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2012年北京市丰台区高三一模数学(理)试题Word版带答案


2012 年北京市丰台区高考模试题(数学理)-B 版
第 I 卷(选择题 共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. 1.设集合 P ? {x | x ? 1} , Q ? {x | x2 ? x ? 0} ,则下列结论正确的是( A. P ? Q B. P ?

Q ? R C. P ? Q D. Q ? P )

【解析】 C; P ? (1, ? ?) , Q ? (?? , 0) ? (1, ? ?) . 2.函数 y ? sin x ? cos x 的最小值和最小正周期分别是( A. ? 2 , 2π 【解析】 A;
π? ? y ? 2 sin ? x ? ? . 4? ?

) D. ?2, π

B. ?2, 2 π

C. ? 2 , π

3.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a2 ? a4 ? 6 ,则 S 5 等于( A.10 B.12 C.15 D.30 【解析】 C; a2 ? a4 ? 6 ? 2a3 ,于是 a3 ? 3 , S5 ? 5a3 ? 15 .



4.甲乙两名运动员在某项测试中的 8 次成绩如茎叶图所示, x1 , x2 分别表示甲乙两名运动员这项测试成 绩的平均数, s1 , s 2 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差,则有( A. x1 ? x2 , s1 ? s2
甲 9 8 6 5 5 4 2 1 0 1 2 7 3 2



B. x1 ? x2 , s1 ? s2
乙 8 5 5 7 3

C. x1 ? x2 , s1 ? s2

D. x1 ? x2 , s1 ? s2

【解析】 B;

1 1 x1 ? 15 ? x 2 , s1 ? (72 ? 62 ? 12 ? 12 ? 62 ? 72 ) ? s2 ? (82 ? 72 ? 22 ? 22 ? 72 ? 82 ) . 8 8 5.阅读右面的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( )
A.

13 21

B.

21 13

C.

8 13

D.

13 8

第1页

开始 x=1, y=1 z = x+y z<20 是 x=y y=z 输出 否 y x

结束

【解析】 D;
x ? 1, y ? 1, z ? 2 ? 20 ; x ? 1, y ? 2, z ? 3 ? 20 ; ? , x ? 8, y ? 13, z ? 21 ? 20 ,故输出

13 . 8


6. 某会议室第一排共有 8 个座位, 现有 3 人就座, 若要求每人左右均有空位, 那么不同的坐法种数为 ( A. 12 B.16 C.24 D.32 【解析】 C; 将三个人插入五个空位中间的四个空档中,有 A3 4 ? 24 种排法.

? y ≤ x ? 1? ? y ≤ ? | x | ?1? ? ? 7.已知平面区域 ? ? {( x , y ) ? y ≥ 0 ? , M ? {( x , y) ? ? ,向区域 ? 内随机投一点 P ,点 P 落 ?y≥0 ? ? x ≤1 ? ? ?

在区域 M 内的概率为( A.



1 1 2 1 B. C. D. 4 2 3 3 【解析】 C; 如图,阴影部分大的等腰直角三角形区域为 ? ,小的等腰直角三角形区域为 M ,由面积比知 1 P? . 2
y

1 -1 O 1 x

8 .如图,平面 ? ? 平面 ? , ? ? ? = 直线 l , A , C 是 ? 内不同的两点, B , D 是 ? 内不同的两点,且 A , B , C , D ? 直线 l , M , N 分别是线段 AB , CD 的中点.下列判断正确的是( ) A.当 | CD |? 2 | AB | 时, M , N 两点不可能重合 B. M , N 两点可能重合,但此时直线 AC 与 l 不可能相交 C.当 AB 与 CD 相交,直线 AC 平行于 l 时,直线 BD 可以与 l 相交 D.当 AB , CD 是异面直线时,直线 MN 可能与 l 平行

第2页

?
A M B N D

C

l

?

【解析】 B; 若 M , N 两点重合,由 AM ? MB , CM ? MD 知 AC ∥ BD ,从而 AC ∥ 平面 ? ,故有 AC ∥ l ,故 B 正确.

第 II 卷(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.若 (a ? 2i)i ? b ? i ,其中 a , b ? R , i 为虚数单位,则 a ? b ? 【解析】 3; 2 ? ai ? b ? i ? a ? 1, b ? 2 . ? ? ? ? ? ? 10.已知 | a |? 2 , | b |? 3 , a , b 的夹角为 60° ,则 | 2a ? b |? 【解析】 13 ;
? ? ?2 ? ? ?2 (2a ? b)2 ? 4 a ? 4 a ? b cos 60? ? b ? 13 .





11.将极坐标方程 ? ? 2cos? 化成直角坐标方程为 【解析】 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 ;



? 2 ? 2? cos? ? x2 ? y 2 ? 2x .
12.如图, PC 切 ? O 于点 C ,割线 PAB 经过圆心 O ,弦 CD ? AB 于点 E .已知 ? O 的半径为 3, PA ? 2 , 则 PC ? . OE ? .
C

B

O

E D

A

P

【解析】 4,

9 ; 5
P , C 于 是 PO ? 5 ,

PC 2 ? PA ? PB ? 2 ? (2 ? 6) ? 16 ? PC ? 4 ; 连 结 OC , 知 O C?

CO2 ? OE ? OP ? PE ?
C

3 9 ? . 2?3 5

2

B

O

E D

A

P

13 .已知双曲线 x2 ?

???? ???? ? y2 ? 1 的左顶点为 A1 ,右焦点为 F2 , P 为双曲线右支上一点,则 PA1 ? PF2 最小值 3
第3页

为 . 【解析】 ?2 ;

???? ???? ? ≥ 1) , PA1 ? PF2 ? (?1 ? x , y) ? (2 ? x , y) ? x2 ? x ? 2 ? y 2 , 又 A1 (?1, 0), F2 (2, 0) , 设 P( x , y ) ( x

x2 ?

y2 ? 1 ,故 y 2 ? 3( x2 ? 1) , 3

2 ???? ???? ? 1? 1 ? 2 于是 PA1 ? PF2 ? 4 x ? x ? 5 ? 4 ? x ? ? ? 5 ? ,当 x ? 1 时,取到最小值 ?2 . 8? 16 ?

14 . 设 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 D , 若 存 在 非 零 实 数 l 使 得 对 于 任 意 x ? M ( M ? D) , 有 x ? l ? D , 且 f ( x ? l)≥ f ( x),则称 f ( x) 为 M 上的 l 高调函数. 如果定义域为 [ ?1, ?? ) 的函数 f ( x) ? x 2 为 [?1, ? ?) 上的 m 高调函数,那么实数 m 的取值范围是 .

如果定义域为 R 的函数 f ( x) 是奇函数,当 x ≥ 0 时, f ( x) ?| x ? a2 | ?a2 ,且 f ( x) 为 R 上的 4 高调函数,那 么实数 a 的取值范围是 . 【解析】 [2, ? ?) ; [?1, 1] ;
f ( x) ? x2 ( x ≥ ?1) 的图象如下图左所示,要使得 f (?1 ? m) ≥ f (?1) ? 1 ,有 m ≥ 2 ; x ≥ ?1 时,恒

有 f ( x ? 2) ≥ f ( x) ,故 m ≥ 2 即可; 由 f ( x) 为奇函数及 x ≥ 0 时的解析式知 f ( x) 的图象如下图右所示, ∵ f (3a2 ) ? a2 ? f (?a 2 ) ,由 f (?a2 ? 4) ≥ f (?a2 ) ? a2 ? f (3a2 ) ,故 ?a 2 + 4 ≥ 3a 2 ,从而 a 2 ≤1 , 又 a 2 ≤1 时,恒有 f ( x ? 4) ≥ f ( x) ,故 a 2 ≤1 即可.
y y a2 a2 -1 O 1 x -a2 O -a2 x

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) ?π ? 已知 ? 为锐角,且 tan ? ? ? ? ? 2 . 4 ? ? ⑴求 tan? 的值;

sin 2? cos ? ? sin ? 的值. cos 2? ?π ? 1 ? tan ? 【解析】 ⑴ tan ? ? ? ? ? , ?4 ? 1 ? tan ?
⑵求 所以 ⑵

1 ? tan ? 1 ? 2, 1 ? tan ? ? 2 ? 2 tan ? ,所以 tan ? ? . 1 ? tan ? 3

sin 2? cos? ? sin ? 2sin ? cos2 ? ? sin ? sin ? (2cos2 ? ? 1) sin ? cos 2? ? ? ? ? sin ? . cos 2? cos 2? cos 2? cos 2? 1 因为 tan ? ? ,所以 cos ? ? 3sin ? ,又 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , 3
第4页

所以 sin 2 ? ?

1 , 10
10 , 10

又 ? 为锐角,所以 sin ? ? 所以

sin 2? cos ? ? sin ? 10 ? . cos 2? 10 16. (本小题满分 13)

在一个选拔项目中,每个选手都需要进行 4 轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核, 否则被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为

5 4 3 1 、 、 、 ,且各轮问题 6 5 4 3

能否正确回答互不影响. ⑴求该选手进入第三轮才被淘汰的概率; ⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率; ⑶该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为 X ,求随机变量 X 的分布列和期望. 【解析】 设事件 Ai (i ? 1, 2, 3, 4) 表示“该选手能正确回答第 i 轮问题”,

5 4 3 1 由已知 P( A1 ) ? , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? , P( A4 ) ? , 6 5 4 3 ⑴设事件 B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”, 5 4 ? 3? 1 则 P(B) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? ? ? ?1 ? ? ? . 6 5 ? 4? 6
⑵设事件 C 表示“该选手至多进入第三轮考核”, 则 P(C) ? P( A1 ? A1 A2 ? A1 A2 A3 )

1 5 1 5 4 3 1 ? ? ? ? ? (1 ? ) ? ; 6 6 5 6 5 4 2 ⑶ X 的可能取值为 1,2,3,4, ? P( A1 ) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 A3 ) ?
P( X ? 1) ? P( A1 ) ? 1 , 6

5 4 1 P( X ? 2) ? P( A1 A2 ) ? ? (1 ? ) ? , 6 5 6 5 4 3 1 P( X ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? (1 ? ) ? , 6 5 4 6 5 4 3 1 P( X ? 4) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? , 6 5 4 2 所以, X 的分布列为

X P

1

2

3

4

1 6

1 6

1 6

1 2

1 1 1 1 E( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 3 . 6 6 6 2 17. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD , E 为 PC 中点,底面 ABCD 是直角梯形, AB ∥ CD , ?ADC =90° , AB ? AD ? PD ? 1, CD ? 2 . ⑴求证: BE ∥ 平面 PAD ; ⑵求证: BC ? 平面 PBD ; ??? ? ??? ? ⑶设 Q 为侧棱 PC 上一点, PQ ? ? PC ,试确定 ? 的值,使得二面角 Q ? BD ? P 为 45° .
第5页

P E D C

A

B

【解析】 ⑴取 PD 的中点 F ,连结 EF , AF ,

1 因为 E 为 PC 中点,所以 EF ∥ CD ,且 EF ? CD ? 1, 2 在梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , AB ? 1 , 所以 EF ∥ AB , EF ? AB ,四边形 ABEF 为平行四边形, 所以 BE ∥ AF , BE ? 平面 PAD , AF ? 平面 PAD , 所以 BE ∥平面 PAD . ⑵平面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD ,所以 PD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? AD . 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz . 则 A(1, 0, 0) , B(1, 1, 0) , C (0, 2, 0) , P(0, 0, 1) . ??? ? ??? ? DB ? (1, 1, 0), BC ? (?1, 1, 0) .
??? ? ??? ? 所以 BC ? DB ? 0, BC ? DB .
又由 PD ? 平面 ABCD ,可得 PD ? BC , 所以 BC ? 平面 PBD .
z P Q F D A x E y C B

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ⑶平面 PBD 的法向量为 BC ? (?1, 1, 0) , PC ? (0, 2, ? 1), PQ ? ? PC , ? ? (0, 1) ,
所以 Q(0, 2? , 1 ? ? ) ,

? 设平面 QBD 的法向量为 n ? (a , b , c) ,
? ??? ? ? ???? ?a ? b ? 0 由 n ? DB ? 0 , n ? DQ ? 0 ,得 ? , ?2?b ? (1 ? ? )c ? 0
? ? 2? ? 所以 n ? ? ?1, 1, , ? ?1? ? ? ? ??? ? n ? BC ? ? 所以 cos 45? ? ? ??? | n || BC |

2 2? 2?( 2? 2 ) ? ?1

?

2 , 2

注意到 ? ? (0, 1) ,得 ? ? 2 ? 1 .

第6页

18. (本小题满分 14 分)
3 x2 y 2 ,长轴端点与短轴端点间的距离为 5 . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b ⑴求椭圆 C 的方程; ⑵设过点 D (0, 4) 的直线 l 与椭圆 C 交于 E , F 两点, O 为坐标原点,若 ?OEF 为直角三角形,求直线 l 的

椭圆 C :

斜率. 【解析】 ⑴由已知
c 3 ? , a 2 ? b2 ? 5 , a 2

又 a 2 ? b2 ? c 2 ,解得 a 2 ? 4, b2 ? 1,

x2 ? y2 ? 1 ; 4 ⑵根据题意,过点 D(0, 4) 满足题意的直线斜率存在,设 l : y ? kx ? 4 ,
所以椭圆 C 的方程为
? x2 2 ? ? y ?1 联立 ? 4 ,消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 32kx ? 60 ? 0 , ? y ? kx ? 4 ?

? ? (32k )2 ? 240(1 ? 4k 2 ) ? 64k 2 ? 240 ,

令 ? ? 0 ,解得 k 2 ?

15 . 4

设 E 、 F 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) , ⅰ)当 ?EOF 为直角时,

32k 60 , , x1 x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ??? ? ???? 因为 ?EOF 为直角,所以 OE ? OF ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,
则 x1 ? x2 ? ? 所以 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ? 16 ? 0 ,

15 ? (1 ? k 2 ) 32k 2 ? ? 4 ? 0 ,解得 k ? ? 19 . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ⅱ)当 ?OEF 或 ?OFE 为直角时,不妨设 ?OEF 为直角, y y ?4 ? ?1 ,即 x12 ? 4 y1 ? y12 ……① 此时, kOE ? k ? 1 ,所以 1 ? 1 x1 x1
所以 又
x12 ? y12 ? 1 …………② 4

将①代入②,消去 x1 得 3 y12 ? 4 y1 ? 4 ? 0 ,

2 或 y1 ? ?2 (舍去) , 3 y ?4 2 2 ?? 5, 将 y1 ? 代入①,得 x1 ? ? 5, 所以 k ? 1 x1 3 3
解得 y1 ? 经检验,所求 k 值均符合题意,综上,k 的值为 ? 19 和 ? 5 .

第7页

19. (本小题满分 14 分) ? a? 已知函数 f ( x) ? ?1 ? ? e x ,其中 a ? 0 . x? ? ⑴求函数 f ( x) 的零点; ⑵讨论 y ? f ( x) 在区间 (?? , 0) 上的单调性;
a? ? ⑶在区间 ? ?? , ? ? 上, f ( x) 是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由. 2? ? 【解析】 ⑴令 f ( x) ? 0 ,得 x ? ?a ,所以函数 f ( x) 的零点为 ?a .

⑵函数 f ( x) 在区域 (?? , 0) 上有意义, f ?( x) ?

x2 ? ax ? a x ?e , x2

令 f ?( x) ? 0 得 x1 ?

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a , x2 ? , 2 2

因为 a ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 0 , 当 x 在定义域上变化时, f ?( x) 的变化情况如下:

x
f ?( x) f ( x)

(?? , x1 )

( x1 , 0)
?
?

?
?

? ?a ? a 2 ? 4a ? 所以在区间 ? ?? , ? 上 f ( x) 是增函数, ? ? 2 ? ? ? ? a ? a 2 ? 4a ? 在区间 ? , 0 ? 上 f ( x) 是减函数. ? ? 2 ? ?
a? ? ? a? ⑶在区间 ? ?? , ? ? 上 f ( x) 存在最小值 f ? ? ? , 2? ? 2? ? 证明:由⑴知 ?a 是函数 f ( x) 的零点,

因为 ?a ? x1 ? ?a ? 所以 x1 ? ?a ? 0 .

? a ? a 2 ? 4 a ? a ? a 2 ? 4a ? ?0, 2 2

? a? 由 f ( x) ? ?1 ? ? e x 知,当 x ? ?a 时, f ( x) ? 0 . x? ?

a 又函数在 ( x1 , 0) 上是减函数,且 x1 ? ?a ? ? ? 0 . 2 a? a ? ? a? 所以函数在区间 ? x1 , ? ? 上的最小值为 f ? ? ? ,且 f (? ) ? 0 . 2 2 2 ? ? ? ?
a? ? 所以函数在区间 ? ?? , ? ? 上的最小值为 2? ?
a ? ? a? 计算得 f ? ? ? ? ? e 2 . ? 2?

? a? f ?? ?. ? 2?

20. (本小题满分 13 分) 对于各项均为整数的数列 ?an ? ,如果 ai ? i ( i =1,2,3,…)为完全平方数,则称数列 ?an ? 具有“ P 性质”.
第8页

不论数列 ?an ? 是否具有“ P 性质”,如果存在与 ?an ? 不是同一数列的 ?bn ? ,且 ?bn ? 同时满足下面两个条件: ① b1 , b2 , b3 , ..., bn 是 a1 , a2 , a3 , ..., an 的一个排列; ②数列 ?bn ? 具有“ P 性质”, 则称数列 ?an ? 具有“变换 P 性质”.

n ⑴设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? (n2 ? 1) ,证明数列 ?an ? 具有“ P 性质”; 3 ⑵试判断数列 1,2,3,4,5 和数列 1,2,3,…,11 是否具有“变换 P 性质”,具有此性质的数列请写出
相应的数列 ?bn ? ,不具此性质的说明理由; ⑶对于有限项数列 A :1,2,3,…, n ,某人已经验证当 n ?[12, m2 ](m ≥ 5) 时,数列 A 具有“变换 P 性 质”,试证明:当” n ?[m2 ? 1, (m ? 1)2 ] 时,数列 A 也具有“变换 P 性质”.

n n ?1 【解析】 ⑴当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (n2 ? 1) ? [(n ? 1)2 ? 1] ? n2 ? n , 3 3
又 a1 ? 0 ,所以 an ? n2 ? n(n ? N* ) . 所以 ai ? i ? i 2 (i ? 1, 2, 3, ?) 是完全平方数,数列 {an } 具有“ P 性质”; ⑵数列 1,2,3,4,5 具有“变换 P 性质”, 数列 {bn } 为 3,2,1,5,4, 数列 1,2,3,…,11 不具有“变换 P 性质”, 因为 11,4 都只有与 5 的和才能构成完全平方数, 所以数列 1,2,3,…,11 不具有“变换 P 性质”; ⑶设 n ? m2 ? j , 1≤ j ≤ 2m ? 1 , 注意到 (m ? 2)2 ? (m2 ? j ) ? 4m ? 4 ? j , 令 h ? 4m ? 4 ? j ? 1 , 由于 1 ≤ j ≤ 2m ? 1, m ≥ 5 , 所以 h ? 4m ? 4 ? j ? 1≥ 2m ? 2 ≥12 , 又 m2 ? h ? m2 ? 4m ? 4 ? j ? 1≥ m2 ? 4m ? 2 , m2 ? 4m ? 2 ? (m ? 2)2 ? 6 ? 0 , 所以 h ? m2 ,即 h ?[12, m2 ] , 因为当 n ?[12, m2 ](m ≥ 5) 时,数列 {an } 具有“变换 P 性质”, 所以 1,2,…, 4m ? 4 ? j ? 1 可以排列成 a1 , a2 , a3 , ?, ah , 使得 ai ? i(i ? 1, 2, ?, h) 都是平方数. 另外, 4m ? 4 ? j , 4m ? 4 ? j ? 1, ?, m2 ? j 可以按相反顺序排列, 即排列为 m2 ? j , ?, 4m ? 4 ? j ? 1, 4m ? 4 ? j ,

第9页

使得 (4m ? 4 ? j) ? (m2 ? j) ? (m ? 2)2 , (4m ? 4 ? j ? 1) ? (m2 ? j ? 1) ? (m ? 2)2 , ?, 所以 1,2, 4m ? 4 ? j ? 1, 4m ? 4 ? j , ?, m2 ? 1 ? j , m2 ? j 可以排列成
a1 , a2 , a3 , ?ah , m2 ? j , ?, 4m ? 4 ? j ,

满足 ai ? i(i ? 1, 2, ?, m2 ? j ) 都是平方数. 即当 n ?[m2 ? 1, (m ? 1)2 ] 时,数列 A 也具有“变换 P 性质”.

第 10 页


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