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初等数论与中学数学


初等数论与中学数学
摘 要: 《初等数论》是数学与应用数学、数学教育专业的一门专业基础课,主
要研究整数的性质, 历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易 搞懂,容易引起人的兴趣,但是解决它们却非常困难。近年来,数论在中学数学 中的运用越来越多, 特别是在中学的数学竞赛中运用极为广泛。本文主要介绍初 等数论在中学数学中的应用以及初等数论与中学数学教

学的相关问题。

关键词:初等数论

中学数学

数学竞赛

中学数学教学

正 文:
一、初等数论在中学数学中的应用 在中学数学中, 整数是最为常用的一种数之一,而初等数论是研究整数最基 本的性质,与算术密切相关的一门学科,初等数论可以说是算术问题的延深。初 等数论中的整除性质, 抽屉原理等一直是中学数学竞赛最热门的话题,由此可见 初等数论在中学数学中的应用是极为广泛的。 (一)中学数学中与初等数论相关的几个问题 1、整除问题 在小学的时候我们就知道, 要知道一个数能不能被令一个数整除,可以用长 除法来判断, 但当被除数位数较多的时候, 计算量增大, 问题就变得非常麻烦了。 但在学习了初等数论之后问题会得到大大的简化。 1.1 整除的概念及其性质 定义 1(整除) 设 a、b 是整数,b≠0,如果存在整数 q,使得 a=bq 成立,

则称 b 整除 a,或 a 能被 b 整除,记作:b∣a。 定理 1 (传递性)b∣a,c∣b =〉c∣a 定理 2 定理 3 定理 4 m∣a,m∣b =〉m∣(a± b) m∣a1, ……, m∣an,q1,q2,……qn∈Z=〉 m∣(a1q1+a1q2+……+anqn) 设 a 与 b 是两个整数,b>0,则存在唯一的两个整数 q 和 r,使得

a=bq+r,0≤r<b 定义 2(带余数除法)

(1) (2)

(1)式通常写成 a÷ b=q(余 r)

并称 q 为 a 被 b 除所得的不完全商;r 叫做 a 被 b 除所得的余数; (2)式称为带余数除法。 1.2 下面举几个例子: 例1 证明 3∣n(n+1)(2n+1),这里的 n 是任意整数。

证法一:根据题意,n 可以写成 n=3q+r,这里 r=0,1,2,q 为整数,对取不同 的值进行讨论,得出结论。 证法二:根据整数定义,任何连续三个整数的乘积必是 3 的倍数。 证明三:根据 1^2+2^2+……+n^2=1/6n(n+1)(2n+1) =〉n(n+1)(n+2)=6(1^2+2^2+……+n^2) 得出 即 6∣n(n+1)(n+2) 3∣n(n+1)(2n+1)

证明四:利用数学归纳法进行证明。 例2 设 a、b、c 为正整数,且满足 a+b+c=9,求证 a^3+b^3+c^3≠100。

证明:假设 a^3+b^3+c^3=100, 由已知(a^3+b^3+c^3)×(a+b+c)=91 于是 因为 于是 (a^3-a)+(b^3-b)+(c^3-c)=91 3∣(a^3-a) ,3∣(b^3-b) ,3∣(c^3-c) 3∣(a^3-a)+(b^3-b)+(c^3-c),

但是 3 不能整除 91,假设是错误的, 因此 a^3+b^3+c^3≠100 得证

【注】数论中的整除理论有如下结论:连续 n 个整数中必然存在唯一的一个 数属于模 n 同余于 0 的剩余类(即该集合中包含了所有 n 的倍数) ,则任意连续 n 个整数之积必是 n 的倍数,对于任意整数 a,均有 a^3-a=a(a-1)(a+1),而连续 三个整数中必然有一个数是三的倍数,所有 3∣(a^3-a) 例3 解: 已知 24∣62742ab,求 a、b。 由于 24=3×8,而(3,8)=1,3 和 8 都是特殊数, 故本题往往习惯于利用整除特征加以解决。但是利用整除特征解

答有两个弊端,即解题过程比较繁琐,且若干非特殊数无法解, 可利用整除的因式分解法得出一般的解法。 【注】对于特殊数的整除规律要求能掌握其一般定理的证明,并熟记一些特 殊数(如 2,3,5,9 等)的整除规律。 例 4 试证 n^(n-1)—1 能被(n 一 1)^2 整除。 证明:n^(n-1)—1=[(n-1)+1]^(n-1)-1 =[(n-1)^(n-1)+C (1, n-1) * (n-1) ^(n-2)+……+C(n-2,n-1)*(n-1)+1]-1 =(n-1)^(n-1)+(n-1)^(n-1)+……+(n-1)^2 由于上式的每一项都能被(n 一 1)^2 整除, 所以 n^(n-1)-1 能被(n 一 1)^2 整除。 【注】这里利用的是组合数 C(k,n)是整数,我们知道,在二项式(a 十 b)^n 的展开式中其系数是组合数,它是一个整数,利用它的性质,有助于解决整除性 的问题。 例 5 证明:若 n 是大于 i 的正整数,则 f(n)=2^3n-7n-1 则能被 49 整除。 证明:(1)当 n=2 时,f(2)=2^(3*2)-7*2-l=49 能被 49 整除。 (2)假设 n=k 时 f(k)=2^(3k)-7k-1 能被 49 整除。 当 n=k+1 时,要证 f(k+1)=2^3(k+1)-7(k+1)-1 能被 49 整除。 事实上, ,f(k+1)=8*2^3k-8*7k-8-49k =8(2^3k-7k-1)+49k 显然,f(n+1)能被 49 整除。 综上可知,对于大于 l 的任意正整数 n,f(n)都能被 49 整除。 总结:竞赛中关于数论的论证题,基本上都是讨论整数性和整数解,证明方法 通常有:直接法,间接法(反证法) 。 2、公因数与公倍数问题 和整除性一样,两个数的最大公因数也可以通过等号来定义,把它化作等 式问题。 下面用一个例子进行简单说明: 例 1 (2000 年全国高中数学联赛) 在平面上的整点到直线 y=5x/3+4/5 的距 离中最小的是( )

A.

34 /170

B.

34 /85

C.1/20

D.1/30

解:首先整理直线方程为整数系数方程 25x-15y+12=0, 设平面上的整点 P(x0,y0)到直线的距离为: d=∣25x0-15y0+12∣/5 34 根据初等数论中的公因式理论,在 x0,y0 为任意整数时, 25x0-15y0 便是了 5 的所有倍数, 于是 d=∣25x0-15y0+12∣/5 34 =∣5k+12∣/5 34

在 5k=10 的时候,距离 d 取得最小值 34 /85,所以 B 答案正确 【注】数论中的相应理论为:设 d 是整数 a、b 的最大公约数,则存在唯一 确定的整数 m、n,使得 d=am+bn 成立,而且 d 的所有倍数可以写成 ax+by 的形 式,其中 x、y 为任意整数。 3、抽屉原理 抽屉原理又称为鸽巢原理, 它是组合数学的一个重要原理,最先由德国数学 家狄利克雷明确的提出来的,因此,也有人把它成为狄利克雷原理。 用一个简单的例子来说明抽屉原理,桌子上有十个苹果要放到九个抽屉里, 无论怎么放, 始终有一个抽屉里至少会出现两个苹果。这就是抽屉原理在日常生 活中最简单的体现,利用抽屉原理我们可以解决很多看似复杂的排列组合问题。 原理 1 : 把多于 n+1 个的物体放到 n 个抽屉里,则至少有一个抽屉里的东 西不少于两件。 原理 2 :把多于 mn(m 乘以 n)个的物体放到 n 个抽屉里,则至少有一个抽 屉里有不少于 m+1 的物体。 原理 3 :把无穷多件物体放入 n 个抽屉,则至少有一个抽屉里 有无穷个 物体。 原理 5 :把( mn - 1)个物体放入 n 个抽屉中,其中必有一个抽屉中至多 有( m —1 )个物体。 下面举一个例子: 例 1 :从 2 、 4 、 6、……、 30 这 15 个偶数中,任取 9 个数,证明其中 一定有两个数的和是 34。

分析与解答:题目中的 15 个偶数制造 8 个抽屉。 此抽屉特点:凡是抽屉中有两个数的,都具有一个共同的特点:这两个 数的和是 34 。现从题目中的 15 个偶数中任取 9 个数,由抽屉原理(因为抽 屉只有 8 个),必有两个数可以在同一个抽屉中(符合上述特点) . 由制造 的抽屉的特点,这两个数的和是 34。 例 2 :从 1 到 20 这 20 个数中,任取 11 个数,必有两个数,其中一个 数是另一个数的倍数。 分析与解答 : 根据题目所要求证的问题,应考虑按照同一抽屉中,任意 两数都具有倍数关系的原则制造抽屉 . 把这 20 个数按奇数及其倍数分成以 下十组,看成 10 个抽屉(显然,它们具有上述性质) : { 1 ,2,4 ,8 ,16} , { 3 ,6 ,12 } , { 5 ,10 ,20 } , { 7,14 } , { 9 ,18} , { 11 } , { 13 } , { 15 } , { 17 } , { 19 } 。 从这 10 个数组的 20 个数中任取 11 个数,根据抽屉原理,至少有两个数取 自同一个抽屉 . 由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系,所以这两个 数中,其中一个数一定是另一个数的倍数。 4 、中学竞赛中的数论问题与初等数论的联系和区别 竞赛中很多数学问题的解法都来源于高等数学。数学就 其方法而言, 大体可以分为分析和代数,即就是连续数学和离散数学。奥赛试题来自数 论,组合分析,近世代数,函数方程等。其中数论只是部分,来源于初等 数论的概念与性质。 但是竞赛数学中的数论问题,又区别于初等数论。初等数论追求的是 一般的理论和方法,竞赛数学的目的却在于解题,是对一种题型的快速解 答,多倾向于运用总结出来的一般的理论和方法的演算性质。前者注重知 识理论,后者注重解题方法。 二、初等数论与中学数学教学 中学数学学习过程中,初等数论的知识和思想方法是常见的。教师在 日常教学中要给予足够的重视。随着新课程改革的逐步深入,初等数论知 识和思想方法,一方面出现在日常教学中,另一方面是以竞赛的形式出现 的,后者更为突出。

对于前者《课标》是这样要求的,该专题是为对数学有兴趣和希望进 一不提高数学素养的学生而设置的,所涉及的内容反映了某些重要的数学 思想方法,有助于学生进一不打好数学基础,提高应用意识,有助于学生 终身的发展,有助于扩展学生的数学视野,有助于提高学生对数学的科学 价值、应用价值、文化价值的认识。 对于后者,初等数论在奥林匹克竞赛中占有愈来愈重要的地位,对提 高中学生的数学素养很有帮助。致力于数学竞赛的教师而言,必须明确数 论的基本结构,它包括整除理论,同余理论和不定方程。整数集对于加法、 减法、乘法运算是封闭的,但对于除法是不封闭的,因而研究整数之间的 除法成了数论中的重要部分。同余是初等数论中的一门语言,同余概念的 出发点:考虑它们除以某个不小于 2 的正整数所得的余数,依据余数的不 同将所有的整数分类。 值得注意的是,在数学竞赛中,教师主要强调数论知识的技巧,而在 日常教学中要注意数论思想方法的教学。 在教学过程中教师们应该注重数论中的重要思想方法,深入浅出,提 高学生分析和解决问题的能力。

参考文献:
初等数论(第二版) 潘承洞 潘承彪 编 北京大学出版社 姜浩瑞 2006 年

初等数论在高中数学解题中的一些应用《中学数学》 第5期

初等数论与中学数学竞赛 《奥林匹克数学竞赛解谜 初中部分》 康纪权 著 1988




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