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第59讲 抛物线


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1.已知抛物线 y2=2px 上一点 M(1,m)到其焦点的距 离为 5,则该抛物线的准线方程为( D ) A.x=8 C.x=4 B.x=-8 D.x=-4

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p 解析:由题意得 1+ =5,故 p=8, 2 p 所以准线方程为 x=- =-4,故选 D. 2

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2.抛物线的顶点在原点,焦点在直线 3x-4y-12=0 上,则抛物线的标准方程为 .

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解析:令 x=0,得 y=-3,则焦点为(0,-3)的抛物线 标准方程为 x2=-12y;令 y=0,得 x=4,则焦点为(4,0)的 抛物线的标准方程为 y2=16x.

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3.若抛物线 x=ay2 的离心率 e=2a,则该抛物线的准 线方程是( B ) A.x=-1 1 C.x=-4 1 B.x=-2 1 D.x=-8

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解析:由抛物线的离心率为 1 可得 e=2a=1, 1 所以 a= , 2 所以抛物线的方程为 y2=2x,开口向右,2p=2,则 p p 1 =1,准线方程是 x=- =- ,故选 B. 2 2

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4.抛物线 y=2x2 的焦点坐标为( C ) 1 A.(2,0) 1 C.(0,8) B.(1,0) 1 D.(0,4)

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y 解析:由 y=2x 得 x = , 2
2 2

1 所以焦点坐标为(0, ),故选 C. 8

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1 2 5.抛物线 y=-8x 的准线方程是( B ) 1 A.x=32 1 C.y=32 B.y=2 D.y=-2

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1 2 解析:由 y=- x ,得 x2=-8y, 8 故准线方程为 y=2,故选 B.

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抛物线的定义和标准方程
【例 1】(1)(2013· 江西南昌调研)直线 l 过抛物线 y2=

2px(p>0)的焦点,且与抛物线交于 A、B 两点,若线段 AB 的长是 8,AB 的中点到 y 轴的距离是 2,则此抛物线的方 程是( ) B.y2=8x D.y2=4x

A.y2=12x C.y2=6x

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(2)(2013· 南昌一模)抛物线 y2=2px(p>0)焦点为 F, 准线 为 l,经过 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,交准线于 C 点,点 A 在 x 轴上方,AK⊥l,垂足为 K,若|BC|=2|BF|, 且|AF|=4,则△AKF 的面积是( A.4 C.4 3 ) B.3 3 D.8

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解析:(1)如图,分别过点 A、B 作抛物线准线的垂线,垂足分别 为 M、N,由抛物线的定义知, |AM|+|BN|=|AF|+|BF|=|AB|=8. 又四边形 AMNB 为直角梯形.故 AB 的中点到准线的距离即为梯形 p 的中位线的长度 4,而抛物线的准线方程为 x=- , 2 p 所以 4=2+ ?p=4,故抛物线的方程为 y2=8x. 2
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(2)设点 A(x1,y1),其中 y1>0. 过点 B 作抛物线的准线的垂线,垂足为 B1,则有|BF| =|BB1|, 又|CB|=2|FB|, 因此有|CB|=2|BB1|, |BB1| 1 则 cos ∠CBB1= = , BC 2 π 故∠CBB1= , 3 π 即直线 AB 与 x 轴正方向的夹角为 . 3
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p 又|AF|=|AK|=x1+ =4, 2 π 因此 y1=4sin =2 3, 3 1 1 因此△AKF 的面积等于 |AK|· y1= ×4×2 3=4 3, 2 2 故选 C.

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【拓展演练 1】设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A、B、 → +FB → +FC → =0,则|→ → |+ C 为该抛物线上三点,若FA FA|+|FB → |= |FC .

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解析:因为 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A、B、C 为该 → +FB → +FC → =0,所以 F 为△ABC 的重 抛物线上三点,且FA 心,所以 A、B、C 三点的横坐标的和为 F 点横坐标的 3 倍, → |+|FB → |+|FC → |=(xA+1)+(xB+1) 即 xA+xB+xC=3,所以|FA +(xC+1)=6,故填 6.

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抛物线的几何性质及应用
【例 2】已知抛物线 C:y2=2x. 2 (1)设点 A 的坐标为( , 0), 求抛物线上距离 A 最近的点 P 3

的坐标及相应的距离|PA|; (2)设点 A 的坐标为(a,0)(a∈R),求抛物线上的点 Q 到点 A 距离之最小值 d,并写出 d=f(a)的表达式.

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解析:(1)设 P(x,y),则 y2=2x, 从而|PA|= = = 22 2 ?x- ? +y 3

22 ?x- ? +2x 3 12 1 ?x+ ? + . 3 3

又 x∈[0,+∞), 故当 x=0 时,|PA|min= 此时 P(0,0).
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12 1 2 ? ?+ = , 3 3 3

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(2)设 Q(x,y), 则 d2=(x-a)2+y2=x2-2ax+a2+2x =[x-(a-1)]2+(2a-1). 又 x∈[0,+∞), 当 a-1≥0, 即 a≥1 时, 当 x=a-1 时, dmin= 2a-1; 当 a-1<0,即 a<1 时,当 x=0 时,dmin=|a|.
? 2a-1 ?a≥1? 故 d=f(a)=? . ?|a| ?a<1?

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【拓展演练 2】 抛物线 y2=2px(p>0)的通径为 BC(通径为过焦点且垂直 于对称轴的弦),准线 l 与对称轴交于 A,又 F 为抛物线的 焦点. (1)求证:△ABC 为等腰直角三角形; (2)若 p= 2+1,求△ABC 内切圆的方程.

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解析:(1)由题设可知 BC 过 F 点,且 BC 垂直于 x 轴, p p 从而 B( ,p),C( ,-p), 2 2 p 又 A 为准线与 x 轴交点,则 A(- ,0). 2 p p 因为 kAB· kAC=( )· ( )=-1,所以 AB⊥AC. p -p 由对称性可知|AB|=|AC|, 所以△ABC 为等腰直角三角形.

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(2)因为△ABC 关于 x 轴对称, 所以内切圆圆心在 x 轴上. 1 设圆心 O′(x0,0), 由于内切圆的半径 r= ( 2p+ 2p-2p) 2 =( 2-1)p=1, 2-1 p 所以 x0= -1= . 2 2 2-1 2 2 故△ABC 的内切圆方程为(x- ) +y =1. 2

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抛物线综合应用
【例 3】在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),

→ ∥OA →, →· → =MB →· →, B 点在直线 y=-3 上, M 点满足MB MA AB BA M 点的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处的切线,求 O 点 到 l 距离的最小值.

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解析:(1)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). → =(-x,-1-y),MB → =(0,-3-y),AB → =(x, 所以MA -2). → +MB → )· → =0, 由题意可知(MA AB 即(-x,-4-2y)· (x,-2)=0. 1 2 所以曲线 C 的方程为 y= x -2. 4

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1 2 (2)设 P(x0,y0)为曲线 C:y= x -2 上一点. 4 1 1 因为 y ′= x,所以 l 的斜率为 x0, 2 2 1 因此直线 l 的方程为 y-y0= x0(x-x0), 2 即 x0x-2y+2y0-x2 0=0. |2y0-x2 0| 则 O 点到 l 的距离 d= 2 . x0+4

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1 2 又 y0= x0-2, 4 1 2 x +4 2 0 1 4 2 所以 d= 2 = ( x0+4+ 2 )≥2, x0+4 2 x0+4 当 x0=0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

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【拓展演练 3】 已知抛物线 C: y2=2px(p>0)的准线为 l, 焦点为 F.⊙M 的圆心在 x 轴的正半轴上,且与 y 轴相切.过 π 原点 O 作倾斜角为3的直线 n, 交 l 于点 A, 交⊙M 于另一点 B,且 AO=OB=2.

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(1)求⊙M 和抛物线 C 的方程; →· → 的最小值; (2)若 P 为抛物线 C 上的动点,求PM PF (3)过 l 上的动点 Q 向⊙M 作切线,切点为 S,T,求证: 直线 ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标.

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p 1 解析:(1)因为 =OA· cos 60° =2× =1,即 p=2, 2 2 所以抛物线 C 的方程为 y2=4x. 设⊙M 的半径为 r, OB 1 则 r= · =2, 2 cos 60° 所以⊙M 的方程为(x-2)2+y2=4.

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(2)设 P(x,y)(x≥0), →· → =(2-x,-y)· 则PM PF (1-x,-y) =x2-3x+2+y2=x2+x+2, →· → 有最小值为 2. 所以当 x=0 时,PM PF

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(3)以点 Q 为圆心,QS 为半径作⊙Q,则线段 ST 即为 ⊙Q 与⊙M 的公共弦, 设点 Q(-1,t),则 QS2=QM2-4=t2+5, 所以⊙Q 的方程为(x+1)2+(y-t)2=t2+5, 从而直线 QS 的方程为 3x-ty-2=0,(*)
? 2 ?x= 因为? 3 ?y=0 ?

一定是方程(*)的解,

2 所以直线 QS 恒过一个定点,且该定点坐标为( ,0). 3
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1.(2011· 陕西卷)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x= -2,则抛物线的方程是( B ) A.y2=-8x C.y2=-4x B.y2=8x D.y2=4x

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解析:设抛物线方程为 y2=ax(a>0),则准线方程为 x a a =- ,于是- =-2?a=8,故选 B. 4 4

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2.(2012· 四川卷)已知抛物线关于 x 轴对称, 它的顶点在坐 标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若点 M 到该抛物线焦点的 距离为 3,则|OM|=( B ) A.2 2 C.4 B.2 3 D.2 5

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解析:设抛物线方程为 y2=2px, p 根据抛物线的定义得 3=2+ ,解得 p=2, 2 所以抛物线方程为 y2=4x,所以 M(2,± 2 2), 所以 OM= 4+4×2=2 3,故选 B.

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3.(2011· 辽宁卷)已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( C ) 3 A. 4 5 C. 4 B.1 7 D. 4

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解析:设 A,B 的横坐标分别是 m,n, 由抛物线定义,得 1 1 1 |AF|+|BF|=m+4+n+4=m+n+2=3, m+n 5 5 故 m+n=2,则 2 =4, 5 故线段 AB 的中点到 y 轴的距离为4,故选 C.

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4.(2012· 陕西卷)右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时, 拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面 宽 米.

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解析:设水面与桥的一个交点为 A. 如图建立直角坐标系,则 A 的坐标为(2,-2),设抛 物线方程为 x2=-2py,将点 A 的坐标代入得 p=1. 设水位下降 1 米后水面与桥的交点坐标为(x0,-3), 则 x2 0=-2×(-3),故 x0=± 6,所以水面宽度为 2 6.

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