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远看“形”有“数”,近观“数”有“形”--高考中函数图象与性质的解题策略


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福建中学数学

2015 年第 4 期

远看“形”有“数”,近观“数”有“形”
——高考中函数图象与性质的解题策略 苏飞文 福建省泉州市南安侨光中学(362314) “形”识对数函数的底“数”,再通过“数”来识函数的 “形”,考生要熟练掌握基本初等函数图象与性质, 如函数的图象、定义域、单调性、奇偶性

等,“从 形到数”,透过图象看本质,就可以很快完成本题. 1.2 “先数到形,再形到数” 例 2 ( 2014 年高考福建卷·理 7)已知函数
? x2 ? 1, x ? 0, 则下列结论正确的是( f ( x) ? ? cos x , x ? 0, ? A. f ( x) 是偶函数 B. f ( x) 是增函数

函数的图象与性质作为高中数学的一个“重头 戏 ”, 常考常新. 主要从以下几个方面考查: 函数图 象的判断,及利用函数图形研究函数性质;单调性 的确定与应用,应用于单调性求最值、比较大小、 求参数的取值范围等;奇偶性、周期性与函数的其 它性质的综合问题; 求函数的最值或应用函数的最 值问题.函数与方程的思想、数形结合思想是中学 数学的基本思想,也是历年高考命题的重点和热 点.高考试题变化无穷,深浅莫测.运用函数图象 和性质解题,可以使代数、三角、几何等各种数学 知识互相渗透,有利于问题的解决. 1 “形到数,数到形”,透过图象看本质 在函数题中有关应用函数图象的问题充分体 现了图象的直观性,“从形到数,数到形”,透过图 象看本质,能够完整地考查函数的性质及其应用, 考查学生对基本初等函数图象与性质的掌握程度, 这是近年高考的热频考点. 1.1 “先形到数,再数到形” 例 1(2014 年高考福建卷· 理 y y ? log a x 1 4 )若函数 y ? log a x ( a ? 0 ,且
a ? 1 )的图象如图 1 所示,则下
O 3 图1 x



C.f ( x) 是周期函数 D.f ( x) 的值域为 [?1, +?) 解析 本题考查分段函数的性质,可以利用函 数的性质直接求解,因为每一段都是 y 非常熟悉的函数,所以只要能够画出 x 图 2O 这个分段函数, 如图 2, 答案就一目了 然,显然是 D. 评析 本题考查分段函数图象与性质,如果用 函数性质去解会比较繁琐且容易出错, 而只需画出 函数图象,就可以很快得到答案,这是“先数到形, 再形到数”. 因此学生在第一轮复习中要熟练掌握基本初 等函数的图象及性质,能通过“形”到“数”,透过图 象看本质,也要能够从“数”到“形”,深刻理解函数 的图象的性质,才能灵活应用,以不变应万变. 2 数学思想在函数图象与性质解题中的渗透 例 3 (2014 年高考湖北卷·理 10)已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 (| x ? a 2 | ? | x ? 2a 2 | ?3a 2 ) ,若 ?x ? R , f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ,则实数 a 的取值范围为( )
1 1 A. [ ? , ] 6 6 1 1 C. [ ? , ] 3 3

列函数图象正确的是(
?x y y?a 3


y y ? (? x) a 1 -3 O 1 x y O x

O 1 x

y y ? xa 1 O 1 x

y ? log a (-1 ? x)

A. B. C. D. 解析 从图 1 的图象单调性可知对数函数的底 数 a ? 1 ,且经过点 (3 , 1) 知道 a ? 3 ,所以选项 A 的 函数是一个单调递减指数函数,与图象不符,可以 排除;选项 B 的函数是一个单调递增的幂函数,与 图象吻合;选项 C 的函数是一个单调递减的奇函 数, 可以排除; 选项 D 的函数根据复合函数的单调 性可知是单调递减的函数,可以排除.所以答案是 B.当然此题还可以用特殊值来判断图象的正误. 评析 本题主要考查通过对数函数的图象这个

B. [ ? D. [ ?

6 6 , ] 6 6 3 3 , ] 3 3

? x ? 3a2 , x ? 2a2 , ? 解析 依题意, 当 x ? 0 时,f (x) ? ??a2 , a2 ? x ? 2a2 , ? ?x , 0 ? x ? a2. ?

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作图可知, f ( x) 的最小值为 ?a 2 ,因为函数 f ( x) 为 奇函数,所以当 x ? 0 时 f ( x) 的最小值为 a ,因为
2

对任意实数 x 都有,f ( x ?1) ? f ( x) , 所以 4a 2 ? (?2a 2 )
? 1 ,解 得 ?

6 6 ,故 实数 a 的取 值范 围是 ?a? 6 6

解析 从题意可知函数为奇函数,所以图象关 于 原 点 对 称 , 排 除 A ; 当 x ? ?? 时 分 母 2 x ? 2? x ? ?? ,又分子 cos 6 x 是周期函数且最值为 从而知道 f ( x) ? 0 而且与 x 轴有无穷多 ?1 的函数, 个交点,所以排除 C;当 x ? 0? (从右侧趋近于 0) 时分母 2 x ? 2? x ? 0 且 2 x ? 2? x ? 0 , 分子 cos 6 x ? 1 , 所以 f ( x) ? ?? ,从而排除 B,选 D. 评析 本题主要是从 “数”到 “形 ”,首先要判断 函数的奇偶性排除 A, 接下来用极限的思想结合函 数的单调性和周期性可以比较快排除 B 和 C, 使得 问题变得很简单. 高考题目重视对数学思想的考查, 借助函数图 象的特点, 可以使学习者加深对函数性质的理解和 记忆,提高学习者的观察能力和思维能力,使学习 者养成用图象来分析数量关系的思维习惯, 培养和 提高解决问题的能力,这就是“形”到“数”. 而函数 相关的问题实质上是以知识为载体、问题为中心, 它们并不拘泥于具体的知识点,而是将数学知识、 方法和原理融汇于一体, 充分利用函数图象的特点 性质,从形象直观到理性思考,从“数”到“形”能找 到较为简捷的解题思路,使解题有较宽的切入口, 体现了数形结合、函数与方程、极限、分类讨论等 数学的思想. 因此在解题过程中要把数学的思想方 法渗透到解题中去,从而达到事半功倍的效果.

[?

6 6 , ]. 6 6 评析 本题考查函数的性质、分段函数、恒成

立问题等,是比较综合一道函数题,如果直接用代 数去运算然后通过求最值去解决恒立问题, 从而求 出参数 a ,显然是非常复杂,运算量很大.但是如 果像上面的解法先画出函数的图象, 再通过函数图 象平移,因为 ?x ? R , f ( x ? 1) ? f ( x) ,所以 y ? 所以从图象 f ( x ? 1) 图象一定在 y ? f ( x) 图象下方, 就可以列出不等式, 从而求出答案. 从“数”到“形”, 数中有形,形中有数,很好地把数形结合的思想发 挥到极致,使得解答变得比较简便. 例 4 ( 2012 年 高 考 山 东 卷 · 理 9 ) 函 数
y? cos 6 x 的图象大致为( 2 x ? 2? x
y O x y O x y O x


y O x

A.

B.

C.

D.

新课程理念下解题过程自我监控能力的培养
李新岳 福建省仙游县第一中学(351200) 题自我监控能力的培养. 解题的自我监控是指学生为了达到解题成功, 提高效率, 在解题活动的全过程中将自己正在进行 的解题活动作为意识对象,不断进行积极的计划、 监察、检查、评价、反馈、控制和调节的过程.在 具备一定的基础知识的前提下, 学生解题的自我监 控水平已成为其能否成功解题的关健因素. 解题能 力弱的同学, 虽然他们有关知识的水平方面可能与 许多解题能力强的同学基本相同, 但是他们却不善 于根据具体的问题灵活地采用恰当的策略或补救 的措施,表现出对自己的解题缺乏控制和调节.本 文拟就解题过程的后三个环节谈谈解题自我监控

数学教育家波利亚说过:“掌握数学,就是要 善于解题”.学习数学离不开解题,解题教学是数 学教学的重要组成部分. 新课程强调数学教学必须 提高学生提出、分析和解决数学问题的能力,并十 分强调培养学生自主学习的能力和学生思维的发 展.但在目前数学教学中常出现过多的机械训练, 以及套题型教学,用解题的数量来达到所谓“熟能 生巧”的目的,但事与愿违,学生在数学解题中缺 乏自主性和主动性,存在盲从意识和被动性,在解 题过程中又不善于调控,因此常出现一听就“懂”, 一做稍微陌生新颖的题目就“卡”的现象.如何提高 学生的解题能力和解题质量, 关键是要重视学生解


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