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高中物理竞赛辅导 交流电


如果从线圈转过中性面的时刻开始计时,那么线圈平面与磁感应强度方向的夹角为 ωt , 如图 5-1-2 所示 线圈中产生的瞬时感应电动势按正弦规律变化,

交流电 § 5. 1, 基 本 知 识 5.1.1,交流电的产生及变化规律 如图 5-1-1 所示,矩形线圈 abcd 在匀强磁场中匀速转动,闭合电路中产生交流电.

e = nBSω s

in ωt = ε m sin ωt ε = nBSω ,称为感应电动势的最大值. 式 m
电路中的电流强度也按正弦规律变化,

b N

o′ d s

a

o

i=

ε

R

m

= I
式中

R+r

sin ωt

Im =

εm

m

sin

ω t

图 5-1-1

R + r ,称为交流电流的最大值.
= sin ωt

外电路的电压按正弦规律变化,

u=

εmR
R+r

= U m sin ωt ε R Um = m R + r ,称为交流电压的最大值. 式中
5.1.2,表征交流电的物理量 (1)周期和频率 周期和频率是表征交流电变化快慢的物理量.一对磁极交流发电机中的线圈在匀强场中 匀速转动一周,电流按正弦规律变化一周.我们把电流完 中性面 成一次周期性变化所需的时间,叫做交流电的周期 T,单 位是秒. 我们把交流电在 1 秒钟内完成周期性变化的次数, d 叫做交流电的频率 f,道位是赫兹. B (2)最大值和有效值 o υ I U 交流电流的最大值 m 与交流电压的最大值 m 是交 ωt ωt 流电在一周期内电流与电压所能达到的最大值. 交流电的 a 最大值

I m 与 U m 可以分别表示交流电流的强弱与电压的
图 5-1-2

高中物理竞赛电学教程 第五讲交流电

高低. 交流电的有效值是根据电流热效应来规定的.让交流电和直流电通过相同阻值的电阻, 如果它们在相同时间内产生的热效应相等,就把这一直流电的数值叫做这一交流电的有效值. 通常用 ε 表示交流电源的有效值, 用 I 表示交流电流的有效值,用 U 表示交流电压的有效值. 正弦交流电的有效值与最大值之间有如下的关系:

ε=

εm
2

,I =

Im U ,U = m 2 2

当知道了交流电的有效值,很容易求出交流电通过电阻产生的热量.设交流电的有效值 为 I,电阻为 R,则在时间 t 内产生的热量 .这跟直流电路中焦耳定律的形式完全 相同.由于交流电的有效值与最大值之间只相差一个倍数,所 ε m sin(ωt + 0 ) O 以计算交流电的有效值时,欧姆定律的形式不变. B 通常情况下所说的交流电流或交流电压是指有效值. (3)相位和相差 交流发电机中如果从线圈中性面重合的时刻开始计时,交
0

Q = I 2 Rt

e = ε m sin ωt .如果从线圈平面与中性 流电动势的瞬时值是
面有一夹角

0 时开始计时,那么经过时间 t,线圈从线圈平面 ωt + 0 ,如图 5-1-3 所示,则交流电的 与中性面有一夹角是
电动势瞬时值是

ωt + 0

图 5-1-3

e = ε m sin(ωt + 0 ) .

ωt + 0 来确定.这个相当于角度的量 ωt + 0 对于确定交流电的大小和 方向起重要作用,称之为交流电的相位. 0 是 t=0 时刻的相位,叫做初相位.在交流电中,
间 t 确定,而是由 相位这个物理量是用来比较两个交流电的变化步调的. 两个交流电的相位之差叫做它们的相差,用 等于初相位之差,即

从交流电瞬时值表达式可以看出,交流电瞬时值何时为零,何时最大,不是简单地由时

表示.如果交流电的频率相同,相差就
= 10 20 ,

= (ωt + 10 ) (ωt + 20 )
这时相差是恒定的,不随时间而改变. 两个频率相同的交流电, 它们变化的步调是否一致要由相差 这两个交流电称做同相位;如果

= 180

来决定. = 0 , 如果
> ,我
10 20

.

,这两个交流电称为反相位;若

们说交流电 1 比 2 相位超前 ,或说交流电 5.1.3,交流电的旋转矢量表示法

I

I



I 2 比 I1 相位落后 .

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交流电的电流或电压是正弦规律变化的.这一变化规律除了可以用公式和图像来表示外, 还可以用一个旋转矢量来表示. 图 5-1-4 是正弦交流电的旋转矢量表示法与图像表示法的对照图,左边是旋转矢量法, 右边是图像法. i 在交流电的旋转矢量表示法中, 为一 OA ω I B B 旋转矢量,旋转矢量 OA 的大小表示交流电 C A C A
m

的最大值 m ,旋转矢量 OA 旋转的角速度是 交流电的角频率 ω ,旋转矢量 OA 与横轴的
0 为交流电的相位,旋转矢量 夹角 OA 在 纵 轴 上 的 投 影 为 交 流 电 的 瞬 时 值

I

D O E F

45 H
G

H O

D

270
G F

45 90 180
E

H 360

ωt + 0

ωt +

图 5-1-4

i = I m sin(ωt + 0 ) .

交流电的旋转矢量表示法使交流电的表达更加直观简捷,并且也为交流电的运算带来极 大的方便.
i
U

R

§5,2

交流电路
图 5-2-1

5.2.1,交流电路 (1)纯电阻电路 给电阻 R 加上一正弦交流电, 如图 5-2-1 所示,其电压 u 为

u = U m sin ωt

电流的瞬时值 I 与 U,R 三者关 系仍遵循欧姆定律.

u um = sin ωt R R I = U m / R ,它们的有效值同样也满 电流最大值 m i=


u

i u i
T 2

U I= R
在纯电阻电路中,u,i 变化步调是一致的,即它们 是同相, 5-2-2 甲表示电流, 图 电压随时间变化的步调一 致特性. 图乙是用旋转矢量法来表示纯电阻电路电流与电 压相位关系. (2)纯电感电路

I


T

t

U

图 5-2-2

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纯电感电路如图 5-2-3 所示,自感线圈中产生自感电动势 为

ε自 ,电路中电阻 R 可近似为零,由含源电路欧姆定律有
u + ε自 = iR
R = 0 ,所以 ε自 = u ,自感电动势与外加电压是反相

I
U
~

ε自

L

的.

i = I m sin ωt ,自感电动势为 设电路中电流

图 5-2-3

ε自 = L

由于 t 很短,依三角关系展开上式后,近似处理,

i = I m sin ωt (t + t ) I m sin ωt

i t

cos ωt = 1, sin ωt = ωt 则 i 为

i = I mω cos ωt

I u
U

ε = L

i = LωI m cos ωt 自 t π = LωI m sin(ωt + ) 2

u
O

i

T 2
T

t

π
2
乙 I



u = e自 得



u = LωI m sin(ωt +
由上面可见:

π
2

) = U m sin(ωt +

π
2

)

图 5-2-4

I=
a. 纯 电 感 电 路 中 电 压 电 流 关 系 :

I = U / X L ,其中 X L = ωL = 2πfL ,单位:欧姆.
2

U ωL

, 其 中 ωL 称 为 感 抗 (

XL )满足

b.纯电感电路中,图 5-2-4 电压,电流相位关系是, i u π 电压超前电流 ,它们的图像和矢量表示如图 5-2-5 的甲, 乙图所示. (3)纯电容电路 (3)纯电容电路 纯电容电路如图 5-2-6 所示,外加电压 u,电容器反复
u
i
O

T U 2
~

i
C

i=
进行充放电,

u = U m sin ωt ,与前面推导方式相同,
短,得到

Q u =C t t

T

t

,设所加交变电压



t 时间很
U

I 图 5-2-5



图 5-2-6

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u = U mωt cos ωtI = U mωt sin(ωt + i=c u π = CωU m sin(ωt + ) 2 t

π
2

)

π I m = cωU m , 则 i = I m sin(ωt + 2 )
电路中电流有效值为 I

I=

U U U = = 1 1 Xc fC 2πfC
Xc

Xc =

称为电容的容抗, 在纯电容电路中电流与电压的相位关系是:电流超前电压

1 2πfC , 单位是欧姆.
N
B

A

X

π

S
Z

C

2 ,图 5-2-6 甲,乙分别反应电流,电压随时间的变化

图线和它们的矢量表示图. 5.2.2 位移电流 位移电流不是电荷定向移动的电流. 它引起的变化电 场,极置于一种电流.为了形象地表明我移电流,可以把 它看作是由极板上电荷积累过程即形成的. 图 5-2-7 1 交流电能通过电容器,是由于电容器在充,放电的 过程中,电容器极板上的电荷发生变化,引起电场的变化而形成的.连接电容器的导线 中有传导电流通过,而在电容器内存在位移电流. 2 我移电流在产生磁场效应上和传导电流完全等效,因为二者都都会在周围的空间 产生磁场. 3 我移电流通过介质时不会产生热效应. 5.2.3 , 交流电路中的欧姆定律 在交流电路中, 电压, 电流的峰值或有效值之间关系和直流电路中的欧姆定律相似, 其等式为 U = IZ 或 电路中的欧姆定律. (2)说明 由于电压和电流随元件不同而具有相位差, 所以电压和电流的有效值之间一般不是 简单数量的比例关系. a,在串联电路中,如图图 5-2-8 所示,以 R,L,C 为例,

Y

I=

U Z ,式中 I,U 都是交流电的有效值,Z 为阻抗,该式就是交流

U ≠ U R + U L + U C .因为电感 总电压不等于各段分电压的和,

I

R

L
U

C

图 5-2-8

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π

两端电压相位超前电流相位 2 电容两典雅电压相位落后电流相位 2 .所以 R,L,C 上 的总电压,决不是各个元件上的电压的代数和而是矢量和. 以纯电阻而言, Z R = R,

,

π

iR =
以纯电感而言, Z L = ωL,

U U = ; R XR

ImXL ImZ =Um
φ

U U iL = = ; ωL X C 1 ZC = , ωC 以纯电容而言,
iC =
合成的总电压

O
U U = ; / 1ωC X C

ImXR
ImXC图 5-2-9

Um =

( I m X L I m X C )2 + ( I m R )2

= Im

( X L X C )2 + R 2

= ImZ

.则

Z=

( X L X C )2 + R 2

,得

Im =

Um Z .而电压和电流的

iR
~

= arctg

相位差 b,在并联电路中,如图 5-2-10 所示,以 R,L,C 为例, 每个元件两端的瞬时电压都相等为 U. 每分路的电流和两端电 压之间关系为

XL XC XP (图 5-2-9).

iL iC L R

C

图 5-2-10

iC =

UC U = XC XC ,

iL =

UL U = XL XL ,

iR =

UR U = XR R .

不同元件上电流的相位也各有差异.

π
纯电容上电流相位超前纯电阻电流相 纯电感上电流相位落后于纯电阻电流相位 2 ,

π
位 2 .所以分电流的矢量和即总电流

I = υ + (iC + i L )
2 R

2

U U U = + R XC XL

2

2

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1 1 1 1 1 =U =U + + ωC , 2 2 X XL ωL R R C
1 = Z 1 1 U + ωC , 2 ωL 得 I = Z . R
2

2

2

令 5.2.4, 交流电功率 在交流电中电流,电压队随时间而变,因此电流和电压的乘积所表示的功率也将随 时间而变. 跟交流电功率有关的概念有:瞬时功率,有功功率,视在功率(又叫做总功率), 无功功率,以及功率因素. a.瞬时功率 时间而变.

(Pt ) .由瞬时电流和电压的乘积所表示的功率. Pt
u (t ) = U m sin (ωt + ) .

= i (t ) u (t ) ,它随

Pt = I eff U eff (1 cos 2ωt )

Pt = iu = I m sin ωt U m sin (ωt + ) = I eff U eff [cos cos(2ωt + )] 在纯电阻电路中,电流和电压之间无相位差,即 = 0 ,瞬时功率

在任意电路中, i 与 u 之间存在相位差

b.有功功率 P .用电设备平均每单位时间内所用的能量,或在一个周期内所用能 量和时间的比. 在纯电阻电路中,

()

.

PR

∫ =

T

O

PR (t )dt T

∫ =

T

O

I eff U eff (1 cos 2ωt ) T

= I eff U effO

纯电阻电路中有功功率和直流电路中的功率计算方法表示完全一致, 电压和电流都 用有效值来计算.

π
在纯电感电路中(电压超前电流 2 ),

PL =

1 T



T

O

PL dt =

1 T



T

O

I eff U eff [cos cos(2ωt + )]dt = 0

π

在纯电容电路中(电流超前电压 2 ),

PC =

1 T



T

O

PC dt =

1 T



T

O

I mU m cos ωt sin ωtdt = 0

以上说明电感电路或电容电路中能量只能在电路中互换,即电容与电源,电感与电 源之间交换能量,对外无能量交换,所以它们的有功功率为零. 对于一般电路的平均功率

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P=
S = I eff U eff

1 T



T

O

Pt dt =

1 T



T

O

I eff U eff [cos cos( 2ωt + )]dt

c.视在功率(S).在交流电路中,电流和电压有效值的乘积叫做视在功率,即 .它可用来表示用电器(发电机或变压器)本身所容许的最大功率(即容 量). d.无功功率(Q).在交流电路中,电流,电压的有效值与它们的相位差 的正弦
eff eff 的乘积叫做无功功率,即 .它和电路中实际消耗的功率无关,而只表 示电容元件,电感元件和电源之间的能量交换的规模. 有功功率,无功功率和视在功率之间的关系,可用如图 S 5-2-11 所示的所谓功率三角形来表示.

Q=I U

sin

e.功率因数 (cos ) . 发电机输送给负载的有功功率和视在功率的比,

Q


P

图 5-2-11 . 为了提高电能的可利用程度,必须提高功率因数,或者说 减小相位差. 5.2.5, 涡流 (1)定义或解释 块状金属放在变化的磁场中,或让它在磁场中运动,金属地内有感应电场产生,从 而形成闭合回路,这时在金属内所产生的感生电流自成闭合回路,形成旋涡,所以叫做 涡电流."涡电流"简称涡流,又叫傅科电流. (2)说明 1 涡流的大小和磁通量变化率成正比, 磁场变化的频率越高, 导体里的涡流也越大. 2 在导体中涡流的大小和电阻有关,电阻越大涡流越小.为了减小涡流造成的热损 耗,电机和变压器的铁芯常采用多层彼此绝缘的硅钢片迭加而成(材料采用硅钢以增加 电阻).涡流也有可利用的一面.高频感应炉就是利用涡流作为自身加热用,感应加热, 温度控制方便,热效率高,加热速度快,在生产生已用作金属的冶炼.在生活上也已被 用来加热食品. 涡流在仪表上也得到运用.如电磁阻尼,在磁电式测量仪表中,常把使指针偏转的 线圈绕在闭合铝框上,当测量电流流过线圈时,铝框随线圈指针一起在磁场中转动,这 时铝框内产生的涡流将受到磁场作用力,抑止指针的摆动,使指针较快地稳定在指示位 置上. 5.2.6, 自感 由于导体本身电流发生变化而产生电磁感应现象员做自感现象. 导体回路由于自感现象产生的感生电动势叫做自感电动势, 自感电动势的大小和电 流的变化率成正比,

P I eff U eff cos = = cos S I eff U eff

ε = L

I t .这是由于电流变化引起了回来中磁通量变化的缘故.

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式中比例常数 L 叫做自感系数. (2)单位 在国际单位制中,自感系数的单位是亨利. (3)说明 ①自感是导体本身阻碍电流变化的一制属性.对于一个线圈来说,自感系数的大小 取决于线圈的匝数,直径,长度以及曲线芯材料等性质.在线圈直径远较线圈长度为小 时,则 圈横截面积). ②自感现象产生的原因是当线圈中电流发生变化时,该线圈中将引起磁通量变化, 从而产生感生电动势.因此,自感电动势的方向也可由楞次定律确定.当电流减小时, 穿过线圈的磁通量也将减小,这时自感电动势的方向应和正在减小的电流方向一致,以 障碍原电流的减小.同理,当线圈中电流增大时,则穿过线圈的磁通量也随着增大,因 而有时将导体的自感现象与惯性现象作类比,它们都表现为对运动状态变化的障碍,所 以自感现象又叫做电磁惯性现象.自感系数又叫做电磁惯量.这也可在能量关系上作一 类比,电场能的公式为 与 C(电容)相当,I 与 U(电压)相当,自感系数 L 又可叫做电磁容量.但须注意, 在线圈中被自感而产生电动势所障碍的是电流的变化,而不是阻碍电流本身.所以线圈 中电流变化率越大则线圈两端阻碍电流变化的感生电动势值也越大. 与电流的大小无直 接关系. ③自感现象也可从能量守恒观点来解释.在自感电路里,接通直流电源,电流逐渐 增加,在线圈内穿过的磁通量也逐渐增大,建立起磁场.在电流达到最大值前电源供给 的能量将分成两部分,一部分消耗在线路的电阻上转变为热能;另一部分克服自感电动 势做功,转化为磁场能.如果线路上热能损耗很小,可以忽略不计,那么在电流达到最 大值前,电源供应的能量将全部转化为磁场能.当电流达到最大值时,磁场能也达到最 大.当电流达到最大值稳定时,自感电动势不再存在,电源不再供给电能. ④自感系数不仅和线圈的几何形状以及密绕程度有关, 而且还和线圈中放置铁芯或 磁芯的性质有关,如果空心线圈的自感系数为 增大 率 r 有内在的联系.闭合的环形磁芯 小有关.

L=

N2 S l ( 是圈线芯材料的导磁率, l 是线圈长度,N 是线圈匝数,S 是线

W =

1 1 CU 2 W = LI 2 2 2 ,那储藏在磁场里的能量公式为 ,因而 L

L0 ,放置磁芯后,线圈的自感系数 LK 将

e 倍,即 LK = e L0 ,式中 e 为磁芯的有效导磁率,它和磁芯材料的的相对导磁 e 和 r 数值相等.它们还和导体中工作电流的大 e < r .用 r = 400 的锰锌 e 和 r 也有所区别.至于 e 的大小还与磁芯材料的粗细,长短等几何形状有

关,例如,对棒形铁芯或包含有空气隙的环形磁芯来说,

铁氧体材料制作的天线磁棒,其 e 常常不到 10. 5.2.7, 互感 由于电路中电流的变化,而引起邻近另一电路中产生感电动势的现象叫做互感现

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象. 导体由于互感现象,在次级线圈中产生感生电动势.感生电动势的大小和初级线圈 中电流的变化率成正比, (2)单位 在国际单位制中,互感系数的单位是亨利. (3)说明 互感系数 的大小和初,次级线圈的自感系数有关.当两个自感系数分别为 L 1 和 L 2 的线圈有闭合铁芯相连,而且初,次级线圈又耦合得十分紧密的情况下,即可看作是
1 2 .在一般情况下,两线圈之间不一定 一种理想耦合.在理想耦合时互感系数 有铁芯相连,它们之间的磁耦合并不很紧密,其中某线圈中电流所激发的磁通量不全部 1 2 ,k 为耦合系数,它的物理意义是表示为磁耦紧密 通过另一线圈时,那么 程度. K 值和两线圈或回路的相对位置以及和周围的介质材料有关.对于 k 值的选取,由 实际需要而定.如果要减小互感干扰,则选取较小的耦合系数;如果要加强互感,则选 取较大的耦合系数. 5.2.8,三相交流电 三相交流电发电机原理如图 5-2-1 所示,其中 AX,BY,CZ 三组完全相同的线圈,它们排 . 列在圆周上位置彼此差 120 角度,当磁铁以角速度 ω 匀速转动时,每个线圈中都会产生一个

ε =

I t .式中的比例常数 叫做互感系数.

= LL

=k LL

2π 交变电动势,它们位相彼此为 3
e AX = ε m sin ωt 2 eBY = ε m sin(ωt + π ) 3 4 eCZ = ε m sin(ωt + π ) 3

,因而有

+

A
U AO
O

(1)星形(Y 型)连接的三相交流电源如图 5-2-8 所 示,三相中每个线圈的头 A,B,C 分别引出三条线,称为端 线(火线),而每相线圈尾 X,Y,Z 连接在一起,引出一条 线,此线称为中线.因为总共接出四根导线,所以连接后的 电源称为三相四线制. 三相电源中,每相线圈中电流为相电流,端线中的电流 为相电流,端线中的电流为线电流,每个线圈中电压为相电 压,任意两条端线的电压为线电压.则线电压与相电压关系

U BO
+

U CO

+

B
C

U AB = U AO + U OB = U AO U BO

图 5-2-8

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2 U AB = U m sin ωt U m sin(ωt + π ) 3 = 3U m sin(ωt +

π

Z

A
iA

6

)

所以相对有效值而言,有

U AB = 3U AO
BO CA CO 同理有: BC 而星形连接后,相电流与线电流大小是一样的,即:

U

= 3U , U

= 3U

C

X Y B

I相 = I线
(2)三角形(△形)连接的三相 电源如图 5-2-9 所示,它构成三相三 线制电路.由图可知,在此情形下线 电压等于相电压,但线电流与相电流 是不相等的,若连接负载在对称平衡 条件下,
IA IO IB IC


图 5-2-9
A RA

RC
RB B
C

R R

R

i AX = I m sin ωt

4 iCZ = I m sin(ωt π ) 3 i A = i AX iCZ = 3I m sin(ωt I = 3I



π ) 6

图 5-2-10

相 所以有: 线 (3)三相交流电负载的星形和三角形连接如图 5-2-10 甲,乙所示,星形连接时,有

U相 =

U线 3 ,电流关系: I 相

= I线

若三相负载平衡.即

RA = RB = RC ,则有:
U线 = U相
,而负载上电流与线电流不等,当三相平衡时,

i0 = i A = iB = iC = 0, I 0 = 0 ,中线可省去,改为三相三线制.
三相负载的三角形连接时, 线电流是相电流的

3 倍.

§5,3 电磁振荡与电磁波
5.3.1,电磁振荡

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电路中电容器极板上的电荷和电路中的电流及它们相联系的电场和磁场作周期性变化的 现象,叫做电磁振荡.在电磁振荡过程中所产生的强度和方向 i 周期性变化的电流称为振荡电流.能产生振荡电流的电路叫振 C 荡电路.最简单的振荡电路,是由一个电感线圈和一个电容器 L 组成的 LC 电路,如图 5-3-1 所示. 在电磁振荡中,如果没有能量损失,振荡应该永远持续下 去,电路中振荡电流的振幅应该永远保持不变,这种振荡叫做 自由振荡或等幅振荡.但是,由于任何电路都有电阻,有一部 图 5-3-1 分能量要转变成热,还有一部分能量要辐射到周围空间中去, 这样振荡电路中的能量要逐渐减小,直到最后停止下来.这种 振荡叫做阻尼振荡或减幅振荡. 电磁振荡完成一次周期性变化时需要的时间叫做周期.一秒钟内完成的周期性变化的次 数叫做频率. 振荡电路中发生电磁振荡时,如果没有能量损失,也不受其它外界的影响,即电路中发 生自由振荡时的周期和频率,叫做振荡电路的固有周期和固有频率. LC 回路的周期 T 和频率 f 跟自感系数 L 和电容 C 的关系是:

T = 2π LC , f =

1 2π LC .

5.3.2,电磁场 任何变化的电场都要在周围空间产生磁场,任何变化的磁场都要在周围空间产生电场. 变化的电场和磁场总是相互联系的,形成一个不可分割的统一的场,这就是电磁场.麦克斯 韦理论是描述电磁场运动规律的理论. 变化的磁场在周围空间激发的电场,其电场呈涡旋状,这种电场叫做涡旋电场.涡旋电 场与静电场一样对电荷有力的作用;但涡旋电场又与静电场不同,它不是静电荷产生的,它 的电场线是闭合的,在涡旋电场中移动电荷时电场力做的功与路径有关,因此不能引用"电 势","电势能"等概念. 当导体作切割磁感线运动时,导体中的自由电子将受到洛仑兹力而在导体中定向移动, 使这段导体两端分别积累正,负电荷,产生感应电动势,这种感应电动势又叫做动生电动势. 它的计算公式为 a D

ε = Blv sin θ

B

当穿过导体回路的磁通量发生变化时(保持回路面积不变), 变化的磁场周围空间产生涡旋电场,导体中的自由电子在该电场 的电场力作用下定向移动形成电流,这样产生的感应电动势又叫 感生电动势.它的计算公式为

U sb

U
~

UR

R

ε =S

B t

O

T 2 b

t

图 5-4-1
(甲)

T

5.3.3,电磁波 如果空间某处产生了振荡电场,在周围的空间就要产生振荡的 磁场,这个振荡磁场又要在较远的空间产生新的振荡电场,接着又

UR T 2
O

t T
(乙)

图 5-4-2

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要在更远的空间产生新的振荡磁场,……,这样交替产生的电磁场由近及远地传播就是电磁 波. 电磁波的电场和磁场的方向彼此垂直,并且跟传播方向垂直,所以电磁波是横波. 电磁波不同于机械波,机械波要靠介质传播,而电磁波它可以在真空中传播.电磁波在 真空中的传播速度等于光在真空个的传播速度 C = 3.00 × 10 米/秒. 电磁波在一个周期的时间内传播的距离叫电磁波的波长.电磁波在真空中的波长为:
8

λ = CT =

C f
D1

电磁波可以脱离电荷独立存在,电磁波具有能量,它是物质的一种特殊形态.
a

§5,4

整流和滤波
b

u
O

R

u

5.4.1,整流 D2 把交流电变为直流电的过程叫做整流,通常是利用二极 图 5-4-3 管的单位导电特性来实现整流目的,一般的整流方式为半波 整流,全波整流,桥式整流. (1)半波整流 如图 5-4-1 所示电路为半波整流电路,B 是电源变压器,D 是二极管,R 是负载.当变压 器输出正弦交流 当

u ab = U m sin ωt 时,波形如图 5-4-2 甲所示,

U
2T

u ab >0

时,二极管 D 正向导通,设正向电阻为零,则 时,在交流负半周期,二极管处于反

u R = u ab .当 u ab <0 R →∞

O U

T
R

t


O
T
2T

向截止状态, D , 所以 R 上无电流, R , R变 化如图 5-4-2 所示.可见 R 上电压是单方向的,而强度是随时 间变化的,称为脉动直流电. (2)全波整流

u =0 u

t

乙 图 5-4-4

全波整流是用二个二极管 D1 , D2 分别完成的半波整流实现全波整流,如图 5-4-3 所示,

O 为变压器中央抽头,当 ab >0 时, D1 导通, D2 截止,当 u ab <0 时 以 R 上总是有从上向下的单向电流,如图 5-4-4 所示.
(3)桥式整流 桥式整流电路如图 5-4-5 所示,当

u

D

1

截止,

D2 导通,所

u ab >0 时, D1 , D3 处于导通状态, D2 , D4 处 D D
a

于反向截止,而当 ab <0 时, D2 , D4 处于导通, 1 , 3 反向截止,流经 R 的电流总是从上向下的脉动直流电,它与全 波整流波形相似.所不同的是,全波整流时,二极管截止时承

u

D

D4
C b D3

D1

R + D2

R



图 5-4-5 图 5-4-6

高中物理竞赛电学教程 第五讲交流电

受反向电压的最大值为 2 2U ,而桥式整流二极管截止时,每一个承受最大反向电压为

2U .
5.4.2,滤波 交流电经整流后成为脉动直流电,其电流强度大小仍随时间变化.为了使脉动电流为比 较平稳的直流,需将其中脉动成份滤去,这一过 In 程称为滤波.滤波电 t 路常见的是电容滤波,电感滤波和 π 型滤 U 波. 图 5-4-6 为电容滤波电路,电解电容 C 并联 图 5-4-7 在负载 R 两端.由于脉动直流可看作是稳恒直 流和几个交流电成份叠加而成,因而电容器的 隔直流通交流的性质能让脉动直流中的大部分 分交流中的大部分流成份通过电容器而滤去. 使得 R 上获得比较平稳的直流电,如图 5-4-7 所示. 电感线圈具有通直流阻交流的作用,也可 图 5-4-8 以作为滤波元件,如图 5-4-8 所示电路中 L 与 R 串联,电压交流成份的大部分降在电感线圈 上,而 L 的电阻很小,电压的直流成份则大部分降在负载电阻上,因此 R 上电压,电流都平 稳就多,图 5-4-9 所示. 把电容和电感组合起来,则可以组成滤波效果更好的η型滤波器,如图 5-4-9 所示.

R

§5,5

例题
f = 50 Hz ,电压为 120V 的交流电路中共 10 分钟,若氖灯点燃和熄
UR

1,氖灯接入频率

灭电压 0 ,试求氖灯的发光时间. 分析: 而接入交流 分析: 氖灯发光时电压应为瞬时值, 电电压 120V 是为有效值.所以要使氖灯发光,须使 交流电电压瞬时值 u ≥ 0 . 解: 氖灯管两端电压瞬时值为

u = 120V

t

u

图 5-4-9

u = U m sin 2πf t
m 其中 , 由于交 流电周期性特点,如图 5-4-10 所示,在半个

u = U = 2U = 120 2V

+



+



R

图 5-4-9

高中物理竞赛电学教程 第五讲交流电

周期内氖灯发光时间 τ ,则有: τ = t 2 t1 灯点熄和熄灭时刻

u = u 0 = 120V ,有
u /V

u 0 = U m sin
120=120

2π T

2 sin

2π T

120

2 120 I1 I2

2π 2 t= T 2 T 则在 0~ 2 时间内,有 T 3 t1 = , t 2 = T 8 8 T τ = t 2 t1 = 4 sin

T 2
T

t

120 120 2

IA

图 5-4-10
IB IC

IO
RB

RA O

RC

T τ 0 = 2τ , Vτ 0 = 2 在一个周期 T 内,氖灯发光时间
所以在 10 分钟时间内, 氖灯发光时间应占通电时间的一半为 5 分钟. 2 , 三 相 交 流 电 的 相 电 压 为 220V , 负 载 是 不 对 称 的 纯 电 阻 ,

图 5-4-11

R A = RB = 22, RC = 27.5 ,连接如图 5-4-11 所示,试求:(1)中线电流.(2)线电压. 2 π 分析: 分析: 有中线时,三相交流三个相变电压的相位彼此差 3 ,振幅相同,因负载为纯电 2 π 阻,三个线电流的相位也应彼此相差 3 ,因负载不对称,三个线电流振幅不同,但始终有

i0 = i A + iB + ic .
2 U AO = U BO = U CO = 220V ,彼此相差为 3 π ,表达式 解: (1)有中线时,三个相电压


u AO = 220 2 sin ωt V
2 u BO = 220 2 sin(ωt π )V 3 4 uCO = 220 2 sin(ωt π )V 3
三个线电流
a L UO
50 Hz

iA , iB , ic 为:

R
A2 A3

R

A1

b

图 5-4-12

高中物理竞赛电学教程 第五讲交流电

iA =
则有

u AO RA

iB =
,

u BO RB

ic =
,

uCO RC

i A = 10 2 sin ωtA

2 iB = 10 2 sin(ωt π ) A 3 4 iC = 8 2 sin(ωt π ) A 3 i = i A + iB + iC 得: 中线电流 0

i0 = 10 2 sin ωt + 10 2 sin(ωt

2π 4 ) + 8 2 sin(ωt π ) 3 3 = 2 sin ωt 2 3 cos ωt

I2 = IC = I L

= 2 2 sin(ωt

I = 2A. 所以中线电流 0
(2)线电压

π )( A) 3

I1

α

I 23

u AB ,u BC ,uCA 应振幅相等,最大值皆为
I3 = I L = I A

380 2V

2 π ,有效值为 380V,彼此相差为 3 .

3,如图 5-4-12 所示的电路中,三个交流电表的示数都相同,电阻器的阻值都是 100 , 求电感线圈 L 和电容 C 的大小. 分析: 而通过电表的瞬时电流应满足:1 分析: 1 , 2 , 3 表读数为电流的有效值, 借助于电流旋转矢量关系可求解: 解: 由电流关系有

A A A

i = i2 + i3
Z3

i1 = i2 + i3
2 3 又三个电表读数相等, 1 由(1)推知,对应电流旋转矢量关系是

I =I =I

XL

3

R

I1 = I 2 = I 2



Ia = I2 , IL = I3
ab

i U 由电路结构可知, C 超前
超前量α < π ,注意

i U i i , L 滞后于 ab 且相位差都小于 2 ,由此 C 超前于 L ,且

π

I C = I L = I1 ,所以合矢量为

I 23 = 2 I 1 cos

α π α 2 = α= π 2, 2 3, 3

高中物理竞赛电学教程 第五讲交流电

又:

I 2 Z 2 = I 3 Z 3 (并联关系)
2 2 X a + R2 = X L + R2

Z2 = Z3

所以有 电流与端电压间相位差有

ωL =

1 1 ,C = 2 ωC ω L
2
I2

Z2

XC

R I1 IC
C

Φ 2 = Φ 3 = tg g

XL X = tg 1 L R R

Φ 2 = Φ3 = α
Φ 2 = Φ3 =
所以有

L

α
2

=

π
3 L= k 2πf

U
~

2πfL = Rtg

π
3

3 = 0.55 H

图 5-4-13

代入(3)式得:

C=

1 = 1.84 F ω 2L

4,某用电区总功率表的读数和总电流表的读数常常是 16kW 和 90A 左右,原因是电感性 负载增大,总电流相位比总电压相位落后较多造成的,导致功率因素过低,于是在该用电区 输入端并联一只电容,结果使该电路的功率因素提高到了 0.9,试问并联这一电容规格如何? 分析: 分析: 对于一个交流电路,电路的有功功率为 P = IU cos , 为电流与电压相差,则

cos 称为电路的功率因素,由于电路中感性元件较多,因而电流总比电压落后较大相为 1 ,

π I I 如图 5-4-13 所示,并联电容 C 后,电容器支路电流 C 超前电压 2 ,使干路电流 2 与 U 落后 相差 2 减小,从而提高功率因素.
解: 原来的有功功率 P

= 16kW ,所以功率因素

cos 1 =

P 16000W = = 0.81 IU 90 × 220V A
IC

U

设并联电容 C,相应旋转矢量由图 5-4-14 可得

I 1 cos 1 = I 2 cos 2 I 1 cos 1 I 2 cos 2 = Ic cos 1 I 1 cos 1 I1 sin 2 = Ic cos 2

2 1

I2

I1 = I L = I R

图 5-4-14

高中物理竞赛电学教程 第五讲交流电

Ic = I1 ( 1 cos 2 2 cos 1

1 cos 2 2 ) cos 2 1 2πfc

cos 1 = 0.81

cos 2 = 0.90 ,代入得
U = IC X C = IC

I c = 18 A I 18 C= C = F = 260 × 10 6 F 2πfc 314 × 220
取电容器耐压值为 350V,所以应在输入端并联 260 F ,350V 的电容器. 5 , 如 图 5-4-15 所 示 电 路 中 , 输 入 电 压

R0

a

A D

U m = 2U = 311V

U1
c

ε
B

260 Fu i = 5 sin ωt (V ) ,直流电源电动势 ε = 3V .
(1)求

图 5-4-15
U AB / V
5

u AB 的波形; u AB 又当如何?

(2)将 D 反接后,

ε
0

R u 分析: 分析: 电阻 0 与电源 i 串联,有分压作用,二 极管与电源 ε 串联后,跨接在输出端,与负载形成并
联关系,这样的连接特点使电路具有削减波幅的功 能.

t

图 5-4-16

解 (1) 时,电势 压

ui < ε 时,电势 ua < ub ,D 处于反向截止,ab 相当于断路,u AB = ui ,ui > ε
R0
a

ua > ub ,D 处于正向导通状态,ab 间相当于短路,输出电 ui ≥ ε 时,D 截止,
i

A D

u ab = u ac = u bc = ε , u i 的顶部(> ε )被削去,如图 5-4-16 所示.
(2)当 D 反接时,如图 5-4-17 所示,当
U1
b c

ε
B

u AB = ui ;当 ui < ε 时,D
全部被削去,输出波形

被导通,

u AB = ε ,u

低于 ε 的部分

u AB 成为底部在 u = ε 处的正脉动电压,如
U AB / V
5

图 5-4-17

图 5-4-18 所示. 6,如图 5-4-19 所示电路中,电源内阻可略,电
1 2 动势都是 30V, 0 .将 K 依 次接"1"和"2"时,各电阻上的电流强度是多少?

R = 5k, R = R = 10k

ε
0

2

K
1

t

c,d 两点谁的电势高?
分析 一般情况下,我们总是认为二极管为理想
a R c 图 5-4-18
1

R0

b

R2

d

图 5-4-19

高中物理竞赛电学教程 第五讲交流电

情形,正向导通时

R正 = 0 ,反向截止时, R反 → ∞ 为断路.

解 (1)K 接 1 时,靠直流电源供电,此时

D1 导通, D2 截止.有

I R 2 = 0,U d = U a > U c
= 2mA R0 + R1 U dc = U R1 = I 1 R1 = 20V
(2)K 接"2"时,交流电源供电,

I R1 = I1 =

ε

D1 , D2 交替的导通和截止,设
e

e = ε m sin ωt , ε m = 2ε ,如图 5-4-20 所示.

D R 在正半周期, 1 导通,通过 1 电流
iR1 =

εm
0

t

εm e = sin ωt = 2 2 sin ωt ( mA) R0 + R1 R0 + R1

εm

在负半周期, 流

D2 导通, D1 截止,通过 R2 的电

图 5-4-20

iR 2 =
由于

εm e = sin ωt = 2 2 sin ωt ( mA) R0 + R2 R0 + R2

R0 始终有电流通过,所以 R0 , R1 , R2 的电流如图 5-4-21 甲,乙,丙所示.
ε0
R0 + R1 (或R2 ) = 2mA
i RO / mA
i R 1 / mA i R 2 / mA

R0 的电流有效值
I Ro =

R1,R2 只有在半个周半
个周期内通电流, 所以可求得其 有效值 . 在正半周期

2 2 0 2 2


2 2 t 0


t0 2 2


t

I R1 = I R 2 = 2mA = 1.41mA

图 5-4-21

Ud = Ua

>

Uc

d > 在负半周期 所以 d,c 两点间总有

U

U c =U c

> 7,如果回旋加速器的高频电源是一个 LC 振荡器,加速器的磁感强度为 B.被加速的带电
d c

U

U

高中物理竞赛电学教程 第五讲交流电

粒子质量 m,带电量为 q,那么 LC 振荡电路中电感 L 和电容 C 的乘积 LC 为何值? 分析: 分析: 带电粒子子回旋周期加速器中旋转一周两次通过狭缝被加速,所以应使粒子在磁 场中回旋周期与高频电源周期相等. 解: 带电粒子在匀强磁场中做匀强磁场中做匀速圆周运动周期

T = 2πm / qB
回旋加速器两个 D 型盒上所接高频电源是一个 LC 振荡器,其振荡周期

T ′ = 2π LC
满足带电粒子每次通过 D 型盒狭缝都被加速,应有

T′ = T

2π LC = 2πm / qB

LC =
得到

m2 q2B2
L

C 8,在图 5-4--22 所示的电路中,当电容器 1 上电压为零
的各时刻,开关 S 交替闭合,断开,画出电感线圈 L 上电压随 时间 t 持续变化的图线,忽略电感线圈及导线上的电阻. 分析: 由于 S 的开闭, 使 分析: 在图中所描绘的 LC 振荡电路中. 得电容 C 不断变化,回路电磁振荡的周期,频率以及电压的振 幅随之发生变化. 解: 当 S 闭合, 荡周期
C1

S

C2

图 5-4-22

C2 被短路,L 和 C1 组成的振荡电路的振

T1 = 2π LC1
当 S 被打开时,

C1 , C2 串联,总电容 C 为

C=

C1 C 2 C1 + C 2

它与 L 组成振荡器振荡周期

T2 = 2π LC = 2π L

C1C2 C1 + C2

因为忽略一切电阻,没有能量损耗,故能量守恒,设当振荡周期 大值为 U1 和 U2,则

T,T2 时交流电压的最 1

1 1 C1C2 C1U 12 = U 22 2 2 C1 + C 2
由此得

U

V1 0

T2 2
T1 2

t

U 2 = U1 1 +

C1 C2

V1

图 5-4-23

高中物理竞赛电学教程 第五讲交流电

因为 S 是 示.

C1 上电压为零时刻打开和关闭的,所以 L 上电压随时间变化图线如图 5-14 所

场中匀速运动,转数 n = 120 转/分.若已知 ab=bc=0.20 米,匝数 N=20,磁感应强度 B=0.2 特,求: (1)转动中的最大电动势及位置: . (2)从图示位置转过 90 过程中的平均电动势; (3)设线圈是闭合的,总电阻 R=10 欧,线圈转动过程中受到 的最大电磁力矩及位置. 分析: 分析: 这是一个以交流发电机为原型的计算题.根据导线切割 磁感线产生感应电动势的公式,可计算出线圈中产生的最大感应电 动势;根据线圈中的磁通量的平均变化率,可计算线圈出线圈在转 动过程中受到磁力矩. 解: (1)当线圈平面与磁场方向平行时,线圈的 ab,cd 边切 割磁感线的有效速度最大,产生的感应电动势最大,

9,如图 5-4-24 所示,正方形线圈 abcd 绕对称 OO′ 在匀强磁

O
a
d

B
b O′

c

图 5-4-24

ε = NBSω
m

= NBS 2π

n 60 120 60

= 20 × 0.2 × 0.2 2 × 2π ×

(2)从图示位置转过 90 过程中,线圈中发生的磁通量变化 Φ
.

= 2.01伏.

= BS ,经历的时间为

π /2 ω ,由法拉第电磁感应定律解得平均感应电动势为
Φ NBS NBSω = = t π / 2ω π /2 εm 2.01 = = = 1.28 π /2 π /2 伏

ε =N

(3)当线圈平面与磁场方向平行时,线圈中产生的感应电动势最大,产生的感应电流最 大.此时线圈的 ab,cd 边受到的安培力最大且与线圈平面垂直,因而磁力矩也就最大,

M m = NBI m S = NBS

(20 × 0.2 × 0.2 ) =
2

2

10

N 2 B 2 S 2ω R R 120 × 2π × = 0.0302 60 牛米
m

ε

=

高中物理竞赛电学教程 第五讲交流电

10,两个完全相同的电热器,分别通过如图 5-4-25 甲和乙所示的电流最大值相等的方波 i 交流电流和正弦交流电流, 则这两个电热 是多少? 器的电功率之比 分析: 分析: 交流电通过纯电阻 R 时,电 功率 P = I R , 式中 I 是交流电的有效 值. 交流电的有效值是交流电流的最大值
2

P方 : P交

i
Im Im

o
Im

s

o
Im

s

(甲)

(乙)

1 I m 的 2 ,这一结论是针对正弦交流电
而言的.至于方波交流电通过纯电阻 R 时,每时每刻都是大小是

图 5-4-25

I m 的电流通过,只是方向在作周期性变化.而稳恒电流通过电阻时 I m 的方波交流电通过纯电阻的电功率等于电流强

的热功率跟电流的方向无关.所以最大值为 度是

I m 的稳恒电流通过纯电阻的电功率.
解:对于方波交流电流流过纯电阻 R 的电功率为:
2 P方 = I m R .

对于正弦交流电流流过纯电阻 R 的电功率为:

1 2 I P交 = I R = m R = I m R 2 2
2

2

所以这两个电热器的电功率之比为:

P方 : P交

=2:1.

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