tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

一道高中数学竞赛题的推广


38 气 至 理

上海中学数学 2006 年第 1 2 期

一道 慈中么学竞 赛题 的推广
324000
2 00 4

浙江省衙州职业技术学院 单宝良
( 瓜 + 翔 + 匀 )2

年全国高中数学联赛吉林赛区初赛第

几 (‘ 劝+ 人仰 +

两匀 ) + 二( 口 J准 + 石劝 + 祝习 ) + 几 ( ‘ 功十从门十板魂)

四大题是 5. 求 设 a‘ e R+ , 1= 1 , 2, ,
a 1

二。 (对 千 浦 +浦 )+ (、 , + *2)(xlx:+ x Zx 3 + x:x 3)
己2

x 1+ x ( Z+x 3 )2

a Z+ 3a3+ 5a4+ 7a5
+ …+
口5

a 3 + 3a 4+ s a s + 7a l

( x l + x Z+ x 3) 2 a (x l + x : 十x3) 2+ ( 又 1+ 久 : 一Za ) (x l xZ+ xZxa+ x l x3)

a l + 3a 2+ 5a 3+ 7a 4

的最小值。

又( 勺 + x Z +x 3 ) 2) 3(x l x Z +x Z x3+ x l x: ) , 所

一 一 一 , , , 尸 一 一 -, 一 二 一 - 一+ 多
‘ xl . xZ

我们发现, 这道试题的结论还可加强为 定理 设 x ‘ > 0( 1二1 , 2, 一, , ), 石N, n》3 , 正项等和数列林” }( 玄 = 1, 乙. , 一1 ) 满足 丸+

ax l + 几 l x Z+ 又 2x 3 ’ a x Z+ 几 1工 3+ 几 Zx l
3

一一气气井乙一

一 一 +

凡 一 1= 从+ 凡 一 2= 一 t) Z a ) 0 ,则

ax 3 十人 l x l 十又 。 xz
2n

3a + ( 义 1+ 久 。 一 1 一Za )

一,甲一一共写一七份一 + a X I 十 人1 之2 州 卜井2 工3 十 二 十 人 月 一I X 厅
X2

Za + ( 斤 一1) ( 又 1+ 人 , 一 1)
(2) 不等式 ( 1 ) 成立 . 当, 》4 时, 记不等式 ( 1 ) 的左边二A , 令

a x Z十幻 x 3+ 肠 x 4+ … + 又 n一 l xl
Xn

+ …十

ax 。 + 丸x l + 碗x Z 十” 十礼一 l x, 一 1

的 最‘ 小值为

B 二x l (ax l + 丸xZ+ 几 2x 3 十 … + 久 。 一 l x, )+

斗 井二 娜~ ; 卫 一- 一一
2。 + (作 一 1) ( 又 1+ 又 二 一1) -

Z (a 众十从x x 3 + 肠x 4 + … + 礼一 l x 力十… + 岛

(a i + 丸侧 + 礼xZ十…+ 礼 t x 一 l x, 一 ) 1
由柯 西 不 等 式及 已知条 件 易 得 A


证明 : 实际上述问题等价于
在工 1

B
( 3)

+ 几 。 一 lx, 干幻及干从x 3 十“
X2

)

( ) 二 一 二 ‘ )“ , 即A )
书 片

二 、一

一 二专产一
0

(习 X ‘ )2

。 之 2+ 从x 3+ 祝 x 4+ … 十几 二 一 lx l
X”

+ …+

再由数列 {几 。 }成等和数列, 易得

ax , 十从x l + 肠xZ+ … + 礼一 lx, 一 1
2n

)

B二 a ( 艺x‘ )2+ (“ , +‘ , 1) 见 X fX j
1《亡 < 1成.

=

Za + ( n 一 1) ( 又 1 十又 二 一 1)

(1 )

。 ( 习x、 ), + (‘ , +‘ 卜 , 一 Z a) 习 x‘ x, ,
百 口1

1‘谊 < j ‘.

且等号能取到.

当 n= 3 时, 由柯西不等式有 〔 x, (axl + 几 , xZ+ 又 2x 3 )+ x Z (axZ十久 , 3 + x 又 Zxl ) + x3( a x3+ 几 l xl + 几 Zx: ) 〕
X1



1左成 <了 ‘.

又 (x‘ 一 j )2) “ x , 所以 ( 见x‘ )2 )

x, 右 石 石 瑞 诉顶 二 不 习 x‘
由( 3) 、 (4) 得不等式 ( 1) 成立 .

(4)

ax l 十从x Z+ 肠x 3
X3

一,一竺,一 + 己工 2 十 人1 工3 十 人2 工 1
(x l + x Z 十 x3 ) 2 , 所以

式( 1 ) 等号当 X l
到 证毕 . 注

二 X Z = X 3 台 二’

二x , 就能取

ax 3+ 几 l xl + 人 2x 2

))

一 孕,一 + 几 1 刃2 十 滩 2 工3

X2

工3

几 1翻 + 几 Zx l

几 Ix l + 几 2x 2

)

不等式( 1 ) 中取 n= 5 , 从二1 , 儿二3 , 弋 实际上就是《 学通报》 问题 1305 , “5 , 从二7 ,

解法探微

旅 百,3 夕

运动型题 目中定值 的确定和求法
518049 广东省深圳市梅山中学 赵燕芬
有一类题 目, 是在运动过程中确定某个量 是否是定值. 解决这类题目的一般方法是 : ①先 求出特殊值. 即先求出所求量在运动到某一特 殊位置时对应的值. ②再证明肯定或举反例否 定. 即在运动过程中任一位置所求量都等于这 个特殊值, 贝 纤 说明所求量是定值 , 并且特殊值即 重叠部分为△OAB , 它的面积为正方形 ABCD
面积的 1/ 4 , 即 1.

②再证明肯定.

若旋转到如图 1 示所示, 此时重叠部分为 四边形 QMBN , 可证得△OAM 里△OBN , 所以
四边形 OM刀 N 的面积就等于△Q AB 的面积 1.

为定值; 若能找出运动过程中某一位置所求夏 不等予这个特殊值, 则说明所求量不是定值; .举

一 旋转到其它位置同例可证.

例 如 下 :

-

综上所述, 在旋转过程中, 两正方形重叠部分
的面积是定值, 且定值为 1 ( 是正方形面积的 1/ 4 ) . 例 2、 求证 : 等腰三角形底边

例 1、 如图 1 , 正方形 ABCD 的边长为 2 , 对 角线相交 于点 a 另一 和它全等 的正方形 OEFG 绕着 0 点旋转, 问 : 在旋转过程中, 两正 方形重叠部分的面积是否是定值? 若是, 则求 出定值 ; 若不是, 请说明理由. 解 : ① 先求 出特殊
值.

上 任 意 一 点 到 两 腰的 距 离 之和 为

定 值 .

已知 : 如 图 2 , 等腰 三角 形
图2

ABC 中, AB = AC , 尸是 BC 上任

由 企 一 方形, 的 性质
知 : 当旋转到。 OE 与 0 乃 .

在同一线上时, 0 多与
OB 也在同一线上. 此时

。 卿。
于E ,
图1
C

意一点, 尸 D 上AB 于 D , 尸 E 上AC

求 证: PD+ p E 为定值.
证明 : ①先求出特殊值. 当 尸点运动到端点 B 时, 过 B 作 BF 上AC
②再证明肯定 .

于 尸, 则一 P 点到两腰的距离之和为 BF .

原 式 的 鼻 刁 、 值 为 矗 .

b

在不等式(1 ) 中取 几 : = 儿二…= 几 , = 1得

在不等式( 1 ) 中取 n 二4 , 礼= 1 , 又 2= 2, 又 3二 3 得第 3 4 届 IMO 预选题 : 设a、 b、 。 e R+ , 则
尸,分共二六 + 一 代 一 二 二 -尸 二 二 弓 b 十 Zc + 3d ‘ c 十 Zd 十 3a
d a + Zb + 3 c
a

设a‘ > 0(、 一 1, 2, …, n) 艺a‘ 二5, 则

给不等式 (1 ) 中的几 ‘ 取其它满足条件的值, 还会得到很多有趣的不等式. 不一一列出.

买 六 ) 击 (, 、 2 )

2 妻3

d + Za + 3b

2 二1 得第 26 在不等式( 1 ) 中取 n= 3 , 丸= 又 届莫斯科 学奥林匹克竞赛题
0 一 卞 C C州 卜a a 响 1一口 ‘

参考文献
〔 j 20O l 4 年全国高中数学联赛吉林赛区初赛. 中等 学, 2005. 3.

、 , , ,。二 。 ., a . b . c 、 3 议 a、 0、 c 七 长 ’, 则犷 下 一 , 十 - 下一十 ~ 下 勺多 下 下


推荐相关:

2013年全国高中数学联赛一试试题及解答

2013年全国高中数学联赛一试试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。全国高中数学联赛试题及解答 2013 年全国高中数学联合竞赛一试试题一、填空题:本大题共 8 小...


解题-对一道竞赛试题的思考-杨广亮

解题-对一道竞赛试题的思考-杨广亮_学科竞赛_小学教育_教育专区。高中数学总结 对一道竞赛试题的思考杨广亮 (高新区枫杨街 郑州外国语学校 河南 郑州 450001) 题目...


高一数学竞赛( 试题及答案 )

高一数学竞赛( 试题及答案 )_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学竞赛试题及答案详解 2006 年苍南县高一数学竞赛试题一、选择题(每小题 5 分, 共 40 ...


从一道高中数学联赛题说起

一道高中数学联赛题说起_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 从一道高中数学联赛题说起_学科竞赛_高中教育_教育专区。从一道高中...


一道高中数学竞赛 题的五种解法

一道高中数学竞赛 题的五种解法_学科竞赛_高中教育_教育专区。一道高中数学竞赛题的五种解法 乌海市第十中学 题目:已知实数 x、y 满足 解法一:因为 所以 2 ...


一道高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广

一道高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广 1991 年四川省高中数学联合竞赛决赛第四题是一道平面几何题.原题:如图 1,设⊙O是 ?ABC 的 BC 边外的旁 切圆,D、E...


高中数学竞赛典型题目一

高中数学竞赛典型题目一_学科竞赛_高中教育_教育专区。数学竞赛典型题目(一) 1.(2004 美国数学竞赛)设 a1 , a2 ,?, an 是整数列,并且他们的最大公因子是 1...


2014全国高中数学联赛一试试题及答案解析

2014全国高中数学联赛一试试题及答案解析_学科竞赛_高中教育_教育专区。2014全国高中数学联赛一试试题及详细解析答案今日推荐 160份文档 2014...


2014年全国高中数学联赛一道数列题目的解答

2014年全国高中数学联赛一道数列题目的解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2014 年全国高中数学联赛一道数列题目的解答 题目:已知数列﹛an﹜,a1=1,an+1=2an-n+...


高一数学竞赛试题及答案

解答:5 根 高一数学竞赛试题一、猜一猜:(每小题 2 分共 16 分) 1.司药(打数学名词)——配方 2.招收演员(打数学名词)——补角 3.搬来数一数(打一...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com