tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

2016年高三数学(理)创新设计资料包3章


课件园 http://www.kejianyuan.net

第 1 讲 导数的概念及运算
最新考纲 1.了解导数概念的实际背景;2.通过函数图象直观理解导数的几何

1 意义;3.能根据导数的定义求函数 y=c(c 为常数),y=x,y= ,y=x2,y=x3, x y= x的导数;4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运

算法则求简 单函数的导数, 能求简单复合函数(仅限于形如 y=f(ax+b)的复合函数)的导数.

知 识 梳 理

1.导数与导函数的概念

(2)如果函数 y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b) 内构成一个新函数,这个函数称为函数 y=f(x)在开区间内的导函数.记作 f′(x) 或 y′. 2.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处 的切线的斜率 k,即 k=f′(x0).

课件园 http://www.kejianyuan.net

3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 f(x)=c(c 为常数) f(x)=xα (α∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ex f(x)=ax(a>0,a≠1) f(x)=ln x f(x)=logax (a>0,a≠1) 4.导数的运算法则 若 f′(x),g′(x)存在,则有 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); f′(x)g(x)-f(x)g′(x) ? f(x) ? ?′= (3)? (g(x)≠0). [g(x)]2 ?g(x)? 5.复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′= yu′·ux′,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示 导函数 f′(x)=0 f′(x)=αxα -1 f′(x)=cos__x f′(x)=-sin__x f′(x)=ex f′(x)=axln_a 1 f′(x)= x 1 f′(x)=xln a

(1)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(√) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(×) (3)已知曲线 y=x3,则过点 P(1,1)的切线有两条.(√) (4)物体的运动方程是 s=-4t2+16t,在某一时刻的速度为 0,则相应时刻 t= 2.(√) (5)[f(ax+b)]′=f′(ax+b).(×)

课件园 http://www.kejianyuan.net

2.(2014· 新课标全国Ⅱ卷)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y =2x,则 a=( ) D.3 1 ,由题意得 y′|x=0=2,即 a-1=2, x+1

A.0 B.1 C.2 解析 y′=a-

所以 a=3,故选 D. 答案 D )

3.(2015· 保定调研)已知曲线 y=ln x 的切线过原点,则此切线的斜率为( A.e B.-e C. 解析 1 e D.- 1 e

1 y=ln x 的定义域为(0,+∞),且 y′= x,设切点为(x0,ln x0),则 y′|x=
0 0

1 1 x0=x ,切线方程为 y-ln x0=x (x-x0),因为切线过点(0,0),所以-ln x0= 1 -1,解得 x0=e,故此切线的斜率为e . 答案 C 4.设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x+ex,则 f′(1)=________. 解析 设 ex=t,则 x=ln t(t>0),

1 ∴f(t)=ln t+t,∴f′(t)= t +1, ∴f′(1)=2. 答案 2

5.(2014· 江西卷)若曲线 y=e-x 上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0,则 点 P 的坐标是________. 解析 由题意得 y′=-e-x,设 P(x0,y0),直线 2x+y+1=0 的斜率为-2,所

以,-e-x0=-2,解得 x0=-ln 2,所以 e-x0=2=y0.故 P(-ln 2,2). 答案 (-ln 2,2)

考点一

导数的运算

【例 1】 分别求下列函数的导数: 1 1? ? (1)y=ex·cos x;(2)y=x?x2+x +x3?; ? ?

课件园 http://www.kejianyuan.net

x x (3)y=x-sin 2cos 2;(4)y=ln 1+x2. 解 (1)y′=(ex)′cos x+ex(cos x)′=excos x-exsin x. 1 2 (2)∵y=x3+1+x2,∴y′=3x2-x3. x x 1 (3)∵y=x-sin 2cos 2=x-2sin x, 1 ? 1 ? ∴y′=?x-2sin x?′=1-2cos x. ? ? 1 (4)y=ln 1+x2=2ln(1+x2), 1 1 1 1 x 2 ∴y′=2· . 2(1+x )′= · 2·2x= 2 1+x 1+x 1+x2 规律方法 (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然

后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;遇到函数的商的形 式时,如能化简则化简,这样可避免使用商的求导法则,减少运算量.(2)复合 函数求导时,先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元. 【训练 1】 分别求下列函数的导数: (1)y= 1 1 + ; 1+ x 1- x

x (2)y=sin22; (3)y= 解 ln(2x+1) . x 1 1 2 + = , 1+ x 1- x 1-x

(1)∵y=

∴y′=

0-2(1-x)′ 2 . 2 = (1-x) (1-x)2

x 1 1 1 (2)∵y=sin2 = (1-cos x)= - cos x, 2 2 2 2 1 1 1 ∴y′=-2(cos x)′=-2·(-sin x)=2sin x. [ln(2x+1)]′x-x′ln(2x+1) ?ln(2x+1)? ?′= (3)y′=? x2 x ? ? (2x+1)′ 2x · x-ln(2x+1) -ln(2x+1) 2x+1 2x+1 = = x2 x2

课件园 http://www.kejianyuan.net



2x-(2x+1)ln(2x+1) . (2x+1)x2 导数的几何意义及其应用

考点二

【例 2】 已知函数 f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线 f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求经过点 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程. 解 (1)∵f′(x)=3x2-8x+5,∴f′(2)=1,

又 f(2)=-2, ∴曲线在点(2,f(2))处的切线方程为 y+2=x-2, 即 x-y-4=0. (2)设曲线与经过点 A(2,-2)的切线相切于点
2 2 P(x0,x3 0-4x0+5x0-4),∵f′(x0)=3x0-8x0+5,

∴切线方程为 y-(-2)=(3x2 0-8x0+5)(x-2),
2 又切线过点 P(x0,x3 0-4x0+5x0-4), 2 2 ∴x3 0-4x0+5x0-2=(3x0-8x0+5)(x0-2),

整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得 x0=2 或 1, ∴经过 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程为 x-y-4=0,或 y+2=0. 规律方法 求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切

线,曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线方程是 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);求过 某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解. 【训练 2】 (1)(2015· 云南统一检测)函数 f(x)= 程为( ) B.2x+y=0 D.x+y+1=0 ln x-2x -2)处的切线方 x 在点(1,

A.2x-y-4=0 C.x-y-3=0

(2)设 a 为实数, 函数 f(x)=x3+ax2+(a-3)x 的导函数为 f′(x), 且 f′(x)是偶函数, 则曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为( A.y=3x+1 C.y=-3x+1 解析 (1)f′(x)= B.y=-3x D.y=3x-3 1-ln x x2 ,则 f′(1)=1,故函数 f(x)在点(1,-2)处的切线方程为 )

课件园 http://www.kejianyuan.net

y-(-2)=x-1, 即 x-y-3=0. (2)f′(x)=3x2+2ax+(a-3), 又 f′(x)为偶函数,则 a=0, 所以 f(x)=x3-3x,f′(x)=3x2-3,故 f′(0)=-3, 故所求的切线方程为 y=-3x. 答案 考点三 (1)C (2)B

导数几何意义的综合应用

【例 3】 (2014· 北京卷)已知函数 f(x)=2x3-3x. (1)求 f(x)在区间[-2,1]上的最大值; (2)若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切,求 t 的取值范围; (3)问过点 A(-1, 2), B(2, 10), C(0, 2)分别存在几条直线与曲线 y=f(x)相切? (只需写出结论) 2 2 (1)由 f(x)=2x3-3x 得 f′(x)=6x2-3.令 f′(x)=0,得 x=- 2 或 x= 2 . ? ? 2? 2? 因为 f(-2)=-10,f?- ?= 2,f? ?=- 2, ? 2? ?2? 解 f(1)=-1, ? 2? 所以 f(x)在区间[-2,1]上的最大值为 f?- ?= 2. ? 2? (2)设过点 P(1,t)的直线与曲线 y=f(x)相切于点(x0,y0),则 y0=2x3 0-3x0,且
2 切线斜率为 k=6x2 0-3,所以切线方程为 y-y0=(6x0-3)(x-x0),因此 t-y0= 2 (6x2 (1-x0).整理得 4x3 0-3)· 0-6x0+t+3=0.

设 g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切” 等价于“g(x)有 3 个不同零点”. g′(x)=12x2-12x=12x(x-1). 于是,当 x 变化时,g(x),g′(x)的变化情况如下表: x g′(x) g(x) (-∞,0) + ↗ 0 0 t+3 ? (0,1) - ↘ 1 0 t+1 (1,+∞) + ↗

课件园 http://www.kejianyuan.net

所以,g(0)=t+3 是 g(x)的极大值;g(1)=t+1 是 g(x)的极小值. 当 g(0)=t+3≤0,即 t≤-3 时,此时 g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上分别 至多有 1 个零点,所以 g(x)至多有 2 个零点.当 g(1)=t+1≥0,即 t≥-1 时, 此时 g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别至多有 1 个零点,所以 g(x)至多有 2 个零点.当 g(0)>0 且 g(1)<0,即-3<t<-1 时,因为 g(-1)=t-7<0, g(2)=t+11>0,所以 g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有 1 个零 点.由于 g(x)在区间(-∞,0)和(1,+∞)上单调,所以 g(x)分别在区间(-∞, 0)和[1,+∞)上恰有 1 个零点.综上可知,当过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲 线 y=f(x)相切时,t 的取值范围是(-3,-1). (3)过点 A(-1,2)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切;过点 B(2,10)存在 2 条直 线与曲线 y=f(x)相切;过点 C(0,2)存在 1 条直线与曲线 y=f(x)相切. 规律方法 解决本题第(2)问的关键是利用曲线上点的坐标表示切线方程, 可将

问题等价转化为关于 x0 的方程有三个不同的实根,构造函数后,利用函数的 单调性求极值,通过数形结合方法找到 t 满足的条件即可;第(3)问类比第(2) 问方法即可. 【训练 3】 设函数 y=x2-2x+2 的图象为 C1,函数 y=-x2+ax+b 的图象为 C2,已知过 C1 与 C2 的一个交点的两切线互相垂直. (1)求 a,b 之间的关系; (2)求 ab 的最大值. 解 (1)对于 C1:y=x2-2x+2,有 y′=2x-2,对于 C2:y=-x2+ax+b,有 y′

=-2x+a,设 C1 与 C2 的一个交点为(x0,y0),由题意知过交点(x0,y0)的两切
2 线互相垂直.∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1,即 4x0 -2(a+2)x0+2a-1=0.① 2 ?y0=x0-2x0+2, 2 又点(x0, y0)在 C1 与 C2 上, 故有? ?2x0 -(a+2)x0+2-b=0.② 2 ?y0=-x0+ax0+b

5 由①②消去 x0,可得 a+b=2. 5?2 25 5 5 ?5 ? ? (2)由(1)知:b=2-a,∴ab=a?2-a?=-?a-4? +16.∴当 a=4时,(ab)最大值 ? ? ? ? 25 =16.

课件园 http://www.kejianyuan.net

[思想方法] 1.f′(x0)代表函数 f(x)在 x=x0 处的导数值;(f(x0))′是函数值 f(x0)的导数,而函 数值 f(x0)是一个常量,其导数一定为 0,即(f(x0))′=0. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重 视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简 时, 首先必须注意变换的等价性, 避免不必要的运算失误. 对于复合函数求导, 关键在于分清复合关系,适当选取中间变量,然后“由外及内”逐层求导. [易错防范] 1.利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xn)′=nxn-1 与指数函 数的求导公式(ax)′=axln x 混淆. 2.直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征,直线与曲线只有一个公共 点,不能说明直线就是曲线的切线,反之,直线是曲线的切线,也不能说明直 线与曲线只有一个公共点. 3.曲线未必在其切线的“同侧”,例如直线 y=0 是曲线 y=x3 在点(0,0)处 的切线.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1.(2015· 深圳中学模拟)曲线 y=x3 在原点处的切线 A.不存在 B.有 1 条,其方程为 y=0 C.有 1 条,其方程为 x=0 D.有 2 条,它们的方程分别为 y=0,x=0 ( )

课件园 http://www.kejianyuan.net

解析 答案

∵y′=3x2,∴k=y′|x=0=0,∴曲线 y=x3 在原点处的切线方程为 y=0. B )

2.若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为 ( A.4x-y-3=0 C.4x-y+3=0 解析 B.x+4y-5=0 D.x+4y+3=0

切线 l 的斜率 k=4,设 y=x4 的切点的坐标为(x0,y0),则 k=4x3 0=4,

∴x0=1,∴切点为(1,1), 即 y-1=4(x-1),整理得 l 的方程为 4x-y-3=0. 答案 A

3.(2015· 湛江调研)曲线 y=e-2x+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成 的三角形的面积为 1 A.3 解析 1 B.2 2 C.3 D.1 ( )

y′|x=0=(-2e-2x)|x=0=-2,故曲线 y=e-2x+1 在点(0,2)处的切线方程

?2 2? 为 y=-2x+2,易得切线与直线 y=0 和 y=x 的交点分别为(1,0),?3,3?, ? ? 1 2 1 故围成的三角形的面积为2×1×3=3. 答案 A

4. 已知 f1(x)=sin x+cos x, fn+1(x)是 fn(x)的导函数, 即 f2(x)=f1′(x), f3(x)=f′2(x), ?, fn+1(x)=fn′(x),n∈N*,则 f2 015(x)等于 A.-sin x-cos x C.-sin x+cos x 解析 B.sin x-cos x D.sin x+cos x ( )

∵f1(x)=sin x+cos x,∴f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x,∴f3(x)=f2′(x)=

-sin x-cos x,∴f4(x)=f3′(x)=-cos x+sin x,∴f5(x)=f4′(x)=sin x+cos x, ∴fn(x)是以 4 为周期的函数,∴f2 015(x)=f3(x)=-sin x-cos x,故选 A. 答案 A

5.如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知 环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为 ( )

课件园 http://www.kejianyuan.net

1 1 A.y=2x3-2x2-x 1 C.y=4x3-x 解析

1 1 B.y=2x3+2x2-3x 1 1 D.y=4x3+2x2-2x

设三次函数的解析式为 y=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则 y′=3ax2+2bx+

c.由已知得 y=-x 是函数 y=ax3+bx2+cx+d 在点(0,0)处的切线,则 y′|x=0 =-1?c=-1,排除 B,D.又∵y=3x-6 是该函数在点(2,0)处的切线,则 y′|x
=2

=3?12a+4b+c=3?12a+4b-1=3?3a+b=1.只有 A 项的函数符合,故

选 A. 答案 A

二、填空题 ?π ? ?π ? 6.已知函数 f(x)=f ′? ?cos x+sin x,则 f ? ?的值为________. ?4? ?4? π π ?π? ?π? ?π? 解析 ∵f′(x)=-f′? ?sin x+cos x,∴f′? ?=-f ′? ?sin 4 +cos 4 , ?4? ?4? ?4? π π ?π? ?π? ∴f′? ?= 2-1,∴f ? ?=( 2-1)cos 4 +sin 4 =1. ?4? ?4? 答案 1 b 7.(2014· 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+x(a,b 为常数)过点 P(2,-5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的 值是______. b b 7 y=ax2+ 的导数为 y′=2ax- 2,直线 7x+2y+3=0 的斜率为- .由题 x x 2 b ? ?4a+2=-5, ?a=-1, 意得? 解得? 则 a+b=-3. b 7 ?b=-2, ?4a-4=-2, ? 解析 答案 -3

课件园 http://www.kejianyuan.net

1 8.(2015· 开封调研)若函数 f(x)=2x2-ax+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 解析 1 1 ∵f(x)=2x2-ax+ln x,∴f′(x)=x-a+ x .

1 ∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线,∴f′(x)存在零点,∴x+ x-a=0 有解, 1 ∴a=x+ x≥2(x>0). 答案 [2,+∞)

三、解答题 9.求下列函数的导数: (1)y=xnlg x; π? ? (2)y=sin2?2x+ ?; 3? ? (3)y=log3(2x+1). 解 1 (1)y′=nxn-1lg x+xn·xln 10

1 ? ? =xn-1?nlg x+ln 10?. ? ? π ? 1? 2π ?? ? ? (2)∵y=sin2?2x+ ?=2?1-cos?4x+ ??, 3? ? 3 ?? ? ? 2π ?? 1? ? ∴y′=-2?cos?4x+ ??′ 3 ?? ? ? 2π ?? ? 2π ? 1 ? ? ??·?4x+ ?′ =-2·?-sin?4x+ 3 ?? ? 3 ? ? ? 2π ? ? =2sin?4x+ ?. 3 ? ? 1 (3)y′= ·(2x+1)′ (2x+1)ln 3 2 = . (2x+1)· ln 3 1 4 10.已知曲线 y=3x3+3. (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程. 解 1 4 (1)∵P(2,4)在曲线 y=3x3+3上,且 y′=x2,

∴在点 P(2,4)处的切线的斜率为 y′|x=2=4.

课件园 http://www.kejianyuan.net

∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. 1 4? 1 4 ? (2)设曲线 y=3x3+3与过点 P(2,4)的切线相切于点 A?x0,3x3 0+ ?,则切线的 3? ? 斜率为 y′|x=x0=x2 0. 4? 2 2 3 4 ?1 2 ∴切线方程为 y-?3x3 0+ ?=x0(x-x0),即 y=x0·x- x0+ .∵点 P(2,4)在切 3? 3 3 ? 2 3 4 3 2 3 2 2 线上,∴4=2x2 0- x0+ ,即 x0-3x0+4=0,∴x0+x0-4x0+4=0, 3 3
2 ∴ x2 0(x0+1)-4(x0+1)(x0 -1)=0,∴(x0+1)(x0-2) =0,解得 x0=-1,或 x0

=2,故所求的切线方程为 x-y+2=0,或 4x-y-4=0.

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
11.已知曲线 y= 1 ,则曲线的切线斜率取得最大值时的直线方程为 e +1
x

(

)

A.x+4y-2=0 C.4x+2y-1=0 解析 y′= -e = (ex+1)2
x

B.x-4y+2=0 D.4x-2y-1=0 -1 1 ,因为 ex>0,所以 ex+ex≥2 1 ex+ex+2 1 ex×ex=2(当

1 1 且仅当 ex=ex,即 x=0 时取等号),则 ex+ex+2≥4,故 y′=

-1 1 ≤ - 1 4当 x e +ex+2

(x=0 时取等号).当 x=0 时,曲线的切线斜率取得最大值,此时切点的坐标 1? 1 1 ? 为?0,2?,切线的方程为 y-2=-4(x-0),即 x+4y-2=0.故选 A. ? ? 答案 A ( ) 12.(2014· 开封二模)过点 A(2,1)作曲线 f(x)=x3-3x 的切线最多有 A.3 条 解析 B.2 条 C.1 条 D.0 条

由题意得,f′(x)=3x2-3,设切点为(x0,x3 0-3x0),那么切线的斜率为

3 2 k=3x2 0-3,利用点斜式方程可知切线方程为 y-(x0-3x0)=(3x0-3)(x-x0),将 2 3 2 点 A(2, 1)代入可得关于 x0 的一元三次方程 2x3 0-6x0+7=0.令 y=2x0-6x0+7,

则 y′=6x2 0-12x0.由 y′=0 得 x0=0 或 x0=2.当 x0=0 时,y=7>0;x0=2 时,y
2 3 2 =-1<0.结合函数 y=2x3 0-6x0+7 的单调性可得方程 2x0-6x0+7=0 有 3 个

解.故过点 A(2,1)作曲线 f(x)=x3-3x 的切线最多有 3 条,故选 A.

课件园 http://www.kejianyuan.net

答案

A

13.(2014· 武汉中学月考)已知曲线 f(x)=xn+1(n∈N*)与直线 x=1 交于点 P,设曲 线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn, 则 log2 016x1+log2 016x2+? +log2 016x2 015 的值为________. 解析 f′(x)=(n+1)xn,k=f′(1)=n+1,

点 P(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1), 1 n n = ,即 xn= , n+1 n+1 n+1 1 2 3 2 014 2 015 1 ∴x1· x2· ?· x2 015= × × ×?× × = , 则 log2 016x1+log2 016x2 2 3 4 2 015 2 016 2 016 令 y=0,得 x=1- +?+log2 016x2 015=log2 016(x1x2?x2 015)=-1. 答案 -1 b 14.设函数 f(x)=ax-x ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12= 0. (1)求 f(x)的解析式; (2)曲线 f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为 定值,并求此定值. 解 7 (1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y=4x-3,

b 1 2a-2=2, ? ? 1 b 当 x=2 时,y=2.又 f′(x)=a+x2,于是? b 7 ?a+4=4, ? ?a=1, 3 解得? 故 f(x)=x- x. ?b=3. (2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点, 3? 3 ? 由 y′=1+x2知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=?1+x2?(x-x0),即 y ? 0? 3? ? 3? 6 ? -?x0-x ?=?1+x2?(x-x0).令 x=0,得 y=-x ,从而得切线与直线 x=0 交 ? 0? ? 0? 0 6? ? 点坐标为?0,-x ?.令 y=x,得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐 ? 0? 标为(2x0,2x0). 1 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为 S=2

课件园 http://www.kejianyuan.net

? 6? ?-x ?|2x0|=6. ? 0? 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为定 值,且此定值为 6.

课件园 http://www.kejianyuan.net

第 2 讲 导数在研究函数中的应用
最新考纲 1. 了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调

性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次);2.了解函数在某 点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中 多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项 式函数一般不超过三次).

知 识 梳 理 1.函数的单调性与导数的关系 已知函数 f(x)在某个区间内可导, (1)如果 f′(x)>0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增; (2)如果 f′(x)<0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递减; (3)若 f′(x)=0,则 f(x)在这个区间内是常数函数. 2.函数的极值与导数 (1)判断 f(x0)是极值的方法 一般地,当函数 f(x)在点 x0 处连续且 f′(x0)=0, ①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值; ②如果在 x0 附近的左侧 f′(x)≤0,右侧 f′(x)≥0,那么 f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤: ①求 f′(x); ②求方程 f′(x)=0 的根; ③检查 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根的左右两侧的符号.如果左正右负,那么 f(x) 在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值. 3.函数的最值与导数 (1)函数 f(x)在[a,b]上有最值的条件 如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是连续不断的曲线,那么它必有最大值 和最小值. (2)设函数 f(x)在[a,b]上连续且在(a,b)内可导,求 f(x)在[a,b]上的最大值和

课件园 http://www.kejianyuan.net

最小值的步骤如下: ①求 f(x)在(a,b)内的极值; ②将 f(x)的各极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是 最小值. 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充要条件.(×) (2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(×) (3)函数的极大值不一定比极小值大.(√) (4)对可导函数 f(x),f′(x0)=0 是 x0 点为极值点的充要条件.(×) (5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.(√) 2.(2015· 北京海淀区模拟)函数 f(x)=x2-2ln x 的单调递减区间是( A.(0,1) 解析 B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-1,1) ) 精彩 PPT 展示

2 2(x+1)(x-1) ∵f′(x)=2x-x = (x>0). x

∴当 x∈(0,1)时 f′(x)<0,f(x)为减函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数. 答案 A

3.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,将 y=f(x)和 y=f′(x)的图象画在同一个直角坐 标系中,不可能正确的是( )

解析

由函数 f(x)递增时,f′(x)≥0;函数 f(x)递减时,f′(x)≤0.函数 f(x)取最

值时,f′(x)为 0,结合图象可判得 D. 答案 D

4.(2014· 新课标全国Ⅱ卷)若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则 k 的取值范围是( A.(-∞,-2] ) B.(-∞,-1]

C.[2,+∞) D.[1,+∞)

课件园 http://www.kejianyuan.net

解析

1 依题意得 f′(x)=k-x ≥0 在(1,+∞)上恒成立,

1 即 k≥ x在(1,+∞)上恒成立, 1 ∵x>1,∴0< x<1,∴k≥1,故选 D. 答案 D

5.(人教 A 选修 2-2P32A4 改编)如图是 f(x)的导函数 f′(x)的图象,则 f(x)的 极小值点的个数为________.

解析 答案

由题意知在 x=-1 处 f′(-1)=0,且其左右两侧导数符号为左负右正. 1

考点一

利用导数研究函数的单调性 x-1 ,其中 a 为常数. x+1

【例 1】 (2014· 山东卷)设函数 f(x)=aln x+

(1)若 a=0,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)讨论函数 f(x)的单调性. 解 (1)由题意知 a=0 时,f(x)= x-1 ,x∈(0,+∞). x+1

此时 f′(x)=

2 1 2.可得 f′(1)= ,又 f(1)=0,所以曲线 y=f(x)在(1,f(1))处 2 (x+1)

的切线方程为 x-2y-1=0. (2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞). a f′(x)= x+ ax2+(2a+2)x+a 2 . 2= (x+1) x(x+1)2

当 a≥0 时,f′(x)>0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增. 当 a<0 时,令 g(x)=ax2+(2a+2)x+a, 由于 Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1),

课件园 http://www.kejianyuan.net

1 ①当 a=-2时,Δ =0,f′(x)= 调递减.

1 -2(x-1)2 x(x+1)2

≤0,函数 f(x)在(0,+∞)上单

1 ②当 a<-2时,Δ <0,g(x)<0, f′(x)<0,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减. 1 ③当-2<a<0 时,Δ >0. 设 x1,x2(x1<x2)是函数 g(x)的两个零点, 则 x1= -(a+1)+ 2a+1 -(a+1)- 2a+1 ,x2= . a a a+1- 2a+1 a2+2a+1- 2a+1 = >0, -a -a

由 x1= 所以

x∈(0,x1)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减. 综上可得: 当 a≥0 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增; 1 当 a≤-2时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减; ? 1 -(a+1)+ 2a+1? ?, 当-2<a<0 时,f(x)在?0, a ? ? ?-(a+1)- 2a+1 ? ? ?上单调递减, ,+∞ a ? ? ?-(a+1)+ 2a+1 -(a+1)- 2a+1? ?上单调递增. 在? , a a ? ? 规律方法 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号, 当

f(x)含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若可导 函数 f(x) 在指定的区间 D 上单调递增 ( 减 ) ,求参数范围问题,可转化为 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立问题, 从而构建不等式, 要注意 “=” 是否可以取到.

课件园 http://www.kejianyuan.net

ex 1 【训练 1】 (2015· 嘉兴质检)已知函数 f(x)= 2 -ex-ax(a∈R). 3 (1)当 a=2时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在[-1,1]上为单调函数,求实数 a 的取值范围. 解 3 ex 1 3 (1)当 a=2时,f(x)= 2 -ex-2x,

1 1 f′(x)=2ex[(ex)2-3ex+2]=2ex(ex-1)(ex-2), 令 f′(x)=0,得 ex=1 或 ex=2, 即 x=0 或 x=ln 2; 令 f′(x)>0,则 x<0 或 x>ln 2; 令 f′(x)<0,则 0<x<ln 2. ∴f(x)的递增区间是(-∞,0),(ln 2,+∞); 递减区间是(0,ln 2). ex 1 (2)f′(x)= 2 +ex-a, 令 ex=t,由于 x∈[-1,1], ?1 ? ∴t∈? e,e?. ? ? t 1? ?1 ?? 令 h(t)=2+ t ?t∈?e ,e??, ? ? ?? 2 1 1 t -2 h′(t)=2-t2= 2t2 , ?1 ? ∴当 t∈? e, 2?时,h′(t)<0,函数 h(t)为单调减函数; ? ? 当 t∈( 2,e]时,h′(t)>0,函数 h(t)为单调增函数. ?1 ? 故 h(t)在? e,e?上的极小值点为 t= 2. ? ? e 1 ?1? 1 又 h(e)= + <h?e?= +e, 2 e ? ? 2e 1 ∴ 2≤h(t)≤e+2e. ∵函数 f(x)在[-1,1]上为单调函数, 若函数 f(x)在[-1,1]上单调递增, t 1 ?1 ? 则 a≤2+ t 对 t∈? e,e?恒成立, ? ? 所以 a≤ 2;

课件园 http://www.kejianyuan.net

若函数 f(x)在[-1,1]上单调递减, t 1 ?1 ? 则 a≥2+ t 对 t∈? e,e?恒成立, ? ? 1 所以 a≥e+2e, 1 ? ? 综上可得 a 的取值范围是(-∞, 2]∪?e+2e,+∞?. ? ? 考点二 利用导数研究函数的极值 x a 3 【例 2】 已知函数 f(x)=4+ x-ln x-2, 其中 a∈R, 且曲线 y=f(x)在点(1, f(1)) 1 处的切线垂直于直线 y= x. 2 (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 解 1 a 1 (1)对 f(x)求导得 f′(x)=4-x2-x,

1 3 由 f(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线 y=2x,知 f′(1)=-4-a=-2, 5 解得 a=4. x 5 3 (2)由(1)知 f(x)=4+4x-ln x-2, 则 f′(x)= x2-4x-5 4x2 .令 f′(x)=0,解得 x=-1 或 x=5.

因为 x=-1 不在 f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当 x∈(0,5)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,5)内为减函数; 当 x∈(5,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(5,+∞)内为增函数.由此知函数 f(x) 在 x=5 时取得极小值 f(5)=-ln 5. 规律方法 (1)可导函数 y=f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)=0, 且在

x0 左侧与右侧 f′(x)的符号不同.(2)若函数 y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么 y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值. 【训练 2】 (2014· 重庆卷)已知函数 f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,c∈R)的导函 数 f′(x)为偶函数,且曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为 4-c. (1)确定 a,b 的值; (2)若 c=3,判断 f(x)的单调性; (3)若 f(x)有极值,求 c 的取值范围.

课件园 http://www.kejianyuan.net



(1)对 f(x)求导,得 f′(x)=2ae2x+2be-2x-c,由 f′(x)为偶函数,知 f′(-x)

=f′(x)恒成立, 即 2(a-b)(e2x-e-2x)=0,所以 a=b. 又 f′(0)=2a+2b-c=4-c,故 a=1,b=1. (2)当 c=3 时,f(x)=e2x-e-2x-3x,那么 f′(x)=2e2x+2e-2x-3≥2 2e2x·2e-2x-3=1>0, 故 f(x)在 R 上为增函数. (3)由(1)知 f′(x)=2e2x+2e-2x-c, 而 2e2x+2e-2x≥2 2e2x·2e-2x=4, 当 x=0 时等号成立. 下面分三种情况进行讨论: 当 c<4 时,对任意 x∈R,f′(x)=2e2x+2e-2x-c>0,此时 f(x)无极值; 当 c=4 时,对任意 x≠0,f′(x)=2e2x+2e-2x-4>0,此时 f(x)无极值; c± c2-16 2 当 c>4 时,令 e =t,注意到方程 2t+ t -c=0 有两根 t1,2= >0, 4
2x

1 1 即 f′(x)=0 有两个根 x=2ln t1 或 x=2ln t2. 当 x1<x<x2 时,f′(x)<0;又当 x>x2 时,f′(x)>0,从而 f(x)在 x=x2 处取得极小 值. 综上,若 f(x)有极值,则 c 的取值范围为(4,+∞). 考点三 利用导数研究函数的最值

【例 3】 (2014· 江西卷)已知函数 f(x)=(4x2+4ax+a2) x,其中 a<0. (1)当 a=-4 时,求 f(x)的单调递增区间; (2)若 f(x)在区间[1,4]上的最小值为 8,求 a 的值. 解 (1)当 a=-4 时,由 f′(x)= 2(5x-2)(x-2) 2 =0 得 x=5或 x=2, x

2? ? 由 f′(x)>0 得 x∈?0,5?或 x∈(2,+∞), ? ? 2? ? 故函数 f(x)的单调递增区间为?0,5?和(2,+∞). ? ?

课件园 http://www.kejianyuan.net

深度思考

对于第(2)问已知函数 f(x)在某个闭区间上的最值,求参数值,一般

解法你了解吗?(先求 f(x)的最值再解方程求参数) (2)f′(x)= (10x+a)(2x+a) , 2 x

a? a a ? a<0,由 f′(x)=0 得 x=-10或 x=-2.当 x∈?0,-10?时, ? ? f(x)单调递增; a? ? a 当 x∈?-10,-2?时,f(x)单调递减; ? ? ? a ? 当 x∈?-2,+∞?时,f(x)单调递增. ? ? ? a? 易知 f(x)=(2x+a)2 x≥0,且 f ?-2?=0. ? ? a ①当-2≤1,即-2≤a<0 时,f(x)在[1,4]上的最小值为 f(1),由 f(1)=4+4a +a2=8,得 a=± 2 2-2,均不符合题意. a ? a? ②当 1<-2≤4,即-8≤a<-2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为 f ?-2?=0, ? ? 不符合题意. a ③当-2>4,即 a<-8 时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在 x=1 或 x=4 处取 得,而 f(1)≠8,由 f(4)=2(64+16a+a2)=8 得 a=-10 或 a=-6(舍去),当 a =-10 时,f(x)在(1,4)上单调递减,f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)=8,符合 题意. 综上,a=-10. 规律方法 (1)求解函数的最值时,要先求函数 y=f(x)在[a,b]内所有使 f′(x)=

0 的点,再计算函数 y=f(x)在区间内所有使 f′(x)=0 的点和区间端点处的函数 值,最后比较即得.(2)已知函数的最值求参数,一般先用参数表示最值,列方 程求解参数. 【训练 3】 已知函数 f(x)=xln x. (1)求函数 f(x)的极值点; (2)设函数 g(x)=f(x)-a(x-1),其中 a∈R,求函数 g(x)在区间[1,e]上的最小 值(其中 e 为自然对数的底数). 解 (1)f′(x)=ln x+1,x>0,

课件园 http://www.kejianyuan.net

1 由 f′(x)=0 得 x= e , 1? ? 所以 f(x)在区间?0, e?上单调递减, ? ? ?1 ? 在区间?e,+∞?上单调递增. ? ? 1 所以,x= e是函数 f(x)的极小值点,极大值点不存在. (2)g(x)=xln x-a(x-1), 则 g′(x)=ln x+1-a, 由 g′(x)=0,得 x=ea-1, 所以,在区间(0,ea-1)上,g(x)为递减函数, 在区间(ea-1,+∞)上,g(x)为递增函数. 当 ea-1≤1,即 a≤1 时,在区间[1,e]上,g(x)为递增函数,所以 g(x)的最小值 为 g(1)=0. 当 1<ea-1<e,即 1<a<2 时, g(x)的最小值为 g(ea-1)=a-ea-1. 当 ea-1≥e,即 a≥2 时,在区间[1,e]上,g(x)为递减函数, 所以 g(x)的最小值为 g(e)=a+e-ae. 综上,当 a≤1 时,g(x)的最小值为 0; 当 1<a<2 时,g(x)的最小值为 a-ea-1; 当 a≥2 时,g(x)的最小值为 a+e-ae.

[思想方法] 1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况,直 观而且条理,减少失分. 2.求极值、最值时,要求步骤规范、表格齐全;含参数时,要讨论参数的大 小. 3.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才 能下结论.一个函数在其定义域内最值是唯一的,可以在区间的端点取得.

课件园 http://www.kejianyuan.net

[易错防范] 1.注意定义域优先的原则,求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域 内进行. 2.解题时要注意区分求单调性和已知单调性求参数范围等问题,处理好 f′(x) =0 时的情况;区分极值点和导数为 0 的点. 3.f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a,b)都有 f′(x)≥0 且在(a,b)内 的任一非空子区间上 f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1.(2015· 九江模拟)函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是 A.(-∞,2) C.(1,4) 解析 B.(0,3) D.(2,+∞) ( )

函数 f(x)=(x-3)ex 的导数为 f′(x)=[(x-3)ex]′=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.

由函数导数与函数单调性的关系,得当 f′(x)>0 时,函数 f(x)单调递增,此时 由不等式 f′(x)=(x-2)ex>0,解得 x>2. 答案 D ( B.-e D.不存在 )

2.函数 y=xex 的最小值是 A.-1 1 C.-e 解析

y′=ex+xex=(1+x)ex,令 y′=0,则 x=-1,因为 x<-1 时,y′<0,

1 x>-1 时,y′>0,所以 x=-1 时,ymin=- e. 答案 C

3.(2013· 浙江卷 )已知函数 y= f(x)的图象是下列四个图象之 一,且其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的 图象是 ( )

课件园 http://www.kejianyuan.net

解析

由 y=f′(x)的图象知,y=f(x)的图象为增函数,且在区间(-1,0)上增长

速度越来越快,而在区间(0,1)上增长速度越来越慢. 答案 B ( )

4.对于在 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-a)f′(x)≥0,则必有 A.f(x)≥f(a) C.f(x)>f(a) 解析 B.f(x)≤f(a) D.f(x)<f(a)

由(x-a)f′(x)≥0 知,当 x>a 时,f′(x)≥0;当 x<a 时,f′(x)≤0.∴当 x

=a 时,函数 f(x)取得最小值,则 f(x)≥f(a). 答案 A

5.(2013· 湖北卷)已知函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数 a 的取值范围 是 A.(-∞,0) C.(0,1) 解析 1? ? B.?0,2? ? ? D.(0,+∞) ( )

由题知, x>0, f′(x)=ln x+1-2ax, 由于函数 f(x)有两个极值点, 则 f′(x)

=0 有两个不等的正根, 即函数 y=ln x+1 与 y=2ax 的图象有两个不同的交点 (x>0),则 a>0;设函数 y=ln x+1 上任一点(x0,1+ln x0)处的切线为 l,则 kl 1 1 1+ln x0 1 =y′=x ,当 l 过坐标原点时,x = x ?x0=1,令 2a=1?a=2,结合图象
0 0 0

1 知 0<a<2,故选 B. 答案 B

课件园 http://www.kejianyuan.net

二、填空题 6.已知函数 f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为 M,m, 则 M-m=________. 解析 由题意,得 f′(x)=3x2-12,令 f′(x)=0,得 x=±2,又 f(-3)=17,

f(-2)=24,f(2)=-8,f(3)=-1,所以 M=24,m=-8,M-m=32. 答案 32

7.(2015· 广州模拟)已知 f(x)=x3+3ax2+bx+a2 在 x=-1 时有极值 0,则 a-b= ________. 解析 由题意得 f′(x)=3x2+6ax+b,则

2 ?a +3a-b-1=0, ?a=1, ?a=2, ? 解得? 或? ?b-6a+3=0, ?b=3 ?b=9,

经检验当 a=1,b=3 时,函数 f(x)在 x=-1 处无法取得极值,而 a=2,b=9 满足题意,故 a-b=-7. 答案 -7 1 1 ?2 ? 8.若函数 f(x)=-3x3+2x2+2ax 在?3,+∞?上存在单调递增区间,则 a 的取值 ? ? 范围是________. ? 1? 1 对 f(x)求导,得 f′(x)=-x2+x+2a=-?x-2?2+4+2a. ? ? ?2 ? ?2? 2 当 x∈?3,+∞?时,f′(x)的最大值为 f′?3?=9+2a. ? ? ? ? 2 1 令9+2a>0,解得 a>-9. ? 1 ? 所以 a 的取值范围是?-9,+∞?. ? ? ? 1 ? 答案 ?-9,+∞? ? ? 解析 三、解答题 9.设 f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6). (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 解 (1)因为 f(x)=a(x-5)2+6ln x,

课件园 http://www.kejianyuan.net

6 故 f′(x)=2a(x-5)+ x. 令 x=1,得 f(1)=16a,f′(1)=6-8a, 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-16a=(6-8a)(x-1), 1 由点(0,6)在切线上,可得 6-16a=8a-6,解得 a=2. 1 (2)由(1)知,f(x)=2(x-5)2+6ln x(x>0), 6 (x-2)(x-3) f′(x)=x-5+x = . x 令 f′(x)=0,解得 x1=2,x2=3. 当 0<x<2 或 x>3 时,f′(x)>0, 故 f(x)的递增区间是(0,2),(3,+∞);当 2<x<3 时,f′(x)<0,故 f(x)的递 减区间是(2,3). 9 由此可知 f(x)在 x=2 处取得极大值 f(2)=2+6ln 2,在 x=3 处取得极小值 f(3) =2+6ln 3. 10.(2014· 湘潭检测)已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx+c 在点 P(1,f(1))处的切线方 程为 y=-3x+1. (1)若函数 f(x)在 x=-2 时有极值,求 f(x)的解析式; (2)函数 f(x)在区间[-2,0]上单调递增,求实数 b 的取值范围. 解 f′(x)=-3x2+2ax+b,函数 f(x)在 x=1 处的切线斜率为-3,所以 f′(1)= ① ②

-3+2a+b=-3,即 2a+b=0, 又 f(1)=-1+a+b+c=-2 得 a+b+c=-1. (1)函数 f(x)在 x=-2 时有极值, 所以 f′(-2)=-12-4a+b=0, 由①②③解得 a=-2,b=4,c=-3,所以 f(x)=-x3-2x2+4x-3.



(2)因为函数 f(x)在区间[-2,0]上单调递增,所以导函数 f′(x)=-3x2-bx+b ?f′(-2)=-12+2b+b≥0, 在区间[-2,0]上的值恒大于或等于零,则? ?f′(0)=b≥0, 得 b≥4,所以实数 b 的取值范围是[4,+∞).

课件园 http://www.kejianyuan.net

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
11.(2015· 温州十校月考)已知 f(x)是可导的函数,且 f′(x)<f(x)对于 x∈R 恒成立, 则 A.f(1)<ef(0),f(2 014)>e2 014f(0) B.f(1)>ef(0),f(2 014)>e2 014f(0) C.f(1)>ef(0),f(2 014)<e2 014f(0) D.f(1)<ef(0),f(2 014)<e2 014f(0) f(x) ex , f′(x)ex-f(x)(ex)′ f′(x)-f(x) ?f(x)? 则 g′(x)=? x ?′= = <0, e2x ex ? e ? f(x) 所以函数 g(x)= ex 在 R 上是单调减函数, 解析 令 g(x)= 所以 g(1)<g(0),g(2 014)<g(0), 即 f(1) f(0) f(2 014) f(0) e1 < 1 , e2 014 < 1 , ( )

故 f(1)<ef(0),f(2 014)<e2 014f(0). 答案 D x3 a ?1 ? 12.(2015· 福州质量检测)若函数 f(x)= 3 -2x2+x+1 在区间?2,3?上有极值点, ? ? 则实数 a 的取值范围是 5? ? A.?2,2? ? ? 5? ? B.?2,2? ? ? 10? ? C.?2, 3 ? ? ? ( ) 10? ? D.?2, 3 ? ? ? ?1 ? ?1 ? 解析 若函数 f(x)在区间?2,3?上无极值,则当 x∈?2,3?时,f′(x)=x2-ax ? ? ? ? ?1 ? ?1 ? +1≥0 恒成立或当 x∈?2,3?时, f′(x)=x2-ax+1≤0 恒成立. 当 x∈?2,3?时, ? ? ? ? 10? 1 1 ? ?1 ? y=x+ x的值域是?2, 3 ?;当 x∈?2,3?时,f′(x)=x2-ax+1≥0,即 a≤x+x ? ? ? ? 1 ?1 ? 恒成立,a≤2;当 x∈?2,3?,f′(x)=x2-ax+1≤0,即 a≥x+ x恒成立,a≥ ? ? 10? 10 ?1 ? ? ? ,3? 实数 a 的取值范围是?2, 3 ?, 故选 3 .因此要使函数 f(x)在?2 ?上有极值点, ? ? C. 答案 C

课件园 http://www.kejianyuan.net

1 13.已知函数 f(x)=-2x2+4x-3ln x 在区间[t,t+1]上不单调,则 t 的取值范围 是________. 解析 (x-1)(x-3) 3 由题意知 f′(x)=-x+4-x =- , 由 f′(x)=0 得函数 f(x) x

的两个极值点为 1 和 3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数 f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,由 t<1<t+1 或 t<3<t+1,得 0<t<1 或 2<t<3. 答案 (0,1)∪(2,3)

14.(2014· 安徽卷)设函数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中 a>0. (1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (2)当 x∈[0,1]时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值. 解 (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),

f′(x)=1+a-2x-3x2. 令 f′(x)=0,得 x1= -1- 4+3a -1+ 4+3a , x , 2= 3 3

x1<x2,所以 f′(x)=-3(x-x1)(x-x2). 当 x<x1 或 x>x2 时,f′(x)<0;当 x1<x<x2 时,f′(x)>0.故 f(x)在(-∞,x1) 和(x2,+∞)内单调递减,在(x1,x2)内单调递增. (2)因为 a>0,所以 x1<0,x2>0. ①当 a≥4 时,x2≥1,由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增,所以 f(x)在 x=0 和 x =1 处分别取得最小值和最大值.②当 0<a<4 时,x2<1,由(1)知,f(x)在[0, x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减,所以 f(x)在 x=x2= 最大值.又 f(0)=1,f(1)=a,所以 当 0<a<1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值; 当 a=1 时,f(x)在 x=0 处和 x=1 处同时取得最小值; 当 1<a<4 时,f(x)在 x=0 处取得最小值. -1+ 4+3a 处取得 3

课件园 http://www.kejianyuan.net

第 3 讲 导数的综合应用
最新考纲 1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值,并会解决与之有关的方

程(不等式)问题;2.会利用导数解决某些简单的实际问题.

知 识 梳 理 1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系, 列出实际问题的数学模型, 写出实际问题 中变量之间的函数关系式 y=f(x),并确定函数的定义域. (2)求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0. (3)比较函数在区间端点和 f′(x)=0 的点的函数值的大小, 最大(小)者为最大(小) 值. (4)回归实际问题作答. 2.不等式问题 (1)证明不等式时,可构造函数,将问题转化为函数的极值或最值问题. (2)求解不等式恒成立问题时, 可以考虑将参数分离出来, 将参数范围问题转化 为研究新函数的值域问题. 3.研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点,归根到底还是研究函数的 性质,如单调性、极值,然后通过数形结合的思想找到解题思路,因此使用的 知识还是函数的单调性和极值的知识. 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示

(1)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确定.(√) (2)若实际问题中函数定义域是开区间,则不存在最优解.(×) (3)连续函数在闭区间上必有最值.(√) (4)函数 f(x)=x2-3x+2 的极小值也是最小值.(√) 2.(2014· 辽宁实验中学模拟)函数 f(x)在定义域 R 内可导,若 f(x)=f(2-x),且 ?1? 当 x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)<0,设 a=f(0),b=f?2?,c=f(3),则( ? ? )

课件园 http://www.kejianyuan.net

A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b 解析 D.b<c<a ?1? ?2?,即有 f(3)<f(0)< ? ?

依题意得, 当 x<1 时, f′(x)>0, 所以函数 f(x)在(-∞, 1)上为增函数. 又

1 f(3)=f(-1),且-1<0<2<1,因此有 f(-1)<f(0)<f ?1? f ?2?,c<a<b,故选 C. ? ? 答案 C

3.设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=ln x 的图象分别交于点 M,N,则当|MN| 达到最小时 t 的值为( 1 A.1 B.2 解析 5 C. 2 2 D. 2 )

当 x=t 时,f(t)=t2,g(t)=ln t,

∴y=|MN|=t2-ln t(t>0). ? 2?? 2? 2?t+ ??t- ? 2 ?? 2? 1 2t -1 ? ∴y′=2t- t = t = . t 2 2 当 0<t< 2 时,y′<0;当 t> 2 时,y′>0. 2 ∴y=|MN|=t2-ln t 在 t= 2 时有最小值.
2

答案

D

4 .若函数 f(x) = x3 - 3x + a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析 由于函数 f(x)是连续的,故只需要两个极值异号即可.f′(x)=3x2-3,令

3x2-3=0,得 x=± 1,只需 f(-1)· f(1)<0,即(a+2)(a-2)<0,故 a∈(-2, 2). 答案 (-2,2)

5. (人教 A 选修 2-2P37A2 改编)从边长为 10 cm×16 cm 的矩形纸板的四角截 去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为 ________cm3. 解析 设盒子容积为 y cm3, 盒子的高为 x cm, 则 x∈(0, 5). 则 y=(10-2x)(16

-2x)x=4x3-52x2+160 x,

课件园 http://www.kejianyuan.net

20 ∴y′=12x2-104x+160.令 y′=0,得 x=2 或 3 (舍去), ∴ymax=6×12×2=144(cm3). 答案 144

考点一

利用导数解决生活中的优化问题

【例 1】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底 面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关, 侧面的建造成本为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水 池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. 解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100· 2π rh=200π rh 元,底面的总成本为

160π r2 元. 所以蓄水池的总成本为(200π rh+160π r2)元. 又根据题意得 200π rh+160π r2=12 000π , 1 所以 h=5r(300-4r2), π 从而 V(r)=π r2h= 5 (300r-4r3). 因 r>0,又由 h>0 可得 0<r<5 3, 故函数 V(r)的定义域为(0,5 3). π π (2)因 V(r)= 5 (300r-4r3),故 V′(r)= 5 (300-12r2), 令 V′(r)=0,解得 r=5 或-5(因 r=-5 不在定义域内,舍去). 当 r∈(0,5)时,V′(r)>0,故 V(r)在(0,5)上为增函数; 当 r∈(5,5 3)时,V′(r)<0,故 V(r)在(5,5 3)上为减函数. 由此可知,V(r)在 r=5 处取得最大值,此时 h=8. 即当 r=5,h=8 时,该蓄水池的体积最大. 规律方法 求实际问题中的最大值或最小值时,一般是先设自变量、因变量,

课件园 http://www.kejianyuan.net

建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数的最值的方法求解,注意结果 应与实际情况相结合.用导数求解实际问题中的最大(小)值时,如果函数在开 区间内只有一个极值点,那么依据实际意义,该极值点也就是最值点. 【训练 1】 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位: 千克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 y= a +10(x-6)2,其中 3<x x-3

<6,a 为常数,已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元?千克, 试确定销售价格 x 的值, 使商场每日销售该 商品所获得的利润最大. 解 a (1)因为 x=5 时,y=11,所以2+10=11,a=2. 2 +10(x-6)2. x-3

(2)由(1)知,该商品每日的销售量 y=

所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x-3)[ 2 +10(x-6)2] x-3

=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6. 从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)] =30(x-4)(x-6). 于是,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (3,4) + ↗ 4 0 极大值 42 (4,6) - ↘

由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以,当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 42. 答:当销售价格为 4 元?千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 考点二 利用导数证明不等式
x

bex-1 【例 2】 (2014· 新课标全国Ⅰ卷)设函数 f(x)=ae ln x+ x ,曲线 y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线方程为 y=e(x-1)+2. (1)求 a,b; (2)证明:f(x)>1.

课件园 http://www.kejianyuan.net

(1)解

函数 f(x)的定义域为(0,+∞),

a b b f′(x)=aexln x+x ex-x2ex-1+x ex-1. 由题意可得 f(1)=2,f′(1)=e. 故 a=1,b=2. (2)证明 2 由(1)知,f(x)=exln x+x ex-1,

2 从而 f(x)>1 等价于 xln x>xe-x- e. 设函数 g(x)=xln x,则 g′(x)=1+ln x. 1? ? 所以当 x∈?0,e?时,g′(x)<0; ? ? ?1 ? 当 x∈? e,+∞?时,g′(x)>0. ? ? 1? ? ?1 ? 故 g(x)在?0,e?上单调递减,在? e,+∞?上单调递增, ? ? ? ? 1 ?1? 从而 g(x)在(0,+∞)上的最小值为 g? e?=- e. ? ? 2 设函数 h(x)=xe-x-e,则 h′(x)=e-x(1-x). 所以当 x∈(0,1)时,h′(x)>0; 当 x∈(1,+∞)时 h′(x)<0. 故 h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 1 从而 h(x)在(0,+∞)上的最大值为 h(1)=- e . 综上,当 x>0 时,g(x)>h(x),即 f(x)>1. 规律方法 利用导数证明不等式常构造函数 φ(x),将不等式转化为 φ(x)>0(或

<0)的形式,然后研究 φ(x)的单调性、最值,判定 φ(x)与 0 的关系,从而证明 不等式,这是用导数证明不等式的基本思路. 【训练 2】 已知函数 f(x)=2ln x-ax+a(a∈R). (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)≤0 恒成立,证明:当 0<x1<x2 时, f(x2)-f(x1) ? 1 ? <2?x -1?. ? 1 ? x2-x1 (1)解 f′(x)= 2-ax x ,x>0.

课件园 http://www.kejianyuan.net

若 a≤0,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 2? ? 若 a>0,当 x∈?0,a?时,f′(x)>0,f(x)单调递增; ? ? ?2 ? 当 x∈?a,+∞?时,f′(x)<0,f(x)单调递减. ? ? (2)证明 由(1)知,若 a≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,

又 f(1)=0,故 f(x)≤0 不恒成立. ?2 ? 若 a>2,当 x∈?a,1?时,f(x)单调递减,f(x)>f(1)=0,不合题意, ? ? 2? ? 若 0<a<2,当 x∈?1,a?时,f(x)单调递增,f(x)>f(1)=0,不合题意, ? ? 若 a=2,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,f(x)≤f(1)=0 符合 题意. 故 a=2,且 ln x≤x-1(当且仅当 x=1 时取“=”). x2 1 ?x2 ? 当 0<x1<x2 时,f(x2)-f(x1)=2lnx -2(x2-x1)<2?x -1?-2(x2-x1)=2(x -1)(x2 ? 1 ? 1 1 -x1), 所以 f(x2)-f(x1) ? 1 ? <2?x -1?. ? 1 ? x2-x1 利用导数求参数的取值范围 ln x+a 1 ( a ∈ R ) , g ( x ) = x x.

考点三

【例 3】 已知函数 f(x)=

(1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)若函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象在区间(0,e2]上有公共点,求实数 a 的 取值范围. 解 (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 1-(ln x+a) . x2

f′(x)=

令 f′(x)=0,得 x=e1-a, 当 x∈(0,e1-a)时,f′(x)>0,f(x)是增函数; 当 x∈(e1-a,+∞)时,f′(x)<0,f(x)是减函数. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(0,e1-a], 单调递减区间为[e1-a,+∞), 极大值为 f(x)极大值=f(e1-a)=ea-1,无极小值.

课件园 http://www.kejianyuan.net

(2)令 F(x)=f(x)-g(x)= 则 F′(x)= -ln x+2-a . x2

ln x+a-1 , x

令 F′(x)=0,得 x=e2-a;令 F′(x)>0,得 x<e2-a; 令 F′(x)<0,得 x>e2-a, 故函数 F(x)在区间(0,e2-a]上是增函数, 在区间[e2-a,+∞)上是减函数. ①当 e2-a<e2,即 a>0 时, 函数 F(x)在区间(0,e2 a]上是增函数,


在区间[e2-a,e2]上是减函数,F(x)max=F(e2-a)=ea-2. a+1 又 F(e1-a)=0,F(e2)= e2 >0, 由图象,易知当 0<x<e1-a 时,F(x)<0; 当 e1-a<x≤e2,F(x)>0, 此时函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象在区间(0,e2]上有 1 个公共点. ②当 e2-a≥e2,即 a≤0 时,F(x)在区间(0,e2]上是增函数, a+1 . e2 a+1 若 F(x)max=F(e2)= e2 ≥0,即-1≤a≤0 时, F(x)max=F(e2)= 函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象在区间(0,e2]上只有 1 个公共点; a+1 若 F(x)max=F(e2)= e2 <0,即 a<-1 时, 函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象在区间(0,e2]上没有公共点. 综上,满足条件的实数 a 的取值范围是[-1,+∞). 规律方法 函数零点或函数图象交点问题的求解, 一般利用导数研究函数的单

调性、极值等性质,并借助函数图象,根据零点或图象的交点情况,建立含参 数的方程(或不等式)组求解,实现形与数的和谐统一. 【训练 3】 (2013· 北京卷)已知函数 f(x)=x2+xsin x+cos x. (1)若曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,求 a 与 b 的值; (2)若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,求 b 的取值范围. 解 由 f(x)=x2+xsin x+cos x,得 f′(x)=2x+sin x+x(sin x)′-sin x=x(2+

课件园 http://www.kejianyuan.net

cos x). (1)因为曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,所以 f′(a)=a(2+cos a) =0,b=f(a). 解得 a=0,b=f(0)=1. (2)设 g(x)=f(x)-b=x2+xsin x+cos x-b. 令 g′(x)=f′(x)-0=x(2+cos x)=0,得 x=0. 当 x 变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表: x g′(x) g(x) (-∞,0) - ↘ 0 0 1-b (0,+∞) + ↗

所以函数 g(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,且 g(x)的最小值为 g(0)=1-b. ①当 1-b≥0 时,即 b≤1 时,g(x)=0 至多有一个实根,曲线 y=f(x)与 y=b 最多有一个交点,不合题意. ②当 1-b<0 时,即 b>1 时,有 g(0)=1-b<0, g(2b)=4b2+2bsin 2b+cos 2b-b>4b-2b-1-b>0. ∴y=g(x)在(0,2b)内存在零点, 又 y=g(x)在 R 上是偶函数, 且 g(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴y=g(x)在(0,+∞)上有唯一零点, 在(-∞,0)也有唯一零点. 故当 b>1 时,y=g(x)在 R 上有两个零点, 则曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点. 综上可知,如果曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,那么 b 的取值范围 是(1,+∞).

[思想方法] 1.在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意 义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较.

课件园 http://www.kejianyuan.net

2.利用导数方法证明不等式 f(x)>g(x)在区间 D 上恒成立的基本方法是构造函 数 h(x)=f(x)-g(x), 然后根据函数的单调性, 或者函数的最值证明函数 h(x)>0, 其中一个重要技巧就是找到函数 h(x)在什么地方可以等于零,这往往就是解决 问题的一个突破口. 3.利用函数的导数研究不等式恒成立问题是一类重要题型,体现了导数的工 具性作用,将函数、不等式紧密结合起来,考查了学生综合解决问题的能力. 4.对于研究方程根的个数的相关问题,利用导数这一工具和数形结合的数学 思想就可以很好地解决. 这类问题求解的通法是(1)构造函数, 这是解决此类题 的关键点和难点,并求其定义域;(2)求导数,得单调区间和极值点;(3)画出 函数草图;(4)数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图象与 x 轴的交点情况进而 求解. [易错防范] 实际问题中的函数定义域一般受实际问题的制约, 不可盲目地确定函数的定 义域;在解题时要注意单位的一致性;把实际问题转化成数学问题后,要根据 数学问题中求得的结果对实际问题作出解释.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1.(2014· 湖南卷)若 0<x1<x2<1,则 A.ex2-ex1>ln x2-ln x1 C.x2ex1>x1ex2
x

(

)

B.ex2-ex1<ln x2-ln x1 D.x2ex1<x1ex2
x x

解析

(e )′·x-x′·e e (x-1) ex 令 f(x)= x ,则 f′(x)= = .当 0<x<1 时,f′(x) x2 x2

<0, 即 f(x)在(0, 1)上单调递减, ∵0<x1<x2<1, ∴f(x2)<f(x1), ∴x2ex1>x1ex2,故选 C.

课件园 http://www.kejianyuan.net

答案

C

2.(2015· 泸州一模)做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 27π ,且用料最 省,则圆柱的底面半径为 A.3 解析 B.4 C.6 D.5 ( )

27 设圆柱的底面半径为 R,母线长为 l,则 V=πR2l=27π,∴l=R2 ,要

使用料最省,只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和 S 最小,由题意,S= 54π 27 πR2+2πRl=πR2+2π· R ,∴S′=2πR- R2 ,令 S′=0,得 R=3,则 当 R=3 时,S 最小.故选 A. 答案 A

3.(2015· 洛阳统考)若函数 f(x)=2x3-9x2+12x-a 恰好有两个不同的零点,则 a 可能的值为 A.4 解析 B.6 C.7 D.8 ( )

由题意得 f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),由 f′(x)>0 得 x<1 或 x

>2,由 f′(x)<0 得 1<x<2,所以函数 f(x)在(-∞,1),(2,+∞)上单调递增, 在(1,2)上单调递减,从而可知 f(x)的极大值和极小值分别为 f(1),f(2),若欲 使函数 f(x)恰好有两个不同的零点,则需使 f(1)=0 或 f(2)=0,解得 a=5 或 a =4,而选项中只给出了 4,所以选 A. 答案 A

4.设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是 ( A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0 是 f(-x)的极小值点 C.-x0 是-f(x)的极小值点 D.-x0 是-f(-x)的极小值点 解析 A 错,因为极大值未必是最大值;B 错,因为函数 y=f(x)与函数 y= )

f(-x)的图象关于 y 轴对称,-x0 应是 f(-x)的极大值点;C 错,函数 y=f(x) 与函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称,x0 应为-f(x)的极小值点;D 正确,函 数 y=f(x)与 y=-f(-x)的图象关于原点对称,-x0 应为 y=-f(-x)的极小值 点.

课件园 http://www.kejianyuan.net

答案

D

5.(2014· 新课标全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0, 且 x0>0,则 a 的取值范围是 A.(2,+∞) C.(-∞,-2) 解析 B.(1,+∞) D.(-∞,-1) ( )

a=0 时,不符合题意.a≠0 时,f′(x)=3ax2-6x,令 f′(x)=0,得 x=0

2 或 x=a. 若 a>0,则由图象知 f(x)有负数零点,不符合题意. 8 4 ?2? 则 a<0,由图象结合 f(0)=1>0 知,此时必有 f ?a?>0,即 a×a3-3×a2+1 ? ? >0,化简得 a2>4,又 a<0,所以 a<-2,故选 C. 答案 C

二、填空题 6.(2014· 唐山模拟)已知 a>0,函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在区间[-2,2]上单调 递减,则 4a+b 的最大值为__________. 解析 ∵f(x)=x3+ax2+bx+c,

∴f′(x)=3x2+2ax+b,∵函数 f(x)在区间[-2,2]上单调递减, ?f′(-2)≤0, ?4a-b≥12, ∴? 即? ?f′(2)≤0, ?4a+b≤-12, 即 4a+b≤-12,∴4a+b 的最大值为-12. 答案 -12

7.(2015· 开封一模)已知函数 f(x)=ax3-3x+1 对 x∈(0,1]总有 f(x)≥0 成立,则 实数 a 的取值范围是________. 解析 当 x∈(0,1]时不等式 ax3-3x+1≥0 可化为 a≥ 3x-1 3x-1 设 g(x)= 3 , 3 , x x

x∈(0,1], ? 1? 6?x-2? 3x3-(3x-1)· 3x2 ? ? g′(x)= =- . 6 4 x x g′(x)与 g(x)随 x 的变化情况如下表: x 1? ? ?0,2? ? ? 1 2 ?1 ? ?2,1? ? ?

课件园 http://www.kejianyuan.net

g′(x) g(x)

+ ↗

0 极大值 4

- ↘

因此 g(x)的最大值为 4,则实数 a 的取值范围是[4,+∞). 答案 [4,+∞)

8.已知函数 f(x)=-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值,若 m,n∈[-1,1],则 f(m) +f′(n)的最小值是________. 解析 对函数 f(x)求导得 f′(x)=-3x2+2ax,

由函数 f(x)在 x=2 处取得极值知 f′(2)=0, 即-3×4+2a×2=0,∴a=3. 由此可得 f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x, 易知 f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增, ∴当 m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4. 又∵f′(x)=-3x2+6x 的图象开口向下,且对称轴为 x=1, ∴当 n∈[-1,1]时,f′(n)min=f′(-1)=-9. 故 f(m)+f′(n)的最小值为-13. 答案 -13

三、解答题 9.(2014· 青岛一模)设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)求证:当 a>ln 2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1. (1)解 由 f(x)=ex-2x+2a,x∈R,

知 f′(x)=ex-2,x∈R. 令 f′(x)=0,得 x=ln 2. 于是当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,ln 2) - ↘ ln 2 0 2(1-ln 2+a) (ln 2,+∞) + ↗

故 f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2), 单调递增区间是(ln 2,+∞), f(x)在 x=ln 2 处取得极小值,

课件园 http://www.kejianyuan.net

极小值为 f(ln 2)=eln 2-2ln 2+2a=2(1-ln 2+a). (2)证明 设 g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,

于是 g′(x)=ex-2x+2a,x∈R. 由(1)知当 a>ln 2-1 时, g′(x)取最小值为 g′(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0. 于是对任意 x∈R,都有 g′(x)>0, 所以 g(x)在 R 内单调递增. 于是当 a>ln 2-1 时,对任意 x∈(0,+∞), 都有 g(x)>g(0). 而 g(0)=0,从而对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)>0. 即 ex-x2+2ax-1>0,故 ex>x2-2ax+1. ex 10.(2015· 太原模拟)已知函数 f(x)=(2-a)x-2(1+ln x)+a,g(x)= ex , 1? ? (1)若函数 f(x)在区间?0,2?上无零点,求实数 a 的最小值; ? ? (2)若对任意给定的 x0∈(0,e],在(0,e]上方程 f(x)=g(x0)总存在两个不等的实 根,求实数 a 的取值范围. 解 f(x)=(2-a)(x-1)-2ln x,

(1)令 m(x)=(2-a)(x-1),x>0;h(x)=2ln x,x>0,则 f(x)=m(x)-h(x), 1? 1? ? ? ①当 a<2 时,m(x)在?0,2?上为增函数,h(x)在?0,2?上为增函数, ? ? ? ? 1? ? ?1? ?1? 若 f(x)在?0,2?上无零点,则 m?2?≥h?2?, ? ? ? ? ? ? 1 ?1 ? 即(2-a)?2-1?≥2ln 2, ? ? ∴a≥2-4ln 2,∴2-4ln 2≤a<2, 1? ? ②当 a≥2 时,在?0,2?上 m(x)≥0,h(x)<0, ? ? ∴f(x)>0, 1? ? ∴f(x)在?0,2?上无零点. ? ? 由①②得 a≥2-4ln 2, ∴amin=2-4ln 2. (2)g′(x)=e1-x-xe1-x=(1-x)e1-x,

课件园 http://www.kejianyuan.net

当 x∈(0,1)时,g′(x)>0,函数 g(x)单调递增; 当 x∈(1,e]时,g′(x)<0,函数 g(x)单调递减, 又 g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e2-e>0, ∴函数 g(x)在(0,e]上的值域为(0,1]. 方程 f(x)=g(x0)等价于(2-a)(x-1)-g(x0)=2ln x, 令 p(x)=(2-a)(x-1)-g(x0), 则 p(x)过定点(1,-g(x0)),且-1≤-g(x0)<0, 令 t(x)=2ln x,由 p(x),t(x)的图象可知, 要使方程 f(x)=g(x0)在(0,e]上总存在两个不相等的实根, ?a<2, 需使? 在(0,e]上恒成立, ?p(e)≥t(e) 即(2-a)(e-1)-g(x0)≥2ln e=2, ∴a≤2- 2+g(x0) , e-1

2+g(x0)? ? 3 ? ∵0<g(x0)≤1,∴?2- =2- , e-1 ?min e-1 ? ∴a≤2- 3 . e-1

3 ? ? 综上所述,a 的取值范围为?-∞,2-e-1?. ? ?

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
1? ? 11.已知 y=f(x)是奇函数,当 x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax?a>2?,当 x∈(-2, ? ? 0)时,f(x)的最小值为 1,则 a 等于 1 A.4 解析 1 B.3 1 C.2 D.1 ( )

∵f(x)是奇函数,∴f(x)在(0,2)上的最大值为-1.

1 1 1 1 当 x∈(0,2)时,f′(x)=x-a,令 f′(x)=0 得 x=a,又 a>2,∴0<a<2.

课件园 http://www.kejianyuan.net

1? 1 ? 当 x<a时,f′(x)>0,f(x)在?0,a?上单调递增; ? ? 1 ?1 ? 当 x>a时,f′(x)<0,f(x)在?a,2?上单调递减, ? ? 1 1 ?1? ∴f(x)max=f ?a?=ln a-a· a=-1,解得 a=1. ? ? 答案 D 12.(2014· 大连模拟)已知函数 f(x)=x3+ax2-x+c(x∈R),下列结论错误的是 ( A.函数 f(x)一定存在极大值和极小值 2 3 B.若函数 f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上是增函数,则 x2-x1≥ 3 C.函数 f(x)的图象是中心对称图形 D.函数 f(x)一定存在三个零点 解析 对于 A,f′(x)=3x2+2ax-1,Δ=4a2+12>0,因此函数 f′(x)=3x2+ )

2ax-1 恒有两个相异零点 x3,x4(其中 x3<x4),易知函数 f(x)的递增区间是 (-∞,x3)与(x4,+∞),递减区间是(x3,x4),函数 f(x)一定存在极大值与极小 2a 1 值,选项 A 正确.对于 B,由 A 知,x3+x4=- 3 ,x3x4=-3,则 x4-x3= (x3+x4)2-4x3x4= ? 2a?2 4 2 3 ?- 3 ? + ≥ 3 ,又 x1≤x3,x4≤x2,因此 x2-x1 ? ? 3

2 3 ≥x4-x3≥ 3 ,选项 B 正确.对于 C,函数 f(x)的解析式可以通过配方的方法 化为形如(x+m)3+n(x+m)+h 的形式,通过平移函数图象,函数的解析式可 以化为 y=x3+nx 的形式,这是一个奇函数,其图象关于坐标原点对称,故函 数 f(x)的图象是中心对称图形,所以 C 正确.对于 D,取 a=-c=1,得 f(x) =x3+x2-x-1=(x+1)2(x-1),此时函数 f(x)仅有两个相异零点,因此选项 D 不正确.综上所述,选 D. 答案 D

13.(2014· 辽宁卷改编)当 x∈[-2,1]时,不等式 ax3-x2+4x+3≥0 恒成立,则 实数 a 的取值范围是________. 解析 由题意知?x∈[-2,1]都有 ax3-x2+4x+3≥0,即 ax3≥x2-4x-3 在

x∈[-2,1]上恒成立.

课件园 http://www.kejianyuan.net

当 x=0 时,ax3-x2+4x+3≥0 变为 3≥0 恒成立, x2-4x-3 3 4 1 即 a∈R.当 0<x≤1 时,a≥ =-x3-x2+x . x3 1 令 t= x(t≥1),g(t)=-3t3-4t2+t,因为 g′(t)=-9t2-8t+1<0(t≥1), 所以 g(t)在[1,+∞)上单调递减, g(t)max=g(1)=-6(t≥1),所以 a≥-6. 3 4 1 当-2≤x<0 时,a≤-x3-x2+x,同理, 1? ? g(t)在(-∞,-1]上递减,在?-1,-2?上递增. ? ? 1? ? 因此 g(t)min=g(-1)=-2?t≤-2?,所以 a≤-2. ? ? 综上,-6≤a≤-2. 答案 [-6,-2]

14.(2014· 四川卷)已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,b∈R,e=2.718 28? 为自然对数的底数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-2<a<1. (1)解 由 f(x)=ex-ax2-bx-1,有 g(x)=f′(x)=ex-2ax-b,

所以 g′(x)=ex-2a. 当 x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a], 1 当 a≤2时,g′(x)≥0, 所以 g(x)在[0,1]上单调递增, 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; e 当 a≥2时,g′(x)≤0,所以 g(x)在[0,1]上单调递减. 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b; 1 e 当2<a<2时, 令 g′(x)=0,得 x=ln(2a)∈(0,1), 所以函数 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增. 于是,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b.综上所述,

课件园 http://www.kejianyuan.net

1 当 a≤2时, g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; 1 e 当2<a<2时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b; e 当 a≥2时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b. (2)证明 设 x0 为 f(x)在区间(0,1)内的一个零点,则由 f(0)=f(x0)=0 可知 f(x)

在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调递减. 则 g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负. 故 g(x)在区间(0,x0)内存在零点 x1, 同理,g(x)在区间(x0,1)内存在零点 x2, 所以 g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点. 1 由(1)知,当 a≤2时,g(x)在[0,1]上单调递增, 故 g(x)在(0,1)内至多有一个零点. e 当 a≥2时,g(x)在[0,1]上单调递减,故 g(x)在(0,1)内至多有一个零点,所以 1 e < a < 2 2. 此时 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增,因此 x1∈(0,ln(2a)],x2∈(ln(2a),1),必有 g(0)=1-b>0,g(1)=e-2a-b>0. 由 f(1)=0 有 a+b=e-1<2,有 g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0,解得 e- 2<a<1. 所以函数 f(x)在区间(0,1)内有零点时,e-2<a<1.

课件园 http://www.kejianyuan.net

第 4 讲 定积分与微积分基本定理
最新考纲 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的

概念,几何意义;2.了解微积分基本定理的含义.

知 识 梳 理 1.用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步 骤为分割、近似代替、求和、取极限. 2.定积分的定义 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在 n n b-a 每个小区间上任取一点 ξi(i=1,2,?,n),作和式 ∑ f(ξi)Δ x= ∑ f(ξi), i=1 i=1 n 当 n→∞时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作?bf(x)dx,即?bf(x)dx= ?a ?a 3.定积分的运算性质 (1)?bkf(x)dx=k?bf(x)dx(k 为常数). ?a ?a (2)?b[f1(x)± f2(x)]dx=?bf1(x)dx±?bf2(x)dx. ?a ?a ?a (3)?bf(x)dx=?c f(x)dx+?bf(x)dx(a<c<b). ?a ?a ?c 4.微积分基本定理 一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F′(x)=f(x),那么?bf(x)dx ?a =F(b)-F(a). 这个结论叫做微积分基本定理, 又叫做牛顿—莱布尼茨公式. 可
b b 以把 F(b)-F(a)记为 F(x)|b a,即? f(x)dx=F(x)|a=F(b)-F(a). ?a



5.定积分的几何意义 如图:

课件园 http://www.kejianyuan.net

设阴影部分的面积为 S. ①S=?bf(x)dx; ?a ②S=-?bf(x)dx; ?a ③S=?c f(x)dx-?bf(x)dx; ?a ?c ④S=?bf(x)dx-?bg(x)dx=?b[f(x)-g(x)]dx. ?a ?a ?a 诊 断 自 测 1.判断正误(请在括号中打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示

(1)若函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续且恒正,则?bf(x)dx>0.(√) ?a (2)若 f(x)是偶函数,则?a f(x)dx=2?af(x)dx.(√) ?0 ?-a (3)若 f(x)是奇函数,则?a f(x)dx=0.(√) ?-a (4)曲线 y=x2 与 y=x 所围成的面积是?1(x2-x)dx.(×) ?0 2.(2014· 陕西卷)定积分?1(2x+ex)dx 的值为( ?0 A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1 解析 答案
x 2 x 1 1 1 ? (2x+e )dx=(x +e )|0=1+e -1=e.故选 C. ?0

)

C

3. (2014· 山东卷)直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积 为( ) B.4 2

A.2 2

C.2 D.4 解析 如图,y=4x 与 y=x3 的交点

A(2,8),图中阴影部分即为所求图形面积. 1 ??2 ? S 阴=?2(4x-x3)dx= ?2x2-4x4?? 0 ? ?? ?0 1 =8-4×24=4,故选 D. 答案 D

课件园 http://www.kejianyuan.net

4.(人教 A 选修 2-2P60A6 改编)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急 情况而刹车,以速度 v(t)=7-3t+ 25 (t 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停 1+t )

止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( A.1+25ln 5 C.4+25ln 5 解析 11 B.8+25ln 3 D.4+50ln 2

8 令 v(t)=0,得 t=4 或 t=-3(舍去),

25 ? ? ∴汽车行驶距离 s=?4?7-3t+1+t?dt ? ?0? 3 ? ?? =?7t-2t2+25ln(1+t)?? ? ??0 =28-24+25ln 5=4+25ln 5(m). 答案 C
4

5.(2013· 湖南卷)若?Tx2dx=9,则常数 T 的值为________. ?0 解析 答案 1 3?T 1 x ? 0= ×T3=9.∴T3=27,∴T=3. x d x = ? 3 3 ? ?0
T 2

3

考点一

定积分的计算 )

2 ?x ,x∈[0,1], 【例 1】 (1)设 f(x)=? 则?2f(x)dx 等于( ?2-x,x∈(1,2], ?0

3 A.4

4 B.5

5 C.6

D.不存在

(2)定积分?3 9-x2dx 的值为________. ?0 (3)?1 e|x|dx=________. ?-1 解析 (1)如图,
2 1 2 2 ? f(x)dx=? x dx+? (2-x)dx ?0 ?0 ?1

1 2? 2 1 ? =3x3|1 0+?2x-2x ?|1 ? ?

课件园 http://www.kejianyuan.net

1? 5 1 ? =3+?4-2-2+2?=6. ? ? (2)由定积分的几何意义知,?3 9-x2dx 是由曲线 y= 9-x2,直线 x=0, ?0 x=3,y=0 围成的封闭图形的面积.故? ?0
3

π·32 9π 9-x dx= 4 = 4 .
2

(3)?1 e|x|dx=2?1e|x|dx=2?1exdx=2ex|1 0=2e-2. ?0 ?0 ?-1 答案 (1)C 9π (2) 4 (3)2e-2

规律方法

(1)用微积分基本定理求定积分, 关键是求出被积函数的原函数. 此

外,如果被积函数是绝对值函数或分段函数,那么可以利用定积分对积分区间 的可加性,将积分区间分解,代入相应的解析式,分别求出积分值相加. (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分. (3)若 y=f(x)为奇函数, 则?a f(x)dx=0.若 f(x)为偶函数, 则?a f(x)dx=2?af(x)dx. ?0 ?-a ?-a 【训练 1】 (1)定积分?1 (x2+sin x)dx=________. ?-1 (2)定积分?2|x-1|dx=________. ?0 解析 (1)?1 (x2+sin x)dx ?-1

=?1 x2dx+?1 sin xdx ?-1 ?-1 x3 1 2 =2?1x2dx=2· 3 |0=3. ?0 (2)法一
2 1 2 ? |x-1|dx=? |x-1|dx+? |x-1|dx ?0 ?0 ?1

=?1(1-x)dx+?2(x-1)dx ?0 ?1 x2??1 ? x2 ??2 ? x - ? ? +? -x?? 1 = 2? ?? 0 ? 2 ?? ? 1? ?22 ? ?1 ? ? =?1-2?+? 2 -2?-?2-1?=1. ? ? ? ? ? ?

课件园 http://www.kejianyuan.net

法二

由定积分的几何意义知所求定积分是图中阴影部分的面积,易知面积 S

1 1 =2+2=1. 答案 考点二 2 (1)3 (2)1

利用定积分求平面图形面积

【例 2】 如图所示,求由抛物线 y=-x2+4x-3 及其在点 A(0,-3)和点 B(3, 0)处的切线所围成图形的面积.



由题意,知抛物线 y=-x2+4x-3 在点 A 处的切线斜率是 k1=y′|x=0=4,

在点 B 处的切线斜率是 k2=y′|x=3=-2.因此,抛物线过点 A 的切线方程为 y=4x-3, 过点 B 的切线方程为 y=-2x+6. ?y=4x-3, 设两切线相交于点 M,由? 消去 y, ?y=-2x+6 3 3 得 x=2,即点 M 的横坐标为2. 3? ? ?3 ? 在区间?0,2?上,直线 y=4x-3 在曲线 y=-x2+4x-3 的上方;在区间?2,3? ? ? ? ? 上,直线 y=-2x+6 在曲线 y=-x2+4x-3 的上方. 因此,所求的图形的面积是

9 9 9 =8+8=4. 规律方法 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤: (1)画出图形;(2)确定

被积函数;(3)确定积分的上、下限,并求出交点坐标;(4)运用微积分基本定

课件园 http://www.kejianyuan.net

理计算定积分,求出平面图形的面积.求解时,注意要把定积分与利用定积分 计算的曲线围成图形的面积区别开:定积分是一个数值(极限值),可为正,可 为负,也可为零,而平面图形的面积在一般意义上总为正. 【训练 2】 (1)如图所示,曲线 y=x2 和直线 x=0,x=1 及 y 1 =4所围成的图形(阴影部分)的面积为( 2 A.3 1 C.2 1 B.3 1 D.4 )

4 (2)曲线 y=x2 与直线 y=kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为3, 则 k=________. 解析 1 1 1 (1)由 x2=4,得 x=2或 x=-2(舍),则阴影部分的面积为 ?1 2? ?4-x ?dx+ ? ? ? 2 1? ?x -4?dx= ? ?

S=

1 =4.
2 ?y=x , ?x=0, ?x=k, (2)由? 得? 或? 2 ?y=kx, ?y=0 ?y=k ,

则曲线 y=x2 与直线 y=kx(k>0)所围成的曲边梯形的面积为
3 ? k 2 1 3?? k 1 3 4 2 x - x ? ? ? ( kx - x )d x = = -3k =3,即 k3=8,解得 k=2. ? 2 3 2 ? ? ? ?0 0 k k

答案 考点三

(1)D (2)2 定积分在物理中的应用

【例 3】 一物体作变速直线运动,其 v-t 曲线如图所示, 1 则该物体在2 s~6 s 间的运动路程为________. 2t (0≤t≤1), ? ?2 (1≤t≤3), 由图可知,v(t)=? 1 ? ?3t+1 (3≤t≤6).

解析

由变速直线运动的路程公式,可得

课件园 http://www.kejianyuan.net

1 49 所以物体在2 s~6 s 间的运动路程是 4 m. 答案 49 4 m 定积分在物理中的两个应用: (1)求物体做变速直线运动的位移, 如

规律方法

果变速直线运动物体的速度为 v=v(t),那么从时刻 t=a 到 t=b 所经过的路程 s=?bv(t)dt.(2)变力做功,一物体在变力 F(x)的作用下,沿着与 F(x)相同方向从 ?a x=a 移动到 x=b 时,力 F(x)所做的功是 W=?bF(x)dx. ?a 【训练 3】 设变力 F(x)作用在质点 M 上,使 M 沿 x 轴正向从 x=1 运动到 x =10,已知 F(x)=x2+1 的方向和 x 轴正向相同,则变力 F(x)对质点 M 所做的 功为________J(x 的单位:m,力的单位:N). 解析
10 2

由题意知变力 F(x)对质点 M 所做的功为
10

?1 3 ?? x +x?? =342(J). ? (x +1)dx=? ?3 ??1 ?1 答案 342

[思想方法] 1.求定积分的方法 (1)利用定义求定积分(定义法),可操作性不强. (2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下:①求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x);②计算 F(b)-F(a). (3)利用定积分的几何意义求定积分. 2.求曲边多边形面积的步骤 (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形. (2)借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上限、下限.

课件园 http://www.kejianyuan.net

(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和. (4)计算定积分. [易错防范] 1.被积函数若含有绝对值号,应先去绝对值号,再分段积分. 2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是被积变量. 3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限. 4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积非负,而定积分的 结果可以为负. 5.将要求面积的图形进行科学而准确的划分,可使面积的求解变得简捷.

基础巩固题组 (建议用时:35 分钟)
一、选择题 π π 1.(2014· 济南质检)由直线 x=- 3 ,x= 3 ,y=0 与曲线 y=cos x 所围成的封闭 图形的面积为 1 A.2 解析 答案 由题意知 D ( D.6 ) B.1 3 C. 2 D. 3 3 ? 3? = 2 -?- ?= 3. ? 2? ( )

1? ? 2.若?a?2x+x?dx=3+ln 2(a>1),则 a 的值是 ? ?1? A.2 解析 ?? ?1?
a?2x+

B.3
a

C.4

1? ? dx=(x2+ln x)? =a2+ln a-1, x? ? ?1

∴a2+ln a-1=3+ln 2,则 a=2. 答案 A

课件园 http://www.kejianyuan.net

1 3.(2013· 江西卷)若 S1=?2x2dx,S2=?2xdx,S3=?2exdx,则 S1,S2,S3 的大小关 ?1 ?1 ?1 系为 A.S1<S2<S3 C.S2<S3<S1 B.S2<S1<S3 D.S3<S2<S1 ( )

7 ∵e2-e=e(e-1)>e>3>ln 2,∴S2<S1<S3. 答案 B ( )

4.由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为 10 A. 3 解析 B.4 16 C. 3 D.6

作出曲线 y= x,直线 y=x-2 的草图(如

图所示),所求面积为阴影部分的面积. ?y= x, 由? 得交点 A(4,2). ?y=x-2 因此 y= x与 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面 积为?4[ x-(x-2)]dx=?4( x-x+2)dx ?0 ?0 1 16 ?2 3 1 ?? 2 =?3x2-2x2+2x?? =3×8-2×16+2×4= 3 . ? ??0 答案 C
4

5.(2014· 湖南卷)已知函数 f(x)=sin(x-φ),且 一条对称轴是 5π A.x= 6 7π B.x= 12 π C.x= 3

f(x)dx=0,则函数 f(x)的图象的 ( π D.x= 6 )

课件园 http://www.kejianyuan.net

π? 3 3 ? ∴2cos φ- 2 sin φ=0,∴ 3cos?φ+ ?=0, 6? ? π π π ∴φ+ 6 = 2 +kπ(k∈Z),解得φ=kπ+ 3 (k∈Z), π π π?? ? ? ∴f(x)=sin ?x-?kπ+ ??,由 x-kπ- 3 =k′π+ 2 3 ? ? ?? 5 得 x=(k+k′)π+6π(k,k′∈Z),故选 A. 答案 A

二、填空题 6.设 a>0,若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a2,则 a =________.

答案

4 9

7.如图所示, 函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 相交形成一个闭 合 图形 ( 图中的阴 影部分 ) ,则该闭合图形的面积是 ________. 解析
2 ?y=-x +2x+1, 由? ?y=1,

得 x1=0,x2=2. ∴S=?2(-x2+2x+1-1)dx=?2(-x2+2x)dx ?0 ?0

答案

4 3

课件园 http://www.kejianyuan.net

8.汽车以 v=3t+2(单位:m/s)作变速直线运动时,在第 1 s 至第 2 s 间的 1 s 内 经过的路程是________ m.

3 7 13 ?3 ? =2×4+4-?2+2?=10-2= 2 (m). ? ? 答案 6.5

三、解答题 9.已知 f(x)在 R 上可导,f(x)=x2+2f′(2)x+3,试求?3f(x)dx 的值. ?0 解 ∵f(x)=x2+2f′(2)x+3,∴f′(x)=2x+2f′(2), ∴f′(2)=4+2f′(2),∴f′(2)=-4,∴f(x)=x2-8x+3. ?1 ?? ∴? f(x)dx=?3x3-4x2+3x?? =-18. ? ??0 ?0
3 3

10.求曲线 y=x2,直线 y=x,y=3x 围成的图形的面积. 解 作出曲线 y=x2,直线 y=x,y=3x 的图象,所求面积为图中阴影部分的

面积.
2 ?y=x , 解方程组? 得交点(1,1), ?y=x, 2 ?y=x , 解方程组? 得交点(3,9), ?y=3x,

因此,所求图形的面积为 S=?1(3x-x)dx+?3(3x-x2)dx ?0 ?1 =?12xdx+?3(3x-x2)dx ?0 ?1 1 ?? ?3 =x ? +?2x2-3x3?? ? ??1 ?0 1 1 ?3 ? ?3 ? =1+?2×32-3×33?-?2×12-3×13? ? ? ? ? 13 =3.
1 2? 3

课件园 http://www.kejianyuan.net

能力提升题组 (建议用时:20 分钟)
11.(2014· 湖北卷)若函数 f(x),g(x)满足?1 f(x)g(x)dx=0,则称 f(x),g(x)为区间[- ?-1 1,1]上的一组正交函数.给出三组函数: 1 1 ①f(x)=sin2x,g(x)=cos2x;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2. 其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )

③中 f(x)· g(x)=x3 为奇函数,在[-1,1]上的积分为 0,故①③满足条件. 答案 C ( )

12.(2014· 江西卷)若 f(x)=x2+2?1 f(x)dx,则?1 f(x)dx= ?0 ?0 A.-1 解析 1 B.-3 1 C.3 D.1

由题意知 f(x)=x2+2?1f(x)dx, ?0

设 m=?1f(x)dx,∴f(x)=x2+2m, ?0 ?1 3 ?? x +2mx?? ? f(x)dx=? (x +2m)dx=? 3 ? ??0 ?0 ?0
1 1 2 1

1 1 =3+2m=m,∴m=-3. 答案 B 13.?1 ( 1-x2+x)dx=________. ?-1 解析
2 1 1 1-x2dx+?1 xdx,根据积分的几何意义可知 ? ( 1-x +x)dx=? ?-1 ?-1 ?-1

课件园 http://www.kejianyuan.net

π 1 1 21 1 1-x2dx 等于半径为 1 的半圆的面积, 即?1 1-x2dx= 2 , ? ? xdx=2x |-1 ?-1 ?-1 ?-1 π =0,∴?1 ( 1-x2+x)dx= 2 . ?-1 答案 π 2

14.在区间[0,1]上给定曲线 y=x2.试在此区间内确定 点 t 的值,使图中的阴影部分的面积 S1 与 S2 之和最 小,并求最小值. 解 S1 面积等于边长分别为 t 与 t2 的矩形面积去掉

曲线 y=x2 与 x 轴、直线 x=t 所围成的面积,即 2 S1=t· t2-?t x2dx=3t3. ?0 S2 的面积等于曲线 y=x2 与 x 轴,x=t,x=1 围成的面积去掉矩形边长分别为 t2,1-t 面积, 2 1 即 S2=?1x2dx-t2(1-t)=3t3-t2+3. ?t 4 1 所以阴影部分的面积 S(t)=S1+S2=3t3-t2+3(0≤t≤1). 1 ? 1? 令 S′(t)=4t2-2t=4t?t-2?=0,得 t=0 或 t=2. ? ? 1 1 1 2 t=0 时,S(t)=3;t=2时,S(t)=4;t=1 时,S(t)=3. 1 1 所以当 t=2时,S(t)最小,且最小值为4.

特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新 设计· 高考总复习》光盘中内容.

课件园 http://www.kejianyuan.net

高考导航

函数与导数作为高中数学的核心内容,常常与其他知识结合起来,

形成层次丰富的各类综合题, 高考对导数计算的要求贯穿于与导数有关的每一 道题目之中,多涉及三次函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数以 及由这些函数复合而成的一些函数的求导问题;函数的单调性、极值、最值均 是高考命题的重点内容, 在选择、 填空、 解答题中都有涉及, 试题难度不大. 运 用导数解决实际问题是函数应用的延伸, 由于传统数学应用题的位置已经被概 率解答题占据,所以在历年高考题中很少出现单独考查函数应用题的问题,但 结合其他知识综合考查用导数求解最值的问题在每年的高考试题中都有体 现.另外,在压轴题中常考查导数与含参不等式、方程、解析几何等方面的综 合应用等,且难度往往较大.

热点一

利用导数研究函数的单调性问题

函数的单调性是函数在定义域内的局部性质, 因此利用导数讨论函数的单调性 时,要先研究函数的定义域,再利用导数 f′(x)在定义域内的符号来判断函数的 单调性.这类问题主要有两种考查方式:(1)判断函数 f(x)的单调性或求单调区 间;(2)利用函数的单调性或单调区间,求参数的范围. 【例 1】 (12 分)(2015· 济南模拟)已知函数 f(x)=x2e-ax,a∈R. (1)当 a=1 时,求函数 y=f(x)的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程. (2)讨论 f(x)的单调性. 解 (1)因为当 a=1 时,f(x)=x2e-x,f′(x)=2xe-x-x2e-x=(2x-x2)e-x,

所以 f(-1)=e,f′(-1)=-3e. 从而 y=f(x)的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为 y-e=-3e(x+1),即 y =-3ex-2e.(5 分) (2)f′(x)=2xe-ax-ax2e-ax

课件园 http://www.kejianyuan.net

=(2x-ax2)e-ax. ①当 a=0 时,若 x<0,则 f′(x)<0,若 x>0,则 f′(x)>0. 所以当 a=0 时,函数 f(x)在区间(-∞,0)上为减函数,在区间(0,+∞)上为 增函数.(7 分) 2 ②当 a>0 时,由 2x-ax2<0,解得 x<0 或 x>a,由 2x-ax2>0, 2 解得 0<x<a. 所以当 a>0 时,函数 f(x)在区间(-∞,0), ?2 ? ?a,+∞?上为减函数, ? ? 2? ? 在区间?0,a?上为增函数.(9 分) ? ? 2 ③当 a<0 时,由 2x-ax2<0,解得a<x<0,由 2x-ax2>0, 2 解得 x<a或 x>0. 2? ? ?2 ? 所以, 当 a<0 时, 函数 f(x)在区间?-∞,a?, (0, +∞)上为增函数, 在区间?a,0? ? ? ? ? 上为减函数.(11 分) 综上所述,当 a=0 时,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增; 2? ?2 ? ? 当 a>0 时,f(x)在(-∞,0),?a,+∞?上单调递减,在?0,a?上单调递增; ? ? ? ? 2? ?2 ? ? 当 a<0 时,f(x)在?a,0?上单调递减,在?-∞,a?,(0,+∞)上单调递增.(12 ? ? ? ? 分) 构建模板 求含参函数 f(x)的单调区间的一般步骤

第一步:求函数 f(x)的定义域(根据已知函数解析式确定). 第二步:求函数 f(x)的导数 f′(x). 第三步:根据 f′(x)=0 的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论. 第四步:求解(令 f′(x)>0 或令 f′(x)<0). 第五步:下结论. 探究提高 (1)判断函数的单调性,求函数的单调区间、极值等问题,最终归结

到判断 f′(x)的符号问题上,而 f′(x)>0 或 f′(x)<0,最终可转化为一个一元一次 或一元二次不等式问题.若含参数,则含参数的二次不等式的解法常常涉及到

课件园 http://www.kejianyuan.net

参数的讨论问题,只要把握好下面的四个“讨论点”,一切便迎刃而解.分类 标准一:二次项系数是否为零,目的是讨论不等式是否为二次不等式;分类标 准二: 二次项系数的正负, 目的是讨论二次函数图象的开口方向; 分类标准三: 判别式的正负,目的是讨论二次方程是否有解;分类标准四:两根差的正负, 目的是比较根的大小.(2)若已知 f(x)的单调性,则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上恒成立问题. 【训练 1】 已知函数 f(x)=exln x-aex(a≠0). (1)若函数 f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线 x-ey-1=0 垂直,求实数 a 的值; (2)若函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调函数,求实数 a 的取值范围. 解 1 1 (1)f′(x)=exln x+ex· x-aex=(x-a+ln x)ex(x>0),f′(1)=(1-a)e,

1 由(1-a)e· e =-1 得 a=2. 1 (2)由(1)知 f′(x)=( x-a+ln x)ex(x>0), 若 f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数,则 f′(x)≤0 在(0,+∞)上恒成立, 1 1 即 -a+ln x≤0,所以 a≥ +ln x. x x 1 1 1 x-1 令 g(x)= x +ln x(x>0),则 g′(x)=-x2+ x= x2 (x>0),由 g′(x)>0 得 x>1, 故 g(x)在(0,1]上为单调递减函数,在[1,+∞)上为单调递增函数,此时 g(x) 有最小值为 g(1)=1,但 g(x)无最大值.故 f(x)不可能是单调递减函数. 1 若 f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,则 f′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,即 x- 1 a+ln x≥0,所以 a≤x +ln x,由上述推理可知此时 a≤1.故 a 的取值范围是 (-∞,1]. 热点二 利用导数研究函数的极值、最值问题

用导数研究函数的极值或最值是高考命题的重要题型之一. 对于此类问题的求 解,首先,要理解函数极值的概念,需要清楚导数为零的点不一定是极值点, 只有在该点两侧导数的符号相反,即函数在该点两侧的单调性相反时,该点才 是函数的极值点;其次,要区分极值与最值,函数的极值是一个局部概念,而 最值是某个区间的整体性概念.

课件园 http://www.kejianyuan.net

【例 2】 已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0, 1]上单调递减且满足 f(0)=1, f(1) =0. (1)求 a 的取值范围. (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小值. 解 (1)由 f(0)=1,f(1)=0,得 c=1,a+b=-1,

则 f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex, f′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex, 依题意对于任意 x∈[0,1],有 f′(x)≤0. 当 a>0 时, 因为二次函数 y=ax2+(a-1)x-a 的图象开口向上, 而 f′(0)=-a<0,所以需 f′(1)=(a-1)e<0,即 0<a<1; 当 a=1 时,对于任意 x∈[0,1],有 f′(x)=(x2-1)ex≤0, 且只在 x=1 时 f′(x)=0,f(x)符合条件; 当 a=0 时,对于任意 x∈[0,1],f′(x)=-xex≤0, 且只在 x=0 时,f′(x)=0,f(x)符合条件; 当 a<0 时,因 f′(0)=-a>0,f(x)不符合条件. 故 a 的取值范围为 0≤a≤1. (2)因 g(x)=(-2ax+1+a)ex, g′(x)=(-2ax+1-a)ex, ①当 a=0 时,g′(x)=ex>0, g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1, 在 x=1 处取得最大值 g(1)=e. ②当 a=1 时,对于任意 x∈[0,1]有 g′(x)=-2xex≤0, g(x)在 x=0 处取得最大值 g(0)=2, 在 x=1 处取得最小值 g(1)=0. 1-a ③当 0<a<1 时,由 g′(x)=0 得 x= 2a >0. 1-a 1 若 2a ≥1,即 0<a≤3时, g(x)在[0,1]上单调递增, g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1+a,

课件园 http://www.kejianyuan.net

在 x=1 处取得最大值 g(1)=(1-a)e. 1-a 1 若 2a <1,即3<a<1 时, 1-a 1-a ?1-a? ?=2ae g(x)在 x= 2a 处取得最大值 g? 2a , ? 2a ? 在 x=0 或 x=1 处取得最小值, 而 g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e, 由 g(0)-g(1)=1+a-(1-a)e=(1+e)a+1-e=0, e-1 得 a= . e+1 e-1 1 则当3<a≤ 时, e+1 g(0)-g(1)≤0, g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1+a; e-1 当 <a<1 时,g(0)-g(1)>0, e+1 g(x)在 x=1 处取得最小值 g(1)=(1-a)e. 探究提高 含参函数的最值问题是高考的热点题型, 解此类题的关键是极值点

与给定区间位置关系的讨论,此时要注意结合导函数图象的性质进行分析.另 外,最值在两点处都有可能取到时,应作差比较两函数值的大小. 【训练 2】 (2013· 福建卷)已知函数 f(x)=x-aln x(a∈R). (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值. 解 a 函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-x .

2 (1)当 a=2 时,f(x)=x-2ln x,f′(x)=1- x(x>0), 因而 f(1)=1,f′(1)=-1, 所以曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程为 y-1=-(x-1), 即 x+y-2=0. a x-a (2)由 f′(x)=1- x = x ,x>0 知: ①当 a≤0 时,f′(x)>0,函数 f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数 f(x)无极值;

课件园 http://www.kejianyuan.net

②当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=a. 又当 x∈(0,a)时,f′(x)<0;当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0, 从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a-aln a,无极大值. 综上,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值;当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小 值 a-aln a,无极大值. 热点三 利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题

“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即 f(x)≥g(a)对于 x∈D 恒成立,应求 f(x)的最小值;若存在 x∈D,使得 f(x)≥g(a)成立,应求 f(x)的最 大值.在具体问题中究竟是求最大值还是最小值,可以先联想“恒成立”是求 最大值还是最小值, 这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是 最小值.特别需要关注等号是否成立问题,以免细节出错. 【例 3】 (2014· 陕西卷节选)设函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中 f′(x)是 f(x)的导函数. (1)令 g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N*,求 gn(x)的表达式(不需证明); (2)若 f(x)≥ag(x)恒成立,求实数 a 的取值范围. 解 由题设得,g(x)= x (x≥0). 1+x

x , 1+x x 1+x x g2(x)=g(g1(x))= x =1+2x, 1+ 1+x x x g3(x)= ,?,可得 gn(x)= . 1+3x 1+nx (1)由已知,g1(x)= (2)已知 f(x)≥ag(x)恒成立,即 ln(1+x)≥ 设 φ(x)=ln(1+x)- 则 φ′(x)= ax (x≥0), 1+x ax 恒成立. 1+x

x+1-a 1 a - , 2= 1+x (1+x) (1+x)2

当 a≤1 时,φ ′(x)≥0(仅当 x=0,a=1 时等号成立), ∴φ (x)在[0,+∞)上单调递增.又 φ(0)=0, ∴φ (x)≥0 在[0,+∞)上恒成立,

课件园 http://www.kejianyuan.net

∴a≤1 时,ln(1+x)≥

ax 恒成立(仅当 x=0 时等号成立). 1+x

当 a>1 时,对 x∈(0,a-1]有 φ′(x)≤0, ∴φ (x)在(0,a-1]上单调递减,∴φ (a-1)<φ(0)=0, 即 a>1 时,存在 x>0,使 φ(x)<0, 故知 ln(1+x)≥ 探究提高 ax 不恒成立.综上可知,a 的取值范围是(-∞,1]. 1+x

求解不等式恒成立时参数的取值范围问题, 一般常用分离参数的方

法,但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值,或者求解其函数最值 繁琐时,可采用直接构造函数的方法求解. 1-a 【训练 3】 (2014· 新课标全国Ⅰ卷)设函数 f(x)=aln x+ 2 x2-bx(a≠1),曲 线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 0. (1)求 b; (2)若存在 x0≥1,使得 f(x0)< 解 a (1)f′(x)= x +(1-a)x-b. a ,求 a 的取值范围. a-1

由题设知 f′(1)=0,解得 b=1. (2)f(x)的定义域为(0,+∞), 1-a 由(1)知,f(x)=aln x+ 2 x2-x, a ? 1-a? a f′(x)= x+(1-a)x-1= x ?x-1-a?(x-1). ? ? 1 a ①若 a≤2,则 ≤1,故当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单 1-a 调递增. 所以, 存在 x0≥1, 使得 f(x0)< 解得- 2-1<a< 2-1. a ? 1 a ? ? a ? ②若2<a<1, 则 >1, 故当 x∈?1,1-a?时, f′(x)<0; 当 x∈?1-a,+∞? 1-a ? ? ? ? a ? ? ? a ? 时,f′(x)>0.f(x)在?1,1-a?上单调递减,在?1-a,+∞?上单调递增. ? ? ? ? 1-a a a a 的充要条件为 f(1)< , 即 2 -1< , a-1 a-1 a-1

课件园 http://www.kejianyuan.net

所以,存在 x0≥1,使得 f(x0)<

a a ? a ? 的充要条件为 f?1-a?< . a-1 ? ? a-1

a a2 a a ? a ? 而 f?1-a?=aln + + > ,所以不合题意. 1-a 2(1-a) a-1 a-1 ? ? 1-a -a-1 a ③若 a>1,则 f(1)= 2 -1= 2 < . a-1 综上,a 的取值范围是(- 2-1, 2-1)∪(1,+∞). 热点四 利用导数研究方程解或图象交点问题

利用导数研究方程的解或图象交点问题,是高考题的典型题型,该类问题一般 可通过导数研究函数的单调性和极值,描绘出草图,然后分析观察,列出相应 不等式(或方程)求解.该类问题充分体现了数形结合这一重要思想方法. m 【例 4】 设函数 f(x)=ln x+ x ,m∈R. (1)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; x (2)讨论函数 g(x)=f′(x)-3零点的个数. 解 x-e e (1)由题设,当 m=e 时,f(x)=ln x+ ,则 f′(x)= 2 ,由 f′(x)=0,得 x x

x=e. ∴当 x∈(0,e),f′(x)<0,f(x)在(0,e)上单调递减, 当 x∈(e,+∞),f′(x)>0,f(x)在(e,+∞)上单调递增, e ∴当 x=e 时,f(x)取得极小值 f(e)=ln e+e=2, ∴f(x)的极小值为 2. x 1 m x (2)由题设 g(x)=f′(x)-3=x -x2-3(x>0), 1 令 g(x)=0,得 m=-3x3+x(x>0). 1 设 φ(x)=-3x3+x(x≥0), 则 φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1), 当 x∈(0,1)时,φ ′(x)>0,φ (x)在(0,1)上单调递增; 当 x∈(1,+∞)时,φ ′(x)<0,φ (x)在(1,+∞)上单调递减. ∴x=1 是 φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此 x=1 也是 φ(x)的最大值点.

课件园 http://www.kejianyuan.net

2 ∴φ (x)的最大值为 φ(1)=3. 又 φ(0)=0,结合 y=φ(x)的图象(如图),

可知 2 ①当 m>3时,函数 g(x)无零点; 2 ②当 m=3时,函数 g(x)有且只有一个零点; 2 ③当 0<m<3时,函数 g(x)有两个零点; ④当 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点. 2 综上所述,当 m>3时,函数 g(x)无零点; 2 当 m=3或 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 2 当 0<m<3时,函数 g(x)有两个零点. 探究提高 用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零

点存在性定理判断;另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题, 利用数形结合来解决. 【训练 4】 (2014· 新课标全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)=x3-3x2+ax+2, 曲线 y=f(x) 在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为-2. (1)求 a; (2)证明:当 k<1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点. (1)解 f′(x)=3x2-6x+a,f′(0)=a.

曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为 y=ax+2. 2 由题设得-a=-2,所以 a=1. (2)证明 由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2. 设 g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4. 由题设知 1-k>0.当 x≤0 时,

课件园 http://www.kejianyuan.net

g′(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)单调递增, g(-1)=k-1<0,g(0)=4, 所以 g(x)=0 在(-∞,0]上有唯一实根. 当 x>0 时,令 h(x)=x3-3x2+4, 则 g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x). h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)单调递减, 在(2,+∞)上单调递增,所以 g(x)>h(x)≥h(2)=0. 所以 g(x)=0 在(0,+∞)上没有实根. 综上,g(x)=0 在 R 上有唯一实根,即曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交 点 .

(建议用时:80 分钟)

1.(2015· 毕节二模)已知 f(x)=xln x(x>0). (1)求 f(x)的最小值. (2)F(x)=ax2+f′(x).(a∈R),讨论函数 f(x)的单调性. 解 (1)由 f(x)=xln x,得

1 f′(x)=ln x+1(x>0),令 f′(x)=0,得 x= e . 1? ? ?1 ? ∴当 x∈?0,e?时,f′(x)<0;当 x∈? e,+∞?时,f′(x)>0, ? ? ? ? 1 1 1 1 ∴当 x= e时,f(x)min=e ln e=- e. (2)由题意及(1)知,F(x)=ax2+ln x+1(x>0),
2 1 2ax +1 所以 F′(x)=2ax+ x= x (x>0).

①当 a≥0 时,恒有 F′(x)>0,则 F(x)在(0,+∞)上是增函数; ②当 a<0 时,令 F′(x)>0,即 2ax2+1>0,解得 0<x< 令 F′(x)<0,即 2ax2+1<0,解得 x> 1 -2a. 1 ? -2a,+∞?上单调递减. ? 1 -2a;

综上,当 a≥0 时,F(x)在(0,+∞)上是增函数; ? 当 a<0 时,F(x)在?0, ? 1? ? -2a?上单调递增,在? ? ?

课件园 http://www.kejianyuan.net

ln x 2.已知 f(x)=ax-ln x,x∈(0,e],g(x)= x ,其中 e 是自然常数,a∈R. (1)讨论 a=1 时,函数 f(x)的单调性和极值; 1 (2)求证:在(1)的条件下,f(x)>g(x)+2; (3)是否存在正实数 a,使 f(x)的最小值是 3?若存在,求出 a 的值;若不存在, 请说明理由. (1)解 当 a=1 时,f(x)=x-ln x,x∈(0,e],

1 x-1 f′(x)=1- x= x ,x∈(0,e], ∴当 0<x<1 时,f′(x)<0,此时 f(x)的单调递减; 当 1<x≤e 时,f′(x)>0 时,此时 f(x)的单调递增. ∴f(x)的极小值为 f(1)=1. (2)证明 又 g′(x)= ∵f(x)的极小值为 1,即 f(x)在(0,e]上的最小值为 1,∴[f(x)]min=1. 1-ln x x2 ,

∴当 0<x<e 时,g′(x)>0,g(x)在(0,e]上单调递增. 1 1 ∴[g(x)]max=g(e)= e<2, 1 ∴[f(x)]min-[g(x)]max>2, 1 ∴在(1)的条件下,f(x)>g(x)+2. (3)解 假设存在正实数 a,

使 f(x)=ax-ln x(x∈(0,e])有最小值 3, 1 ax-1 则 f′(x)=a- x= x ,x∈(0,e]. 1? 1 ? ①当 0<a<e 时,f(x)在?0,a?上单调递减, ? ? ?1 ? 在?a,e?上单调递增, ? ? ?1? [f(x)]min=f ?a?=1+ln a=3,a=e2,满足条件; ? ? 1 ②当a≥e 时,f(x)在(0,e]上单调递减, [f(x)]min=f(e)=ae-1=3, 4 a=e (舍去),所以,此时 f(x)无最小值.

课件园 http://www.kejianyuan.net

综上,存在实数 a=e2,使得当 x∈(0,e]时, f(x)有最小值 3. 3.(2015· 南京调研)已知函数 f(x)=ex-m-x,其中 m 为常数. (1)若对任意 x∈R 有 f(x)≥0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)当 m>1 时,判断 f(x)在[0,2m]上零点的个数,并说明理由. 解 (1)依题意,可知 f′(x)=ex-m-1,

令 f′(x)=0,得 x=m. 故当 x∈(-∞,m)时,ex-m<1,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(m,+∞)时,ex-m>1,f′(x)>0,f(x)单调递增. 故当 x=m 时,f(m)为极小值也是最小值. 令 f(m)=1-m≥0,得 m≤1, 即对任意 x∈R,f(x)≥0 恒成立时,m 的取值范围是(-∞,1]. (2)当 m>1 时,f(m)=1-m<0. ∵f(0)=e-m>0,f(0)· f(m)<0,且 f(x)在(0,m)上单调递减. ∴f(x)在(0,m)上有一个零点. 又 f(2m)=em-2m,令 g(m)=em-2m, 则 g′(m)=em-2, ∵当 m>1 时,g′(m)=em-2>0, ∴g(m)在(1,+∞)上单调递增. ∴g(m)>g(1)=e-2>0,即 f(2m)>0. ∴f(m)· f(2m)<0,∴f(x)在(m,2m)上有一个零点. 故 f(x)在[0,2m]上有两个零点. π? ? 4.(2014· 北京卷)已知函数 f(x)=xcos x-sin x,x∈?0, ?. 2? ? (1)求证:f(x)≤0; π? sin x ? (2)若 a< x <b 对 x∈?0, ?恒成立,求 a 的最大值与 b 的最小值. 2? ? (1)证明 由 f(x)=xcos x-sin x,得 f′(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x. π? π? ? ? 因为在区间?0, ?上 f′(x)=-xsin x<0, 所以 f(x)在区间?0, ?上单调递减. 从 2? 2? ? ?

课件园 http://www.kejianyuan.net

而 f(x)≤f(0)=0. (2)解 sin x sin x 当 x>0 时, “ x >a”等价于“sin x-ax>0”;“ x <b”等价于

“sin x-bx<0”. 令 g(x)=sin x-cx,则 g′(x)=cos x-c. π? ? 当 c≤0 时,g(x)>0 对任意 x∈?0, ?恒成立. 2? ? π? ? 当 c≥1 时,因为对任意 x∈?0, ?,g′(x)=cos x-c<0,所以 g(x)在区间 2? ? π? ? ?0, ?上单调递减. 2? ? π? ? 从而 g(x)<g(0)=0 对任意 x∈?0, ?恒成立. 2? ? π? ? 当 0<c<1 时,存在唯一的 x0∈?0, ?使得 g′(x0)=cos x0-c=0. 2? ? π? ? 于是,当 x 变化时,g(x),g′(x)在区间?0, ?的变化情况如下: 2? ? π? ? x x0 (0,x0) ?x0, ? 2? ? g′(x) + 0 ↘ g(x) ↗ 极大值 ? 因为 g(x)在区间[0,x0]上是增函数,所以 g(x0)>g(0)=0.进一步, “g(x)>0 对 π π? 2 ? ?π ? 任意 x∈?0, ?恒成立”当且仅当 g? ?=1- 2 c≥0,即 0<c≤ . 2? π ? ?2? 综上所述, 当且仅当 c≤ π? 2 ? 时, g(x)>0 对任意 x∈?0, ?恒成立; 当且仅当 c≥1 2? π ? -

π? ? 时,g(x)<0 对任意 x∈?0, ?恒成立. 2? ? π? sin x 2 ? 所以,若 a< x <b 对任意 x∈?0, ?恒成立,则 a 的最大值为 ,b 的最小 2? π ? 值为 1. 1 5.已知函数 f(x)=-3x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中 m>0. (1)当 m=2 时,求曲线 y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;

课件园 http://www.kejianyuan.net

?3 ? (2)若 y=f(x)在?2,+∞?上存在单调递增区间,求 m 的取值范围; ? ? (3)已知函数 y=f(x)有三个互不相同的零点 0,x1,x2,且 x1<x2,若对任意的 x∈[x1,x2],f(x)>f(1)恒成立,求 m 的取值范围. 解 1 (1)m=2 时,f(x)=-3x3+x2+3x,

∵f′(x)=-x2+2x+3,∴切线斜率 k=f′(3)=0, 又 f(3)=9, ∴切线方程为 y=9. (2)f′(x)=-x2+2x+m2-1,其对称轴为 x=1,则 f′(x)在(1,+∞)单调递减, 1 ?3? 由条件知 f′?2?>0,∴m2>4, ? ? 1 又 m>0,∴m>2. 1 (3)f(x)=-3(x-0)(x-x1)(x-x2), 1 x1,x2 为方程-3x2+x+m2-1=0 的两根, 1 ∴x1+x2=3,且 Δ>0,结合 m>0,解得 m>2.① 3 ∵x1<x2,∴x2>2, 下面讨论 x1 与 1. 1 若 x1≤1<x2 时,即 1∈[x1,x2],则 f(1)=-3(1-0)(1-x1)(1-x2), ∴f(1)≥0,而 f(x1)=0,与条件矛盾. 若 1<x1<x2,则对?x∈[x1,x2], 1 f(x)=-3x(x-x1)(x-x2)≥0, 又 f(x1)=0,∴f(x)在[x1,x2]上的最小值为 0. 又 f(x)>f(1)恒成立,∴f(x)min>f(1),即 0>f(1), 1 3 3 ∴m2-3<0?- 3 <m< 3 .② ?1 3? 由①②知,m 的取值范围为? , ?. ?2 3 ? 1 6.(2015· 晋中模拟)已知函数 f(x)=2ax2-(2a+1)x+2ln x(a∈R). (1)若曲线 y=f(x)在 x=1 和 x=3 处的切线互相平行,求 a 的值;

课件园 http://www.kejianyuan.net

(2)求 f(x)的单调区间; (3)设 g(x)=x2-2x,若对任意 x1∈(0,2],均存在 x2∈(0,2],使得 f(x1)<g(x2), 求 a 的取值范围. 解 2 f′(x)=ax-(2a+1)+ x(x>0).

(1)由题意知 f′(1)=f′(3), 2 2 即 a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+3,解得 a=3. (2)f′(x)= (ax-1)(x-2) (x>0). x

①当 a≤0 时,∵x>0,∴ax-1<0,在区间(0,2)上, f′(x)>0;在区间(2,+∞)上,f′(x)<0, 故 f(x)的单调递增区间是(0,2), 单调递减区间是(2,+∞). 1? 1 1 ?1 ? ? ②当 0<a<2时,a>2,在区间(0,2)和?a,+∞?上,f′(x)>0;在区间?2,a? ? ? ? ? ?1 ? 上,f′(x)<0,故 f(x)的单调递增区间是(0,2)和?a,+∞?,单调递减区间是 ? ? 1? ? ?2,a?. ? ? (x-2)2 1 ③当 a=2时,f′(x)= ≥0,故 f(x)的单调递增区间是(0,+∞). 2x 1? 1 1 ? ?1 ? ④当 a>2时,0<a<2,在区间?0,a?和(2,+∞)上,f′(x)>0;在区间?a,2? ? ? ? ? 1? ? 上,f′(x)<0,故 f(x)的单调递增区间是?0,a?和(2,+∞),单调递减区间是 ? ? ?1 ? ?a,2?. ? ? (3)由题意知,在(0,2]上有 f(x)max<g(x)max. 由已知得 g(x)max=0,由(2)可知, 1 ①当 a≤2时,f(x)在(0,2]上单调递增, 故 f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln 2=-2a-2+2ln 2,所以-2a-2+2ln 2 <0,解得 a>ln 2-1, 1 故 ln 2-1<a≤2. 1? 1 ? ②当 a>2时,f(x)在?0,a?上单调递增; ? ?

课件园 http://www.kejianyuan.net

?1 ? 在?a,2?上单调递减, ? ? 1 ?1? 故 f(x)max=f ?a?=-2-2a-2ln a. ? ? 1 1 1 由 a>2可知 ln a>ln 2>ln e=-1, 所以 2ln a>-2,即-2ln a<2,所以,-2-2ln a<0, 所以 f(x)max<0,综上所述,a>ln 2-1.

课件园 http://www.kejianyuan.net

阶段回扣练 3

导数及其应用

(建议用时:90 分钟)
一、选择题 x2 1 1.已知曲线 y= 4 -3ln x 的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为 A.3 C.1 解析 B.2 1 D.2 x 3 x0 3 1 由题意 y′= - ,设切点 P(x0,y0),x0>0,则 - = ,解得 x0=3 2 x 2 x0 2 ( )

或 x0=-2(舍),故选 A. 答案 A ( )

2.(2015· 南昌模拟)曲线 y=x2+ln x 在点(1,1)处的切线方程为 A.3x-y-2=0 C.3x+y-4=0 解析 B.x-3y+2=0 D.x+3y-4=0

1 y′=2x+ x,故 y′|x=1=3,故在点(1,1)处的切线方程为 y-1=3(x-1),

化简整理得 3x-y-2=0. 答案 A ( )

x2+a 3.若函数 f(x)= 在 x=1 处取极值,则 a= x+1 A.1 C.3 解析 B.2 D.4
2 (x2+a)′(x+1)-(x2+a)(x+1)′ ?x +a? ? ? f′(x)= ′= (x+1)2 ? x+1 ?



x2+2x-a , (x+1)2

∵x=1 为函数的极值点,∴f′(1)=0,即 1+2×1-a=0,解得 a=3, 故选 C.

课件园 http://www.kejianyuan.net

答案

C ( )

x 4.函数 f(x)=-ex,a<b<1,则 A.f(a)=f(b) B.f(a)<f(b) C.f(a)>f(b) D.f(a),f(b)大小关系不能确定
x x

e -xe x-1 x 解析 f(x)=-ex,所以 f′(x)=- e2x = ex ,当 x<1 时,f′(x)<0,所以函 x 数 f(x)=-ex在(-∞,1)上是减函数,又 a<b<1,故 f(a)>f(b). 答案 C ( ) 5.函数 f(x)=mx3-x 在(-∞,+∞)上是减函数,则 m 的取值范围是 A.(-∞,0) C.(-∞,0] 解析 B.(-∞,1) D.(-∞,1]

由题意知,f′(x)=3mx2-1≤0 在(-∞,+∞)上恒成立,

①x=0 时,-1≤0 恒成立,即 m∈R; ②x≠0 时,有 m≤ 1 1 2在 R 上恒成立,∵ 2>0,∴m≤0, 3x 3x

综上 m≤0,故选 C. 答案 C

6.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f′(x)的图象可 能是 ( )

课件园 http://www.kejianyuan.net

解析

如图所示,当 x∈(-∞,x0)时,函数 f(x)为

增函数,当 x∈(x0,0)和 x∈(0,+∞)时,函数 f(x) 为减函数, ∴x=x0 是函数 f(x)的极大值点, 可得 f′(x0) =0,且当 x∈(-∞,x0)时,f′(x)>0,当 x∈(x0, 0)和 x∈(0,+∞)时,f′(x)<0.由此对照各个选项, 可得函数 y=f′(x)的图象只有 A 项符合. 答案 A

7.用总长 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,若容器底面的长比宽多 0.5 m,要使它的容积最大,则容器底面的宽为 A.0.5 m 解析 B.0.7 m C.1 m D.1.5 m ( )

设容器底面的宽为 x m,则长为(x+0.5)m,高为(3.2-2x)m.由 3.2-2x

>0 和 x>0,得 0<x<1.6.设容器的容积为 y m3,则有 y=x(x+0.5)(3.2-2x), 其中 0<x<1.6,整理得 y=-2x3+2.2x2+1.6x,所以 y′=-6x2+4.4x+1.6.令 y′=0,得 x=1.从而在定义域(0,1.6)内只有当 x=1 时 y 取得最大值,即容器 底面的宽为 1 m 时,容器的容积最大. 答案 C

8. (2015· 青岛一模)已知函数 f(x)=x3+bx2+cx 的图象如
2 图所示,则 x2 1+x2等于

( 4 B.3 16 D. 3

)

2 A.3 8 C.3 解析

由题图可知 f(1)=0,f(2)=0,

?1+b+c=0, ?b=-3, ∴? 解得? ?8+4b+2c=0, ?c=2. ∴f(x)=x3-3x2+2x,∴f′(x)=3x2-6x+2. 由图可知 x1,x2 为 f(x)的极值点,

课件园 http://www.kejianyuan.net

2 ∴x1+x2=2,x1x2=3. 4 8 2 2 ∴x2 1+x2=(x1+x2) -2x1x2=4- = . 3 3 答案 C 9. 函数 f(x)的定义域是 R, f(0)=2, 对任意 x∈R, f(x)+f′(x)>1, 则不等式 ex· f(x) >ex+1 的解集为 A.{x|x>0} C.{x|x<-1 或 x>1} 解析 B.{x|x<0} D.{x|x<-1 或 0<x<1} ( )

构造函数 g(x)=ex·f(x)-ex.因为 g′(x)=ex·f(x)+ex·f′(x)-ex=ex[f(x)

+f′(x)]-ex>ex-ex=0,所以 g(x)=ex·f(x)-ex 为 R 上的增函数.因为 g(0)= e0·f(0)-e0=1,所以原不等式转化为 g(x)>g(0),解得 x>0. 答案 A

10.(2014· 石家庄模拟)若不等式 2xln x≥-x2+ax-3 对 x∈(0,+∞)恒成立,则 实数 a 的取值范围是 A.(-∞,0) C.(0,+∞) 解析 B.(-∞,4] D.[4,+∞) ( )

3 3 2xln x≥-x2+ax-3,则 a≤2ln x+x+ x ,设 h(x)=2ln x+x+ x(x>0), (x+3)(x-1) .当 x∈(0,1)时,h′(x)<0,函数 h(x)单调递减; x2

则 h′(x)=

当 x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,函数 h(x)单调递增,所以 h(x)min=h(1)=4.所以 a≤h(x)min=4.故 a 的取值范围是(-∞,4]. 答案 B

二、填空题 11.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(e)+ln x,则 f′(e)=________. 解析 -e-1. 答案 -e-1 1 1 1 f′(x)=2f′(e)+ x,取 x=e,得 f′(e)=2f′(e)+e,由此解得 f′(e)=-e =

12.已知 2≤?2(kx+1)dx≤4,则实数 k 的取值范围是________. ?1

课件园 http://www.kejianyuan.net

3 2 ∴2≤2k+1≤4,∴3≤k≤2. 答案 ?2 ? ?3,2? ? ?

13.设 f(x)=ln x-a,若 f(x)<x2 在 x∈(1,+∞)上恒成立,则实数 a 的范围为 ________. 解析 ∵函数 f(x)=ln x-a,且 f(x)<x2 在(1,+∞)上恒成立,∴函数 f(x)=

ln x-a<x2 在(1,+∞)上恒成立,∴a>ln x-x2.令 h(x)=ln x-x2,有 h′(x)= 1 1 x -2x.∵x>1,∴ x-2x<0,∴h(x)在(1,+∞)上为减函数,∴当 x∈(1,+∞) 时,h(x)<h(1)=-1,∴a≥-1. 答案 [-1,+∞)

14.已知函数 f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表: x f(x) -1 1 0 2 4 2 5 1

f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示.下列关于 f(x)的命题: ①函数 f(x)的极大值点为 0,4; ②函数 f(x)在区间[0,2]上是减函数; ③如果当 x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1<a<2 时,函数 y=f(x)-a 有 4 个零点. 其中真命题的序号是________. 解析 由导函数的图象得:①为真命题;②为真命题,因为在区间[0,2]上导

函数为负,故原函数递减;③为假命题,当 t=5,x∈[-1,t]时,f(x)的最大 值是 2;④为假命题,当 1<a<2 时,y=f(x)-a 可以有 2 个零点,可以有 3 个零点,也可以有 4 个零点.综上,真命题只有①②. 答案 ①②

课件园 http://www.kejianyuan.net

e2x2+1 g(x1) e2x 15.设函数 f(x)= x ,g(x)= ex ,对任意 x1,x2∈(0,+∞),不等式 k ≤ f(x2) 恒成立,则正数 k 的取值范围是________. k+1 解析 不等式 因为对任意 x1,x2∈(0,+∞), g(x1) f(x2) g(x1)max k k ≤ k+1 恒成立,所以k+1≥ f(x2)min .

e2x 因为 g(x)= ex =xe2-x, 所以 g′(x)=(xe2 x)′=e2 x+xe2 x·(-1)=e2 x(1-x).
- - - -

当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0, 所以 g(x)在(0,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减. 所以当 x=1 时,g(x)取到最大值,即 g(x)max=g(1)=e. 1 又 f(x)=e2x+ x ≥2e(x>0). 1 1 当且仅当 e2x=x ,即 x= e时取等号,故 f(x)min=2e. 所以 g(x1)max e 1 k 1 =2e=2,应有 ≥2, f(x2)min k+1

又 k>0,所以 k≥1. 答案 [1,+∞)

三、解答题 16.已知 f(x)=ax2-(a+2)x+ln x. (1)a=1 时,求 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程. (2)当 a>0 时,若 f(x)在区间[1,e]上最小值为-2,求实数 a 的范围. 解 (1)当 a=1 时,f(x)=x2-3x+ln x,

1 f′(x)=2x-3+x . 因为 f′(1)=0,f(1)=-2, 所以曲线 y=f(x)在点(1,-2)处的切线方程是 y=-2. (2)函数 f(x)=ax2-(a+2)x+ln x 的定义域是(0,+∞). 1 当 a>0 时,f′(x)=2ax-(a+2)+ x

课件园 http://www.kejianyuan.net

2ax2-(a+2)x+1 = , x 2ax2-(a+2)x+1 令 f′(x)= x (2x-1)(ax-1) 1 1 = = 0 ,所以 x = 或 x = x 2 a. 1 当 0<a≤1,即 a≥1 时,f(x)在[1,e]上单调递增, 所以 f(x)在[1,e]上的最小值是 f(1)=-2; 1 ?1? 当 1<a<e 时,f(x)在[1,e]上的最小值 f ?a?<f(1)=-2,不合题意; ? ? 1 当a≥e 时,f(x)在[1,e]上单调递减,此时 f(x)在[1,e]上的最小值 f(e)<f(1)= -2,不合题意. 综上,实数 a 的取值范围为[1,+∞). 17.(2015· 天津模拟)已知函数 f(x)=ln x-a2x2+ax(a∈R). (1)求 f(x)的单调区间与极值. (2)若函数在区间(1,+∞)上单调递减,求实数 a 的取值范围. 解 (1)函数 f(x)=ln x-a2x2+ax 的定义域为(0,+∞), -2a2x2+ax+1 1 2 f′(x)= -2a x+a= x x -(2ax+1)(ax-1) = . x 1 (ⅰ)当 a=0 时,f′(x)= x>0, 所以 f(x)的单调递增区间为(0,+∞), 此时 f(x)无极值. (ⅱ)当 a>0 时,令 f′(x)=0, 1 1 得 x=a或 x=-2a(舍去). 1? ? ?1 ? f(x)的单调递增区间为?0,a?,单调递减区间为?a,+∞?,所以 f(x)有极大值为 ? ? ? ? ?1? f ?a?=-ln a,无极小值. ? ? 1 1 (ⅲ)当 a<0 时,令 f′(x)=0,得 x=a(舍去)或 x=-2a, 1? ? 所以 f(x)的单调递增区间为?0,-2a?, ? ?

课件园 http://www.kejianyuan.net

? 1 ? 单调递减区间为?-2a,+∞?, ? ? ? 1? ? 1? 3 所以 f(x)有极大值为 f ?-2a?=ln?-2a?-4 ? ? ? ? 3 =-ln(-2a)-4,无极小值. (2)由(1)可知:(ⅰ)当 a=0 时,f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,不合题意. ?1 ? (ⅱ)当 a>0 时,f(x)的单调递减区间为?a,+∞?, ? ? 1 ? ? ≤1, 依题意,得?a 得 a≥1. ? ?a>0, ? 1 ? (ⅲ)当 a<0 时,f(x)的单调递减区间为?-2a,+∞?, ? ? 1 ? ?- ≤1, 1 依题意,得? 2a 即 a≤-2. ? ?a<0, 1? ? 综上,实数 a 的取值范围是?-∞,-2?∪[1,+∞). ? ? 1 18.已知函数 f(x)=2x2+aln x. (1)若 a=-1,求函数 f(x)的极值,并指出是极大值还是极小值; (2)若 a=1,求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 2 (3)若 a=1,求证:在区间[1,+∞)上,函数 f(x)的图象在函数 g(x)=3x3 的图 象的下方. (1)解 由于函数 f(x)的定义域为(0,+∞),

1 (x+1)(x-1) 当 a=-1 时,f′(x)=x-x = , x 令 f′(x)=0 得 x=1 或 x=-1(舍去), 当 x∈(0,1)时,函数 f(x)单调递减, 当 x∈(1,+∞)时,函数 f(x)单调递增, 1 所以 f(x)在 x=1 处取得极小值为2. (2)解 当 a=1 时,易知函数 f(x)在[1,e]上为增函数, 1 1 ∴f(x)min=f(1)=2,f(x)max=f(e)=2e2+1.

课件园 http://www.kejianyuan.net

(3)证明

1 2 设 F(x)=f(x)-g(x)=2x2+ln x-3x3,

(1-x)(1+x+2x2) 1 2 则 F′(x)=x+ x-2x = , x 当 x>1 时,F′(x)<0, 故 f(x)在区间[1,+∞)上是减函数, 1 又 F(1)=-6<0, ∴在区间[1,+∞)上,F(x)<0 恒成立. 即 f(x)<g(x)恒成立. 因此, 当 a=1 时, 在区间[1, +∞)上, 函数 f(x)的图象在函数 g(x)图象的下方. 19.已知函数 f(x)=aln x+bx(a,b∈R)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为 x-2y -2=0. (1)求 a,b 的值; k (2)当 x>1 时,f(x)+x<0 恒成立,求实数 k 的取值范围; 3n2-n-2 1 1 1 (3)证明:当 n∈N ,且 n≥2 时,2ln 2+3ln 3+?+nln n> . 2n2+2n
*

(1)解

a ∵f(x)=aln x+bx,∴f′(x)= x+b.

1? 1 ? ∵直线 x-2y-2=0 的斜率为2,且过点?1,-2?, ? ? 1 1 a=1, ? ? ?f(1)=-2, ? ?b=-2, ? ∴? 即? 解得? 1 1 1 b=-2. ? ? ?f′(1)=2, ? ?a+b=2, ? x (2)解 法一 由(1)得 f(x)=ln x-2. k 当 x>1 时,f(x)+x<0 恒成立, x k 即 ln x-2+x<0 恒成立, x2 等价于 k< 2 -xln x 恒成立. x2 令 g(x)= 2 -xln x, 则 g′(x)=x-(ln x+1)=x-1-ln x. 1 x-1 令 h(x)=x-1-ln x,则 h′(x)=1- x= x .

课件园 http://www.kejianyuan.net

当 x>1 时,h′(x)>0,函数 h(x)在(1,+∞)上单调递增, 故 h(x)>h(1)=0. 从而,当 x>1 时,g′(x)>0,即函数 g(x)在(1,+∞)上单调递增,故 g(x)> 1 g(1)=2. x2 1 又当 x>1 时,k< 2 -xln x 恒成立,故 k≤2. 1? ? ∴所求 k 的取值范围是?-∞,2?. ? ? (3)证明 x 1 由(2)得,当 x>1 时,ln x-2+2x<0,

x2-1 即 xln x< 2 , 1 2 1 1 又 xln x>0,∴xln x> 2 = - . x -1 x-1 x+1 把 x=2,3,4,?,n 分别代入上述不等式,并相加得, 1? 1? ?1 1? ?1 1? 1 1 1 ? 1 ? ?1-3? + ?2-4? + ?3-5? + ? + ?n-2-n? + 2ln 2 + 3ln 3 + ? + nln n > ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 ? ? ?n-1-n+1? ? ? 1 1 1 =1+2-n- n+1 = 3n2-n-2 . 2n2+2n


推荐相关:

2016年高三数学(理)创新设计资料包13章

2016年高三数学(理)创新设计资料包13章_数学_高中教育_教育专区。课件园 http:...答案 42 4.(2014· 福建卷)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系...


2016年高三数学(理)创新设计资料包1章

2016年高三数学(理)创新设计资料包1章_数学_高中教育_教育专区。课件园 http:...RA={x|x<3 或 x≥7}, ∴(?RA)∩B={x|2<x<3 或 7≤x<10}. ...


2016年高三数学(理)创新设计资料包4-3

2016年高三数学(理)创新设计资料包4-3_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2016年高三数学(理)创新设计资料包4-3_数学_高中教育_教育...


2016年高三数学(理)创新设计资料包阶段回扣练3

2016年高三数学(理)创新设计资料包阶段回扣练3_数学_高中教育_教育专区。课件园 http://www.kejianyuan.net 阶段回扣练 3 导数及其应用 (建议用时:90 分钟) ...


2016年高三数学(理)创新设计资料包阶段回扣练10

2016年高三数学(理)创新设计资料包阶段回扣练10_数学_高中教育_教育专区。课件园 http://www.kejianyuan.net 阶段回扣练 10 统计与统计案例 (建议用时:45 分钟...


2016年高三数学(理)创新设计资料包选修

2016年高三数学(理)创新设计资料包选修_数学_高中教育_教育专区。课件园 http:...DE∥BC, EF∥CD,若 BC=3,DE=2,DF=1, 则 AB 的长为___. 解析 ?DE...


2016年高三数学(理)创新设计资料包7-1

2016年高三数学(理)创新设计资料包7-1_数学_高中教育_教育专区。课件园 http:...? 解集是___. 1 1 解析 由题意,知-2和3是一元二次方程 ax2+bx+2=0...


【创新设计】2015-2016学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何章末检测 苏教版选修2-1

创新设计】2015-2016年高中数学3章 空间向量与立体几何章末检测 苏教...平面 PBQ, 所以 GH⊥FH,同理可得 GH⊥HC, 所以∠FHC 为二面角 DGHE 的...


【创新设计】2015-2016学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 单元检测(A)苏教版选修2-1

创新设计】2015-2016年高中数学3章 空间向量与立体几何 单元检测(A)苏...同理④中的三向量也不能构成空间一个基底. 6.16 →→ 解析 PA=(-1,-3,2...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com