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汕头市2013届高三模拟考试文科数学及答案


汕头市 2013 届高三模拟考试文科数学及答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1、设集合 M ? x x 2 ? 3 ? 0 ,则下列关系式正确的是( A. 0 ? M B. 0 ? M
2 2

?

?

) D. 3 ? M

C. 0 ? M

2、直线 3 x ? y ? 6 ? 0 与圆 x ? y ? 9 的位置关系是
A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定

3、下列四个命题中,真命题的个数为( ) (1)若两平面有三个公共点,则这两个平面重合; (2)两条直线可以确定一个平面; (3)若 M ? ?,M ? ? , ? ? ? ? l , 则M ? l ; (4)空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内。 A.1 B.2 C.3 D.4 4、直线 y ? x ? b 平分圆 x 2 ? y 2 ? 8 x ? 2 y ? 8 ? 0 的周长,则 b ? (
A.3
2

) D.-5

B.5

C.-3

5、抛物线 y ? 4 x 上一点 M 到焦点的距离为 3,则点 M 的横坐标 x ? A.1 B.2 C.3
2

D.4

6、公差不为 0 的等差数列 ?a n ? 中,有 2a 3 ? a 7 ? 2a 11 ? 0 ,数列 ?b n ? 已知是等比数列, 且 b7 ? a 7 则 b6 b8 = ( )

A.2 B.4 C.8 D.16 7、在△ ABC 中,a,b,c 分别为三个内角 A,B,C 所对的边,设向量 m=(b-c,c-a),n=(b,c+a), 若 m⊥n,则角 A 的大小为( ) 2? ? ? ? A. B. C. D. 3 6 3 2 8、若 a , b 是常数, 则“ a ? 0 且 b 2 ? 4a ? 0 ”是“对任意 x ? R ,有 ax 2 ? bx ? 1 ? 0 ”的
A.充要条件 C.充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x?0 ? x ? 2y ? 3 ? y?0 9、设 x,y 满足约束条件 ? ,则 的取值范围是( x ?1 ? 4 x ? 3 y ? 12 ?
A. ? ,11 ? 2



?3 ?

? ?

B. ? ,11 ? ?2 ?

?3

?

C. ?

?3 ? ,11 ? ?2 ?
1

D. ?

?3 ? ,11 ? ?2 ?

10、已知函数 f ( x ) ? 2 x 2 ? ( 4 ? m ) x ? 4 ? m, g ( x ) ? mx ,对于一切实数 x,f(x)与 g(x)的 值至少有一个是正数,则实数 m 的范围是( A. ?? 4,? 4 B.(-4,4) ) D. ?? ?, 4 ? ?

C. ?? ? ,? 4

二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分). 11、已知椭圆 C 的焦点与双曲线 x ?
2

y2 3

? 1 的焦点相同,且离心率为

1 2

,则椭圆 C 的标准

方程为

.


? ? ? b ? 4 ,则 2 a ? b ?

? ? ? 12、若向量 a 、 b 的夹角为 150 ? , a ? 3 ,

.

13、已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1), (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,则第 60 个数对是



14(15) 、设 3b是1 ? a和1 ? a 的等比中项,则 a+3b 的最大值为__________

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16、 (本小题满分 12 分) 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球,每个小球被取出的可能性相等. (Ⅰ)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率; (Ⅱ)求取出的两个球上标号之和能被 3 整除的概率.

17、 (本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) ? ?4 cos x ? 4 3a sin x cos x ,将 f (x) 图象按向量 b ? ( ?
2

?

?
4

,2) 平移后,图

象关于直线 x ?

?
12

对称.

(1)求实数 a 的值,并求 f (x) 取得最大值时 x 的集合; (2)求 f (x) 的单调区间.

18、 (本小题满分 14 分) 如图所示,已知矩形 ABCD 中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线 BD 把△ABD 折起,使 A 移到 A1 点,且 A1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上。
2

(1) 求证:BC⊥A1D; (2) 求证:平面 A1BC⊥平面 A1BD; (3) 求三棱锥 A1-BCD 的体积。

A1

D

C

A

B

19、 (本小题满分 14 分)

已知 A(1,1)是椭圆 |AF1|+|AF2|=4.

x2 y2 =1( a ? b ? 0 )上一点,F1、F2 是椭圆的两焦点,且满足 + a2 b2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设点 C、D 是椭圆上两点,直线 AC、AD 的倾斜角互补,求直线 CD 的斜率.

20、 (本小题满分 14 分) 设 函 数 f ( x ) ? ax ? bx ? c ( a ? 0 ) 为 奇 函 数 , 其 图 象 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 与 直 线
3

3

x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,导函数 f '( x ) 的最小值为 ?12 .
(Ⅰ)求 a , b , c 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间,并求函数 f ( x ) 在 [ ?1, 3] 上的最大值和最小值.

21、 (本小题满分 14 分)
* 在数列 ? a n ? 中, a1 ? 2 , an ?1 ? 4 an ? 3n ? 1 , n ? N .

(Ⅰ)证明数列 ?an ? n? 是等比数列;

(Ⅱ)求数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n ;
*

(Ⅲ)证明不等式 S n ?1 ≤ 4 S n ,对任意 n ? N 皆成立.

4

参考答案
一、选择题: 1 题号 A 答案 二、填空题: 11、 2 B 3 A 4 D 5 B 6 D 7 B 8 C A 9 10 C

x2 16

?

y2 12

?1

12、 2

13、 (5,7)

14(15) 、2

三、解答题(本大题共 6 题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16、 (本小题满分 12 分) 解:设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球,其数字分别为 x, y ,用 ( x , y ) 表示抽取结果, 则所有可能有 ?1,1? ,?1, 2 ? ,?1, 3 ? ,?1, 4 ? ,? 2,1? ,? 2, 2 ? ,? 2, 3 ? ,? 2, 4 ? ,? 3,1? ,? 3, 2 ? ,

? 3, 3 ? , ? 3, 4 ? , ? 4,1? , ? 4, 2 ? , ? 4, 3 ? , ? 4, 4 ? ,共 16 种.
(Ⅰ)所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有 ?1, 2 ? ,

……4 分

? 2,1? , ? 2, 3 ? , ? 3, 2 ? ,
……6 分

? 3, 4 ? , ? 4, 3 ? ,共 6 种.
故所求概率 P ?

6 16

?

3 8



答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为

3 8



……8 分

(Ⅱ)所取两个球上的数字和能被 3 整除的结果有 ?1, 2 ? ,

? 2,1? , ? 2, 4 ? , ? 3, 3 ? ,
……10 分

? 4, 2 ? ,共 5 种.
故所求概率为 P ?

5 16



答:取出的两个小球上的标号之和能被 3 整除的概率为

5 16



……12 分

17、解: (本小题满分 12 分) 解: (1)函数 f ( x ) ? 2 3a sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 2 按 b ? ( ?
g ( x) ? f ( x ?

?
4

,2) )平移后为

?
4

) ? 2 ? 2 3a cos 2 x ? 2 sin 2 x .

2分

∵ g (x ) 图象关于 x ?

?
12

? 对称,∴ g (0) ? g ( ) ,
6

则 2 3a ? 3a ? 3 , ∴ a ? 1 , ? ∴ f ( x) ? 4 sin( 2 x ? ) ? 2 .
6

5分 6分
?
2

当 f ( x ) max ? 2 时, 2 x ?

?
6

? 2 k? ?

,即 x ? ? x | x ? k? ? ?
?
5

?
3

, k ? Z? . ? ?

8分

(2)当 2k? ? 当 2 k? ?
?
2

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,即 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

, k ? Z 时, f (x ) 递增.

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

3? ? 5? 即 k? ? ? x ? k? ? , k ? Z 时, f (x ) )递减. 2 3 6

∴函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [ k? ?

?

[ k? ?

?
3

, k? ?

5? 6

6

, k? ?

?

3

] ,单调递减区间为
12 分

] (k ? Z )

18、 (本小题满分 14 分) (1)?BC⊥CD,BC⊥A1O,?BC⊥平面 A1CD, …(2 分) 又 A1D ? 平面 A1CD,? BC⊥A1D; …(4 分) (2)? A1D⊥ A1B, A1D⊥BC, ? A1D⊥平面 A1BC, …(6 分) 又 A1D ? 平面 A1BD,?平面 A1BC⊥平面 A1BD; …(8 分) (3)由(1)可知:BC⊥平面 A1CD,?BC⊥A1C, ?△ A1CB 为直角三角形。…(10 分) 1 ?BC=6, A1B=AB=10,? A1C=8, ? S ?A1BC = ×6×8=24, …(12 分) 2 1 1 ? V A1 ? BCD ? V D ? A1BC ? ? S ?A1BC ? DA ? ? 24 ? 6 ? 48 。…(14 分) 3 3
19、 (本小题满分 14 分) 解(1)由椭圆定义知 2 a =4,所以 a =2,……2 分 即椭圆方程为

x2 y2 + 2 =1 4 b

……4 分

把(1,1)代人得

1 1 4 x2 3 y2 ? =1 ……6 分 + 2 =1 所以 b2= ,椭圆方程为 4 b 3 4 4

(2)由题意知,AC 的倾斜角不为 900, 故设 AC 方程为 y=k(x-1)十 1, ……1 分

y = k ( x _ 1) + 1
联立

x2 3 2 + y =1 4 4

消去 y,

得(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0. ……3 分 、C ?点 A(1,1) 在椭圆上,? xC=

3k 2 _ 6 k _ 1 3k 2 + 1

……5 分

?AC、AD 直线倾斜角互补,? AD 的方程为 y=-k(x-l)+1,
同理 xD=

3k 2 ? 6 k _ 1 3k 2 ? 1

……6 分

又 yC=k(xC-1)+1, yD=-k(xD-1)+1,

?yC-yD=k(xC +xD)-2k.

yC _ y D 1 = . ……8 分 ? xC _ x D 3
6

20、 (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)∵ f ( x ) 为奇函数, ∴ f (? x) ? ? f ( x) 即 ? ax ? bx ? c ? ? ax ? bx ? c
3 3

∴c ? 0 ∵ f '( x ) ? 3ax ? b 的最小值为 ?12
2

∴ b ? ?12 又直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 的斜率为 因此, f '(1) ? 3a ? b ? ?6 ∴ a ? 2 , b ? ?12 , c ? 0 . (Ⅱ) f ( x ) ? 2 x ? 12 x .
3

1 6

f ' (x ? )

2

6? x

1? 2

x6 ( ?

x2 ,列表如下: ?) ( 2 )

x
f '( x )
f ( x)

( ?? , ? 2 )

? 2

( ? 2, 2 )
?
减函数

2

( 2, ?? )

?
增函数

0
极大值

0
极小值

?
增函数

所以函数 f ( x ) 的单调增区间是 ( ?? , ? 2 ) 和 ( 2, ?? ) ∵ f ( ?1) ? 10 , f ( 2 ) ? ?8 2 , f (3) ? 18 ∴ f ( x ) 在 [ ?1, 3] 上的最大值是 f (3) ? 18 ,最小值是 f ( 2 ) ? ?8 2 .

21、 (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)证明:由题设 an ?1 ? 4 an ? 3n ? 1 ,得

an ?1 ? ( n ? 1) ? 4( an ? n) , n ? N* .
又 a1 ? 1 ? 1 ,所以数列 ?an ? n? 是首项为 1 ,且公比为 4 的等比数列. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 an ? n ? 4
n ?1

,于是数列 ? a n ? 的通项公式为

7

an ? 4 n ?1 ? n .
所以数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n ? (Ⅲ)证明:对任意的 n ? N ,
*

4n ? 1 3

?

n ( n ? 1) 2



S n ?1 ? 4 S n ?

4 n ?1 ? 1 3

?

( n ? 1)( n ? 2) 2

? 4 n ? 1 n ( n ? 1) ? ? 4? ? ? 2 ? 3 ?

1 ? ? (3n 2 ? n ? 4) ≤ 0 . 2
所以不等式 S n ?1 ≤ 4 S n ,对任意 n ? N 皆成立.
*

8


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