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2013高中数学精讲精练(新人教A版)第09章


2012 高中数学精讲精练 第九章 圆锥曲线
【知识图解】 定义 椭圆 几何性质 定义 标准方程 圆锥曲线应用 几何性质 定义 抛物线 几何性质 标准方程 标准方程

圆 锥 曲 线

双曲线

【方法点拨】 解析几何是高中数学的重要内容之一,也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而 圆锥曲线是解析几何的重要内容,因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线,无外乎 抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性,而它的图像具有典型的 几何特性,因此,它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主 要包括三类:椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单 清晰,解题方法的规律性比较强,但是运算过程往往比较复杂,对学生运算能力,恒 等变形能力,数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。 1. 一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合,既熟练掌 握方程组理论,又关注图形的几何性质. 2.着力抓好运算关,提高运算与变形的能力,解析几何问题一般涉及的变量多,计算 量大,解决问题的思路分析出来以后,往往因为运算不过关导致半途而废,因此要寻 求合理的运算方案,探究简化运算的基本途径与方法,并在克服困难的过程中,增强 解决复杂问题的信心,提高运算能力.
第 1 页 【精讲精练】共 27 页

3.突出主体内容,要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习:一是根据已知条件求曲线 方程,其中待定系数法是重要方法,二是通过方程研究圆锥曲线的性质,往往通过数 形结合来体现,应引起重视. 4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼,达到优化解题 思维、简化解题过程

第1课
【考点导读】

椭圆 A

1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌 握椭圆简单的几何性质; 2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法;能运用椭圆的标准方程和几何 性质处理一些简单的实际问题. 【基础练习】

x2 ? y 2 ? 1上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭 1.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 3
圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是 4 3 2.椭圆 x ? 4 y ? 1的离心率为
2 2

3 2

3.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则 该椭圆的标准方程是

x2 y 2 ? ?1 16 4

4. 已知椭圆

1 5 x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 k 的值为 k ? 4或k ? ? 2 4 k ?8 9

【范例导析】 例 1.(1)求经过点 ( ?

3 5 , ) ,且 9x2 ? 4 y 2 ? 45 与椭圆有共同焦点的椭圆方程。 2 2
第 2 页 【精讲精练】共 27 页

(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴长是短轴长的 3 倍,点 P(3,0)在该椭圆

上,求椭圆的方程。 【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是:①定位,即确定椭圆的焦点在 哪轴上;②定量,即根据条件列出基本量 a、b、c 的方程组,解方程组求得 a、b 的 值;③写出方程. 解: (1)∵椭圆焦点在 y 轴上,故设椭圆的标准方程为 由椭圆的定义知,

y 2 x2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) , a 2 b2

3 5 3 5 3 1 2a ? (? )2 ? ( ? 2)2 ? (? )2 ? ( ? 2)2 ? 10 ? 10 ? 2 10 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ a ? 10 ,又∵ c ? 2 ,∴ b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6 ,
所以,椭圆的标准方程为

y 2 x2 ? ? 1。 10 6
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , a 2 b2

(2)方法一:①若焦点在 x 轴上,设方程为

∵点 P(3,0)在该椭圆上∴

9 ? 1 即 a 2 ? 9 又 a ? 3b ,∴ b2 ? 1 ∴椭圆的方程为 2 a

x2 ? y 2 ? 1. 9
②若焦点在 y 轴上,设方程为

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , a 2 b2

∵点 P(3,0)在该椭圆上∴

9 ? 1 即 b2 ? 9 又 a ? 3b ,∴ a2 ? 81 ∴椭圆的方程为 2 b

y 2 x2 ? ?1 81 9
方法二:设椭圆方程为 Ax ? By ? 1? A ? 0, B ? 0, A ? B ? .∵点 P(3,0)在该椭圆
2 2

上∴9A=1, A ? 即

1 1 x2 ? y 2 ? 1或 a2 ,又 a ? 3b ∴ B ? 1或 , ? 81 ∴椭圆的方程为 9 81 9

第 3 页 【精讲精练】共 27 页

y 2 x2 ? ? 1. 81 9
【 点拨】 求椭 圆标准 方程 通常采用 待定系 数法, 若焦点 在 x 轴上, 设方 程为

x2 y 2 y 2 x2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,若焦点在 y 轴上,设方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,有时 a2 b a b
为了运算方便,也可设为 Ax ? By ? 1 ,其中
2 2

A ? 0, B ? 0, A ? B .
例 2.点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 36 20

在椭圆上,且位于 x 轴上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点 到点 M 的距离 d 的最小值。 【分析】①列方程组求得 P 坐标;②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求 解,要注意椭圆上点坐标的范围. 解: (1)由已知可得点 A(-6,0),F(0,4) 设点 P( x , y ),则 AP =( x +6, y ), FP =( x -4, y ),由已知可得

??? ?

??? ?

? x2 y 2 ?1 ? ? ? 36 20 ?( x ? 6)( x ? 4) ? y 2 ? 0 ?
由于 y >0,只能 x =

则 2 x +9 x -18=0,

2

x = 或 x =-6.

3 2

3 3 5 3 5 3 ,于是 y = . ∴点 P 的坐标是( , ) 2 2 2 2

(2) 直线 AP 的方程是 x - 3 y +6=0. 设点 M( m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是

m?6 2

.

第 4 页 【精讲精练】共 27 页

于是 有

m?6 2

= m ? 6 ,又-6≤ m ≤6,解得 m =2. 椭圆上的点( x , y )到点 M 的距离 d

d 2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 20 ?
由于-6≤ m ≤6, ∴当 x =

5 2 4 9 x ? ( x ? ) 2 ? 15 , 9 9 2

9 时,d 取得最小值 15 2

点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题,通常转化为二次函数值 域问题. 【反馈练习】 1.如果 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是(0,1) 2.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 、F 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 2 ? 1

3.椭圆

x2 y2 =1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点在 y 轴上, ? 12 3
x2 y 2 10 25 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 m 的值为 3或 5 m 3 5 x2 y2 3 ? ? 1 的右焦点到直线 y ? 3x 的距离为 4 3 2
x2 y2 ? ? 1 具有相同的离心率且过点(2,- 3 )的椭圆的标准方程是 4 3
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那么|PF1|是|PF2|的 7 倍 4.若椭圆

5..椭圆

6.与椭圆

x2 y2 3y2 4x2 ? ? 1或 ? ?1 8 6 25 25
7.椭圆

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是 10 16 4

第 5 页 【精讲精练】共 27 页

8. 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为

4 5 和 3

2 5 ,过 P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程. 3
分析:讨论椭圆方程的类型,根据题设求出 a 和 b (或 a 和 b )的值.从而求得椭 圆方程. 解:设两焦点为 F1 、 F2 ,且 PF ? 1
2 2

4 5 2 5 , PF2 ? . 3 3

从椭圆定义知 2a ? PF ? PF2 ? 2 5 .即 a ? 5 . 1 从 PF ? PF2 知 PF2 垂 直 焦 点 所 在 的 对 称 轴 , 所 以 在 Rt?PF2 F1 中 , 1

s i n PF1F2 ? ?

PF2

1 ? , PF1 2

可求出 ?PF1 F2 ?

?
6

, 2c ? PF ? cos 1

?
6

?

10 2 5 2 2 2 ,从而 b ? a ? c ? . 3 3

∴所求椭圆方程为

x2 3y2 3x 2 y 2 ? ? 1或 ? ? 1. 5 10 10 5

第2课

椭圆 B

【考点导读】 1. 掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题; 2. 能解决椭圆有关的综合性问题. 【基础练习】 1.曲线 A

x2 y2 x2 y2 ? ? 1? m ? 6 ? 与曲线 ? ? 1? 5 ? n ? 9 ? 的(D) 10 ? m 6 ? m 5?n 9?n
B 离心率相等
第 6 页 【精讲精练】共 27 页

焦点相同

C 准线相同

D 焦距相等

x2 y2 ? ? 1 上的点 A 到右焦点的距离等于 4,那么点 A 到两条准线的距离 25 16 20 分别是 10, 3
2.如果椭圆

x2 9 y2 5 ? ?1 3 离心率 e ? ,一条准线为 x ? 3 的椭圆的标准方程是 5 20 3
【范例导析】

x2 y2 例 1.椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的二个焦点 F1(-c,0),F2(c,0),M 是椭圆上一点, a b 且 F1 M ? F2 M ? 0 。
求离心率 e 的取值范围. 分析:离心率与椭圆的基本量 a、b、c 有关,所以本题可以用基本量表示椭圆上点的 坐标,再借助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式,从而确定离心率的 范围. 解 : 设 点 M 的 坐 标 为 (x , y) , 则 F1 M ? ( x ? c, y) , F2 M ? ( x ? c, y) 。 由 ① F1M ? F2 M ? 0 ,得 x2-c2+y2=0,即 x2-c2=-y2。 2 b 2 b2 2 2 2 2 2 2 又 由 点 M 在 椭 圆 上 , 得 y =b ? 2 x , 代 入 ① , 得 x -c ? 2 x ? b , 即 a a 2 2 a b x2 ? a2 ? 2 。 c 1 a 2b 2 a2 ? c2 2 2 2 2 2 ∵0≤ x ≤ a , ∴0≤ a ? 2 ≤ a , 0≤ 即 ≤1, 0≤ 2 ? 1 ≤1, 解得 2 e 2 c c ≤ e ≤1。 2 又∵0< e <1,∵ ≤ e ≤1. y 2 例 2.如图,已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B,且 |F1B|+|F2B|=10 , 椭 圆 上 不 同 的 两 点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成 等差数列.
第 7 页 【精讲精练】共 27 页

A B C

F1

o

F2 B'

x

(1)求该弦椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标. 分析:第一问直接可有第一定义得出基本量 a,从而写出方程;第二问涉及到焦半径 问题,可以考虑利用第二定义的得出焦半径表达式,结合等差数列的定义解决. 解:(1)由椭圆定义及条件知,2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4,所以 b= a 2 ? c 2 =3. 故椭圆方程为
x2 y2 =1. ? 25 9

例2

(2)由点 B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB|= 根据椭圆定义,有|F2A|=

9 4 25 .因为椭圆右准线方程为 x= ,离心率为 , 5 4 5

4 25 4 25 ( -x1),|F2C|= ( -x2), 5 4 5 4 4 25 4 25 9 ( -x1)+ ( -x2)=2× ,由此得出: 5 4 5 4 5

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得 x1+x2=8. 设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0=

x1 ? x 2 =4. 2

【反馈练习】 1.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1, 则该椭圆的离心率为

2 2

? x2 ? y 2 ? 1的两个焦点,过 F1 作倾斜角为 的弦 AB,则△F2AB 2.已知 F1、F2 为椭圆 4 2
的面积为

4 3

3.已知正方形 ABCD , 则以 A,B 为焦点, 且过 C,D 两点的椭圆的离心率为 2 ? 1

x2 y2 ? ? 1 上的点 P 到它的左准线的距离是 10,那么点 P 到它的右焦点的 4.椭圆 100 36
第 8 页 【精讲精练】共 27 页

距离是 5.椭圆

12

x2 y ? 9? ? ? 1 上不同三点 A?x1,y1 ? , B? 4, ? ,C ?x2,y2 ? 与焦点 F ?4,? 的距 0 25 9 ? 5?
2

离成等差数列. 求证: x1 ? x2 ? 8 ; 证明:由椭圆方程知 a ? 5 , b ? 3 , c ? 4 . 由圆锥曲线的统一定义知:

AF a ? x1 c
2

?

c ,∴ a

AF ? a ? ex1 ? 5 ?

4 x1 . 5

同理 ∵

CF ? 5 ?

4 x2 . 5 9 , 5

AF ? CF ? 2 BF ,且 BF ?



4 ? ? 4 ? 18 ? ? 5 ? x1 ? ? ? 5 ? x2 ? ? ,即 5 ? ? 5 ? 5 ?

x1 ? x2 ? 8 .

第3课
【考点导读】

双曲线

1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质 2. 能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题. 【基础练习】
2 2 1.双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? ?

1 4

2. 方程

y2 x2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的范围是 k ? 3或k ? ?3 k ?3 k ?3
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3.已知中心在原点,焦点在 y 轴的双曲线的渐近线方程为 y ? ? 离心率为 5

1 x ,则此双曲线的 2

4. 已知焦点 F (5,0), F2 (?5,0) ,双曲线上的一点 P 到 F1 , F2 的距离差的绝对值等于 1

6 ,则双曲线的标准方程为
【范例导析】

x2 y 2 ? ?1 9 16

例 1. (1) 已 知 双 曲 线的 焦 点 在 y 轴 上 , 并 且 双曲 线 上 两 点 P , P2 坐 标 分 别 为 1

9 (3,? 4 2 ), ( , 5) ,求双曲线的标准方程; 4
(2)求与双曲线

x2 y2 ? ? 1 共渐近线且过 A 2 3, 3 点的双曲线方程及离心率. ? 16 9

?

?

分析:由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是:①定位,即确定双曲线的焦点 在哪轴上;②定量,即根据条件列出基本量 a、b、c 的方程组,解方程组求得 a、b 的值;③写出方程. 解: 1)因为双曲线的焦点在 y 轴上,所以设所求双曲线的标准方程为 (

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ①; a 2 b2 ∵点 P , P2 在双曲线上,∴点 P , P2 的坐标适合方程①。 1 1

? (?4 2) 2 32 ? 2 ?1 ? 2 b 9 ? a 将 (3, ?4 2), ( ,5) 分别代入方程①中,得方程组: ? 9 2 4 ? 25 ( ) ? 2 ? 42 ? 1 b ?a 1 ?1 ? a 2 ? 16 1 1 ? 将 2 和 2 看着整体,解得 ? , 1 1 a b ? ? ? b2 9 ? 2 ? a ? 16 y 2 x2 ? ? ?1。 ∴? 2 即双曲线的标准方程为 16 9 ?b ? 9 ?
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点评:本题只要解得 a 2 , b 2 即可得到双曲线的方程,没有必要求出 a , b 的值;在 求解的过程中也可以用换元思想,可能会看的更清楚。 (2)解法一:双曲线

3 x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程为: y ? ? x 4 16 9

当焦点在 x 轴时,设所求双曲线方程为 ∵

x2 y2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0? a2 b2


a 3 3 ? ,∴ b ? a b 4 4

∵ A 2 3, 3 在双曲线上 ? ∴

?

?

12 9 ? ?1 a 2 b2



由①-②,得方程组无解 当焦点在 y 轴时,设双曲线方程为 ∵

y2 x2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0? a 2 b2


b 3 4 ? ,∴ b ? a 3 a 4

∵ A 2 3, 3 在双曲线上,∴ ? 由③④得 a ?
2

?

?

9 12 ? ?1 a 2 b2



9 2 ,b ? 4 4

∴所求双曲线方程为:

y2 x2 5 ? ? 1 且离心率 e ? 9 3 4 4

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 共渐近线的双曲线方程为: ? ? ? ?? ? 0? 解法二:设与双曲线 16 9 16 9
∵点 A 2 3, 3 在双曲线上,∴ ? ? ?

?

?

12 9 1 ? ?? 16 9 4

∴所求双曲线方程为:

y2 x2 x2 y2 1 ?1. ? ? ? ,即 ? 9 4 16 9 4 4
第 11 页 【精讲精练】共 27 页

点评:一般地,在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下,利用双曲 线系方程

x2 y2 ? ? ? ?? ? 0? 求双曲线方程较为方便. 通常是根据题设中的另一条件 a2 b2

确定参数 ? . 例 2. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观 测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测 点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度 为 340m/ s :相关各点均在同一平面上) 解:如图: 以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系.设 A、B、 C 分别是西、东、北观测点,则 A(-1020,0) ,B(1020,0) ,C(0,1020) 设 P(x,y)为巨响为生点,由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故 P 在 AC 的垂 直平分线 PO 上,PO 的方程为 y=-x,因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故|PB|- |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 依题意得 a=680, c=1020,

x2 y2 ? 2 ? 1 上, a2 b
y P A C o B x

? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 10202 ? 6802 ? 5 ? 3402 x2 y2 故双曲线方程为 2 ? ?1 680 5 ? 3402
用 y=-x 代入上式,得 x ? ?680 5 ,∵|PB|>|PA|,

? x ? ?680 5, y ? 680 5,即P(?680 5,680 5),故PO ? 680 10
答:巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10m 处.

例 3.双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 1, b ? 0) 的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b) , a2 b2
4 c. 求双曲线的 5

且点(1,0)到直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s ? 离心率 e 的取值范围.

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解:直线 l 的方程为

x y ? ? 1 ,即 a b

bx ? ay ? ab ? 0.

由点到直线的距离公式,且 a ? 1 ,得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1 ?

b(a ? 1) a2 ? b2



同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d 2 ?

b(a ? 1) a2 ? b2

s ? d1 ? d 2 ?
由s ?

2ab a ?b
2 2

?

2ab . c


4 2ab 4 c, 得 ? c, 5 c 5

5a c 2 ? a 2 ? 2c 2 .

于是得

5 e 2 ? 1 ? 2e 2 ,

即4e 4 ? 25e 2 ? 25 ? 0.

解不等式,得

5 5 ? e 2 ? 5. 由于 e ? 1 ? 0, 所以 e 的取值范围是 ? e ? 5. 4 2

点拨:本小题主要考查点到直线距离公式,双曲线的基本性质以及综合运算能力.

【反馈练习】 1.双曲线

x2 y2 ? ? ?1 的渐近线方程为 y ? ? 2 x 2 4

x2 y 2 ? ?1 2.已知双曲线的离心率为 2 ,焦点是 (?4, , (4, ,则双曲线方程为 0) 0) 4 12
3.已知双曲线的两个焦点为 F1 (? 5,0) , F2 ( 5,0) ,P 是此双曲线上的一点,且

PF1 ? PF2 , | PF1 | ? | PF2 |? 2 ,则该双曲线的方程是

x2 ? y2 ? 1 4

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4. 设 P 是双曲线

x 2 y2 - =1 上一点, 双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,F 、 1 a2 9

F2 分别是双曲线左右焦点,若 PF1 =3,则 PF2 =7
5. 与 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 共 焦 点 且 过 点 (3 2, 2) 的 双 曲 线 的 方 程 25 5

x2 y2 ? ?1 20 ? 2 10 2 10
6. (1)求中心在原点,对称轴为坐标轴经过点 P?1 ? 3? 且离心率为 2 的双曲线标 , 准方程. (2)求以曲线 2x 2 ? y 2 ? 4x ?10 ? 0 和 y 2 ? 2x ? 2 的交点与原点的连线为渐近线, 且实轴长为 12 的双曲线的标准方程.

x2 y 2 1 ?? 3? ? ? 1?k ? 0? ,则 ? 解: (1)设所求双曲线方程为: ?1, k k k k
2



1 9 y2 x2 ? ? 1 ,∴ k ? ?8 ,∴所求双曲线方程为 ? ?1 k k 8 8

?2 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 10 ? 0 ?x ? 3 ?x ? 3 2 ? (2)∵ ? 2 ,∴ ? 或? ,∴渐近线方程为 y ? ? x 3 ? y ? 2x ? 2 ? y ? 2 ? y ? ?2 ?
当焦点在 x 轴上时,由

b 2 ? 且 a ? 6 ,得 b ? 4 . a 3

∴所求双曲线方程为

x2 y2 ? ?1 36 16
a 2 ? ,且 a ? 6 ,得 b ? 9 . b 3

当焦点在 y 轴上时,由

∴所求双曲线方程为

y2 x2 ? ?1 36 81
第 14 页 【精讲精练】共 27 页

7.设双曲线

x2 y2 ? ? 1 (0 ? a ? b) 的半焦距为 c ,直线 l 过 (a , 0) 、 (0 , b) 两点,且 a2 b2

原点到直线 l 的距离为

3 c ,求双曲线的离心率. 4
c 的值. a

分析:由两点式得直线 l 的方程,再由双曲线中 a 、 b 、 c 的关系及原点到直线 l 的距 离建立等式,从而解出

解:由 l 过两点 (a , 0) , (0 , b) ,得 l 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 .

由点到 l 的距离为

3 ab 3 c ,得 ? c. 4 4 a 2 ? b2
a2 2 a2 ) ? 16 ? 2 ? 3 ? 0 . c2 c

将 b ? c2 ? a2 代入,平方后整理,得 16(

3 1 a2 2 令 2 ? x ,则 16x ? 16x ? 3 ? 0 .解得 x ? 或 x ? . 4 4 c
而e ?

c 1 2 3 ,有 e ? .故 e ? 或e ? 2. a 3 x

因 0 ? a ? b ,故 e ?

c a 2 ? b2 b2 ? ? 1? 2 ? 2 , a a a

所以应舍去 e ?

2 3 .故所求离心率 e ? 2 . 3 2 3 . 其 原 因 是未注 意 到 题 设条 件 3

说 明 : 此 题易 得 出 错误答 案 : e ? 2 或 e ?

(0 ? a ? b) ,从而离心率 e ? 2 .而

2 3 ? 2 ,故应舍去. 3
2 ,且过点

8. 已 知 双曲 线 的 中心 在原 点 , 焦点 F1 , F2 在 坐 标 轴 上, 离 心 率为
第 15 页 【精讲精练】共 27 页

? 4, ? 10 ? .
(1)求双曲线方程; (2)若点 M ? 3, m? 在双曲线上,求证: MF ? MF2 ? 0 ; 1 (3)对于(2)中的点 M ,求 ?F1MF2 的面积. 解: 1) ( 由题意, 可设双曲线方程为 x2 ? y 2 ? ? , 又双曲线过点 4, ? 10 , 解得 ? ? 6 ∴ 双曲线方程为 x2 ? y 2 ? 6 ; (2)由(1)可知, a ? b ? 6 , c ? 2 3 , ∴ F1 ?2 3, 0 , F2 2 3, 0

???? ???? ? ?

?

?

?

?

?

?

∴ MF1 ? ?2 3 ? 3, ?m , MF2 ? 2 3 ? 3, ?m , ∴ MF ?MF2 ? m2 ? 3 , 1 又点 M ? 3, m? 在双曲线上, ∴ 9 ? m ? 6 ,
2

???? ?

?

?

???? ?

?

?

???? ?????? ?

∴ m ? 3 , 即 MF ? MF2 ? 0 ; 1
2

???? ???? ? ?

(3) S ? F1MF2 ?

1 1 F1 F2 m ? ? 4 3 ? 3 ? 6 ∴ ?F1MF2 的面积为 6. 2 2

第4课
【考点导读】

抛物线

1.了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性质. 2.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题. 【基础练习】 1.焦点在直线 x-2y-4=0 上的抛物线的标准方程是 y =16x或x ? ?8 y
2 2

2.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 4 6 2

3.抛物线 y ? 4ax(a ? 0) 的焦点坐标是__(a,0)_
2
2 4.抛物线 y ? 12 x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是 6, 6 2

?

?

第 16 页 【精讲精练】共 27 页

5.点 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点,则点 P 到点 A(0, ? 1) 的距离与 P 到直线 x ? ?1 的距离和的最小值 2

【范例导析】 例 1. 给定抛物线 y2=2x,设 A(a,0) ,a>0,P 是抛物线上的一点,且|PA|=d, 试求 d 的最小值. 解:设 P(x0,y0) 0≥0) (x ,则 y02=2x0,
2 ∴d=|PA|= ( x0 ? a) 2 ? y 0

= ( x0 ? a) 2 ? 2 x0 = [ x0 ? (1 ? a)] 2 ? 2a ? 1 . ∵a>0,x0≥0, ∴(1)当 0<a<1 时,1-a>0, 此时有 x0=0 时,dmin= (1 ? a) 2 ? 2a ? 1 =a. (2)当 a≥1 时,1-a≤0, 此时有 x0=a-1 时,dmin= 2a ? 1 .

例 2.如图所示,直线 l1 和 l 2 相交于点 M, l1 ⊥ l 2 ,点 N ? l1 ,以 A、B 为端点的曲线 段 C 上的任一点到 l 2 的距离与到点 N 的距离相等,若△AMN 为锐角三角形,

AM ? 7 , AN ? 3 ,且 BN ? 6 ,建立适当的坐标系,求曲线段 C 的方程.

分析:因为曲线段 C 上的任一点是以点 N 为焦点,以 l 2 为准线的抛物线的一段,所以 本题关键是建立适当坐标系,确定 C 所满足的抛物线方程. 解:以 l1 为 x 轴,MN 的中点为坐标原点 O,建立直角坐标系.

例 由题意,曲线段 C 是 N 为焦点,以 l 2 为准线的抛物线的一段,其中
第 17 页 【精讲精练】共 27 页

A、B 分别为曲线段的两端点. ∴设曲线段 C 满足的抛物线方程为: y 2 ? 2 px( p ? 0)(xA ? x ? xB , y ? 0), 其中 x A 、

xB 为 A、B 的横坐标
令 MN ? p, 则 M ( ?

p p ,0), N ( ,0) ,? AM ? 17, AN ? 3 2 2

? ?( x A ? ? ∴ 由 两 点 间 的 距 离 公 式, 得 方 程 组 : ? ?( x ? ? A ?
?p ? 2 ? ?xA ? 2
∵△AMN 为锐角三角形,∴

p 2 ) ? 2 pxA ? 17 2 p 2 ) ? 2 pxA ? 9 2

解得 ?

?p ? 4 或 ?xA ? 1

p ? x A ,则 p ? 4 , xA ? 1 2 p ? 6?2 ? 4 2

又 B 在曲线段 C 上,? xB ? BN ?

则曲线段 C 的方程为 y ? 8x(1 ? x ? 4, y ? 0).
2

【反馈练习】 1.抛物线 x ?
2

y2 的准线方程是 x ? ?2 8
|a| 2

2.抛物线 y ? ax(a ? 0) 的焦点到其准线的距离是
2

3. 设 O 为 坐 标 原 点 , F 为 抛 物 线 y ? 4 x 的 焦 点 , A 为 抛 物 线 上 的 一 点 , 若

OA ? AF ? ?4 ,则点 A 的坐标为 2, 2 ? 2

?

?

第 18 页 【精讲精练】共 27 页

4.抛物线 y ? ? x2 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是

4 3

5.若直线 l 过抛物线 y ? ax 2 (a>0)的焦点,并且与 y 轴垂直,若 l 被抛物线截得的线 段长为 4,则 a=

1 4

6.某抛物线形拱桥跨度是 20 米,拱高 4 米,在建桥时每隔 4 米需用一支柱支撑,求 其中最长的支柱的长.

解:以拱顶为原点,水平线为 x 轴,建立坐标系, 如图,由题意知,|AB|=20,|OM|=4,A、B 坐标分别为(-10,-4) 、(10,-4) 设抛物线方程为 x2=-2py,将 A 点坐标代入,得 100=-2p× (-4),解得 p=12.5, 于是抛物线方程为 x2=-25y.

第6题 由题意知 E 点坐标为(2,-4),E′点横坐标也为 2,将 2 代入得 y=-0.16,从而|EE′|= (-0.16)-(-4)=3.84.故最长支柱长应为 3.84 米. 7.已知抛物线的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴,且过点 P(2,2) ,过 F 的直线交 抛物线于 A,B 两点.(1)求抛物线的方程; (2)设直线 l 是抛物线的准线,求证:以 AB 为直径的圆与直线 l 相切.
第 19 页 【精讲精练】共 27 页

分析:可设抛物线方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) .用待定系数法求得方程,对于第二问的

证明只须证明

AB 2

? MM1 ,则以 AB 为直径的圆,必与抛物线准线相切.

解: (1)设抛物线的方程 y2 ? 2 px ? p ? 0? ,将(2,2)代入得 p ? 1 ∴所求抛物线 方程为 y 2 ? 2 x (2)证明:作 AA ? l 于 A1 , BB1 ? l 于 B1 .M 为 AB 中点,作 MM1 ? l 于 M 1 ,则 1 由抛物线的定义可知: AA ? AF , BB ? BF 1 1 在直角梯形 BB1 A1 A 中:

1 1 1 ( AA1 ? BB1 ) ? ( AF ? BF ) ? AB 2 2 2 1 ? MM 1 ? AB ,故以 AB 为直径的圆,必与抛物线的准线相切. 2 MM 1 ?
点拨:类似有:以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离,以双曲线焦 点弦为直径的圆与相应的准线相交.

第5课
【考点导读】 1. 了解圆锥曲线的第二定义.

圆锥曲线的统一定义

2. 能用第二定义解决简单的圆锥曲线问题. 【基础练习】
2 1.抛物线 y ? 6 x 的焦点的坐标是 ( , 0) , 准线方程是 x ? ?

3 2

3 2

2..如果双曲线的两个焦点分别为 F1 (?3,0) 、 F2 (3,0) ,一条渐近线方程为 y ?
第 20 页 【精讲精练】共 27 页

2x ,

那么它的两条准线间的距离是 2

3.若双曲线

1 1 x2 ? y 2 ? 1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ,则 m = 3 8 m

4.点 M 与点 F (4, 0) 的距离比它到直线: x ? 5 ? 0 的距离小 1,则点 M 的轨迹方程是

y 2 ? 16 x
【范例导析】 例 1.已知双曲线的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,两条准线间的距离为

16 13 ,求双曲 13

线标准方程. 分析: (可根据双曲线方程与渐近线方程的关系,设出双曲线方程,进而求出双曲线 标准方程. 解:∵双曲线渐近线方程为 y ? ?

2 x2 y2 x ,∴设双曲线方程为 ? ? 1?? ? 0? 3 4? 9?

2 2 ①若 ? ? 0 ,则 a ? 4? , b ? 9?

a2 4 13 8 13? 16 13 ∴准线方程为: x ? ? ,∴ ? ? 4 ?? ? ,∴ ? c 13 13 13
2 2 ②若 ? ? 0 ,则 a ? ?9? , b ? ?4?

∴准线方程为: y ? ?

64 a2 9 ? 13? 18 ? 13? 16 13 ?? ,∴ ,∴ ? ? ? ? 81 c 13 13 13

x2 y2 9 y 2 81x 2 ? ?1或 ? ?1 ∴所求双曲线方程为: 16 36 64 256
点拨:求圆锥曲线方程时,一般先由条件设出所求方程,然后再根据条件列出基本的 方程组解方程组得出结果.

0? 0 例 2.已知点 A?3, , F ?2,? ,在双曲线 x ?
2

1 y2 ? 1 上求一点 P ,使 PA ? PF 的 2 3

值最小.
第 21 页 【精讲精练】共 27 页

解:∵ a ? 1 , b ? 3 ,∴ c ? 2 ,∴ e ? 2 设点 P 到与焦点 F ?2,? 相应准线的距离为 d 则 0 ∴

PF d

?2

1 1 PF ? d ,∴ PA ? PF ? PA ? d 2 2 至此,将问题转化成在双曲线上求一点 P , 使 P 到定点 A 的距离与到准线距离和最小. 即到定点 A 的距离与准线距离和最小为直线 PA 垂直于准线时,
解之得,点 P?

? 21 ? 2? ? 3 ,? . ? ?

点拨:灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中,将会带给我们意想不到的方便和 简单.教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力. 【反馈练习】 1.若双曲线

1 1 x2 ? y 2 ? 1 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ,则 m ? 3 8 m

2.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1, 则该椭圆的离心率为

2 2

x2 3 3 2 3.已知双曲线 2 ? y ? 1 (a ? 0) 的一条准线为 x ? ,则该双曲线的离心率为 2 2 a
4
王新敞
奎屯 新疆

双曲线

x2 y2 ? ? 1 右支点上的一点 P 到右焦点的距离为 2,则 P 点到左准线的 16 9
8

距离为

第6课
【考点导读】

圆锥曲线综合

1. 在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上,把握有关圆锥曲线的知 识内在联系,灵活地运用解析几何的常用方法解决问题.
第 22 页 【精讲精练】共 27 页

2. 通过问题的解决,理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想. 3. 能够抓住实际问题的本质建立圆锥曲线的数学模型,实现实际问题向数学问题的 转化,并运用圆锥曲线知识解决实际问题. 【基础练习】 1. 给出下列四个结论: ①当 a 为任意实数时,直线 (a ? 1) x ? y ? 2a ? 1 ? 0 恒过定点 P,则过点 P 且焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程是 x ?
2

4 y; 3

②已知双曲线的右焦点为(5,0) ,一条渐近线方程为 2 x ? y ? 0 ,则双曲线的标准

方程是

x2 y2 ? ? 1; 5 20
2

③抛物线 y ? ax (a ? 0)的准线方程为 y ? ?

1 ; 4a

x2 y2 ? ? 1 ,其离心率 e ? (1,2) ,则 m 的取值范围是(-12,0) ④已知双曲线 。 4 m
其中所有正确结论的个数是 4 2.设双曲线以椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双 25 9
1 2

曲线的渐近线的斜率为 ?

3. 如 果 椭 圆

x2 y2 ? ? 1 的 弦 被 点 (4 , 2) 平 分 , 则 这 条 弦 所 在 的 直 线 方 程 是 36 9 x ? 2y ? 8 ? 0

【范例导析】 例 1. 已知抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F, B 是热线上的两动点, AF ? ? FB(? ? 0). A、 且
2

??? ?

??? ?

过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M。
第 23 页 【精讲精练】共 27 页

(I)证明 FM . AB 为定值; (II)设 ?ABM 的面积为 S,写出 S ? f (? ) 的表达式,并求 S 的最小值。

???? ??? ? ?

解: (1)F 点的坐标为(0,1)设 A 点的坐标为 ? x1 ,

? ?

x12 ? ? 4 ?

B 点的坐标为 ? x2 ,

? ?

2 x2 ? ? 4 ?

由 AF ? ? FB(? ? 0). 可得 ? ? x1 ,1 ?

??? ?

??? ?

? ?

? x2 ? x12 ? ? ? ? x2 , 2 ? 1? ? 4? 4 ? ?

?? x1 ? ? x2 ? 2 2 ? 因此 1 ? x1 ? ? ( x2 ? 1) ? ? 4 4

x12 x1 ? ( x ? x1 ) 过 A 点的切线方程为 y ? 4 2
过 B 点的切线方程为 y ?
2 x2 x2 ? ( x ? x2 ) 4 2

(1)

(2)

解(1)( 2)构成的方程组可得点 M 的坐标,从而得到 FM ?AB =0 即为定值 (2) FM ?AB =0 可得 FM ? AB 三角形面积 S ? f (? ) ?

???? ??? ? ?

???? ??? ? ?

???? ?

??? ?

FM ? AB 2

FM ? ? ?

1

?

, AB ? ( ? ?

1

?

)2

所以 S ? f (? ) ?

FM ? AB 2

1 1 3 1 3 ? ( ?? ) ? ?2 ? 4 2 2 ?

当且仅当 ? ? 1 时取等号 点拨:本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积 等知识点
第 24 页 【精讲精练】共 27 页

涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大 【反馈练习】 1.已知双曲线的中心在原点,离心率为 3 .若它的一条准线与抛物线 y 2 ? 4 x 的准线 重合,则该双曲线与抛物线 y 2 ? 4 x 的交点到原点的距离是 21 2. 设 F1,F2 分 别 是 双 曲 线 x ?
2

y2 ?1的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,且 9

???? ???? ? ???? ???? ? PF1 ?PF2 ? 0 ,则 PF1 ? PF2 ? 2 10

x2 y 2 ? ? 1 上一点, F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,则 cos ?F1 PF2 的最 3.设 P 是椭圆 9 4
小值是 ?

1 9

4.已知以 F1(2,0) 2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 有且仅有一个交点, ,F 则椭圆的长轴长为 2 7 5. 双曲线 C 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点相同,离心率互为倒数,则双曲线 C 的渐近线 49 24 2 6 的方程是 y ? ? x 5 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 与双曲线 ? ? 1 在第一象限内的交点为 P ,则点 P 到 25 9 9 7

6.已知椭圆

椭圆右焦点的距离等于__2 _

x2 y2 7.如图,点 A 是椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的短轴位于 x 轴下方的端点,过 A a b
作斜率为 1 的直线交椭圆于 B 点,点 P 在 y 轴上,且 BP∥x 轴, AB? AP =9,若点 P 的坐标为(0,1),求椭圆 C 的方程.
第 25 页 【精讲精练】共 27 页

y

P O

B x A

8.在平面直角坐标系 xoy 中, 已知圆心在第二象限、 半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x

相切于坐标原点 O .椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 a2 9

10 .求圆 C 的方程.
解:设圆心坐标为(m,n)(m<0,n>0),则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8 已知该圆与直 线 y=x 相切,那么圆心到该直线的距离等于圆的半径,则

m?n 2

=2 2

即 m ? n =4



又圆与直线切于原点,将点(0,0)代入得 m2+n2=8 ② 联立方程①和②组成方程组解得

?m ? ?2 ? ?n ? 2
故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8

p ?p ? 9.已知动圆过定点 ? ,0 ? ,且与直线 x ? ? 相切,其中 p ? 0 ,求动圆圆心 C 的轨 2 ?2 ?
迹的方程.
第 26 页 【精讲精练】共 27 页

解:如图,设 M 为动圆圆心, ?

p ?p ? ,0 ? 为记为 F ,过点 M 作直线 x ? ? 的垂线, 2 ?2 ? p 的距离相 2

垂足为 N ,由题意知: MF ? MN 即动点 M 到定点 F 与定直线 x ? ? 等 由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 F ? 所以轨迹方程为 y 2 ? 2 px( P ? 0) ;

p ?p ? ,0 ? 为焦点, x ? ? 为准线 2 ?2 ?

B
y

A

N

M

o

x
?p ? F ? ,0 ? ?2 ?

x??

p 2
第9题

第 27 页 【精讲精练】共 27 页



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