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一个带约束条件的二元函数最值的求法(四)


一个带约束条件的二元函数最值的求法
江苏省东海县白塔高级中学 陈大连 邮编 222345 电话 15051150243 近年来高考与各地的模拟考试中悄然出现一种平时练习中不太常见的数学问题——求 带约束条件的二元函数最大值或最小值, 这种问题因条件与目标函数的不同其解法也往往不 同.本文将给出一道典型小题的多种解法并对解法加以说明,以帮助读者能够迅速解决这种 问题并增强

解题的灵活性. 问题(2015 届江苏省宿迁市高三一模第 9 题)已知实数 x, y 满足 x 2 ? xy ? y 2 ? 1 ,则
x ? y 的最大值为

.

解法 1 令 x ? y ? t ,则 y ? t ? x ,将其代入条件得, x2 ? x(t ? x) ? (t ? x)2 ? 1 ,整理,

? x ? y ? 2, 得 3x 2 ? 3tx ? t 2 ? 1 ? 0 .令 ? ? (?3t )2 ? 4 ? 3(t 2 ? 1) ? 0 ,解得 ?2 ? t ? 2 .当 ? 2 即 2 ? x ? xy ? y ? 1
x ? y ? 1 时右边的等号成立,所以 t = x ? y 的最大值为 2.
注 此解法对目标函数整体换元,然后将条件化为关于某个变元的一元二次方程,依据 其判别式的非负性得到目标函数的最值, 其中 “可将条件化为关于某个变元的一元二次方程” 是此解法得以成功的关键所在 .需要提醒的是在得到 ?2 ? t ? 2 时要注意检查等号成立的条 件. 解法 2 由 x 2 ? xy ? y 2 ? 1 配方,得 ( x ? y)2 ? 3xy ? 1,再由基本不等式,得

( x ? y)2 ? 1 ? 3xy ? 1 ? 3(

x? y 2 x? y 2 ) ? 4, 即 ) , 即 ( x ? y)2 ? 1 ? 3( ) , 解 得 (x ? y 2 2 2 ?2 ? x ? y ? 2 ,从而 x ? y ? 2 .当 x ? y ? 1 时等号成立,所以 x ? y 的最大值为 2.

注 由于约束条件为二元二次方程,我们可以考虑对其配方,但配方的途径有很多,上 解法注意结合目标函数配方,并运用基本不等式,构造出一个关于目标函数式 x ? y 的不等 式,通过解不等式求出函数的最值,这种构造不等式求最值或范围是常见的思路. 解法 3 由 x 2 ? xy ? y 2 ? 1 配方,得 ( x ? )2 ? 则

y 2

y 3 3 2 y ? sin ? , y ? 1 .令 x ? ? cos ? , 2 2 4

3 y 3 y ? 3sin ? , ( x ? ) ? y ? 3sin ? ? cos? ,即 x ? y ? 3sin ? ? cos? 2 2 2

? 2sin(? ? ) ? 2 .易见当 ? ? 时等号成立,所以所求的最大值为 2. 6 3
注 由于 x 2 ? xy ? y 2 ? 1 的左边是一个非负式子,可以配方成两个式子的平方和,为三 角换元创造条件. 解法 4 由解法 3 知等式条件可配方为 ( x ? )2 ?

?

?

y 2

y 3 3 2 y ?t , 则条件 y ? 1 .令 x ? ? s , 2 2 4

化 为 s 2 ? t 2 ? 1 ,目标 函数 x ? y ? s ? 3t . 由线性规 划知识, 当动直线 s ? 3t ? P 与 圆

s 2 ? t 2 ? 1 相切时 P 最大或最小,此时圆心到直线的距离

P 12 ? ( 3)2

? 1 ,解得 P ? ?2 ,其

中 2 是最大值,即 x ? y 的最大值为 2. 注 此解法通过换元将问题化为线性规划问题,借助约束条件与目标函数的几何意义求 解,直观明了. 解法 5 当 x ? 0 时 y 2 ? 1, y ? ?1, x ? y ? ?1 . 当 x ? 0 时, Q x 2 ? xy ? y 2 ? 1 ,? ( x ? y )2 ?

( x ? y)2 x 2 ? 2 xy ? y 2 ? x 2 ? xy ? y 2 x 2 ? xy ? y 2

y y ? ( )2 2 2 y 3t x x ? 1 ? 2t ? t ? (1 ? t ? t ) ? 3t ? 1 ? 3t ? ,其中 t ? .易求 1 ? 的 2 2 2 2 y y 2 1 ? t ? t 1 ? t ? t 1 ? t ? t x 1 ? t ? t 1? ? ( ) x x 1? 2 ?
最大值为 4(只需考虑 t ? 0 情形) ,即 ( x ? y)2 ? 4 ,从而 x ? y ? 2 . 综合,得所求的最大值为 2. 注 上解法运用齐次化方法,将目标函数化为一元分式函数,之所以能这样做,是因为 约束条件左边是齐次式(二次) ,而目标函数也是齐次式(一次) ,根据次数关系再将目标函 数平方为 ( x ? y )2 求其最大值.一般地,如果约束条件与目标函数均为齐次式,可考虑这种方 法.

s?t ? ?x ? 2 , ? x ? y ? s, ? 解法 6 令 ? 则? 代入 x 2 ? xy ? y 2 ? 1 ,得 s ? t x ? y ? t , ? ?y ? , ? 2 ? s 2 3t 2 s ?t 2 s ?t s ?t s ?t 2 ? 1 ,它表示椭圆,显然 s 的取值 ( ) ? ? ?( ) ? 1 ,化简,得 ? 4 4 2 2 2 2 范围是 [?2, 2] ,而 s 就是 x ? y ,所以 x ? y 的最大值为 2.


? x ? y ? s, 由于条件中含有 xy 项,且 x 2 项与 y 2 项的系数相等,若我们作线性代换 ? ? x ? y ? t,

则可以化去变元的混合乘积项, 使等式条件只含有变元的平方项, 这样我们就能看清等式条 件所表示的图形特征,以便于从几何角度求解. 解法 7 令 x ? y ? p , x ?
2 2

p p p p p p ? t , y ? ? t ,则 ( ? t )2 ? ( ? t )( ? t ) ? ( ? t )2 ? 1 ,化 2 2 2 2 2 2

p p ? 3t 2 ? 1 ,所以 ? 1 ,从而 p 2 ? 4 , ?2 ? p ? 2 ,可见 x ? y 的最大值为 2. 4 4 注 上解法用的是平均代换,通常当条件为两变元的和等于一常数,会考虑这种方法. 以上各解法能紧扣问题特点,都比较简捷,而下面的解法虽对此题不够简捷,却值得 注意. 解法 8 当 x, y 中有一个为 0 时,由对称性,不妨 x ? 0 ,则 y ? ?1 ,此时 x ? y ? ?1 . 当 x, y 同号时,因求的是 x ? y 的最大值,只须考虑 x ? 0, y ? 0 情形.此时令 x ? y ? ? ,
简,得

x ? ? cos2 ? , y ? ? sin 2 ? ,其中 ? ? 0 .代入条件,得

4 ?2 c o s ?? ? 2 c o 2 s? s i2 n ?

? ? 2 sin 4 ? ? 1 ,从而 ? 2 ?

1 1 ? 2 4 2 2 cos ? ? cos ? sin ? ? sin ? (cos ? ? sin ? ) 2 ? 3cos 2 ? sin 2 ?
4 2

?

1 1 ? ?4. 3 2 3 1 ? sin 2? 1 ? 4 4
当 x, y 异号时,由对称性,不妨 x ? 0, y ? 0 ,此时令 x ? y ? ? , x ? ? ?

1 , cos2 ?

y ? ? ? tan 2 ? , ? ? 0 ,代入条件,得 ? 2

2 1 2 tan ? ? ? ? ? 2 tan 4 ? ? 1,从而 ? 2 ? 4 2 cos ? cos ?

cos 4 ? 1 ? ?1 . 2 1 ? sin 2 ? ? sin 4 ? 1 tan ? 4 ? ? tan ? cos 4 ? cos 2 ? 综合三种情况,得 ? ? 2 ,即 x ? y ? 2 ,其中等号可取到,所以 x ? y 的最大值为 2.
注 若目标函数为 x 2 ? y 2 ,则易想到三角换元 x ? ? cos? , y ? ? sin? ,但若目标函数

为 x ? y 且 x, y ? 0 ,也可考虑三角换元 x ? ? cos2 ? , y ? ? sin 2 ? .若目标函数为 x 2 ? y 2 ,可 考虑三角换元 x ? ?

1 , y ? ? tan ? ,但若目标函数为 x ? y( x, y ? 0) ,则也可考虑令 cos?

x??

1 , y ? ? sin 2 ? . 2 cos ?
x ? 4 ? 3x 2 3 1 ,所以 x ? y ? x ? 4 ? 3x2 2 2 2

解法 9 由 x 2 ? xy ? y 2 ? 1 得 y ?

?

3 1 ( 3x) ? 4 ? 3x2 . 2 2
由柯西不等式的二元形式 ax ? by ? a 2 ? b2 ? x2 ? y 2 ,得

3 1 ( 3x) ? 4 ? 3x2 ? 2 2

(

3 1 3 2 1 2 : (? ) ? ( 3 x) : 4 ? 3 x 2 ,即 x ? 1 时等号 ) ? ( ) ? ( 3x)2 ? ( 4 ? 3x2 ) 2 ? 2 . 当 2 2 2 2

成立,所以 x ? y 的最大值为 2. 注 上解法用的是消元法,此解法看似平淡无奇,但使用的范围也较广,只要能依据等 式条件将一个变元用另一个变元的代数式表示,都可考虑这一方法.另,使用柯西不等式的 r r r r r 3 1 r ,(? )), b ? ( 3 x, 4 ? 3 x 2 ) ,据 a ? b ? a ? b ,同 这一步也可改为运用向量求解:令 a ? ( 2 2 样可得

3 1 ( 3x) ? 4 ? 3x2 ? 2 2

(

3 2 1 2 ) ? ( ) ? ( 3 x) 2 ? ( 4 ? 3 x 2 ) 2 . 2 2

解法 10 设 ? 为待定的正常数,则 x2 ? xy ? y 2 ? ? ( x ? y) ? x2 ? ( y ? ? ) x ? y 2 ? ? y ?
(x ? y?? 2 ( y ? ?) y ? ? 2 3 2 3? ? y?? 2 3 2 ? ) ? y2 ? ? y ? ? (x ? ) ? y ? y? ? (x ? ) ? ( y ? 2? y ) ? 2 4 2 4 2 4 2 4 4
2 2 2

? (x ?

y?? 2 3 3? ? ) ? ( y ? ? )2 ? ? ? ?? 2 . 2 4 4 4
2 2

? y ? ?, ? 2 2 当? y ? ? 即 x ? y ? ? 时等号成立,此时 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ,解得 ? ? 1 ,从而有 x? ? 2 ?
y ?1 ? , 即 1 ?( x ? ) 即x? y ? 2, 且等号能成立, 所以 x ? y x2 ? xy ? y 2 ? ( x ? y) ? ?12 ? ?1 ,
的最大值为 2. 注 此解法先引入待定的系数 ? ,然后依次对 x, y 进行配方,当得到两个式子的平方和 后便根据其非负性将构建的式子放缩, 最后利用等号成立的条件及函数的约束条件确定待定 系数的值,其中配方的方法我们称之为主元配方法或拉格朗日配方法.这种解法是处理带等 式(二元二次整式)约束条件的二元整式函数最值问题的较一般的方法.如果我们在解此类 题问题时一时没有找到简单的方法,不妨试用这一方法. 以上 10 种解法思路各不相同,是解决带等式约束条件二元函数最值问题的常用方法, 希抓住问题特点灵活运用.本题还有其它解法,读者可继续探究. 为帮助读者进一步熟悉此类问题的解法,下面备几道练习题供参考使用: 1.已知正实数 x, y 满足 2 xy ? 2 x ? y ? 3 ,求 x ? y 的最小值. 2.已知实数 x, y 满足 2 xy ? 2 x ? y ? 3 ,求 4 x2 ? y 2 的最小值. 3.已知实数 x, y 满足 x2 ? 2 xy ? 3 y 2 ? 1 ,求 x 2 ? y 2 的最小值. 4.已知实数 x, y 满足

x2 ? y 2 ? 1,则 3x2 ? 2xy 的最小值是 4



5.若实数 x , y 满足 x2 ? 4 xy ? 4 y 2 ? 4 x2 y 2 ? 4 ,则 x ? 2 y 的最大值为 6.已知正实数 x, y 满足 x ?

. .

2 4 ? 3 y ? ? 10 ,则 xy 的取值范围为 x y
.

7.已知 (2 x ? y)2 =(5+2 y)(1-2 y),x, y > 0 ,则 2 x+y 的最大值为

8.已知实数 x, y 满足 x3 ? y3 ? 1 , x ? 0, y ? 0 ,求 ( x2 ? y 2 )( x ? y) 的取值范围. 练习答案: 1. 2 2 ?

1? 5 3 ; 2. 2; 3. ; 4. 6 ? 4 2 ; 5. 4 2
.

2 2; 6. [1, ] ; 7. 3 2 ? 2 ;

8 3

8. (1, )

4 3

练习解答(仅提供一种) : 1. 由 2 xy ? 2 x ? y ? 3 得 y ?

3 ? 2x ?1 ? 2x ? 4 3 ? 2x ,所以 x ? y ? x ? ? x? 2x ? 1 2x ? 1 2x ? 1

? x ?1 ?

1 4 3 3 1 4 3 4 ? ? 2 2 ? ,且等号能成立. ? (2x ? 1) ? ? ? 2 (2 x ? 1) ? 2 2 x ? 1 2 2 2x ? 1 2 2x ? 1 2

所以 x ? y 的最小值是 2 2 ?

3 . 2
(2 x) 2 ? y 2 , 2 x ? y ? 2[(2 x) 2 ? y 2 ,所以 3 ? 2 xy ? 2 x ? y 2

2. 由基本不等式得 2 x ? y ?

?

(2 x) 2 ? y 2 ? 2[(2 x) 2 ? y 2 , 解 得 (2 x)2 ? y 2 ? 2 , 即 4 x2 ? y 2 ? 2 , 当 2 x ? y 且 2 1 2 xy ? 2 x ? y ? 3 即 x ? , y ? 1 等号成立,所以 4 x2 ? y 2 的最小值为 2. 2
3. 令 x ? r cos ? , y ? r sin ? ,则 x2 ? y 2 ? r 2 ,条件化为

1 cos ? ? 2cos? sin ? ? 3sin 2 ? 1 1 1 1 ? ? = ? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2cos 2? ? sin 2? ? 1 5 cos(2? ? ? ) ? 1 5 ?1 ? sin 2? ? 3 ? 2 2
r 2 cos2 ? ? 2r 2 cos ? sin ? ? 3r 2 sin 2 ? ? 1 ,由此得 r 2 ?
2

?

5 ?1 ,其中等号能显然成立. 4 x 1 2 3 ? 4 4tan ? 12 4sin ? 4. 令 ? 则x? ,3x2 ? 2xy ? , y ?t a n ?, ? ? ? 2 2 2 c o s ? c o s ? cos ? cos? cos ? cos2 ? 12 ? 4sin ? 4(3 ? sin ? ) 4 4 ? ? ? ? ? 8 8 1 ? sin 2 ? (9 ? sin 2 ? ) ? 8 (3 ? sin ? ) ? 6 ? (?3 ? sin ? ) ? 3 ? sin ? 3 ? sin ? 4 4 4 ? ? ? 6 ? 4 2 ,当 8 8 6?4 2 6 ? [(3 ? sin ? ) ? ] 6 ? 2 (3 ? sin ? ) ? 3 ? sin ? 3 ? sin ?

3 ? sin ? ?

8 即 sin ? ? 3 ? 2 2 时等号成立. 3 ? sin ?
2 2 2 2 2

5.配方,得 ( x ? 2 y) ? 4 x y ? 8xy ? 4 ? 8 , ( x ? 2 y) ? 4( xy ?1) ? 8 ,所以

( x ? 2 y)2 ? 8 ,所以 x ? 2 y ? 2 2 ,当 xy ? 1 且 x ? 2 y ? 0 、 x2 ? 4 xy ? 4 y 2 ? 4 x2 y 2 ? 4
即x?

2, y ?

1 时等号成立,故 x ? 2 y 的最大值为 2 2 . 2

2 t 4x t , 代 入 条 件 , 得 x ? ? 3? ? ? 10 , 整 理 , 得 x x t x 4 4 8 (1 ? ) x2 ? 10x ? (2 ? 3t ) ? 0 .其判别式 100 ? 4(1 ? )(2 ? 3t ) ? 0 ,解得 1 ? t ? . t t 3 4 8 8 当 x ? y ? 1 时 t ? 1 ;当 x ? 2, y ? 时 t ? .故 xy 的取值范围为 [1, ] . 3 3 3
6 . 令 x y? t, 则 y ? 7.对条件配方,得 (2 x ? y)2 ? 4( y ? 1)2 ? 9 .令 2 x ? y ? s,2( y ? 1) ? t ,则有

t t (t > 2)条件下求 p = s ? t ? 2 y = ? 1, 2 x ? s ? ? 1 , 2 x+y ? s ? t ? 2 ,问题化为在 s 2 ? t 2 =9 2 2 t 2 与圆弧 的 最 大 值 . 由 线 性 规 划 知 识 知 , 在 坐 标 系 s ? o ? t 中 当 动 直 线 p = s? ?
s 2 ? t 2 =9 (t > 2)切于点(
3 2 3 2 , ) 时 p 最大,最大值为 3 2 ? 2 . 2 2

8. Q x3 ? y3 ? 1 ,? ( x 2 ? y 2 )( x ? y ) ?

( x 2 ? y 2 )( x ? y ) ( x ? y )( x ? y ) 2 ? x3 ? y 3 ( x ? y )( x 2 ? xy ? y 2 )

?

x ? 2 xy ? y t 1 xy x ?1? 2 ,其中 ? t . ?1? 2 ?1? ?1? 1 x 2 x x ? xy ? y 2 y x 2 ? xy ? y 2 t ? t ? 1 t ? ?1 ( ) ? ?1 t y y
2 2

x y

x 1 ? y3 1 1 ? 1 ? 3 ? (1, ??) ,从而 t ? (1, ?? ), t ? ? (2, ??) , 由条件知 x3 ? 1 ? y3 , ( )3 ? 3 y y y t

1?

1 4 4 ? (1, ) ,即 ( x2 ? y 2 )( x ? y) 的取值范围是 (1, ) . 1 3 3 t ? ?1 t


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