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黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考数学理试题


黑龙江省哈尔滨市六校 2013 届高三第一次联考 理科数学试题
第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题:(共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.) 1.如图所示的韦恩图中, A 、 B 是非空集合,定义 A * B 表示阴影部分集合.若 x, y ? R ,

A ? ?x y ? 2x ? x2


A. (2, ??) C.

?



B ? y y ? 3x , x ? 0
B.

?

?

,则 A *B=(

) .

?0,1? ? (2, ??) ?0,1? ? [2, ??)
) A.1 B.2 C.3 D.4

?0,1? ? (2, ??)

D.

2.下列命题正确的个数 ( (1) 命题“

2 ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 3x0 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 3 x ” ;

(2)函数 f ( x) ? cos ax ? sin ax 的最小正周期为 ? ”是“ a ? 1 ”的必要不充分条件;
2 2
2 x ? ?1, 2? ( x ? 2 x) min ? (ax) max 在 x ? ?1, 2? 上恒成 (3)“ x ? 2 x ? ax 在 . 上恒成立”? “

2

立”

? ? ? ? a 与 b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ a ? b ? 0 ” (4)“平面向量 . 。
3. 已 知 各 项 为 正 数 的 等 差 数 列

?an ? 的 前

20 项 和 为 100 , 那 么

a7 ? a14

开始 的最大值为 n= 1

( ) A.25 B.50 C.100 D.不存在 4、执行如图所示的程序框图,则输出的复数 z 是(



1 3 1 3 z?? ? i, z 0 ? ? ? i 2 2 2 2

1 3 ? i 2 A. 2 ?

1 3 ? i 2 B. 2 ?

C.1

D. ? 1

z=z· z0 n=n+1

3 sin 2 x ? sin 2 x ( x ? R )有以下几种说法: 5 对于函数 f (x) ? 2

N

?? ? ? ,0? f ? x? (1) ? 12 ? 是函数 的图象的一个对称中心;
(2)函数

n>2013 Y 输出 z 结束

f ? x?
f ? x?

的最小正周期是 2? ;

(3)函数

? ? ?? ?? , ? 在 ? 6 3 ? 上单调递增.

第 1 页 共 15 页

x?
(4)y=f(x)的一条对称轴 A. 0 B. 1

?
3 : 其中说法正确的个数是(
D.3 )

C. 2

6.实数对(x,y)满足不等式组

? x ? y ? 2 ? 0, ? ? x ? 2 y ? 5 ? 0, ? y ? 2 ? 0, ?


则目标函数 z=kx-y 当且仅当 x=3,y=1

时取最大值,则 k 的取值范围是(

1? ? ? ??, ? ? ? ?1, ?? ? 2? A. ?

? 1 ? ?? ,? | ?? ? B. ? 2

? 1 ? ? ? .1? C. ? 2 ?

D.

? ??, ?1?

7.三棱锥 A ? BCD 的外接球为球 O ,球 O 的直径是 AD ,且 ?ABC 、 ?BCD 都是边长为 1 的等边三角形,则三棱锥 A ? BCD 的体积是( )

A.

2 8

B.

1 6

1 C. 8

2 D. 12

f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ?
8. 设 函 数

?

) 2 的最小正周期为 ? ,且

f (? x) ? f ( x) 则(

)

? 3? ( , ) A. y ? f ( x) 在 4 4 单调递增 ? 3? ( , ) C. y ? f ( x) 在 4 4 单调递减
2 2

(0, ) 2 单调递增 B. y ? f ( x) 在 (0, ) 2 单调递减 D. y ? f ( x) 在

?

?

9、若在曲线 f(x,y)=0 上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线 f(x,y)=0 的 “ 自 公 切 线 ” 。 下 列 方程 : ① x ? y ? 1 ; ② y ? x ? | x | , ③ y ? 3sin x ? 4 cos x ;
2



| x | ?1 ? 4 ? y 2

对应的曲线中存在“自公切线”的有





A.①② B.②③ C.①④ D.③④

a x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 10.设双曲线 a 的右焦点为 F ,直线:x= c

2

与两条渐近线交于 )

P, Q 两点,如果 ?PQF 是等边三角形,则双曲线的离心率 e 的值为(

1 A. 2

B.

3 2

C. 3

D. 2

第 2 页 共 15 页

11.已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图 1 所示,则四棱锥 P ? ABCD 的四个侧面中面 积最大的是( A. ) B. 8 C. 2 5 D. 3

6

3

3

4 正视图

2 侧视图 2

12


2 3 4


2012


2013





2

x x x x x f ( x) ? 1? x ? ? ? ????? ? 2 3 4 2012 2013

2

g ( x) ? 1? x ?

x 2 x3 x 4 x2 0 1 2 x 2 0 1 3 ? ? ?? ? ? 2 3 4 2012 2013 ,

俯视图 图1

x x 若 函 数 f ( x) 有 唯 一 零 点 1 , 函 数 g ( x) 有 唯 一 零 点 2 , 则 有 (
A. C.



x1 ? (0,1), x2 ? (0,1) x1 ? (0,1), x2 ? (1, 2)

B。

x1 ? (?1, 0), x2 ? (0,1)
D。

x1 ? (?1, 0), x2 ? (1, 2)

第 II 卷(非选择题共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答.第 22 题?第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13.设函数

f ( x) ? ( x ? 2)

n

,其中

n ? 6 ? 2 cos xdx
0

?

,则 f (x) 展开式中

x

4

的系数为

14. 第十五届全运会将在哈尔滨市举行. 若将 6 名志愿者每 2 人一组,分派到 3 个不同的场 馆,则甲、乙两人必须分在同组的概率是_______ 15 已知

P P2 1

、 、 ?、

P2013

x x x 是抛物线 y ? 4 x 上的点, 它们的横坐标依次为 1 、 2 、 ?、 2013 ,
2

F 是抛物线的焦点,若

x1 ? x2 ? ? ? x2013 ? 10

,则

P F ? P2 F ? ? ? P2013 F ? 1

___.

16 下列命题中,正确的是

? ? ? ? ? ? 0 a ? (2,0) , b ? 1 ,则 a ? b ? 7 (1)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ,
(2)在 ?ABC中,A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a cos C , b cos B, c cos A 成等差数列则

?
??? ? ???? ??? ??? ? ? ? AB AC ? OP ? OA ? ? ? ? ? sin C sin B ? ? ? ?, O 是 ?ABC 所在平面上一定点,动点 P 满足: (3)
B? 3

第 3 页 共 15 页

? ? ? 0, ?? ?

,则直线 AP 一定通过 ?ABC 的内心

? x ? ? x? x ? 0 ? f ( x) ? ? ? ? f ( x ? 1) x<0 其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数, ? ?1.3? =-2,1.3? =1, ? ④设函数 如
y ? f ( x) ?
则函数

1 1 x? 4 4 不同零点的个数 2 个

三、解答题:第 17?21 题每题 12 分,解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,证明过程 或演算步骤. 17 (本小题满分 12 分) 已知各项都不相等的等差数列 (1)求数列

{an } 的前 6 项和为 60 ,且 a6 为 a1 和 a21 的等比中项.

{an } 的通项公式;

?1? ? ? b ? bn ? an (n ? N ) ,且 b1 ? 3 ,求数列 ? bn ? 的前 n 项和 Tn . {b } (2)若数列 n 满足 n ?1
*

18(本小题满分 12 分) 现有 4 个人去参加春节联欢活动, 该活动有甲、 乙两个项目可供参加者选择. 为增加趣味性, 约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲项目联欢,掷出点数大于 2 的人去参加乙项目联欢. (Ⅰ)求这 4 人中恰好有 2 人去参加甲项目联欢的概率; (Ⅱ)求这 4 个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率; (Ⅲ)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙项目联欢的人数,记

? ?| X ? Y | ,
求随机变量 ? 的分布列与数学期望 E? . 19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB 丄平面 PAD,PD=AD, E 为 PB 的中点, 向量 ,点 H 在 AD 上,且

(I):EF//平面 PAD. (II)若 PH= 3 ,AD=2, AB=2, CD=2AB, (1)求直线 AF 与平面 PAB 所成角的正弦值. (2)求平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的平面角的余弦值.

20(本小题满分 12 分)

E:
已知双曲线

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 的焦距为 4,以原点为圆心,实半轴长为半径的圆和直线

第 4 页 共 15 页

x ? y ? 6 ? 0 相切.
(Ⅰ) 求双曲线 E 的方程; (Ⅱ)已知点 F 为双曲线 E 的左焦点,试问在 x 轴上是否存在一定点 M ,过点 M 任意作

??? ??? ? ? E 于 P, Q 两点,使 FP ? FQ 为定值?若存在,求出此定值和所有的定点 一条直线交双曲线
M 的坐标;若不存在,请说明理由.

f ( x) ?
21. (本小题满分 12 分)已知函数

1 ? ln x x .

(1)若函数 f ( x) 在区间

1 (a, a ? )(a ? 0) 3 上存在极值点,求实数 a 的取值范围; f ( x) ? k x ? 1 恒成立,求实数 k 的取值范围;
n ? 2? 2 n ?1

(2)当 x ? 1 时,不等式

(3)求证:

?(n ? 1)!?

2

? (n ? 1)e

. n ? N , e 为自然对数的底数) (

?

三选一试题: 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 22(本题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知四边形 ABCD 内接于 ?O ,且 AB 是的 ?O 直径,过点 D 的 ?O 的切线与 BA 的延长 线交于点 M. (1)若 MD=6,MB=12,求 AB 的长; (2)若 AM=AD,求∠DCB 的大小.

23.(本题满分 10 分)选修 4 -4 :坐标系与参数方程

1 将圆 x ? y ?4 上各点的纵坐标压缩至原来的 2 ,所得曲线记作 C ; 直线
2 2

??
l:

8 2 cos ? ? 3 sin ?

(I)写出直线与曲线 C 的直角坐标方程 (II)求 C 上的点到直线的距离.最大值
第 5 页 共 15 页

24 (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5:不等式选讲 设不等式 | x ? 2 |? 1 的解集与关于 x 的不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集相同.
2

(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? a x ? 3 ? b 5 ? x 的最大值,以及取得最大值时 x 的值.

第 6 页 共 15 页

数学(理科)参考答案与评分参考 说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答末改变该题的内容 和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 一、 选择题 参考答案 1 C 2 B 3 A 4 C 5 C 6 C 7 D 8 D 9 B 10 D 11 A 12 D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.60 三:解答题

1 14. 5

15. 2023

16.(1) (3) (2)

17 解: (1)设等差数列

?an ? 的公差为 d ( d ? 0 ),
?d ? 2, ? a ? 5, 解得 ? 1

*

?6a1 ? 15d ? 60, ? ? 2 ?a1 ? a1 ? 20d ? ? ? a1 ? 5d ? , ? 则
(2)由

an ? 2n ? 3 .……………5 分

bn ?1 ? bn ? an , ∴ bn ? bn ?1 ? an ?1 ? n ? 2, n ? N ? ,

bn ? ? bn ? bn ?1 ? ? ? bn ?1 ? bn ? 2 ? ? ? ? ? b2 ? b1 ? ? b1
? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a1 ? b1 ? ? n ? 1?? n ? 1 ? 4 ? ? 3 ? n ? n ? 2 ? .


bn ? n ? n ? 2 ? ? n ? N

*

?.

……………………8 分

1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? b n ? n ? 2? 2 ? n n ? 2 ? ∴ n
3n 2 ? 5n 1? 1 1 1 1 1 ? ? 1?3? 1 ? 1 ?? Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 3 2 4 n n ? 2 ? 2 ? 2 n ? 1 n ? 2 ? 4 ? n ? 1?? n ? 2 ? .12 分
1 18 解:依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲项目联欢的概率为 3 ,去参加乙项目联欢的 2 A 概率为 3 .设“这 4 个人中恰有人去参加甲项目联欢 ”为事件 i , (i ? 0,1, 2,3, 4) ,则 2 i 1 P( Ai ) ? C4 ( )i ( ) 4?i 3 3 .
第 7 页 共 15 页

2 8 2 1 P( A2 ) ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? 3 3 27 --------4 (Ⅰ)这 4 个人中恰好有 2 人去参加甲项目联欢的概率
分 (Ⅱ)设“这 4 人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件 B ,

B ? A3 ? A4 ,
2 1 3 1 4 1 P( B) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? C4 ( )3 ( ) ? C4 ( ) 4 ? 3 3 3 9. 故 1 ∴这 4 人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为 9 .-------8 分
(III) ? 的所有可能取值为 0,2,4.

P(? ? 0) ? P ( A2 ) ?

8 27 40 17 , P(? ? 4) ? P( A0 ) ? P( A4 ) ? , 81 81



P(? ? 2) ? P( A1 ) ? P( A3 ) ?
所以 ? 的分布列是

?
P

0

2

4

8 27

40 81

17 81

E? ?

148 81 .---------------------------------------------------------------------------------12

19 (本小题满分 12 分) (Ⅰ) 取 PA 的中点 Q,连结 EQ、DQ,

则? E 是 PB 的中点,

?

EQ / / AB, 且EQ=

1 AB 2

???? 1 ??? ? 1 又 ? DF ? AB ? DF / / AB, 且DF= AB 2 2

? EQ // DF , 且EQ ? DF ,? 四边形
形,

EQDF 为平行四边

?

EF / / QD



又 ? EF ? 平面PAD, 且DQ ? 平面PAD ,
第 8 页 共 15 页

EF / / 平面PAD ????????????(3 分)
(Ⅱ)⑴解法一:证明: ? PH ? AD ? 0 , 又? AB⊥平面 PAD, PH ? 平面 PAD, 又? PH ? AD=H,

???? ????

? PH ? AD ? PH⊥AD,

????

????

? AB⊥PH,

? PH⊥平面 ABCD; ---------------------------------(4 分)

连结 AE ? PD ? AD, Q为PA的中点 ? DQ ? PA 又? AB ? 平面PAD 且 DQ ? 平面PAD ? AB ? DQ

? AB ? PA ? A

? DQ ? 平面PAB ????????????(5 分)
? EF ? 平面PAB

由(Ⅰ)知 EF / / DQ

? AE为AF 在平面PAB上的射影 ??FAE为直线AF 与平面PAB所成的角 ????????????(6 分)
? PD ? AD ? 2

PH ? 3 ? 在Rt ?PHD中

HD ? PD2 ? PH 2 ? 2 2 ?

? 3?

2

?1

? H 为AD中点 , 又 PH ? AD ? PA ? PD ? AD ? 2 ? EF ? DQ ? PH ? 3 ? AB ? 平面PAD
? AB ? AD

DF / / AB ? DF ? AD

在 Rt ?ADF中 AF ?

AD 2 ? DF 2 ? 4 ? 1 ? 5

又? EF ? 平面PAB ? EF ? AE

? 在Rt ?AEF中

sin ?FAE ?

EF 3 15 ? ? AF 5 5
15 15 55 ????????????(8 分)

?直线AF 与平面PAB所成的角的正弦值为

(2)延长 DA, 交于点 M, CB 连接 PM, PM 为平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的交线。 则 ? 9分

AB // CD, AB ?
因为

1 CD 2 ,所以点 A,B 分别为 DM,CM 的中点,所以 DM=4,
2

在 RT?PHM 中: PM

? PH 2 ? MH 2 ,

? PM ? 2 3 ? PD 2 ? PM 2 ? DM 2 ? PM ? PD ,?????(10 分)
第 9 页 共 15 页

又因为 CD ? 平面PMD ,所以 CP ? PM ,?CPD 即为所求的二面角的平面角???(11 分)

cos ?CPD ?
所以在 RT?PCD 中:

PD 2 5 ? ? PC 2 5 5 ??????????(12 分)

解法二: (向量法) (1)由(Ⅰ)可得 PH ? 平面ABCD 又? AB ? 平面PAD 在 平 面 ABCD 内 过 点 H 作HG / / AB ? HG ? 平面PAD , 以 H 为 原 点 , 以

??? ???? ? ? ???? HA.HG.HP的方向分别为x轴、y轴、z轴 正方向建立空间直角坐标系 H ? xyz
? PD ? AD ? 2 PH ? 3 ? 在Rt ?PHD中

HD ? PD2 ? PH 2 ? 2 2 ?

? 3?

2

?1

0, ? H 为AD中点 ? A ?1, 0 ? P O, O, 3 ??? ? ? AF ? ? ?2,0 ? 1,
??? ? ? PA ? 1, 0, ? 3

?

? ?

设平面 PAB 的一个法向量为 ,

B ?1, 0 ? 2, ? n ? ? x, y , z ?

?1 3? E ? ,1, ? ?2 2 ? F ? ?11,? ,0 ? ?

?

?

??? ? PB ? 1, 2, ? 3

?

? ??? ? ? ??? ? ?n ? PA ?n ? PA ? 0 ? ? 由 ? ? ??? 得 ? ? ??? ? ? ?n ? PB ?n ? PB ? 0 ? ? ? ? n ? 3, 0, 3

? x ? 3z ? 0 ? ?? ? x ? 2 y ? 3z ? 0 ?

?

? ????????????6 分

得 y=0

令 z ? 3 得 x=3

设直线 AF 与平面 PAB 所成的角为 ?

??? ? ? ??? ? ? AF ?n sin ? ? cos AF , n ? ??? ? ? ? AF n


?2 ? 3

? ?2 ?

2

? 12 ? 32 ?

? 3?

2

?

3 5 ? 3 ? 15 5

?直线AF 与平面PAB所成的角的正弦值为

15 5 ????????????(8 分 )

(2) 显然向量 AB 为平面 PAD 的一个法向量,且 AB ? (0,2,0) 设平面 PBC 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

??? ? PB ? 1, 2, ? 3

?

? , BC ? (?2,2,0) , 由 PB ? n

1

? 0, 得到 x1 ? 2 y1 ? 3 z1 ? 0
3 ,所以 n1 ? (1,1, 3 ) ,

由 Bc ? n1 ? 0, 得到 ? 2 x1 ? 2 y1 ? 0 ,令 x1 ? 1 ,则 y1 ? 1, z1 ?

第 10 页 共 15 页

---10

??? ?? ? ??? ?? ? AB?n1 2 ?1 cos AB, n1 ? ??? ?? ? ? AB n1 2 ? 1 ? 1 ?

? 3?

2

?

5 5
, 所以平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角

5 的平面角的余弦值为 5 ?????????(12 分 )
20.解:(Ⅰ) c ? 2, a ? 3,? b ? 1,

所以双曲线 E 的方程为

E:

x2 ? y2 ? 1 3 ;

……………4 分

(Ⅱ)解法一:当直线为 y ? 0 时, P (? 3, 0), Q( 3, 0), F ( ?2, 0),

??? ??? ? ? ? FP ? FQ ? (? 3 ? 2, 0) ? ( 3 ? 2, 0) ? 1;

……………………5 分

当直线不是 y ? 0 时,可设 l : x ? ty ? m, (t ? ? 3) 代入 整理得 (t ? 3) y ? 2mty ? m ? 3 ? 0 (t ? ? 3),
2 2 2

E:

x2 ? y2 ? 1 3
……………………7 分

?

由 ? ? 0 得 m ? t ? 9,
2 2

2mt m2 ? 3 y1 ? y2 ? ? 2 , y1 y2 ? 2 , y ,y , t ?3 t ?3 设方程 ? 的两个根为 1 2 满足

??? ??? ? ? ? FP ? FQ ? (ty1 ? m ? 2, y1 ) ? (ty2 ? m ? 2, y2 )
? (t 2 ? 1) y1 y2 ? t (m ? 2)( y1 ? y2 ) ? (m ? 2) 2 ? t 2 ? 2m 2 ? 12m ? 15 , t2 ? 3

………9 分

??? ??? ? ? 2m 2 ? 12m ? 15 ? 3 时, FP ? FQ 为定值, 当且仅当
解得 m ? ?3 ? 3 , m ? ?3 ? 3 不合题意,舍去, 而且 m ? ?3 ? 3 满足 ? ? 0 ; 综上得:过定点 M (?3 ? 3, 0) 任意作一条直线交双曲线 E 于 P, Q 两点, 使 FP ? FQ 为定值.

??? ??? ? ?

………12 分

2 2 ??? ??? t ? 2m ? 12m ? 15 , ? ? t2 ? 3 解法二: 前同解法一,得 FP ? FQ ?

…………………9 分

第 11 页 共 15 页

t 2 ? 2m 2 ? 12m ? 15 ? 1, 2 t2 ? 3 由 得 2m ? 12m ? 15 ? 3 ,
解得 m ? ?3 ? 3 ,下同解法一. …………………………………………………12 分

x2 3 E : ? y2 ? 1 l : y ? k ( x ? m) ( k ? ? ), 3 3 代入 解法三: 当直线不垂直 x 轴时,设
(3k 2 ? 1) x 2 ? 6mk 2 x ? 3(m 2 k 2 ? 1) ? 0 (k ? ?
整理得 由 ? ? 0 得 m k ? 3k ? 1 ? 0,
2 2 2

3 ), 3

?

…………7 分

设方程 ? 的两个根为

x1 , x2 , 满足

x1 ? x2 ?

6mk 2 3m 2 k 2 ? 3 , x1 x2 ? , 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

??? ??? ? ? ? FP ? FQ ? ( x1 ? 2, k ( x1 ? m)) ? ( x2 ? 2, k ( x2 ? m))
? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (2 ? mk 2 )( x1 ? x2 ) ? m 2 k 2 ? 4 ?
2

(2m 2 ? 12m ? 15)k 2 ? 1 , 3k 2 ? 1 ……9 分

??? ??? ? ? FP ? FQ 为定值, 当且仅当 2m ? 12m ? 15 ? 3 时,
解得 m ? ?3 ? 3 , m ? ?3 ? 3 不合题意,舍去,而且 m ? ?3 ? 3 满足 ? ? 0 ; 分 …10

x2 E : ? y2 ? 1 3 当直线 l ? x 轴时, l : x ? ?3 ? 3 代入 得

y1,2 ? ? 3 ? 2 3 , ??? ??? ? ? ? FP ? FQ ? (?1 ? 3, y1 ) ? (?1 ? 3, y2 ) ? (?1 ? 3) 2 ? y1 y2 ? 1;
综上得: (结论同解法一) (注:第(II)题有一般性结论)

………11 分

………………………………………12 分

1 ? x ? ?1 ? ln x ? ?1 ln x f ' ? x? ? x ?? 2 2 0, ?? ? ? x x , 21(1)函数 f ( x) 定义域为 ,


f ' ? x? ? 0 ? x ? 1

f ,当 0 ? x ? 1 时,

'

? x ? ? 0 ,当 x ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 ,

? 0,1? 上单增,在 ?1, ?? ? 上单减,函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得唯一的极值。 则 f ( x) 在

第 12 页 共 15 页

?a ? 0 2 ? 1 ? ? a ?1 ? ?2 ? 3 ? ,1? ?a ? 1 ? a ? 3 由题意得 ? ,故所求实数 a 的取值范围为 ? 3 ? ………3 分
(2) 当 x ? 1 时,不等式

f ( x) ?

? x ? 1??1 ? ln x ? k 1 ? ln x k ? ? ?k? x ?1 x x ?1 x . ? x ? 1?

g ( x) ?


? x ? 1??1 ? ln x ? ,
x
'

?1, ?? ? 恒成立。 ,由题意, k ? g ( x ) 在

?? x ? 1??1 ? ln x ? ? ? x ? ? x ? 1??1 ? ln x ? ? x ' x ? ln x ? g ( x) ? ? ? x2 x2
'

令 所以

h ? x ? ? x ? ln x ? x ? 1?


,则

h' ? x ? ? 1 ?

1 ?0 x ,当且仅当 x ? 1 时取等号。

h ? x ? ? x ? ln x
g ' ( x) ?

?1, ?? ? 上单调递增, h ? x ? ? h ?1? ? 1 ? 0

因此

x ? ln x h ? x ? ? 2 ?0 ?1, ?? ? 上单调递增, g ? x ?min ? g ?1? ? 2 x2 x ,则 g ( x) 在
………………………7 分

? ??, 2? 所以 k ? 2 ,即实数 k 的取值范围为
(3)由(2)知,当 x ? 1 时,不等式

f ( x) ?

2 x ? 1 恒成立,

1 ? ln x 2 2x 2 2 ? ? ln x ? ?1 ? 1? ? 1? x x ?1 x ?1 x ?1 x, 即

…………………8 分



x ? k ? k ? 1? , k ? N

?

ln ? k ? k ? 1? ? ? 1 ? ? ?
,则有

2 1 ? ?1 ? 1? 2? ? ? k ? k ? 1? ? k k ?1 ?



? 1? ?1 1? ln ?1? 2 ? ? 1 ? 2 ?1 ? ? ln ? 2 ? 3? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 2?, ? 2 3? 分别令 k ? 1, 2,3,? , n , n ? N 则有
?

1 ? ?1 ,? , ln ? n ? n ? 1? ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? n n ? 1 ? 将这 n 个不等式左右两边分别相加,则得 1 ? 2 ? ln ?1? 22 ? 32 ? ? ? n 2 ? n ? 1? ? ? n ? 2 ?1 ? ? ? n?2? ? ? n ?1 ? n ?1?
故 分

1? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ? 1? ? e
2 2 2

n ? 2?

2 n ?1

,从而

?(n ? 1)!?

2

? (n ? 1)e

n ? 2?

2 n ?1

. n ? N ………12

?

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22. 选修 4-1:几何证明选讲 解:(1)因为 MD 为 ? O 的切线,由切割线定理知, MD2=MAMB, MD=6, 又 MB=12, MB=MA+AB , ??????2 分, 所以 MA=3, AB=12 -3=9. ??5 分 (2)因为 AM=AD,所以∠AMD=∠ADM,连接 DB,又 MD 为 ? O 的切线,由弦切角定理知, ∠ADM=∠ABD, 7分

又因为 AB 是 ? O 的直径,所以∠ADB 为直角,即∠BAD=90°-∠ABD.又∠BAD=∠AMD+ ∠ADM=2∠ABD, 于是 90°-∠ABD=2∠ABD,所以∠ABD=30°,所以∠BAD=60°. ??????????8 分 又四边形 ABCD 是圆内接四边形,所以∠BAD+∠DCB=180°,所以∠DCB=120°????10 分 选修 4-4 :坐标系与参数方程 (1)直线 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 (Ⅱ)设曲线 C 上任一点为

x2 ? y2 ? 1 曲线 C: 4 ------5 分

M ? 2 cos ? ,sin ? ?



d?
它到直线的距离为

4 cos ? ? 3sin ? ? 8 2 ?3
2 2

?

5cos ?? ? ? 0 ? ? 8 13
,其中

?0 满 足 :

cos ? 0 ?

4 3 ,sin ? 0 ? 5 5.
…10 分

∴当

? ? ? 0 ? ? 时, d max ? 13 .

解法二 ;用直角坐标方程,先求与 l 平行且与曲线 C 相切的切线方程,再求平行线间的距 离也可(略) 解: (Ⅰ)不等式 | x ? 2 |? 1 的解集为 {x | x ? 1或x ? 3} , 所以,不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 {x | x ? 1或x ? 3} ,? a ? 4, b ? 3 .?5 分
2

(Ⅱ)函数的定义域为 [3, 5] ,显然有 y ? 0 ,由柯西不等式可得:

y ? 4 x ? 3 ? 3 5 ? x ? 4 2 ? 32 ? ( x ? 3 ) 2 ? ( 5 ? x ) 2 ? 5 2
当且仅当 4 5 ? x ? 3 x ? 3 时等号成立,即



x?

107 25 时,函数取得最大值 5 2 .?10 分

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