成立,只需 m ? f ( x) min 。

求导得:

f ' ( x) ? 2(1 ? x) ? 2 ?

1 2 x( x ? 2) ? 1? x x ?1 ,

???3分

∵函数 f ( x) 的定义域为 (?1, ??) ,

? 当 x ? (?1, 0) 时, f ( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在区间 (?1, 0) 上是减函数; ? 当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在区间(0,+∞)上是增函数。


f ( x) min ? f (0) ? 1



∴ m ? 1 。故实数 m 的最小值为 1 。

???6分

(Ⅱ)由 f ( x) ? (1 ? x) ? 2 ln(1 ? x) 得:
2

g ( x) ? (1 ? x) 2 ? 2 ln(1 ? x) ? ( x 2 ? x ? a) ? x ? 1 ? 2 ln( x ? 1) ? a
由题设可得:方程 (1 ? x) ? 2 ln(1 ? x) ? a 在区间

?0, 2? 上恰有两个相异实根。

???8分



h ? x ? ? (1 ? x) ? 2 ln(1 ? x)

。∵

h? ? x ? ? 1 ?

2 x ?1 ? 1 ? x x ? 1 ,列表如下:

第- 22 -页 共 35 页

x

0

? 0,1?


1
0

?1, 2 ?
+ 增函数

2

h? ? x ?
h ? x?


1

减函数

2 ? 2 ln 2

3 ? 2 ln 3

h ? 0 ? ? h ? 2 ? ? 1 ? (3 ? 2 ln 3) ? 2(ln 3 ? 1) ? 2(ln e ? 1) ? 0
h ? x ?max ? 1 h ? x?


,∴

h ? 0? ? h ? 2?



从而有 画出函数 异实根,

h ? x ?min ? 2 ? 2 ln 2

???11分

在区间

?0, 2? 上的草图(见右下) 易知要使方程 h ? x ? ? a 在区间 ?0, 2? 上恰有两个相 ,
a ? ? 2 ? 2 ln 2,3 ? 2 ln 3?
。 ???13分

只需: 2 ? 2 ln 2 ? a ? 3 ? 2 ln 3 ,即:

16.已知函数 f(x)=

2? x ; x ?1

(1)证明:函数 f(x)在 (?1, ??) 上为减函数; (2)是否存在负数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 3 0 成立,若存在求出 x0 ;若不存在,请说明理由。
x

解: (1)任取 ,且

∵ ∴函数 在 上为减函数

????4 分 ?????????6 分 第- 23 -页 共 35 页

(2)不存在 ????????????????????7 分 假设存在负数 ,使得 成立,则 即

与 所以不存在负数 ,使得

矛盾, 成立。 ???????????12 分

另解:

,由

得:





,所以不存在。

17.设函数 f ( x) ? x ? a( x ? 1) ln( x ? 1), ( x ? ?1, a ? 0) (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 1 时,若方程 f ( x) ? t 在 [ ?

1 ,1] 上有两个实数解,求实数 t 的取值范围; 2

(Ⅲ)证明:当 m>n>0 时, (1 ? m) n ? (1 ? n) m . 解析: (Ⅰ) f ( x) ? 1 ? a ln( x ? 1) ? a
/ / ① a ? 0 时, f ( x) ? 0

∴ f ( x ) 在(—1,+ ? )上是增函数
1? a a

?????1 分

②当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (?1, e

? 1] 上递增,在 [e

1?a a

? 1, ??) 单调递减. ????4 分

1 , 0] 上单调递增,在 [0,1] 上单调递减 2 1 1 1 又 f (0) ? 0, f (1) ? 1 ? ln 4, f ( ? ) ? ? ? ln 2 2 2 2 1 ∴ f (1) ? f ( ? ) ? 0 2 1 1 ∴当 t ? [? , ? ln 2, 0) 时,方程 f ( x) ? t 有两解 ??????8 分 2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x ) 在 [ ? (Ⅲ)要证: (1 ? m) ? (1 ? n) 只需证 n ln(1 ? m) ? m ln(1 ? n),
n m

只需证:

ln(1 ? m) ln(1 ? n) ? m n

第- 24 -页 共 35 页

设 g ( x) ?

ln(1 ? x) , ( x ? 0) , x

x ? ln(1 ? x) x ? ln(1 ? x) / 1? x ? 2 则 g ( x) ? ??????10 分 2 x x (1 ? x)
??????12 分

由(Ⅰ)知 x ? (1 ? x) ln(1 ? x) 在 (0, ??) 单调递减 ∴ x ? (1 ? x) ln(1 ? x) ? 0 ,即 g ( x) 是减函数,而 m>n ∴ g (m) ? g (n) ,故原不等式成立。

??????14 分

18.已知函数 f ( x) ? ax 3 ? 3x 2 ? 6ax ? 11, g ( x) ? 3x 2 ? 6x ? 12 ,和直线 m : y ? kx ? 9 . 又 f ?(?1) ? 0 . (1)求 a 的值; (2)是否存在 k 的值,使直线 m 既是曲线 y ? f ( x) 的切线,又是 y ? g ( x) 的切线;如果存在,求 出 k 的值;如果不存在,说明理由. (3)如果对于所有 x ? ?2 的 x ,都有 f ( x) ? kx ? 9 ? g ( x) 成立,求 k 的取值范围. 解: (1) f ?( x) ? 3ax 2 ? 6 x ? 6a ,因为 f ?(?1) ? 0 所以 a =-2.

????2 分

(2)因为直线 m 恒过点(0,9).先求直线 m 是 y ? f ( x) 的切线.
2 设切点为 ( x0 ,3x0 ? 6x0 ? 12) , ????3 分 2 ∵ g ?( x0 ) ? 6 x0 ? 6 .∴切线方程为 y ? (3x0 ? 6x0 ? 12) ? (6x0 ? 6)( x ? x0 ) , 将点(0,9)代入得 x 0 ? ?1 .

当 x 0 ? ?1 时,切线方程为 y =9, 当 x 0 ? 1 时,切线方程为 y = 12 x ? 9 .
/ 2 由 f ( x) ? 0 得 ? 6 x ? 6 x ? 12 ? 0 ,即有 x ? ?1, x ? 2

当 x ? ?1 时, y ? f (x) 的切线 y ? ?18 , 当 x ? 2 时, y ? f (x) 的切线方程为 y ? 9 ????6 分

? y ? 9 是公切线,又由 f / ( x) ? 12得 ? 6 x 2 ? 6 x ? 12 ? 12 ? x ? 0 或 x ? 1 , 当 x ? 0 时 y ? f (x) 的切线为 y ? 12x ? 11,当 x ? 1 时 y ? f (x) 的切线为 y ? 12x ? 10 ,
? y ? 12x ? 9 ,不是公切线, 综上所述 k ? 0 时 y ? 9 是两曲线的公切线 ??7 分
2 (3).(1) kx ? 9 ? g ( x) 得 kx ? 3x ? 6 x ? 3 ,当 x ? 0 ,不等式恒成立, k ? R .

当 ? 2 ? x ? 0 时,不等式为 k ? 3( x ?

1 ) ? 6 ,??8 分 x

而 3( x ? ) ? 6 ? ?3[(? x) ?

1 x

1 ] ? 6 ? ?3 ? 2 ? 6 ? 0 ? k ? 0 ( ? x)

第- 25 -页 共 35 页

当 x ? 0 时,不等式为 k ? 3( x ?

1 1 ) ? 6 ,? 3( x ? ) ? 6 ? 12 ? k ? 12 x x
????10 分

? 当 x ? ?2 时, kx ? 9 ? g ( x) 恒成立,则 0 ? k ? 12
(2)由 f ( x) ? kx ? 9 得 kx ? 9 ? ?2 x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 11

2 当 x ? 0 时, 9 ? ?11 恒成立, k ? R ,当 ? 2 ? x ? 0 时有 k ? ?2 x ? 3 x ? 12 ?

20 x

3 2 105 20 20 ? = ? 2( x ? ) ? , 4 8 x x 3 2 105 20 当 ? 2 ? x ? 0 时 ? 2( x ? ) ? 为增函数, ? 也为增函数 x 4 8 ? h( x) ? h(?2) ? 8
2 设 h( x) ? ?2 x ? 3x ? 12 ?

? 要使 f ( x) ? kx ? 9 在 ? 2 ? x ? 0 上恒成立,则 k ? 8

????12 分

由上述过程只要考虑 0 ? k ? 8 ,则当 x ? 0 时 f / ( x) ? ?6 x 2 ? 16x ? 12 = ? 6( x ? 1)(x ? 2)

? 在 x ? (0,2] 时 f / ( x) ? 0 ,在 (2,??) 时 f / ( x) ? 0 ? f (x) 在 x ? 2 时有极大值即 f (x) 在 (0,??) 上的最大值,????13 分
又 f (2) ? 9 ,即 f ( x) ? 9 而当 x ? 0 , k ? 0 时 kx ? 9 ? 9 ,

? f ( x) ? kx ? 9 一定成立,综上所述 0 ? k ? 8 .

????14 分

19、 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ( x ? R, a ? 0) ,? 2 是 f (x) 的一个零点, f (x) 在 x ? 0 又 处有极值,在区间 (?6,?4) 和 (?2,0) 上是单调的,且在这两个区间上的单调性相反. (I)求

b 的取值范围; a

(II)当 b ? 3a 时,求使 ?y | y ? f ( x),?3 ? x ? 2? ? ?? 3,2?成立的实数 a 的取值范围.
3 2 2 )解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d ,所以 f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c

又 f ( x) 在 x ? 0 处有极值,所以 f ?(0) ? 0 即 c ? 0 ……………………2 分 所以 f ?( x) ? 3ax ? 2bx
2

令 f ?( x) ? 0

所以 x ? 0 或 x ? ?

2b 3a

又因为 f ( x) 在区间 (?6 , ? 4) , (?2 , 0) 上是单调且单调性相反 所以 ?4 ? ?

2b b ? ?2 所以 3 ? ? 6 3a a

…………………6 分

第- 26 -页 共 35 页

(Ⅱ)因为 b ? 3a ,且 ?2 是 f ( x) ? ax3 ? 3ax2 ? d 的一个零点, 所以 f (?2) ? ?8a ? 12a ? d ? 0 ,所以 d ? ?4a ,从而 f ( x) ? ax3 ? 3ax2 ? 4a 所以 f ?( x) ? 3ax2 ? 6ax ,令 f ?( x) ? 0 ,所以 x ? 0 或 x ? ?2 …………8 分 列表讨论如下:

x
f ?( x ) f ( x)

?3

(?3 , ? 2)

?2

(?2, 0)

0

(0 , 2)

2

a?0
+

a?0
— 0 0

a?0


a?0
+ 0

a?0
+

a?0


?4a

?

?

?

?

?4a

?

?

16a

所以当 a ? 0 时,若 ?3 ? x ? 2 ,则 ?4a ? f ( x) ? 16a 当 a ? 0 时,若 ?3 ? x ? 2 ,则 16a ? f ( x) ? ?4a

?a ? 0 ? 16a ? 2 从而 ? ? ?4 a ? ? 3 ?
即0 ? a ?

?a ? 0 ? 16a ? ?3 或? ??4a ? 2 ?

1 3 ?a?0 或? 8 16

所以存在实数 a ? ? ?

? 3 ? ? 1? , ? ? ? 0 , ? ,满足题目要求。……………………12 分 0 ? 16 ? ? 8 ?

20.已知函数 f ( x) ? ?(2m ? 2) ln x ? mx ? (I)讨论 f ( x ) 的单调性;

m?2 (m ? ?1) . x

? x 2 ? 2 x ? 5 ( x ? 1) ? (II)设 g ( x) ? ? 1 13 .当 m ? 2 时,若对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ? ? ( x ? 1) ? x ?2 2
[k , k ? 1] ( k ? N ) ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 k 的最小值.

.解: (I)由题意函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , 第- 27 -页 共 35 页

?2m ? 2 m ? 2 ( x ? 1)[mx ? (m ? 2)] ?m? 2 ? x x x2 ?2 x ? 2 ' (1)若 m ? 0, 则f ( x) ? ,从而当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时 f ' ( x) ? 0 , x2 f ' ( x) ?
此时函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 [1, ??) (3 分)

(2)若 m ? 0 ,则 f ' ( x) ? ①当 m ? 0 时,?1 ? 当1 ? x ? 1 ?

m( x ? 1)[ x ? (1 ? x2

2 )] m

2 2 ? 1 ,从而当 x ? 1 或 x ? 1 ? 时, f ' ( x) ? 0 , m m

2 时, f ' ( x) ? 0 m 2 2 , ??) ,单调递减区间为 [1,1 ? ] ; m m

此时函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) 和 (1 ? ②当 ?1 ? m ? 0 时, 1 ?

2 ? 0, m

此时函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 [1, ??) 综上所述,当 ?1 ? m ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为

[1, ??) ;当 m ? 0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0,1) 和 (1 ?
[1,1 ? 2 ]. m
(8 分)

2 , ??) ,单调递减区间为 m

(II)由(I)可得当 m ? 2 时, f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在 (1, 2) 上单调递减, 所以在区间 (0, 2) 上, f ( x)max ? f (1) ? ?2 由题意,对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ? [k , k ? 1] ( k ? N ) ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 从而存在 x ? [k , k ? 1] ( k ? N )使 g ( x) ? ?2 , 即只需函数 g ( x) 在区间 x ? [k , k ? 1] ( k ? N )上的最大值大于-2, 又当 k ? 0 时, x ? [0,1], ?6 ? g ( x) ? ?
*

11 ,不符, 2
2

所以在区间 x? [k , k ? 1] ( k ? N )上 g ( x)max ? g (k ? 1) ? k ? 6 ? ?2 解得 k ? 2(k ? N ) ,所以实数 k 的最小值为 3. (15 分

21.设函数

f ? x ? ? ax3 ? 3ax, g ( x) ? bx2 ? ln x(a, b ? R) ,已知它们在 x ? 1 处的切线互相平行.
第- 28 -页 共 35 页

(1)求 b 的值;

? f ( x), x ? 0 2 (2)若函数 F ( x) ? ? ,且方程 F ? x ? ? a 有且仅有四个解,求实数 a 的取值范围. g ( x), x ? 0 ?
解: (1) f ' ? x ? ? 3ax ? 3a ? f ' ?1? ? 0 , g ' ? x ? ? 2bx ?
2

1 ? g ' ?1? ? 2b ? 1 ,?2 分 x

依题意: 2b ? 1 ? 0 ,所以 b ?

1 ;????????????????????4 分 2
1 1 ? 0 , x ? ?1, ?? ? 时, g ' ? x ? ? x ? ? 0 ,???5 分 x x

(2) x ? ? 0,1? 时, g ' ? x ? ? x ?

所以当 x ? 1 时, g ? x ? 取极小值 g ?1? ?
2

当 a ? 0 时,方程 F ? x ? ? a 不可能有四个解;???7 分 当 a ? 0 时, x ? ? ??, ?1? 时, f ' ? x ? ? 0 ,

1 ;???????????????6 分 2 y

x ? ? ?1,0? 时 f ' ? x ? ? 0 ,
所以 x ? ?1 时, f ? x ? 取得极小值 f ' ? ?1? =2 a ,又 f ? 0 ? ? 0 , 所以 F ? x ? 的图像如下: 从图像可以看出 F ? x ? ? a 不可能有四个解。????10 分
2

?1

1 2

O
2a

1

x

当 a ? 0 时, x ? ? ??, ?1? 时, f ' ? x ? ? 0 , x ? ? ?1,0? 时 f ' ? x ? ? 0 , 所以 x ? ?1 时,f ? x ? 取得极小值 f ' ? ?1? =2 a , f ? 0 ? ? 0 , 又 所以 F ? x ? 的图像如下: 从图像看出方程 F ? x ? ? a 有四个解,则
2

y
2a
1 2
?1

1 ? a 2 ? 2a , 2

所以实数 a 的取值范围是 (

2 , 2) 。??????12 分 2

O

1

x

22. 已知函数 f ( x) ? ax ln x 图像上点 (e, f (e)) 处的切线与直线 y ? 2 x 平行(其中 e ? 2.71828 ? ) g ( x) ? x ? tx ? 2. ,
2

(I)求函数 f (x) 的解析式;

(II)求函数 f ( x)在[n, n ? 2](n ? 0) 上的最小值;

第- 29 -页 共 35 页

(III)对一切 x ? ? 0, e? ,??3 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 t 的取值范围。 解: (I)由点 (e, f (e)) 处的切线方程与直线 2 x ? y ? 0 平行,得该切线斜率为 2,即 f ' (e) ? 2. 又? f ' ( x) ? a(ln x ? 1), 令a(ln e ? 1) ? 2, a ? 1, 所以 f ( x) ? x ln x. ????4 分

(II)由(I)知 f ' ( x) ? ln x ? 1 ,显然 f ' ( x) ? 0时x ? e ?1 当 x ? (0, )时f ' ( x ) ? 0, 所以函数 f ( x)在(0, ) 上单调递减.当 x ? ( ,?? ) 时 f ' ( x) ? 0 , 所以函数 f ( x)在( ,?? ) 上单调 递增,

1 e

1 e

1 e

1 e

1 1 1 e e e 1 ② ? n ? n ? 2 时,函数 f ( x)在[n, n ? 2] 上单调递增, e
① ? (n, n ? 2]时, f ( x) min ? f ( ) ? ? ; 因此 f ( x)min ? f (n) ? n ln n; ????7 分

所以 f ( x) min

1 ? 1 ?? e , (0 ? n ? e ), ? ?? ????10 分 1 ?n ln n, (n ? ). ? e ?

(III)对一切 x ? ?0, e?,3 f ( x) ? g ( x) 恒成立,又 g ( x) ? x 2 ? tx ? 2,? 3x ln x ? x 2 ? tx ? 2, 即 t ? x ? 3 ln x ? 则 h' ( x ) ? 1 ?

2 2 . 设 h( x) ? x ? 3 ln x ? , x ? ?0, e?, x x

3 2 x 2 ? 3x ? 2 ( x ? 1)(x ? 2) ? 2 ? ? , 由 h' ( x) ? 0得x ? 1或x ? 2, x x x2 x2

? x ? (0,1), h' ( x) ? 0, h( x) 单调递增, x ? (1, 2), h '( x) ? 0, h( x) 单调递减, x ? (2, e), h '( x) ? 0, h( x) 单调递增,

? h( x)极大值 ? h(1) ? ?1, 且h(e) ? e ? 3 ? 2e ?1 ? ?1,
所以 h( x) max ? h(1) ? ?1. 因为对一切 x ? ?0, e?,3 f ( x) ? g ( x) 恒成立,

? t ? h( x) max ? ?1.
故实数 t 的取值范围为 ?? 1,???. 第- 30 -页 共 35 页 ????14 分

23.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? a ln x. (Ⅰ )若函数 f ( x)在区间(0,1) 上是单调函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ )当t ? 1时,不等式 f (2t ? 1) ? 2 f (t ) ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围. .解: (Ⅰ)函数 f ( x)的定义域是(0, ??) , ………………1 分

f ?( x) ? 2 x ? 2 ?

a 2x2 ? 2x ? a ? , x x

…………3 分

因为函数 f ( x ) 在区间(0,1)上为单调函数 所以只需 f ?( x) ? 0或f ?( x) ? 0 在区间(0,1)上恒成立, 即 a ? ?(2x2 ? 2x)或a ? ?(2x2 ? 2x) 在区间(0,1)上恒成立,…………5 分 解得 a ? 0, 或a ? ?4; 故实数 a 的取值范围是 (??, ?4] ? [0, ??) (Ⅱ)不等式 f (2t ? 1) ? 2 f (t ) ? 3 可化为 2t 2 ? 4t ? 2 ? a ln t 2 ? a ln(2t ?1) 即 2t ? a ln t ? 2(2t ?1) ? a ln(2t ?1)
2 2

…………7 分

…………10 分

记 g ( x) ? 2 x ? a ln x( x ? 1) ,要使上式成立 只须 g ( x) ? 2 x ? a ln x( x ? 1) 是增函数即可 即 g '( x) ? 2 ? …………12 分

a ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,即 a ? 2 x 在 [1, ??) 上恒成立,故 a ? 2 , x
………

实数 a 的取值范围是 ( ??, 2] 。

24. 某企业科研课题组计划投资研发一种新产品,根据分析和预测,能获得 10 万元~1000 万元的 投资收益.企业拟制定方案对课题组进行奖励, 奖励方案为: 奖金 y(单位: 万元)随投资收益 x(单位: 万元)的增加而增加,且奖金不超过 9 万元,同时奖金也不超过投资收益的 20%,并用函数 y= f(x) 模拟这一奖励方案. (Ⅰ)试写出模拟函数 y= f(x)所满足的条件; (Ⅱ)试分析函数模型 y= 4lgx-3 是否符合奖励方案的要求?并说明你的理由. 解: (Ⅰ)由题意,模拟函数 y=f(x)满足的条件是: 第- 31 -页 共 35 页

(1) f(x)在[10,1000]上是增函数; (2)f(x)≤9; (3)f(x)≤

1 x. ????(3 分) 5

(Ⅱ)对于 y=4 lg x-3,显然它在[10,1000]上是增函数,满足条件(1) ,???????(4 分) 又当 10≤x≤1000 时,4lg10-3≤y≤4lg1000-3,即 y ? [1,9] ,从而满足条件(2). ??(5 分) 下面证明:f(x)≤

1 1 x,即 4lg x-3≤ x 对于 x ? [10,1000]恒成立. ????????(6 分) 5 5

令 g(x)= 4lgx-3-

1 4 1 20lg e ? x x(10≤x≤1000),则 g′(x)= ? ? . ??????(8 分) 5 x lg10 5 5x

1 ,? 20lg e ? 10, 则x ? 10, 2 ∴20lge-x<0,∴g′(x) <0 对于 x ? [10,1000]恒成立.
∵e< 10,? lg e ? lg 10 ? ∴g(x)在[10,1000]上是减函数??????????????????????(10 分) ∴g(x)在[10,1000]时,g (x)≤g(10=4lg10-3即 4lg x-3-

1 ×10=-1<0, 5

1 1 x≤0,即 4lg x-3≤ x 对于 x ? [10,1000]恒成立.从而满足条件(3). 5 5

故函数模型 y=4lgx-3 符合奖励方案的要求. ???????????????????(12 分)

25. 已知函数 f ( x ) ? ?

? ? x 3 ? x 2 ( x ? 1) ?a ln x( x ? 1)

(Ⅰ)求 f(x)在[-1,e] 为自然对数的底数)上的最大值; (e (Ⅱ)对任意给定的正实数 a,曲线 y= f(x)上是否存在两点 P,Q,使得△POQ 是以 O 为直角顶 点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?

解: (Ⅰ)因为 f(x)= ?

?? x3 ? x 2 ( x ? 1) ?a ln x( x ? 1)
2 2 :解 f ′(x) <0 得-1<x<0 或 <x<1 3 3

① 当-1≤x<1 时,f ′(x)=- x (3x -2), 解 f ′(x)>0 得 0<x< ∴f(x)在(-1,0)和( 从而 f (x)在 x=

2 2 ,1)上单减,在(0, )上单增, 3 3

2 2 4 处取得极大值 f ( )= ???????????????????(3 分) 3 3 27

又∵f(-1)=2,f(1)=0, ∴f(x)在[-1,1)上的最大值为 2. ??????????????????????(4 分) ② 当 1≤x≤e 时,f(x)=alnx, 当 a≤0 时,f(x)≤0; 当 a>0 时,f(x)在[1,e]单调递增; 第- 32 -页 共 35 页

∴f(x)在[1,e]上的最大值为 a. ???????????????????????(6 分) ∴当 a≥2 时,f(x)在[-1,e]上的最大值为 a; 当 a<2 时,f(x)在[-1,e]上的最大值为 2. ??????????????????(8 分) (Ⅱ)假设曲线 y= f(x)上存在两点 P,Q 满足题意,则 P,Q 只能在 y 轴两侧,不妨设 P(t, f(t)) 3 2 (t>0),则 Q(-t,t +t ) ,且 t≠1????????????????????????(9 分) ∵△POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形 ??? ???? ? 2 3 2 ∴ OP ? OQ =0,即- t +f(t)(t +t )=0(*)???????????????????(10 分) 是否存在 P,Q 等价于方程(*)是否有解. 3 2 2 3 2 3 2 ① 若 0<t<1,则 f(x)=- t +t ,代入方程(*)得:- t +(-t +t ) +t )=0, (t 4 2 即:t -t +1=0,而此方程无实数解,?????????????????????(11 分) ②当 t>1 时, 2 3 2 ∴f(t)=alnt,代入方程(*)得:- t + alnt· +t )=0, (t 即:

1 ? (t ? 1) ln t , ?????????????????????????????(12 分) a 1 +1>0 在[1,+∞)恒成立. x

设 h(x)=(x+1)lnx(x≥1),则 h′(x)=lnx+

∴h(x)在[1,+∞)上单调递增,从而 h(x)≥h(1)=0,则 h(x)的值域为[0,+∞). ∴当 a>0 时,方程

1 =(t+1)lnt 有解,即方程(*)有解. ???????????(13 分) a

∴对任意给定的正实数 a,曲线 y=f(x)上总存在两点 P,Q,使得△POQ 是以 O 为直角顶点的直角 三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上. ??????????????????(14 分)

26. 设函数f ( x) ? e x ? sin x, g ( x) ? ax, F ( x) ? f ( x) ? g ( x).

(1)若x=0是F ( x)的极值点,求a的值; a 1 (2)当a= 时,若存在x1、x2 ? ? 0, ?? ? 使得f (x1 )=g(x2 ),求x2 -x1的最小值; 3 (3)若x ? ?0,+? ?时,F(x)? F(-x)恒成立,求a的取值范围。

解:

(1)F ( x) ? e x ? sin x ? ax, F ?( x) ? e x ? cos x ? a. 因为x ? 0是F ( x)的极值点,所以F ? (0)=e 0 ? cos 0 ? a ? 0, 所以a ? 2. 当x ? 0时, F ?( x) ? e x ? cos x ? a ? 1 ? 1 ? 2 ? 0; 当x ? 0时, 则? ( x) ? e x ? cos x ? a,则? ?( x) ? e x ? sin x ? 1 ? 1 ? 0; 所以F ?( x)在 ?0,+? ? 单调递增。从而F ?( x) ? F ?(0) ? 1 ? 1 ? a ? 2 ? 2 ? 0. 于是x ? 0是F ( x)的极小值点,所以a ? 2符合题意。 4分。 ??

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1)当a ? 2时,h?( x) ? 0,? h( x)在 ?0, ?? ? 单调递增,即h( x) ? h(0) ? 0, ?当a ? 2时,F ( x) ? F (? x) ? 0对x ? ? 0, ?? ? 恒成立。 2)当a ? 2时,h?( x) ? 0, 又 ? h?( x)在 ?0, ?? ? 单调递增, ?总存在x0 ? (0, ??)使得在区间? 0,x0 ? 上h?( x) ? 0。 导致h( x)在 ? 0, x0 ? 递减,而h(0) ? 0, 当x ? (0, x0 )时,h( x) ? 0, ? 这与F ( x) ? F (? x) ? 0对x ? ? 0, ?? ? 恒成立不符, a ? 2不合题意。 ? 综上a取值范围是 ? -?,2? .???15分。
27.已知 f ( x) ? x ln x, g( x) ? ?x ? ax ? 3.
2

(1)求函数 f ( x)在[t, t ? 2](t>0) 上的最小值; (2)对一切 x ? (0, ??),2 f ( x)≥g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x>

1 2 ? 成立. x e ex

.解: (1) f ?( x) ? ln x ? 1 ,当 x ? (0, ), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减, 第- 34 -页 共 35 页

1 e

当 x ? ( , ??), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增 ??2 分

1 e

1 ,没有最小值; ????????3 分 e 1 1 ② 0 ? t ? ? t ? 2 ,即 0 ? t ? 时, e e 1 1 f ( x) min ? f ( ) ? ? ; ??????????????4 分 e e 1 1 ③ ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时, f ( x)在?t , t ? 2? 上单调递增, f ( x)min ? f (t ) ? t ln t ;? 5 分 e e
①0 ? t ? t ? 2 ?

所以 f ( x ) min

1 ? 1 ?? e , 0 ? t ? e . ? ?? ?t ln t , t ? 1 ? e ?
2

????????6 分

3 ,???????7 分 x ( x ? 3)( x ? 1) 3 设 h( x) ? 2 ln x ? x ? ( x ? 0) ,则 h?( x) ? , x2 x
(2) 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3 ,则 a ? 2 ln x ? x ? ① x ? (0,1), h?( x) ? 0, h( x) 单调递减, ② x ? (1, ??), h?( x) ? 0, h( x) 单调递增, 所以 h( x)min ? h(1) ? 4 ,对一切 x ? (0, ??), 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,所以 a ? h( x)min ? 4 ; (3)问题等价于证明 x ln x ?

x 2 ? ( x ? (0, ??)) , ex e
1 1 ,当且仅当 x ? 时取到, e e

由(1)可知 f ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的最小值是 ? 设 m( x ) ?

1? x x 2 ? ( x ? (0, ??)) ,则 m?( x) ? x ,易知 x e e e 1 m( x ) max ? m(1) ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取到, e 1 2 从而对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? x ? 成立 e ex

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