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【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习 第七章 立体几何课时作业47 理 新人教A版


课时作业 47

直线、平面平行的判定及其性质

一、选择题 1. 平面 α ∥平面 β , 点 A, C∈α , 点 B, D∈β , 则直线 AC∥直线 BD 的充要条件是( A.AB∥CD C.AB 与 CD 相交 B.AD∥CB D.A,B,C,D 四点共面 )

解析:充分性:A,B,C,D 四点共面,由平面与平面平行的性质知 AC∥BD.必要性显然 成立. 答案:D 2.一条直线 l 上有相异三个点 A、B、C 到平面 α 的距离相等,那么直线 l 与平面 α 的 位置关系是( A.l∥α C.l 与 α 相交但不垂直 ) B.l⊥α D.l∥α 或 l? α

解析:l∥α 时,直线 l 上任意点到 α 的距离都相等;l? α 时,直线 l 上所有的点到 α 的距离都是 0;l⊥α 时,直线 l 上有两个点到 α 距离相等;l 与 α 斜交时,也只能有两 个点到 α 距离相等.故选 D. 答案:D 3.已知不重合的两条直线 l,m 和不重合的两个平面 α ,β ,下列命题正确的是( A.l∥m,l∥β ,则 m∥β B.α ∩β =m,l? α ,则 l∥β C.α ⊥β ,l⊥α ,则 l∥β D.l⊥m,m⊥β ,l⊥α ,则 α ⊥β 解析:对于选项 A,m 可能在 β 内,故 A 错;对于选项 B,l 可能与 β 相交,故 B 错; 对于选项 C,l 可能在 β 内,故 C 错,所以选 D. 答案:D 4.已知 l、m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( A.若 l∥α ,m∥α ,则 l∥m B.若 l⊥m,m∥α ,则 l⊥α C.若 l⊥m,m⊥α ,则 l∥α D.若 l∥α ,m⊥α ,则 l⊥m 解析:A 选项,l 与 m 可能平行,异面或相交,A 错;B 选项,l 与 α 可能平行,相交或 ) )

l 在 α 内,B 错;C 选项,l 有可能在 α 内,C 错,故选 D.
1

答案:D 5.已知 α ,β 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,给出下列命题: ①若 m⊥α ,m? β ,则 α ⊥β ;②若 m? α ,n? α ,m∥β ,n∥β ,则 α ∥β ;③如 果 m? α ,n?α ,m,n 是异面直线,那么 n 与 α 相交;④若 α ∩β =m,n∥m,且 n?α ,n ?β ,则 n∥α 且 n∥β . 其中正确的命题是( A.①② C.③④ B.②③ D.①④ )

解析: 由面面垂直的判定定理得①正确, 若 m∥n 时, α , β 有可能相交, 所以②错误. 对 ③来说,n 可能与 α 平行,则③错.α ∩β =m,∴m? α ,m? β ,n?α ,n∥m,则 n∥α , 同理 n∥β ,选 D. 答案:D

6.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AB,CC1 的中点,在平面 ADD1A1 内且 与平面 D1EF 平行的直线( A.有无数条 B.有 2 条 C.有 1 条 D.不存在 解析:因为平面 D1EF 与平面 ADD1A1 有公共点 D1,所以两平面有一条过 D1 的交线 l,在平 面 ADD1A1 内与 l 平行的任意直线都与平面 D1EF 平行,这样的直线有无数条. 答案:A 二、填空题 7. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, E 是 DD1 的中点, 则 BD1 与平面 ACE 的位置关系为________. 解析:如图,连接 AC,BD 交于 O 点,连接 OE,因为 OE∥BD1,而 OE? 平面 ACE,BD1?平 面 ACE,所以 BD1∥平面 ACE. )

2

答案:平行 8.α 、β 、γ 是三个平面,a、b 是两条直线,有下列三个条件:①a∥γ ,b? β ;②a ∥γ ,b∥β ;③b∥β ,a? γ .如果命题“α ∩β =a,b? γ ,且________,则 a∥b”为真 命题,则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上). 解析:①中,a∥γ ,a? β ,b? β ,β ∩γ =b? a∥b(线面平行的性质).③中,b∥β ,

b? γ ,a? γ ,β ∩γ =a? a∥b(线面平行的性质).
答案:①③ 9.在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点,则点 Q 满足条件________时,有平面 D1BQ∥平面 PAO. 解析:假设 Q 为 CC1 的中点,因为 P 为 DD1 的中点,所以 QB∥PA.连接 DB,因为 P,O 分 别是 DD1,DB 的中点,所以 D1B∥PO,又 D1B?平面 PAO,QB?平面 PAO,所以 D1B∥平面 PAO,

QB∥平面 PAO,又 D1B∩QB=B,所以平面 D1BQ∥平面 PAO.故 Q 满足条件 Q 为 CC1 的中点时,
有平面 D1BQ∥平面 PAO. 答案:Q 为 CC1 的中点 三、解答题

10.如图,已知四棱锥 P—ABCD 的底面为直角梯形,AB∥CD,∠DAB=90°,PA⊥底面

ABCD,且 PA=AD=DC= AB=1,M 是 PB 的中点.
(1)求证:AM=CM; (2)若 N 是 PC 的中点,求证:DN∥平面 AMC.

1 2

3

1 证明:(1)∵在直角梯形 ABCD 中,AD=DC= AB=1, 2 ∴AC= 2,BC= 2, ∴BC⊥AC,又 PA⊥平面 ABCD,BC? 平面 ABCD, ∴BC⊥PA,又 PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC, ∴BC⊥PC. 1 在 Rt△PAB 中,M 为 PB 的中点,则 AM= PB, 2 1 在 Rt△PBC 中,M 为 PB 的中点,则 CM= PB, 2

∴AM=CM. (2)如图,连接 DB 交 AC 于点 F, 1 1 ∵DC 綊 AB,∴DF= FB. 2 2 取 PM 的中点 G,连接 DG,FM,则 DG∥FM, ∴又 DG?平面 AMC,FM? 平面 AMC, ∴DG∥平面 AMC. 连接 GN,则 GN∥MC,GN?平面 AMC,MC? 平面 AMC. ∴GN∥平面 AMC,又 GN∩DG=G, ∴平面 DNG∥平面 AMC, 又 DN? 平面 DNG, ∴DN∥平面 AMC.

11. 如右图, 在多面体 ABCDEF 中, 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, 四边形 BDEF 是矩形, 平面 BDEF⊥平面 ABCD,BF=3,G 和 H 分别是 CE 和 CF 的中点.
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(1)求证:AC⊥平面 BDEF; (2)求证:平面 BDGH∥平面 AEF. 解:(1)因为四边形 ABCD 是正方形,所以 AC⊥BD. 又因为平面 BDEF⊥平面 ABCD,平面 BDEF∩平面 ABCD=BD,且 AC? 平面 ABCD,所以 AC ⊥平面 BDEF.

(2)在△CEF 中,因为 G,H 分别是 CE,CF 的中点,所以 GH∥EF, 又因为 GH?平面 AEF,EF? 平面 AEF,所以 GH∥平面 AEF. 设 AC∩BD=O,连接 OH, 在△ACF 中,因为 OA=OC,CH=HF,所以 OH∥AF, 又因为 OH?平面 AEF,AF? 平面 AEF,所以 OH∥平面 AEF. 又因为 OH∩GH=H,OH,GH? 平面 BDGH, 所以平面 BDGH∥平面 AEF.

1.下列四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的中点, 能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是( )

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A.①③ C.①④

B.②③ D.②④

解析:对于图形①:平面 MNP 与 AB 所在的对角面平行,即可得到 AB∥平面 MNP,对于图 形④:AB∥PN,即可得到 AB∥平面 MNP,图形②,③都不可以,故选 C. 答案:C 2.如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别是棱 CC1,C1D1,D1D,DC 的中点,

N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足条件________时,有 MN∥平面 B1BDD1.

解析:

如图,连接 FH,HN,FN, 由题意知 HN∥面 B1BDD1,FH∥面 B1BDD1. 且 HN∩FH=H, ∴面 NHF∥面 B1BDD1. ∴当 M 在线段 HF 上运动时,有 MN∥面 B1BDD1. 答案:M∈线段 HF 3. 如图 1, 已知⊙O 的直径 AB=4, 点 C、 D 为⊙O 上两点, 且∠CAB=45°, ∠DAB=60°,

F 为弧 BC 的中点,将⊙O 沿直径 AB 折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图 2).

(1)求证:OF∥AC; (2)在弧 BD 上是否存在点 G,使得 FG∥平面 ACD?若存在,试指出点 G 的位置;若不存 在,请说明理由. 解:

6

解法 1:(1)证明:如右图,连接 CO, ∵∠CAB=45°,∴CO⊥AB, 又∵F 为弧 BC 的中点,∴∠FOB=45°,∴OF∥AC. (2)取弧 BD 的中点 G,连接 OG,FG, 则∠BOG=∠BAD=60°,故 OG∥AD 由(1)OF∥AC,知 OF∥平面 ACD,故平面 OFG∥平面 ACD,则 FG∥平面 ACD,因此,在弧

BD 上存在点 G,使得 FG∥平面 ACD,且点 G 为弧 BD 的中点.
解法 2:证明:(1)如下图,以 AB 所在的直线为 y 轴,以 OC 所在的直线为 z 轴,以 O 为 原点,作空间直角坐标系 O—xyz,则 A(0,-2,0),C(0,0,2)



AC=(0,0,2)-(0,-2,0)=(0,2,2),
∵点 F 为弧 BC 的中点,∴点 F 的坐标为(0, 2, 2),



OF=(0, 2, 2),
2→ → ∴OF= AC,即 OF∥AC. 2 (2)设在弧 BD 上存在点 G,使得 FG∥平面 ACD, 由(1)OF∥AC,知 OF∥平面 ACD,∴平面 OFG∥平面 ACD,则有 OG∥AD. → → → → → 设 OG = λ AD (λ >0) ,∵ AD = ( 3 , 1,0) ,∴ OG = (3λ , λ , 0) .又∵ | OG | = 2 ,∴

→ 2 2 2 ? 3λ ? +λ +0 =2,解得 λ =±1(舍去-1),∴OG=( 3,1,0),则 G 为弧 BD 的中 点. 因此,在弧 BD 上存在点 G,使得 FG∥平面 ACD,且点 G 为弧 BD 的中点.

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