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高中数学(苏教版选修2-3)双基达标训练:1.5.1 二项式定理


1. 5

二项式定理

1.5.1
双基达标

二项式定理
?限时15分钟?

?1 ? 1.在? x-2x?6 的展开式中 x2 的系数是________. ? ? 解析 设展开式中第 r+1 项是 x2 项,

?1?6-r 2r-6 则由 Tr+1=Cr · (-2x)r=(-2)rCr , 6? x? 6x ? ? 得 2r-6=2,解得 r=4. ∴x2 项系数为(-2)4C4 6=16×15=240. 答案 240

1? 5 ? 2.若?x2+ax?6 的二项展开式中 x3 的系数为2,则 a=________. ? ? 解析 5 设第 r+1 项的系数为2,

1 12-3r 2 6-r? 1 ?r ?ax? =Cr 则 Tr+1=Cr , 6(x ) 6 rx a ? ? 1 5 令 12-3r=3,得 r=3,∴C3 6 3= , a 2 ∴a3=8,a=2. 答案 2

y? ?x 3.? - ?6 的展开式中,x3 的系数等于________. x? ? y 解析 y? ?x ? - ?6 的通项为 x? ? y

3 3 ? x ?6-r? y ?r r ? ?- ? =Cr Tr+1=Cr 6? 6(-1) x6- ry r-3, 2 2 x? ? y? ? 3 3 令 6-2r=3,得 r=2,2r-3=0,
2 故 x3 的系数为 C2 6(-1) =15.

答案

15

第1页 共5页

1? ? 4.?2x+x2?7 的展开式中倒数第三项为________. ? ? 解析 由于 n=7,可知展开式中共有 8 项,

∴倒数第三项也为正数第六项. 1 ?1? 5 ∴T6=C7 (2x)2?x2?5=22· C5 7·8. x ? ? 答案 84 x8

5.已知(1+ax)5=1+10x+bx2+…+a5x5,则 b=________. 解析 根据题意知,二项展开式的第二项为

1 C5 · ax=10x,∴a=2. 2 第三项为 C5 · (ax)2=bx2,即 b=40.

答案

40

? 1? 6. 如果?x+x?2n 的展开式中第 4 项与第 6 项的系数相等, 求 n 及展开式中的常数 ? ? 项. 解
3 5 由已知可得 C2 n=C2n,所以 3+5=2n,即 n=4.

8-2r 所以展开式中的通项为 Tr+1=Cr , 8x

若它为常数项,则 r=4,所以 T5=C4 8=70.

综合提高

?限时30分钟?

1? ? 7.?x2-x?n 的展开式中,常数项为 15,则 n=________. ? ? 解析 ? 2 1?n 2(n-r) ?x -x? 的通项为 Tr+1=Cr · (-1)r· x-r=(-1)r· Cr x2n-3r. nx n· ? ?

2 令 2n-3r=0,则 2n=3r,即 r=3n. 当 n=3 时,r=2,Tr+1≠15, 当 n=6 时,r=4,Tr+1=15. 答案 6

? 1? 8.(1+2x2)?x-x?8 的展开式中的常数项为________. ? ? 解析 ? 1? 设?x-x?8 的第 r+1 项为 ? ?

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8-2r Tr+1=(-1)rCr . 8x

则令 8-2r=0,得 r=4;令 8-2r=-2,得 r=5. 故原式展开式中常数项为
4 5 1×(-1)4C8 +2×(-1)5C8 =-42.

答案

-42

9.设 f(x)=(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1,则 f(x) =________. 解析
5 1 4 f(x)=C0 (-1)+ 5(2x+1) +C5(2x+1) ·

2 2 C5 (2x+1)3· (-1)2+C3 (-1)3+ 5(2x+1) · 4 5 5 5 C5 (2x+1)· (-1)4+C5 5(-1) =(2x+1-1) =32x .

答案

32x5

10.(1- x)4(1+ x)4 的展开式中 x 项的系数是________. 解析 ∵(1- x)4(1+ x)4=(1-x)4,

1 ∴展开式中含 x 的项为 C1 4(-x) =-4x,

故展开式中 x 项的系数为-4. 答案 -4

11.在(3-x)20(x∈R,x≠0)的展开式中,已知第 2r 项与第 r+1 项(r≠1)的二项 式系数相等. (1)求 r 的值; 1 (2)若该展开式的第 r 项的值与倒数第 r 项的值的256相等,求 x 的值. 解
r-1 r (1)由题意知 C2 20 =C20,

即 2r-1=r 或 2r-1=20-r,解得 r=7 或 r=1(舍去).
r-1 21-r (2)Tr=C20 · 3 · (-x)r-1,

当 r=7 时,T7=C6 314· x6, 20· 倒数第 7 项,即 T15=C14 36 · x14, 20· 1 6 由题意 C20 · 314· x6=256· C14 36 · x14, 20· 解得 x=± 6. 3 12.( 3x+ 2)100 展开式所得关于 x 的多项式中系数为有理数的共有多少项?
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k k 若第 k+1 项的系数为有理数,则 50-2,3均为整数,故 k 为 6 的倍数时, 第 k+1 项的系数为有理数. ∵0≤k≤100,∴k=6×0,6×1,6×2,…,6×16 时,项的系数为有理数,故 有 17 项系数为有理数. 1 ? ? 13.(创新拓展)求?a+a2+1?10 展开式中的常数项. ? ? 解 1 1 ?? 1? ? ? ? ? ? ?a+a2?k, ∵?a+a2+1?10=?1+?a+a2??10,则其通项为:Tk+1=Ck 10· ? ? ? ? ?? ? ?

(其中 k=0,1,2,…,9). 1? ? 要求原式的常数项,则需要求?a+a2?k 的展开式中的常数项. ? ? ∵Tr+1=Cr ak-r· a-2r=Cr ak-3r(其中 r=0,1,2,…,k). k· k· 由题意,令 k-3r=0,则 k=3r,即 k 是 3 的倍数,所以 k=0,3,6,9.
0 当 k=0 时,C10 =1.

当 k=3 时,r=1,C3 C1 10· 3=360. 当 k=6 时,r=2,C6 C2 10· 6=3 150. 当 k=9 时,r=3,C9 C3 10· 9=840. 所以原式展开式中的常数项是
0 1 6 9 C10 +C3 C3 +C10 · C2 C3 10· 6+C10· 9=4 351.

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