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高中数学人教A版必修5课件:3.2.1 一元二次不等式及其解法


3.2 一元二次不等式及其解法

第1课时 一元二次不等式及其解法

1.了解一元二次不等式的概念. 2.掌握一元二次不等式的解集,会解一元二次不等式. 3.掌握一元二次不等式的解集与其系数的关系. 4.会解简单的含参数的一元二次不等式.

1

2

一元二次不等式的解集与其系数的关系 剖析:(1)如果一元二次不等式 ax2+bx+c>0 的解集是 {x|n<x<m}(n<m),或一元二次不等式 ax2+bx+c≥0 的解集是 < 0, {x|n≤x≤m}(n<m),那么有 + = =
. - ,

如果一元二次不等式 ax2+bx+c>0 的解集是{x|x<n,或 x>m}(n<m),或一元二次不等式 ax2+bx+c≥0 的解集是{x|x≤n,或 > 0, x≥m}(n<m),那么有 + = = .
- ,

1

2

(2)如果一元二次不等式 ax2+bx+c>0 的解集是 R,那么有 > 0, 如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0 的解集是 R,那 2 = -4 < 0; > 0, 么有 = 2 -4 ≤ 0. 如果一元二次不等式 ax2+bx+c<0 的解集是 R,那么有 < 0, 2+bx+c≤0 的解集是 R,那 如果一元二次不等式 ax = 2 -4 < 0; < 0, 么有 = 2 -4 ≤ 0.

1

2

(3)如果一元二次不等式 ax2+bx+c>0 的解集是?,那么有 < 0, 如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0 的解集是?,那 2 = -4 ≤ 0; < 0, 么有 = 2 -4 < 0. 如果一元二次不等式 ax2+bx+c<0 的解集是?,那么有 > 0, 2+bx+c≤0 的解集是?,那 如果一元二次不等式 ax = 2 -4 ≤ 0; > 0, 么有 = 2 -4 < 0.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型一

解一元二次不等式

【例1】 解下列不等式: (1)x(7-x)≥12; (2)x2>2(x-1). 分析:由于所给的不等式不是一般形式,故应先将它们转化为一 般形式,即不等式(1)可以化为x2-7x+12≤0再求解,不等式(2)可以化 为x2-2x+2>0再求解. 解:(1)原不等式可化为x2-7x+12≤0,Δ=1>0, 对应方程x2-7x+12=0的两根为x1=3,x2=4, 所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}. (2)原不等式可以化为x2-2x+2>0, 因为判别式Δ=4-8=-4<0,方程x2-2x+2=0无实根, 所以原不等式的解集为R.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思 解一元二次不等式的一般步骤: (1)将不等式等价变形为一般形式,使二次项系数大于零; (2)计算对应方程的判别式; (3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实 根; (4)根据一元二次不等式的解集写出原不等式的解集.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练1】 解下列不等式: (1)x2-5x-6>0;(2)4(2x2-2x+1)>x(4-x). 解:(1)方程x2-5x-6=0的两根为x1=-1,x2=6. 结合二次函数y=x2-5x-6的图象(图略),知原不等式的解集为 {x|x<-1,或x>6}. (2)由原不等式得8x2-8x+4>4x-x2. 故原不等式等价于9x2-12x+4>0. 解方程9x2-12x+4=0,

得 x1= x2= 3. 结合二次函数 y=9x2-12x+4 的图象(图略),知原不等式的解集为 ≠ 3 .
2

2

题型一

题型二

题型三

题型四

题型二 已知一元二次不等式的解集求参数的值

【例2】 关于x的不等式ax2+bx+2≤0的解集是{x|x≤-1,或x≥2}, 求a,b的值. 分析:-1和2是关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0的两根,借助于 一元二次方程根与系数的关系,求出a与b的值. 解:由ax2+bx+2≤0的解集是{x|x≤-1,或x≥2},知a<0,且 ax2+bx+2=0的两根分别是x1=-1,x2=2,



- = 1, 2 = -2,

∴a=-1,b=1.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思 已知一元二次不等式的解集求参数的值的步骤: (1)确定x2的系数a≠0; (2)明确不等式ax2+bx+c>0(或<0,或≥0,或≤0)的解集的“端点” 是相应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根; (3)借助一元二次方程根与系数的关系,列出关于参数的方程(组), 解得参数的值.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练2】 已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),试 求关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集. 解:由条件知 1,2 是方程 x2+ax+b=0 的两根, - = 1 + 2, = -3, ∴ 即 = 1 × 2, = 2. ∴不等式 bx2+ax+1>0 即为 2x2-3x+1>0.

解得 x< 2 或x>1.

1

∴不等式的解集为 -∞, 2 ∪(1,+∞).

1

题型一

题型二

题型三

题型四

题型三

含参数的一元二次不等式的解法

【例3】 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a∈R). 分析:先对二次项系数a分大于0、小于0、等于0讨论,并分别求 出对应方程的解,再根据解的大小写出解集.

解:当 a=0 时,原不等式即为-x+1<0,解得 x>1; 当 a<0 时,原不等式化为 - (x-1)>0. ∵ < 1, ∴ 解不等式得x>1 或 x< 当 a>0 时,原不等式化为 若 若
1 a=1,则 1 a>1,则 1 - 1 1 ; 1

(x-1)<0.

= 1, 不等式无解; <
1 1, 解不等式得

< < 1;

题型一

题型二

题型三

题型四

若 0<a<1,则 > 1, 解不等式得1<x< .

1

1

综上,当 a<0 时,不等式的解集为 < ,或 > 1 ; 当 a=0 时,不等式的解集为{x|x>1}; 当 0<a<1 时,不等式的解集为 1 < < ; 当 a=1 时,不等式的解集为?; 当 a>1 时,不等式的解集为
1 1

1

< < 1 .

题型一

题型二

题型三

题型四

反思 含参数不等式的解题步骤为:(1)将二次项系数化为正数;(2) 判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式,可省去此步);(3) 根据根的情况写出相应的解集.若方程有两个相异实根,为了写出 解集还要比较两个根的大小.另外,当二次项含有参数时,应先讨论 二次项系数是否为0.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练3】 解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R). 解:原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a. (1)当a>0时,x1>x2,不等式的解集为{x|-a<x<2a}; (2)当a=0时,原不等式化为x2<0,无解; (3)当a<0时,x1<x2,不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上所述,当a>0时,原不等式的解集为{x|-a<x<2a}; 当a=0时,原不等式的解集为?; 当a<0时,原不等式的解集为{x|2a<x<-a}.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型四

易错辨析

易错点:忽略二次项系数的正负致错 【例4】 解不等式(2-x)(x+3)<0. 错解:方程(2-x)(x+3)=0的解为x1=-3,x2=2, 所以原不等式的解集为{x|-3<x<2}. 错因分析:该不等式的二次项系数是负的,应先化为正的再求解. 正解:原不等式可化为(x-2)(x+3)>0, 对应方程(x-2)(x+3)=0的两解为x1=-3,x2=2, 所以原不等式的解集为{x|x<-3,或x>2}.


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