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专题一第二讲


第二讲
一、选择题 1.若 a>b>0,则 A.a2c>b2c (c∈R) C.lg(a-b)>0 2.“ln x>1”是“x>1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 b B. >1 a 1 1 D.?2?a<?2?b ? ? ? ?

不等式

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D.既不充分也不必要条件 1 3.(2011· 江西)若 f(x)= ,则 f(x)的定义域为 1 log ?2x+1? 2 1 1 A.?-2,0? B.?-2,0? ? ? ? ? 1 C.?-2,+∞? D.(0,+∞) ? ? 4.若 a>b>0,则下列不等式不成立的是 . A.a+b<2 ab C.ln a>ln b B. a > b
1 2 1 2

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D.0.3a<0.3b ?f?x?-f?y?≥0, ? 5.已知函数 f(x)=x2-5x+4,则不等式组? 表示的平面区域为 ?1≤x≤4 ?

(

)

6. (2012· 江西)样本(x1,2, xn)的平均数为 x , x ?, 样本(y1,2, ym)的平均数为 y ( x ≠ y ). y ?, 若 1 样本(x1,x2,?,xn,y1,y2,?,ym)的平均数 z =α x +(1-α) y ,其中 0<α< ,则 n, 2 m 的大小关系为 A.n<m B.n>m ( )

C.n=m D.不能确定

?x ?x≥0? ? 7.已知函数 f(x)=?2 ,则 f[f(x)]≥1 的充要条件是 ?x2 ?x<0? ?
A.x∈(-∞,- 2] B.x∈[4 2,+∞) C.x∈(-∞,-1]∪[4 2,+∞) D.x∈(-∞,- 2]∪[4,+∞) 二、填空题

(

)

1 8.设函数 f(x)=x- ,对任意 x∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)<0 恒成立,则实数 m 的取值范围 x 是________________________________________________________________________. 9.若实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是________. 10.已知点 A(m,n)在直线 x+2y-1=0 上,则 2m+4n 的最小值为________.

?x-y+5≥0 ? 11.已知实数 x,y 满足?x≤3 ?x+y≥0 ?

,则目标函数 z=x+2y 的最小值为________.

y+3 12.如果实数 x,y 满足等式(x-2)2+y2=1,那么 的取值范围是________. x-1 三、解答题 1 1 13.已知函数 f(x)= ax3- x2+cx+d(a,c,d∈R)满足 f(0)=0,f′(1)=0,且 f′(x)≥0 在 3 4 R 上恒成立. (1)求 a,c,d 的值; 3 b 1 (2)若 h(x)= x2-bx+ - ,解不等式 f′(x)+h(x)<0. 4 2 4 14.(2012· 江苏)如图,

建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米, 1 某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx- (1+k2)x2 (k>0)表示的曲线 20 上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程. (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a

不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

答案
1.D 2.A 3.A 4.A 5.C 6.A 7.D 8.(-∞,-1) 2 3 9. 3 10.2 2 11.-3 4 12.?3,+∞? ? ? 1 13.解 (1)∵f(0)=0,∴d=0,∵f′(x)=ax2- x+c. 2 1 又 f′(1)=0,∴a+c= . 2 1 ∵f′(x)≥0 在 R 上恒成立,即 ax2- x+c≥0 恒成立, 2 1 1 2 ∴ax - x+ -a≥0 恒成立, 2 2 显然当 a=0 时,上式不恒成立. ?a>0, ? ∴a≠0,∴? 1 2 1 ??-2? -4a?2-a?≤0, ?

?a>0, ?a>0, ? ? 即? 2 1 即? 1 12 ?a -2a+16≤0, ??a-4? ≤0, ? ?
1 1 解得:a= ,c= . 4 4 1 1 1 1 (2)∵a=c= .∴f′(x)= x2- x+ . 4 4 2 4 由 f′(x)+h(x)<0, 1 1 1 3 b 1 得 x2- x+ + x2-bx+ - <0, 4 2 4 4 2 4 1 b 1 2 即 x -(b+ )x+ <0,即(x-b)(x- )<0, 2 2 2 1 1 1 1 当 b> 时,解集为( ,b),当 b< 时,解集为(b, ), 2 2 2 2 1 当 b= 时,解集为?. 2 1 14.解 (1)令 y=0,得 kx- (1+k2)x2=0, 20 由实际意义和题设条件知 x>0,k>0, 20k 20 20 故 x= ≤ =10,当且仅当 k=1 时取等号. 2= 1 2 1+k k+ k 所以炮的最大射程为 10 千米. (2)因为 a>0,所以炮弹可击中目标?存在 k>0, 1 使 3.2=ka- (1+k2)a2 成立 20 ?关于 k 的方程 a2k2-20ak+a2+64=0 有正根

?判别式 Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0?a≤6. 所以当 a 不超过 6 千米时,可击中目标.


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