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黑龙江省哈尔滨市第六中学2013届高三第二次模拟考试数学文试题(word版)


哈尔滨市第六中学 2013 届高三第二次模拟考试试卷(文史类)
满分 150 分,考试时间 120 分钟

第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择題:本大題共 12 小題,每小題 5 分,在每小題给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 设集合 A = {x|lg(x-3)≤0},B = {x|x2-5x + 4<0}则 A ? B=( ) (A) (1,4) (B) (1,4] (C) ( ? ? 4] ) (D) ( ? ? 4)

3? 5? 时取得最小值 0 ,其图像关于点 ( ,0) 对称 8 8 ? 3? 7? ) 单调递减,其图像关于直线 x ? ? 对称 (C) f (x) 在 ( , 8 8 8 ? 3? 7? ) 单调递增,其图像关于直线 x ? ? 对称 (D) f (x) 在 ( , 8 8 8
(B) f (x) 在 x ? 8. 某林管部门在每年植树节前,为保证树苗的质呈,都会对树苗进行检测。 现从甲、乙两种树苗中各 抽取 10 株,测呈其高度,所得数据如茎叶图所示, 则下列描述正确的是() (A) 甲树芭的平均高度大于乙树苗的平均高度,且甲树苗比乙树苗长得整齐 (B) 甲树芭的平均高度大于乙树芭的平均高度,但乙树苗比甲树苗长得整齐 (C)乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均高度,但甲树苗比乙树苗长得整齐 (D) 乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均髙度,且乙树苗比甲树苗长得整齐

2. 已知 a ? R ,若复数 z ? (A) 13 (B) 13

a ? 2i 为纯虚数,则 | 3 ? ai |? ( 1? i
(C) 10 (D) 10

3. 己知向: a, b 满足 a.b ? 0 , a ? b ? (?3,4) 则 | a ? b | = ( ) (A) 25 (B) 5 (C) 3 (D) 4

4. 己知 a ? (0, ? ) cos(a ?

?
3

?2 ? x , ( x ? 0) ? 9. 己知函数 f ( x) ? ? (a∈R),则下列结论正确的是( ) ?? x 2 ? 2ax ? 1, ( x ? 0) ?
(A) ?a ? R ,f(x)有最大值 f(a) (C) ?a ? R ,f(x)有唯一零点 (B) ?a ? R ,f(x)有最小值 f(0) (D) ?a ? R ,f(x)有极大值和极小值

)??

2 ,则 t a n 2 a = ( ) 2

(A)

3 3

(B)-

3 3

(C)

3 ①)- 3

10 某企业准备投资 A、 两个项目, B 资金来源主要由企业自筹和银行贷款两部分构成, 具体情 况 如下表:投资 A 项目资金不超过 160 万元,B 项目不超过 200 万元,预计建成后,自筹资 金每份获 利 12 万元,银行贷款每份获利 10 万元,为获得总利润最大,两部分资金分别投入的份数是( )

5. 曲线y=sinx+ex+2 在 x = 0 处 的 切 线 方 程 为 ( ) (A) y = x+3 (C) y = 2x + l (B) y=x + 2 (D) y=2x + 3

6 己知某程序框囝如图所示,则执行该程序后输出的结果是() (A) -1 (C) 2 7.已知函数 f ( x) ? (B) (D) 1

1 2

(A)自筹资金 4 份,银行贷款 2 份 (C)自筹资金 2 份,银行贷款 4 份 11.己知函数 f(x) = loga[( a
一模语文试题第1 页(共 4 页)

(B)自筹资金 3 份,银行贷款 3 份 (D)自筹资金 2 份,银行贷款 2 份

1 1 2 ,则( ) cos 2 x ? sin 2 x ? sin x cos x ? 2 2 2 3? 3? (A) f (x) 在 x ? 时取得最小值 2 ,其图像关于点 ( ,0) 对称 8 8

1 -2)x + l],当 x ? [:3]时,f(x)>0,则实数 a 的取值范围是( ) a

(A) (

1 ,1) 2

(B) (

1 3 3 , ) (C) (1:- ? ) (D) (0, ) 2 5 5

已知等比数列 ?a n ? 是递增数列, a 2 a5 ? 32, a3 ? a 4 ? 12 ,数列 ?bn ?满足 bn=log2an, (1)证明:数列{bn}是等差数列 (II)求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn

12.己知过原点的直线与椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 交于 A,B 两 点 , 尸 为 椭 圆 的 左 a2 b2

焦 点 A F ? B F 且|AF|=2|BF 丨,则椭圆的离心率为( ) A

3 ?1 2

B

2 2 3

C

5 3

D 3 ?1 第 II 卷(非选择题共 90 分)

本卷包括必考題和选考題两部分, 13 題?第 21 題为必考題, 第 每个试.题考生都必须做答, 第 22 .题?24 題为选考題,考生根据要求做答. 二、填空題:本大题共 4 小題,每小題 5 分. 13.己知双曲线

( 1 8 ) ( 本小题满分 1 2 分) 某班对喜爱打篮球是否与性别有关进行了调査, 以本班的 5 0 人为对象进行了问卷调查得到 了 如下的列联表:

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与双曲线C2: ? ? 1有相同的渐近线,且 C1— a2 b 4 16

个焦点为(0, 14.长 在 休 积 方

5 ),则 a=______.
体 A B CD - A
1

B

1

C

1

D

1











已知在全部 5 0 人中随机抽取 1 人,抽到客爱打篮球的学生的概率为 ( I )请将上面的列联表补充完整:



32? 的 球 3

3 5

0 的球面上, 其中 AA 1 =2 , 则四棱锥 0-ABCD

的体积的最大值为______. 15.Δ ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为 a:,b,c,若 a 2 - c 2 = b,且 sinAcosC = 2cosAsinC,则 b=_____. 16 己知某几何体的三视图如图所示,则该几何休 的体积等于_______

( I I ) 是否有 99.9%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由: (III)己知不喜爱打篮球的 5 位 男 生 中 , A 1 , A 2 , A 3 喜 欢 踢 足 球 , B 1 , B 2 喜 欢 打 乒 乓 球 , 现 再 从 喜欢踢足球、喜欢打乒乓球的男生中各选出 1 名同学进 行其他方面的调查,求 A1 和 B1 至少有一个被选中的概率.

附:

. 三、解答題:解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骧.

(17) (本小题满分 12 分)
一模语文试题第2 页(共 4 页)

( 2 1 ) ( 本小题满分 12 分) 己知函数 f(x)= 19( 本小题满分 1 2 分) 如 侧 棱 与 图 底 , 面 三 垂 棱 直 柱 , A B C - A
1

1 2

x -2alnx+(a-2)x,a∈R

2

(I) 当 a ≤O 时,讨论函数 F(X)的单调性; B
1

C

1





AB 丄 BC,AB=BC = BBl = 2, 分别是

(II)是否存在实数 a ,对任意的 x 1 , x 2 ∈ ( 0 , ? ),且有 若存在,求出 A 的取值范围;若不存在,说明理由.

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

恒成 立,

的中点
(I) 求证:MN//平面 BCC1B1 (II)求证:MN 丄平面 A1B1C (III)求三棱锥的体积 M-A 1 B 1 C 的体积.

请考生在题(22) (23) (24)中任选一题作答,如果多做,则按所做的的第一题计分.做题时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上, BC 与 AD 的延长线交于点 E ,点 F 在 BA 的延长线上. (1)若 (20)( 本小题满分 12 分) 己知抛物线 C:y2=4x,点 M(m,0)在:c 轴的正半轴上,过 M 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,O 为 坐标原点. (I) 若 m=1,l 的斜率为 1,求以 AB 为直径的圆的方程; (II)若存在直线 l 使得|AM|,|OM|,|MB|成等比数列,求实数 m 的取值范围. (23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 正半轴为极轴,已知 曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4 cos ? , 曲线 C 2 的参数方程是 ? 射线 ? ? ? ,? ? ? ?
D B

EC 1 ED 1 DC ? , ? ,求 的值; EB 3 EA 2 AB

F A

(2)若 EF 2 ? FA ? FB ,证明: EF // CD .

E

C

? x ? m ? t cos ? ( t 为参数,0 ? ? ? ? ) , ? y ? t sin ?

?
4

,? ? ? ?

?
4

与曲线 C1 交于极点 O 外的三点 A, B, C

(1)求证: | OB | ? | OC |? 2 | OA | ;
一模语文试题第3 页(共 4 页)

(2)当 ? ?

?
12

时, B, C 两点在曲线 C 2 上,求 m 与 ? 的值. 男生 女生 合计

喜爱打篮球 20 10 30

不喜爱打篮球 5
[来源:学科网 ZXXK]

合 25



15 20

25 50

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 a , b, c 均为正数

(2) K 2 ?

n(ad ? bc) 2 50(20 ? 15 ? 10 ? 5) 2 ? ? 8.3 ? 10.828 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 30 ? 20 ? 25? 25

1 1 1 (1)证明: a ? b ? c ? ( ? ? ) 2 ? 6 3 ,并确定 a , b, c 如何取值时等号成立; a b c
2 2 2

故没有 99 .9 %的把握认为喜爱打篮球与性别有关 (3)设“ A1 和 B1 至少一个被选中”为事件 A 从喜欢踢足球、喜欢打乒乓球的男生中各选出 1 名同学的结果有:

(2)若 a ? b ? c ? 1 ,求 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1 的最大值.

( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ) ,共 6 种
其中 A1 和 B1 至少一个被选中的结果有: ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A2 , B1 ), ( A3 , B1 ) 所以 P ( A) ?

二模文数答案
一、选择题:BABBD ADCCC BC 二、填空题:13.2 14. 2 15. 3 16.

4 2 ? 6 3

19.(1)证明:连结 BC1 , AC1 ,显然 AC1 过点 N

160 3

∵ M , N 分别是 AB, A1C 的中点,

∴ MN ∥ BC1 ∴ MN ∥平面 BCC1 B1

17.解: (1)∵ ?a n ? 等比数列,∴ a2 ? a5 ? a3 ? a4 ? 32 ,又 a3 ? a 4 ? 12 故 a3 , a4 是 方程 x ? 12x ? 32 ? 0 的两根 ,且 a3 ? a 4
2

又 MN ? 平面 BCC1 B1 , BC1 ? 平面 BCC1 B1

(2)证明:∵三棱柱 ABC? A1 B1C1 中 ,侧棱与底面垂直, BC ? BB1 ∴ 四边形 BCC1 B1 是正方形 由(1)知 MN ∥ BC1 ∴ BC1 ? B1C ,

解得 a3 ? 4, a4 ? 8 ,则公比 q ?

a a4 ? 2, a1 ? 3 ? 1 a3 q2
n?1

an ? a1q
(2)∵ an ? bn ? 2

n ?1

?2

n ?1

,所以 bn ? log2 an ? log2 2

? n ?1

∴ MN ⊥ B1C

n?1

? n ?1
2 ? 1 n(1 ? n ? 1) n ? ? 2n ? ?1 2 ?1 2 2
n 2

连结 A1 M , CM ,由 AM ? MB, BC ? BB1 ? AA 知 ?AMA ? ?BMC 1 1 ∴ A1 M ? CM ,又易知 N 是 A1C 的中点, ∴ MN ? A1C , ∴ MN ⊥平面 A1B1C (3)因为 AB ∥ A1 B1 ,所以三棱锥 M ? A1 B1C 与三棱锥 B ? A1 B1C 的体积相等,
一模语文试题第4 页(共 4 页)

S n ? (a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ?
18.(1)

故 VM ? A1B1C ? VB ? A1B1C ? V A1 ?CB1B ?

4 3

[来源:学科网 ZXXK]

2 整理得 x1 ? (3m ? 4) x1 ? m2 ? 0 ,



20. (Ⅰ)解:由题意,得 M (1, 0) ,直线 l 的方程为 y = x - 1. 由?

因为存在直线 l 使得 | AM |, | OM |, | MB | 成等比数列, 所以关于 x1 的方程○有正根, 3

[来源:学,科,网]

?y ? x ?1 ? y ? 4x
2

, 得 x2 - 6 x + 1 = 0 ,

设 A, B 两点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

AB 中点 P 的坐标为 P( x0 , y0 ) ,

因为方程○的两根之积为 m2>0, 所以只可能有两个正根, 3
[来源:Zxxk.Com]

则 x1 = 3 + 2 2, x2 = 3- 2 2, y1 = x1 - 1 = 2 + 2 2, y2 = x2 - 1 = 2 - 2 2 , 故点 A(3 + 2 2,2 + 2 2), B(3- 2 2,2 - 2 2), 所以 x0 =

?3m ? 4 ? 0 ? 所以 ? m 2 ? 0 ,解得 m ? 4 . ?? ? (3m ? 4) 2 ? 4m 2 ? 0 ?
故当 m ? 4 时,存在 直线 l 使得 | AM |, | OM |, | MB | 成等比数列.

x1 + x2 = 3, y0 = x0 - 1 = 2 , 2

故圆心为 P(3, 2) , 直径 | AB |=

( x1 - x2 ) 2 + ( y1 - y2 ) 2 = 8 ,
2 2

[来源:学科网 ZXXK]

21.(1)解: f ?( x) ? x ?

所以以 AB 为直径的圆的方程为 ( x - 3) + ( y - 2) = 16 ;

2a x 2 ? (a ? 2) x ? 2a ( x ? 2)(x ? a) ? (a ? 2) ? ? x x x

x ? (0,??) (1)

???? ???? ? (Ⅱ)解:设 A, B 两点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , MB ? ? AM (? ? 0) .
则 AM ? (m ? x1, ? y1 ), MB ? ( x2 ? m, y2 ) ,

当 ? 2 ? a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? ? a 或 x ? 2 ,由 f ?( x) ? 0 得 ? a ? x ? 2 ; (2)当 a ? ?2 时, f ?( x) ? 0 恒成立; (3)当 a ? ?2 时,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 2 或 x ? ?a ,由 f ?( x) ? 0 得 2 ? x ? ? a ;

???? ?

????

? x ? m ? ? (m ? x1 ) 所以 ? 2 ? y2 ? ?? y1
因为点 A, B 在抛物线 C 上, 所以 y = 4x1 , y = 4 x2 ,
2 1 2 2

[来源:学*科*网 Z*X*X*K][来源:Z&xx&k.Com]

① 综上,当 ? 2 ? a ? 0 时, f (x) 在 (0,?a) 和 (2,??) 上单调递增;在 (?a,2) 上单调递减; 当 a ? ?2 时, f (x) 在 (0,??) 上单调递增; ② 当 a ? ?2 时, f (x) 在 (0,2) 和 (?a,??) 上单调递增;在 (2,?a) 上单调递减。 (2)∵ x 2 ? x1 ,∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a( x2 ? x1 ) , f ( x2 ) ? ax2 ? f ( x1 ) ? ax1 令 g ( x) ? f ( x) ? ax ?

由○○,消去 x2 , y1 , y2 得 ? x1 ? m . 1 2 若此直线 l 使得 | AM |, | OM |, | MB | 成等比数列,则 | OM | ?| MB | ? | AM | ,
2

[来源:学*科*网]

2 即 | OM |2 ? ? | AM | ? | AM | ,所以 m2 ? ?[( x1 ? m)2 ? y1 ] ,

1 2 x ? 2a ln x ? 2 x 2

因为 y12 = 4 x1 , ? x1 ? m ,所以 m2 ?

m [( x1 ? m)2 ? 4 x1 ] , x1

g ?( x) ? x ?

2a x 2 ? 2 x ? 2a ( x ? 1) 2 ? 1 ? 2a ?2? ? x x x

要使 g ( x2 ) ? g ( x1 ) ,只要 g (x) 在 (0,??) 上为增函数,即 g ?( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立,因
一模语文试题第5 页(共 4 页)

此 ? 1 ? 2a ? 0 ,即 a ? ?

1 2

∵直线斜率为 tan? ?

2? ? 3? 3 ? ? 3 , 0 ? ? ? ? , ∴? ? 3 3 ?1

故存在实数 a ? (?? ,? ] ,对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x 2 ? x1 ,有 立 22.证明: (I)? A, B, C , D 四点共圆,? ?EDC ? ?EBF , 又? ?CED ? ?AEB , ? ?CED ∽ ?AEB ,

1 2

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a 恒成 x2 ? x1

直线 BC 的普通方程为 y ? ? 3( x ? m) , ∵过点 B(1, 3) , ∴ 3 ? ? 3(1 ? m) ,解得 m ? 2

24.(1)证明: a 2 ? b 2 ? c 2 ? ( ? 取等条件 a ? b ? c ? 4 3

1 a

? 1 1 2 ? ) ? 3(abc) 3 ? 9(abc) 3 ? 6 3 b c

2

2

EC 1 ED 1 EC ED DC ? , ? , ? ? ? ,? EB 3 EA 2 EA EB AB

(2) ( 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1) 2 ? (1 ? 1 ? 1)[( 3a ? 1) 2 ? ( 3b ? 1) 2 ? ( 3c ? 1) 2 ] =18 所以 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1 的最大值为 3 2 ,取等条件 a ? b ? c ?

?

DC 6 . ..........5 分 ? AB 6
2

1 3

(II)? EF

? FA ? FB ,

?

EF FB ? , 又? ?EFA ? ?BFE , FA FE

? ?FAE ∽ ?FEB ,? ?FEA ? ?EBF ,
又? A, B, C , D 四点共圆,? ?EDC ? ?EBF ,

? ?FEA ? ?EDC , ? EF // CD . ..........10 分
23.解(1)设点 A, B, C 的极坐标分别为 ( ?1 , ? ), ( ? 2 , ? ? ∵点 A, B, C 在曲线 C1 上, ∴ ?1 ? 4 cos ? , ? 2 ? 4 cos( ? ?

?
4

), ( ? 3 , ? ?

?
4

)

?
4

), ? 3 ? 4 cos( ? ?

?
4

)

则 | OB | ? | OC | = ? 2 ? ? 3 ? 4 cos( ? ?

?
4

) ? 4 cos( ? ?

?
4

) ? 4 2 cos ?

2 | OA |? 2?1 ? 4 2 cos? , 所以 | OB | ? | OC |? 2 | OA |
(2)由曲 线 C 2 的参数方程知曲线 C 2 为倾斜角为 ? 且过定点 (m,0) 的直线, 当? ?

?
12

时,B,C 点的极坐标分别为 ( 2,

?

), (2 3 ,? ) 3 6

?

化为直角坐标为 B(1, 3) , C(3,? 3) ,

[来源:学科网]

一模语文试题第6 页(共 4 页)



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