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2015-2016高中数学 2.2.1综合法与分析法练习 新人教A版选修1-2


2.2

直接证明与间接证明 综合法和分析法

2.2.1

1.结合已经学习过的数学实例,了解直接证明的两种最基本的方法:综合法和分析法. 2.了解用综合法和分析法解决问题的思考特点和过程,会用综合法和分析法证明具体 的问题.通过实例充分认识这两种证明方法的特点,认识证明的重要性.

基 础 梳 理

1.综合法. (1)定义:一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理 论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.其一般表示形式是由因 导果. (2)用 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示所要证明的结论,则综合 法用框图表示为:

P? Q1 → Q1? Q2 → Q2? Q3 →?→ Qn? Q
2.分析法. (1)定义:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到最后, 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等).这种证 明的方法叫做分析法. 其一般表示形式是执果索因. (2)用 Q 表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为: 得到一个 Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →?→ 明显成立 的条件 3.分析综合法. (1)定义:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论 Q′;根据结论的结构特点 去转化条件,得到中间结论 P′.若由 P′可以推出 Q′成立,就可以证明结论成立.这种证 明方法称为分析综合法. (2)用 P 表示已知条件、定义、定理、公理等,用 Q 表示要证明的结论,则分析综合法 可用框图表示为:

Pn? P′ P? P1 → P1? P2 →?→ ? ←?← Q1?Q2 ← Q?Q1 Qm?Q′

基 础 自 测 1.设 x,y∈R ,且 x+y=6,则 lg x+lg y 的取值范围是(B) A.(-∞,lg 6] B.(-∞,2lg 3] C.[lg 6,+∞) D.[2lg 3,+∞)
1


解析:∵x,y∈R ,x+y=6,∴2 xy≤6,即 0<xy≤9,∴lg xy≤lg 9,即 lg x+ lg y≤2lg 3.故选 B. 2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设 a>b>c,且 a+b+c=0,求证: b -ac< 3a”索的因应是(C) A.a-b>0 B.a-c>0 C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0 2 2 2 2 2 解析: b -ac < 3 a ? b - ac < 3a ?3a + ac - (a + c) > 0 ? (2a + c)(a - c) > 0 ? (a - b)(a-c)>0.故选 C.
2



3.已知 f(x)=x ,则 f′(3)的值为__________________. 2 解析:∵f(x)=x ,∴f′(x)=2x, ∴f′(3)=2×3=6. 答案:6 4.当 a∈________时,函数 f(x)=x -2(a-1)x+3 在[5,+∞)上是增函数. 2 解析:f(x)=x -2(a-1)x+3 在[5,+∞)上是增函数?a-1≤5?a≤6. 答案:(-∞,6]
2

2

(一)综合法证题的基本步骤 (1)分析题目的条件和结论,寻找已知与结论之间的有关数学公式、公理、定理、定义 等,确定解决的初步思路; (2)整合所得信息进行推理论证,得出结论. (二)分析法证题的步骤以及格式 欲证 Q 成立,只需证 P1,即证 P2,只需证 P3,?,即证 P,因为 P 成立,所以 Q 成立或 运用逆向推理符号“?” ,需要注意的是推理符号的方向,不可用反、用错. (三)分析综合法的综合应用 在解决问题时,经常把综合法和分析法结合起来使用:用分析法找思路,用综合法写步 骤.分析法与综合法相互转换、相互渗透、互为前提,充分利用这一辩证关系,注意它们的 联合运用,可以增加解题思路,开阔视野.

2

1.当所证结论与所给条件之间的关系不明确时,常采用分析法证明,但更多的时候是 综合法与分析法结合起来使用,即先看条件能够提供什么,再看结论成立需要什么,从两头 向中间靠拢,逐步接通逻辑思路. 2.用分析法证题是寻求使结论成立的充分条件,不是必要条件,因此各步的寻求用 “?” ,有些步骤也可用“?” ,但不能用“? ” ,因为是寻求充分条件,不必每步都是“?” , 证完之后也不能说每步都可逆,只有证明充要条件时,才可以说每步都可逆,或全部都用 “?”表达. 3.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题时常用的 思维方式.如果从解题的切入点的角度细分,直接证明方法可具体分为:比较法、代换法、 放缩法、判别式法、构造函数法等.这些方法是综合法和分析法的延续与补充.

1. “对于任意角 θ , cos θ -sin θ =cos 2θ ” 的证明过程: “cos θ -sin θ =(cos 2 2 2 2 2 θ -sin θ )(cos θ +sin θ )=cos θ -sin θ =cos 2θ ”应用了(B) A.分析法 B.综合法 C.综合法与分析法结合使用 D.演绎法 解析:这是由已知条件入手利用有关的公式证得等式,应用了综合法,故选 B.

4

4

4

4

2

2.要证明 3+ 5<4,可选择的方法有以下几种,其中最合理的为(B) A.综合法 B.分析法 C.比较法 D.归纳法 2 解析:要证明 3+ 5<4,只需证明( 3+ 5) <16,即 8+2 15<16,即证明 15<4, 亦即只需证明 15<16, 而 15<16 显然成立, 故原不等式成立. 因此利用分析法证明较为合理, 故选 B. 3.已知 a>0,b>0,m=lg 解析:因为? 所以 2 答案:m>n

a+ b
2

,n=lg

a+b
2

,则 m 与 n 的大小关系为________.

? a+ b?2 a+b+2 ab ? a+b?2 >? ? = ? , 4 ? 2 ? ? 2 ?


a+ b

a+b
2

.又因为 y=lg x 为增函数,所以有 m>n.

4.如图,长方形 ABCD?A1B1C1D1 中,AB=AA1=1, AD=2,E 是 BC 的中点. (1)求证:直线 BB1∥平面 D1DE; (2)求证:平面 A1AE⊥平面 D1DE;

3

(1)证明:在长方体 ABCD?A1B1C1D1 中,BB1∥DD1, 又∵BB1?平面 D1DE, DD1? 平面 D1DE, ∴直线 BB1∥平面 D1DE. (2)证明:在长方形 ABCD 中, ∵AB=AA1=1, AD=2, ∴AE=DE= 2. 2 2 2 ∴AE +DE =4=AD , 故 AE⊥DE. ∵在长方体 ABCD?A1B1C1D1 中,DD1⊥平面 ABCD,AE? 平面 ACBD, ∴DD1⊥AE. 又∵DD1∩DE=D, ∴直线 AE⊥平面 D1DE. 而 AE? 平面 A1AE, 所以平面 A1AE⊥平面 D1DE.

1.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2-Sk=24,则 k=(D) A.8 B.7 C.6 D.5 2.在三角形中,a 为最大边,要想得到三角形为锐角三角形的结论,三边 a,b,c 应 满足说明条件(A) 2 2 2 2 2 2 A.a <b +c B.a =b +c 2 2 2 2 2 2 C.a >b +c D.a ≤b +c b2+c2-a2 解析:若三角形为锐角三角形,即∠A 为锐角,由余弦定理知 cos A= >0, 2bc 2 2 2 ∴b +c -a >0. 3.设数列{an}为等差数列,且 a2=-6,a8=6,Sn 是{an}的前 n 项和,则(B) A.S4<S5 B.S4=S5 C.S6>S5 D.S6=S5 解析:∵a2+a8=-6+6=0,∴a5=0,又公差 d>0,∴S5=S4. 3 3 3 4.要使 a- b< a-b成立,则 a,b 应满足的条件是(D) A.ab<0 且 a>b B.ab>0 且 a>b C.ab<0 且 a<b
4

D.ab<0 且 a<b 或 ab>0 且 a>b 解析:思路不明确,用分析法寻求使不等式成立的条件. 3

a- b< a-b?a-b+3 ab2-3 a2b<a-b? ab2< a2b,

3

3

3

3

3

3

3 3 ∴当 ab>0 时,有 b< a,即 b<a; 3 3 当 ab<0 时,由 b> a,即 b>a. 所以选 D. 5.已知 a,b,c 是三条互不重合的直线,α ,β 是两个不重合的平面,给出四个命题: ①a∥b,b∥α ,则 a∥α ;②a,b? α ,a∥β ,b∥β ,则 α ∥β ;③a⊥α ,a∥β , 则 α ⊥β ;④a⊥α ,b∥α ,则 a⊥b. 其中正确命题的个数是(B) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:①因为 a∥b,b∥α ? a∥α 或 a? α ,所以①不正确. ②因为 a,b? α ,a∥β ,b∥β ,当 a 与 b 相交时,才能 α ∥β ,所以②不正确. ③α ∥β ,过 a 作一平面 γ ,设 γ ∩β =c,则 c∥a,又 a⊥α ? c⊥α ? α ⊥β ,所 以③正确. ④a⊥α ,b∥α ? a⊥b,所以④正确. 综上知③,④正确.

6.a>0,b>0,则下列不等式中不成立的是(D) 1 ?1 1? A.A+B+ ≥2 2 B.(a+b)? + ?≥4

ab

?a b?

a +b 2ab ≥a+b D. ≥ ab a+b ab 解析:特殊法,取 a=1,b=4,则 D 不成立.
C. 1-x 7.函数 f(x)=In ,若 f(a)=b,则 f(-a)=________. 1+x -1 1+x ?1-x? =In1-x=-f(x),所以 f(-a)=-f(a) 解析:因为 f(-x)=In =In? ? 1-x 1+x ?1+x? =-b. 答案:-b 8.设 a= 3+ 7,b=2+ 6,则 a、b 的大小关系为________. 1 1 解析:由 > ,化简得 2- 3> 7- 6. 2+ 3 6+ 7 从而 2+ 6> 3+ 7,即 a<b 答案:a<b 9.p= ab+ cd,q= ma+nc· 的大小关系为________. 2 解析:p =ab+cd+2 abcd,

2

2

b d + ,(m,n,a,b,c,d 均为正数),则 p 与 q m n

?b d? q2=(ma+nc)? + ? ?m n?
5

nbc mad + +cd m n ≥ab+cd+2 abcd 2 2 ∴q ≥p ,∴p≤q. 答案:p≤q
=ab+ 10.当 x∈(1,2)时,不等式 x +mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是________. 4 2 解析:x +mx+4<0?m<-x- ,
2

x

? 4? ∵y=-?x+ ?在(1,2)上单调递增, ?
x?

? 4? ∴-?x+ ?∈(-5,-4). ?
x?
∴m≤5. 答案:(-∞,-5] 11.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,且 A,B,C 成等差数列, a,b,c 也成等差数列.求证:△ABC 为等边三角形. π 2 2 2 证明:由 A,B,C 成等差数列知,B= ,由余弦定理知 b =a +c -ac, 3 a+c 又 a,b,c 也成等差数列,∴b= . 2 2 (a+c) 2 2 代入上式得 =a +c -ac, 4 2 整理得 3(a-c) =0,∴a=c,从而 A=C, π π 而 B= ,则 A=B=C= , 3 3 从而△ABC 为等边三角形. 12.如下图,在直三棱柱 ABC?A1B1C1 中,E、F 分别是 A1B,A1C 的中点,点 D 在 B1C1 上, A1D⊥B1C. 求证:(1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1FD⊥平面 BB1C1C.

证明:(1)由 E,F 分别是 A1B,A1C 的中点知,EF∥BC, ∵EF?平面 ABC 而 BC? 平面 ABC. ∴EF∥平面 ABC. (2)由三棱锥 ABC?A1B1C1 为直三棱柱知,CC1⊥平面 A1B1C1,又 A1D? 平面 A1B1C1, ∴A1D⊥CC1,又 A1D⊥B1C. CC1∩B1C=C,又 CC1,B1C? 平面 BB1C1C, ∴A1D⊥平面 BB1C1C.又 A1D? 平面 A1FD, ∴平面 A1FD⊥平面 BB1C1C.

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?品味高考 1.1 3.1 1.(2014·安徽高考)设 a=log3 7,b=2 ,c=0.8 ,则(B) A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b 1.1 解析:∵a=log3 7,∴1<a<2.∵b=2 ,∴b>2. 3.1 ∵c=0.8 ,∴0<c<1.故 c<a<b,选 B. 2.(2014·天津高考)设 a=log2 π ,b=log1 π ,c=π ,则(C) 2 A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a 解析:因为π >2,所以 a=log2 π >1.因为π >1,所以 b=log1 π <0.因为π >1, 2 -2 所以 0<π <1,即 0<c<1.所以 a>c>b. 3.如图,在四棱锥 P?ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD,PA ⊥AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点.求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
-2

证明: (1)∵平面 PAD⊥底面 ABCD, 且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD, ∴PA⊥底面 ABCD. (2)∵AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点, ∴AB∥DE,且 AB=DE. ∴ABDE 为平行四边形.∴BE∥AD. 又∵BE?平面 PAD. ∴BE∥平面 PAD. (3)∵AB⊥AD,而且 ABED 为平行四边形, ∴BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD. ∴PA⊥CD. 又 AD∩PA=A,∴CD⊥平面 PAD. ∴CD⊥PD. ∵E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点, ∴PD∥EF. ∴CD⊥EF. ∴CD⊥平面 BEF. ∴平面 BEF⊥平面 PCD.

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