tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

2013年上海市杨浦区高考二模数学(理)试题及答案


2012 学年静安、杨浦、青浦、宝山区高三年级高考模拟考试 数学试卷(理科) 2013.04. (满分 150 分,答题时间 120 分钟) 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格 填对得 4 分,否则一律得零分.

高考信息网 www.gkk12.com www.gkk12.com

A ? x x 2 ? 2x ? 3 ? 0 C A? 1.已知全集 U ? R ,集合 ,则 U z ? 2.若复数 z 满足 z ? i (2 ? z ) ( i 是虚数单位) ,则
3.已知直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角大小是 ? ,则 tan 2? ? . .

?

?

.

4.若关于 x、y 的二元一次方程组 是 .

?mx ? y ? 3 ? 0 ? ?(2m ? 1) x ? y ? 4 ? 0

有唯一一组解,则实数 m 的取值范围 开始 输入 p n=1 S=0

2 ( x ? 1) 的 图 像 关 于 直 线 5 . 已 知 函 数 y ? f ( x) 和 函 数 y ? l o g

x? y ?0

对称,则函数 y ? f ( x) 的解析式为

.

x2 ? y2 ? 1 6. 已知双曲线的方程为 3 , 则此双曲线的焦点到渐近线的距
为 .

n=n+1 n<p ? ? 否 输出 S 结 束 (第 9 题图) 是 S=S+2?n



f ( x) ?
7 . 函 数

s ix n? c o xs c o ? s? ( x) 2s i x n c o xs? s i x n
的 最 小 正 周 期

T?

.

n 3 8.若 (1 ? 2 x) 展开式中含 x 项的系数等于含 x 项系数的 8 倍,则正整



n?

. .

9.执行如图所示的程序框图,若输入 p 的值是 7 ,则输出 S 的值是

10.已知圆锥底面半径与球的半径都是 1cm ,如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等,那么这个圆锥的母线长 为

cm .

11.某中学在高一年级开设了 4 门选修课,每名学生必须参加这 4 门选修课中的一门,对于该年级的甲、乙、丙

3 名学生,这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率是
lim

(结果用最简分数表示).

Sn ?1 n ?? S ? Sn an ? n n ? 1 12.各项为正数的无穷等比数列 的前 项和为 ,若 , 则其公比 q 的取值范围是

.

运用科技和互联网的力量,让教育变的更容易。 1 / 13

www.gkk12.com

高考信息网 www.gkk12.com www.gkk12.com

13.已知两个不相等的平面向量 ? , ? ( ? ? 0 )满足| ? |=2,且 ? 与 ? - ? 的夹角为 120°,则| ? |的最大值 是 .

5 9 13 ? 1 ? 10 15 20 ? 5 ? 9 15 21 27 ? ? 13 20 27 34 ?? ? ? ? ? ?117 150 183 216 14.给出 30 行 30 列的数表 A : ?

? ? ? ? ? ?

117 ? ? 150 ? 183 ? ? 216 ? ? ? ? 1074 ? ? ,其特点是每行每列都构成等差数列,记

10, 21, 34, ?, 1074 按顺序构成数列 数表主对角线上的数 1,
数列,试写出一组 ( s, t ) 的值 .

b ,b ,b ?bn ? , 存在正整数 s、t (1 ? s ? t ) 使 1 s t 成等差

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案纸的相应编号上, 填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分.

? ? ? ( ,? )
15.已知

2

sin ? ?


3 ? tan(? ? ) 5 ,则 4 的值等于?????????(



1 (A) 7 .

1 (B) 7 . ?

(C) 7 .

(D) ? 7 .

16 . 已 知 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为

? ? a sin ? , 则 “ a ? 2 ” 是 “ 圆 C 与 极 轴 所 在 直 线 相 切 ”

的 ??????????????????????????????( ) (A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分又不必要条件. 17. 若直线 ax ? by ? 2 经过点 M (cos? , sin ? ) ,则 ??????????( )

(A) a ? b ? 4 .
2 2

1 1 1 1 ? 2 ?4 ? 2 ?4 2 2 b b (B) a ? b ? 4 . (C) a . (D) a .
2 2

18.已知集合

M ? ?( x, y ) y ? f ( x)?

,若对于任意 ( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y 2 ) ? M ,使

得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 成立,则称集合 M 是“ ? 集合”. 给出下列 4 个集合:

? M ? ?( x, y ) y ? ? ①


1? ? x?

② ④

M ? ?( x, y ) y ? e x ? 2?

M ? ?( x, y ) y ? cos x?

M ? ?( x, y ) y ? ln x?


其中所有“ ? 集合”的序号是????????????????????(
运用科技和互联网的力量,让教育变的更容易。 2 / 13

www.gkk12.com

(A)②③ . (B)③④ . (C)①②④. (D)①③④. 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的 步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. 在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别为 A1 B1 , CD 的中点. (1)求直线 EC 与平面 B1 BCC1 所成角的大小; (2)求二面角 E ? AF ? B 的大小.

高考信息网 www.gkk12.com www.gkk12.com

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 .

? 如图所示,扇形 AOB ,圆心角 AOB 的大小等于 3 ,半径为 2 ,在半径 OA 上有一动点 C ,过点 C 作平行于 OB
的直线交弧 AB 于点 P . (1)若 C 是半径 OA 的中点,求线段 PC 的大小; (2)设 ?COP ? ? ,求△ POC 面积的最大值及此时 ? 的值. 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 . 已知函数 f ( x) ? x ? a .
2

F ( x) ? f ( x) ?
(1)若

2 bx ? 1 是偶函数,在定义域上 F ( x) ? ax 恒成立,求实数 a 的取值范围;

(2)当 a ? 1 时,令 ? ( x) ? f ( f ( x)) ? ?f ( x) ,问是否存在实数 ? ,使 ? ( x) 在 ?? ?,?1? 上是减函数,在 ?? 1,0? 上是增函数?如果存在,求出 ? 的值;如果不存在,请说明理由. 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.

运用科技和互联网的力量,让教育变的更容易。 3 / 13

www.gkk12.com

高考信息网 www.gkk12.com www.gkk12.com

已知点 A(1,0) , 1 、 2 、 3 是平面直角坐标系上的三点, 且 (1)若

P

P

P

AP1



AP2



AP3

成等差数列, 公差为 d ,d ? 0 .

P1

坐标为

?1, ?1? , d ? 2 ,点 P3 在直线 3x ? y ?18 ? 0 上时,求点 P3 的坐标;
2 2 2

P 、P3 (2)已知圆 C 的方程是 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? r (r ? 0) ,过点 A 的直线交圆于 1 两点, P2 是圆 C 上另外
一点,求实数 d 的取值范围; (3)若

P1



P2



P3

P PP 都在抛物线 y ? 4 x 上,点 2 的横坐标为 3 ,求证:线段 1 3 的垂直平分线与 x 轴的交点为
2

一定点,并求该定点的坐标. 23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列

?a n ?的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? a
?bn ? 是等比数列;
?

( a ? 3 ),

a n ?1 ? S n ? 3 n

n ? ,设 bn ? S n ? 3 , n ? N .

(1)求证:数列

(2)若 a n?1 ≥ a n , n ? N ,求实数 a 的最小值;

?3 , n ? 1 en ? ? ?e ? ?bn , n ? 2 ,设这个新数列的前 n 项和为 C n ,若 C n 可以 (3)当 a ? 4 时,给出一个新数列 n ,其中
写成 t
p

?C ? C ( t , p ? N 且 t ? 1, p ? 1 )的形式,则称 n 为“指数型和”.问 n 中的项是否存在“指数型和”,若存在,
?

求出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由.

四区联考 2012 学年度第二学期高三数学(文理) 参考答案及评分标准 2013.04 说明 1.本解答列出试题一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某 一步出现错误,影响了后续部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分 的给分,但是原则上不应超出后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 3.第 19 题至第 23 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数. 4.给分或扣分均以 1 分为单位. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格 填对得 4 分,否则一律得零分.

4 1. [?1,3] ; 2. 2 ; 3. 3 ;

4.

m?

1 3;

5. y ? 2 ? 1 ;
x

6. 1 ;

1 C4 P43 3 1 63 ? ? 2 4 (理) 4 3 8 ;12. ?0,1? ; 7. (文、理) ? ;8. (文)4(理) 5 ;9. 64 ;10. 17 ;11. (文) 4

运用科技和互联网的力量,让教育变的更容易。 4 / 13

www.gkk12.com

高考信息网 www.gkk12.com www.gkk12.com

4 3 13. (文) (1, ??) (理) 3 ;14. (文)②③⑤(理) (17 ,25) . ②
二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案纸的相应编号上, 填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. D ; 16. (文)B (理)A ; 17. B ;18. (文)C(理)A 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的 步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 . (文)解: (1)如图正四棱锥底面的边长是 1.5 米,高是 0.85 米
S

V ?

1 1 sh ? ? 1.5 ? 1.5 ? 0.85 ? 0.6375 m 3 3 3
3
1.5

0.85

O

E

所以这个四棱锥冷水塔的容积是 0.6375 m . (2)如图,取底面边长的中点 E ,连接 SE ,

SE ? SO 2 ? EO 2 ? 0.85 2 ? 0.75 2

1 S侧 ? 4 ? ? 1.5 ? SE 2

1 ? 4 ? ? 1.5 ? 0.85 2 ? 0.75 2 ? 3.40 m 2 2

答:制造这个水塔的侧面需要 3.40 平方米钢板. (理)

19. (1) (理)解法一:建立坐标系如图 平面 B1 BCC 1 的一个法向量为 n1 ? (0,1,0) 因为 E (2,1,2) C (0,2,0) ,? EC ? (?2,1,?2) , 可知直线 EC 的一个方向向量为? d ? (?2,1,?2) . 设直线 EC 与平面 B1 BCC1 成角为 ? , d 与 n1 所成角为 ? ,则
运用科技和互联网的力量,让教育变的更容易。 5 / 13

www.gkk12.com

高考信息网 www.gkk12.com www.gkk12.com

sin ? ? cos? ?

n1 ? d n1 d

?

1 9 ?1

?

1 3
1 3

故EC与平面B1BCC 1成角大小为arcsin

19(1)解法二: EB1 ? 平面 B1 BCC 1 ,即 B1C 为 EC 在平面 B1 BCC 1 内的射影,故 ?ECB 1 为直线 EC 与平面

B1 BCC1 所成角,



Rt ?EB1C





EB 1 ? 1, B1C ? 2 2
2 4

故 tan ?ECB1 ?
,

EB1 1 2 ? ? B1C 2 2 4

故EC与平面B1 BCC 1成角大小为arctan
19(2) (理科)

解法一:建立坐标系如图.平面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1) 设平面 AEF 的一个法向量为 n2 ? ( x, y, z ) ,因为 AF ? ( ?2,1,0) , AE ? (0,1,2)

?? 2 x ? y ? 0 ? y ? 2 z ? 0 ,令 x ? 1,则 y ? 2, z ? ?1 ? n2 ? (1,2,?1) 所以 ?
cos? ? n1 ? n2 n1 n2 ? ?1 1? 4 ?1 ? 6 6
6 6 .

由图知二面角 E ? AF ? B 为锐二面角,故其大小为

arccos

19(2)解法二:过 E 作平面 ABC 的垂线,垂足为 E ? , ?EGE? 即为所求

E ? ? AB ,过 E ? 作 AF 的垂线设垂足为 G , ?ADF ∽ ?AGE
G ?E AD GE ? 2 2 ? ? ? GE ? ? AE ? AF 1 5即 5
在 Rt?EE Q 中

?

tan ?EGE ? ?

EE ? ? 5 GE ?

所以二面角 E ? AF ? B 的大小为 arctan 5 .
运用科技和互联网的力量,让教育变的更容易。 6 / 13

www.gkk12.com

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 解:(1)在△ POC 中,

高考信息网 www.gkk12.com www.gkk12.com

?OCP ?

2? 3 , OP ? 2, OC ? 1

OP 2 ? OC 2 ? PC 2 ? 2OC ? PC cos


2? 3

得 PC ? PC ? 3 ? 0 ,解得
2

PC ?

? 1 ? 13 2 .

(2)∵ CP ∥ OB ,∴

?CPO ? ?POB ?

?
3

??


2 CP ? 2? sin ? OP CP sin ? 3 在△ POC 中,由正弦定理得 sin ?PCO sin ? ,即 OC
CP ?


4 3

sin ?

sin( ? ? ) 3 ,又

?

?

CP 2? ? OC ? 4 sin(? ? ? ) sin 3 3 3 .

(文)记△ POC 的周长为 C (? ) ,则

C (? ) ? CP ? OC ? 2 ?

4 3

sin ? ?

4

sin( ? ? ) ? 2 3 3

?

=

? 4 ? 3 1 4 ?? ? cos? ? sin ? ? ?2? sin ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 2 3? 3? 2 3 ? ?

??


?

4 3 ?2 6 时, C (? ) 取得最大值为 3 .

(理)解法一:记△ POC 的面积为 S (? ) ,则

1 2? S (? ) ? CP ? OC sin 2 3 ,

?

1 4 4 ? 3 4 ? ? sin ? ? sin( ? ? ) ? ? sin ? ? sin( ? ? ) 2 3 3 2 3 3 3 4 3 sin ? ( 3 1 2 cos? ? sin ? ) ? 2 sin ? cos? ? sin 2 ? 2 2 3

?

运用科技和互联网的力量,让教育变的更容易。 7 / 13

www.gkk12.com

高考信息网 www.gkk12.com www.gkk12.com

? sin 2? ?

3 3 2 3 ? 3 ? (sin 2? ? ) ? cos 2? ? 3 6 3 3 3

??


?

3 6 时, S (? ) 取得最大值为 3 .

cos
解法二:
2

2? OC 2 ? PC 2 ? 4 1 ? ?? 3 2OC ? PC 2
2 2 2

即 OC ? PC ? OC ? PC ? 4 ,又 OC ? PC ? OC ? PC ? 3OC ? PC 即 3OC ? PC ? 4 当且仅当 OC ? PC 时等号成立,

S?
所以

1 2? 1 4 3 3 CP ? OC sin ? ? ? ? 2 3 2 3 2 3

? OC ? PC ∴

??

?

3 S ( ? ) 6 时, 取得最大值为 3 .

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . (文)解:(1)依题意, a ? 2 3 , C (2 3,0) ,



? x2 y 2 ?1 ? ? ?12 4 ?y ? x ?

,得 y ? ? 3 ,

? OC ? 2 3 设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y 2 ) ,
S ?ABC ? 1 1 OC ? y1 ? y 2 ? ? 2 3 ? 2 3 ? 6 2 2 ;



y ? kx ? 2 ? ? 2 2 ? x ? y ?1 2 2 2 ? (2)如图,由 ?12 4 得 (3k ? 1) x ? 12kx ? 0 , ? ? (12 k ) ? 0
P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) H ( x0,y0 ) 依题意, k ? 0 ,设 ,线段 PQ 的中点 ,



x0 ?

x1 ? x2 ?6k 2 ? 2 y0 ? kx0 ? 2 ? 2 2 3k ? 1 , 3k ? 1 , D (0, ? 2) ,

运用科技和互联网的力量,让教育变的更容易。 8 / 13

www.gkk12.com

高考信息网 www.gkk12.com www.gkk12.com



k DH ? k PQ

?2 3k ? 1 ? k ? ?1 3 6k k ? ? ? 2 ? ?1 3 ,得 3k ? 1 ,∴
2

2

F ( x) ? x 2 ? a ?
(理)解:(1) 即 F ( x) ? x ? a ? 2 , x ? R
2

2 bx ? 1 是偶函数,? b ? 0

又 F ( x) ? ax 恒成立即 x ? a ? 2 ? ax ? a( x ? 1) ? x ? 2
2 2

当 x ? 1时 ? a ? R

x2 ? 2 3 a? ? ( x ? 1) ? ?2 x ?1 x ?1 当 x ? 1时, ,a ? 2 3 ? 2 a? x2 ? 2 3 ? ( x ? 1) ? ?2 x ?1 x ?1 ,

当 x ? 1 时,

a ? ?2 3 ? 2

综上: ? 2 3 ? 2 ? a ? 2 3 ? 2 (2) ? ( x) ? f ( f ( x)) ? ?f ( x) ? x ? (2 ? ? ) x ? (2 ? ? )
4 2

?? ( x) 是偶函数,要使 ? ( x) 在 ?? ?,?1? 上是减函数在 ?? 1,0? 上是增函数,即 ? ( x) 只要满足在区间 ?1,??? 上是
增函数在 ?0,1? 上是减函数.
2 令 t ? x ,当 x ? ?0,1? 时 t ? ?0,1? ; x ? ?1,??? 时 t ? ?1,??? ,由于 x ? ?0,?? ? 时,

2 t ? x 2 是增函数记 ? ( x) ? H (t ) ? t ? (2 ? ? )t ? (2 ? ? ) ,故 ? ( x) 与 H (t ) 在区间 ?0,??? 上有相同的增减性,

当二次函数 H (t ) ? t ? (2 ? ? )t ? (2 ? ? ) 在区间 ?1,?? ? 上是增函数在 ?0,1? 上是减函数,其对称轴方程为
2

t ?1

??

2?? ?1? ? ? 4 2 .
4 2 2

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.
2 (文)解:(1)? y ? f ( f ( x)) ? x ? 2ax ? a ? a 过原点, a ? a ? 0

2 2 ? a ? 0或a ? ?1 得 f ( x) ? x 或 f ( x) ? x ? 1

(2)(3)同理 21
运用科技和互联网的力量,让教育变的更容易。 9 / 13

www.gkk12.com

(理)解(1)

AP 1 ?1

,所以

AP3 ? 5

,设

P3 ? x, y ?

高考信息网 www.gkk12.com www.gkk12.com

2 2 ? ?? x ? 1? ? y ? 25 ? ?3x ? y ? 18 ? 0 ,消去 y ,得 x2 ?11x ? 30 ? 0 ,?(2 分) 则?

解得

x1 ? 5



x2 ? 6

,所以

P3

的坐标为

? 5, ?3? 或 ? 6, 0 ?
t ? (3 ? 1) 2 ? (3 ? 0) 2 ? 13
?(6 分)

(2)由题意可知点 A 到圆心的距离为

2d ? AP3 ? AP1 ? P1 P3 A ?1, 0 ? (ⅰ)当 0 ? r ? 13 时,点 在圆上或圆外, ,

0 ? P1 P3 ? 2r 又已知 d ? 0 , ,所以

?r ? d ?0 或 0? d ? r

A ?1, 0 ? (ⅱ)当 r ? 13 时,点 在圆内,所以

2d m ax ?

13 ? r ? r ? 13 ? 2 13



0 ? 2d ? 2 13 又已知 d ? 0 , ,即 ? 13 ? d ? 0 或 0 ? d ? 13
结论:当 0 ? r ? 13 时, ? r ? d ? 0 或 0 ? d ? r ;当 r ? 13 时, ? 13 ? d ? 0 或 0 ? d ? 13

A ?1, 0 ? (3)因为抛物线方程为 y ? 4 x ,所以 是它的焦点坐标,
2

点 设

P2

的横坐标为 3 ,即 ,

AP2 ? 8
,则

P 1 ? x1 , y1 ?

P3 ? x3 , y3 ?

AP 1 ? x1 ? 1



AP3 ? x3 ? 1



AP 1 ? AP 3 ? 2 AP 2



所以

x1 ? x3 ? 2 x2 ? 6
k?
的斜率

直线

PP 1 3

y3 ? y1 4 y ?y ? kl ? ? 3 1 x3 ? x1 y3 ? y1 ,则线段 PP 1 3 的垂直平分线 l 的斜率 4

则线段

PP 1 3

的垂直平分线 l 的方程为

y?

y3 ? y1 y ?y ? ? 3 1 ? x ? 3? 2 4

直线 l 与 x 轴的交点为定点

? 5, 0 ?
1? 2 2 a 2 ? a1 ? 3 ,即 3;

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. (文)解: (1)令 n ? 1得

1 ? a 2 ? a1 ?

又 a1 ? 2

? a2 ?

8 3

运用科技和互联网的力量,让教育变的更容易。 10 / 13

www.gkk12.com

高考信息网 www.gkk12.com www.gkk12.com

n(n ? 1) ? nan ?1 ? S n ? , ? ? 3 ? n(n ? 1) 2 ? (n ? 1)a n ? S n ?1 ? a 2 ? a1 ? ? 3 3 和? (2)由

? nan?1 ? (n ? 1)a n ? a n ?

2 2n ? an?1 ? a n ? 3, 3

所以数列

{a n }

2 2 a n ? (n ? 2) 3 是以 2 为首项, 3 为公差的等差数列,所以 .
{a k n }
的公比 q ? 1 ,若 k 2 ? 2 ,则由

解法一:数列

{a n }

是正项递增等差数列,故数列

a2 ?

8 q ? a2 ? 4 a1 3 , 3得

4 32 32 2 10 a k3 ? 2 ? ( ) 2 ? ? (n ? 2) n ? ?N* 3 9 ,由 9 3 3 此时 解得 ,所以 k 2 ? 2 ,同理 k 2 ? 3 ;若 k 2 ? 4 ,则由
a4 ? 4 得 q ? 2 ,此时
a kn ? 2 ? 2 n ?1

2 ? 2 n?1 ?
组成等比数列,所以
n

2 (m ? 2) n ?1 3 , 3 ? 2 ? m ? 2 ,对任何正整数

n , 只 要 取 m ? 3 ? 2 n?1 ? 2 , 即 a k 是 数 列 {a n } 的 第 3 ? 2 n?1 ? 2 项 . 最 小 的 公 比 q ? 2 . 所 以
k n ? 3 ? 2 n ?1 ? 2
解 法 二 : .???(10 分)

数 列

{a n }

是 正 项 递 增 等 差 数 列 , 故 数 列 组成的数列

{a k n }

的 公 比 q ?1 , 设 存 在
2 ak ? a k1 ? a k3 2

a k1 , a k2 ,?, a kn ,? (k1 ? k 2 ? ? ? k n ? ?)
2

{a k n }

是等比数列,则

,即

2 ?2 ? 2 ? 3 (k 2 ? 2)? ? 2 ? 3 (k 3 ? 2) ? ?k 2 ? 2 ? ? 3?k 3 ? 2 ? ? ?
因为

k 2、k 3 ? N * 且k 2 ? 1

{a } 所以 k 2 ? 2 必有因数 3 ,即可设 k 2 ? 2 ? 3t , t ? 2, t ? N ,当数列 k n 的公比 q 最
n ?1

k ? 3? 2 小时,即 k 2 ? 4 , ? q ? 2 最小的公比 q ? 2 .所以 n
(3)由(2)可得从

?2

. 组成的数列

{a n }

中抽出部分项

a k1 , a k2 ,?, a kn ,? (k1 ? k 2 ? ? ? k n ? ?)

{a k n }

是等比数

列,其中 k1 ? 1 ,那么

{a k n }

q?
的公比是

k2 ? 2 3 ,其中由解法二可得 k 2 ? 3t ? 2, t ? 2, t ? N .

a kn ? 3 ? (

k 2 ? 2 n?1 2 k ? 2 n?1 3t ? 2 ? 2 n?1 ) ? (k n ? 2) ? k n ? 3 ? ( 2 ) ? 2 ? kn ? 3 ? ( ) ? 2 ? k ? 3 ? t n ?1 ? 2 n 3 3 3 3

运用科技和互联网的力量,让教育变的更容易。 11 / 13

www.gkk12.com

高考信息网 www.gkk12.com www.gkk12.com

, t ? 2, t ? N 所以

k1 ? k 2 ? ? ? k n ? 3(1 ? t ? t 2 ? ? ? t n?1 ) ? 2n ? 3 ? t n ? 2n ? 3

(理)解: (1)

a n ?1 ? S n ? 3 n ? S n ?1 ? 2S n ? 3 n

n ? , bn ? S n ? 3 , n ? N ,当 a ? 3 时,

bn ?1 S n ?1 ? 3n ?1 2S n ? 3n ? 3n ?1 ? ? ?b ? bn S n ? 3n S n ? 3n =2,所以 n 为等比数列.
n ?1 b1 ? S1 ? 3 ? a ? 3 , bn ? (a ? 3) ? 2 .

(2) 由(1)可得

S n ? 3n ? (a ? 3) ? 2 n?1

a n ? S n ? S n ?1 , n ? 2, n ? N ?

a n ?1 ? an ? ? n ?1 n?2 n?2 ?2 ? 3 ? (a ? 3) ? 2 ;

a n ?1

? a 2 ? a1 ? ?a n ?a n ?1 ? a n n ? 2 ,

, a ? ?9

所以 a ? ?9 ,且 a ? 3 .所以 a 的最小值为 (3)由(1)当 a ? 4 时, 当 n ? 2 时,

bn ? 2 n ?1

C n ? 3 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ? 2 n ? 1 C1 ? 3 , ,

所以对正整数 n 都有 由t
p

Cn ? 2 n ? 1



? ? 2 n ? 1 , t p ? 1 ? 2 n ,( t , p ? N 且 t ? 1, p ? 1 ), t 只能是不小于 3 的奇数.

①当 p 为偶数时, t ? 1 ? (t
p
p p

p 2

? 1)(t ? 1) ? 2 n ,

p 2

2 2 因为 t ? 1 和 t ? 1 都是大于 1 的正整数, g h 2 2 所以存在正整数 g , h ,使得 t ? 1 ? 2 , t ? 1 ? 2 ,
2 h g ?h 2 g ? 2 h ? 2 , 2 (2 ? 1) ? 2 ,所以 2 h ? 2 且 2 g ?h ? 1 ? 1 ? h ? 1, g ? 2 ,相应的 n ? 3 ,即有 C 3 ? 3 , C 3

p

p

为“指数型和”; ②当 p 为奇数时, t ? 1 ? (t ? 1)(1 ? t ? t ? ? ? t
p 2 p ?1

) ,由于 1 ? t ? t 2 ? ? ? t p ?1 是 p 个奇数之和,仍为奇数,

运用科技和互联网的力量,让教育变的更容易。 12 / 13

www.gkk12.com

高考信息网 www.gkk12.com www.gkk12.com

又 t ? 1 为正偶数,所以 (t ? 1)(1 ? t ? t ? ? ? t
2

p ?1

) ? 2 n 不成立,此时没有“指数型和”.

小编推荐:

高考信息网: 高考试题库: 高考报考: 高考备考:

www.gkk12.com www.gkk12.com/shitiku www.gkk12.com/baokao www.zkk12.com/beikao

运用科技和互联网的力量,让教育变的更容易。 13 / 13

www.gkk12.com



推荐相关:

2016年二模高三数学杨浦区理科试题(答案)

2016年二模高三数学杨浦区理科试题(答案)_高三数学_...y1 y2 ? 0 ① 4 4 4 同理: x2 x3 xx ?...2013-2014学年上海市高三... 9页 1下载券 2010...


2017届上海市杨浦区高三二模数学卷(含答案)

2017届上海市杨浦区高三二模数学卷(含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。杨浦区 2016 学年度第二学期高三年级质量调研数学学科试卷 2017.4 考生注意: 1....


上海市杨浦区2015届高三二模考试数学试卷(理科)

上海市杨浦区2015届高三二模考试数学试卷(理科)_数学...(B)= 故答案为: 点评:本题考查了古典概率问题的...同理证明 D1E⊥AF 即可. 法二:代数法:建立空间...


2013年上海市杨浦区高考二模数学(文)试题及答案

2013年上海市杨浦区高考二模数学()试题及答案 - 高考信息网 www.gkk12.com www.gkk12.com 2012 学年静安、杨浦、青浦宝山区高三年级高考模拟考试 数学试卷...


2013杨浦、青浦、静安、宝山高三二模数学试卷(理)有答案

2013杨浦、青浦、静安、宝山高三二模数学试卷(理)答案 - 2012 学年静安、杨浦、青浦、宝山区高三年级高考模拟考试 数学试卷(理科) 每个空格填对得 4 分,否则...


2018杨浦高三二模数学

2018杨浦高三二模数学_数学_高中教育_教育专区。上海市杨浦区 2018 届高三二模数学试卷 2018.04 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 ...


上海市杨浦区2016届高三5月模拟(三模)数学理试题 Word...

上海市杨浦区2016届高三5月模拟(三模)数学理试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。上海市杨浦区2016届高三5月模拟(三模)数学理试题 Word版含...


2013年上海联考二模试卷理科含答案

2013年上海联考二模试卷理科含答案_数学_高中教育_教育专区。上海龙文教育 http://www.lw-sh.com 2013 年静安、杨浦、青浦宝山区高三二模卷(理科) (满分 150 ...


2013理科二模-上海市静安杨浦青浦宝山区高三数学

2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——静安杨浦青浦宝山区数学(理科) 2013 年上海市静安、杨浦、青浦、宝山区高三年级二模试卷——数学(理科) 2013 年...


2013年上海市杨浦区高考二模化学试题及答案

2013年上海市杨浦区高考二模化学试题及答案 - 高考信息网 www.gkk12.com www.gkk12.com 2013 四区联考(静安区杨浦区宝山区青浦区)高三化学二模 2013.4 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com