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【创新设计】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 阶段回扣练(四) 三角函数、解三角形习题 理 新人教A版


【创新设计】 (江苏专用) 2017 版高考数学一轮复习 阶段回扣练 (四) 三角函数、解三角形习题 理 新人教 A 版
一、填空题 π? 4 ? 1.(2015·扬州期末)已知 α ∈(0,π ),cos α =- ,则 tan?α + ?=________. 4? 5 ? 解析 4 3 3 因为 α ∈(0, π ), cos α =- ,所以 sin α = ,所

以 tan α =- ,从而 5 5 4

3 1- 4 1 π 1 + tan α ? ? tan?α + ?= = = . 4 ? 1-tan α 3 7 ? 1+ 4 答案 1 7

1 5π 3π 2.(2015·宿迁调研 ) 已知 sin α cos α = ,且 <α < ,则 cos α -sin α 的值为 8 4 2 ________. 5π 3π 解析 因为 <α < , 4 2 所以 cos α <0,sin α <0 且|cos α |<|sin α |,所以 cos α -sin α >0. 1 3 2 又(cos α -sin α ) =1-2sin α cos α =1-2× = , 8 4 所以 cos α -sin α = 答案 3 2 3 . 2

π? π ? 3.(2015·湖北七市(州)联考)将函数 g(x)=3sin?2x+ ?图象上所有点向左平移 个单位, 6? 6 ? 1 再将各点横坐标缩短为原来的 ,得到函数 f(x)的解析式为________. 2 解析 依题意,将函 数 g(x) 的图象向左平 移 π 个单位长 度得到的曲线方程 是 y = 6

1 ? ? π? π? 3sin?2?x+ ?+ ?=3cos 2x,再将各点横坐标缩短为原来的 ,得到的曲线方程是 y= 6 2 ? 6? ? ? 3cos 4x,即 f(x)=3cos 4x. 答案 f(x)=3cos 4x 4.(2014·江苏卷)已知函数 y=cos x 与 y=sin(2x+φ )(0≤φ <π ),它们的图象有一个 π 横坐标为 的交点,则 φ 的值是________. 3

1

π ? π 解析 由题意 cos =sin?2× +φ 3 3 ?

?,即 sin?2π +φ ?=1,所以2π +φ =2kπ +π 或 ? ? 3 ? 2 3 6 ? ? ?

5π π 2kπ + (k∈Z),因为 0≤φ <π ,所以φ = . 6 6 答案 π 6

π? 7 2 ? ?π π ? 5.已知 sin?α + ?= ,α ∈? , ?,则 cos α =________. 4 ? 10 ? ?4 2? π ? π 3π ? ?π π ? 解析 ∵α ∈? , ?,∴α + ∈? , ?, 4 ? 4 ?2 ?4 2? π? ? ∴cos?α + ?=- 4? ? =- π? 2? 1-sin ?α + ? 4? ?

2 ?7 2?2 1-? ? =- 10 , ? 10 ?

π? π? π? π? π π ? 2 2? ?? ? ? ∴cos α =cos??α + ?- ?=cos?α + ?cos +sin?α + ?sin = ?- ? × 4 4? 4? 4 4 ? 10 ? 2 ? 4? ? ? ?? 7 2 2 3 + × = . 10 2 5 答案 3 5

6.(2015·合肥检测)函数 f(x)= 3sin 2x+cos 2x 图象的一条对称轴方程是________(填 序号). π π 5π 2π ①x=- ;②x= ;③x= ;④x= . 12 3 12 3 π? ? ? 2π ? ? 2π π ? 解析 依题意得 f(x)=2sin?2x+ ?,且 f? ?=2sin?2× + ?=-2,因此其图象 6 3 3 6? ? ? ? ? ? 2π 关于直线 x= 对称,故填④. 3 答案 ④ π 7.(2015·南通调研)将函数 f(x)=sin(2x+φ )(0<φ <π )的图象上所有点向右平移 个 6 单位后得到的图象关于原点对称,则 φ 等于________. 解析 将函数 f(x) = sin(2x + φ ) 的图象向右平移 π ? ? π? ? 后得到 y = sin ?2?x- ?+φ ? = 6? 6 ? ? ?

π π ? ? sin?2x- +φ ?,因为该函数是奇函数,且 0<φ <π ,所以 φ = . 3 3 ? ? 答案 π 3

8.某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 45°,沿倾斜角为 30°的斜坡前进 1 000 m 后到达 D 处,又测得山顶的仰角为 60°,则山的高度 BC 为________m.

2

解析 过点 D 作 DE∥AC 交 BC 于 E,因为∠DAC=30°,故∠ADE= 150 ° . 于是∠ADB = 360 °- 150 °- 60 °= 150 ° .又∠BAD =45 ° -30°=15°, 故∠ABD=15°,由正弦定理,得 AB= = 1 000sin 150° =500( 6+ 2)(m) sin 15°

ADsin∠ADB sin∠ABD

所以在 Rt△ABC 中,BC=ABsin 45°=500( 3+1)(m). 答案 500( 3+1)m 2π → → 9.(2016·南京、盐城调研)在△ABC 中,BC=2,A= ,则AB·AC的最小值为________. 3 解析 由余弦定理得 BC =AB +AC -2AB·ACcos
2 2 2

2π ≥2AB·AC+AB·AC=3AB·AC,所以 3

AB·AC≤ .
2π 1 2 → → 所以AB·AC=AB·ACcos =- AB·AC≥- , 3 2 3

4 3

2 → → 故(AB·AC)min=- .当且仅当 AB=AC 时等号成立. 3 2 答案 - 3 10.(2016·南通一模)在△ABC 中,已知 a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,S 为△ABC 的 面积.若向量 p=(4,a +b -c ),q=( 3,S)满足 p∥q,则 C=________. 解析 由 p∥q,得 3(a +b -c )=4S=2absin C,即 的变式,得 cos C= 答案 π 3 15 3 ,则 4
2 2 2 2 2 2

a2+b2-c2 3 = sin C,由余弦定理 2ab 3

3 π sin C,即 tan C= 3,因为 0<C<π ,所以 C= . 3 3

11.(2016·苏北四市模拟)在△ABC 中,已知 AB=3,A=120°,且△ABC 的面积为

BC 边长为________.
1 3 3 15 3 解析 因为△ABC 的面积为 AB×ACsin 120°= × ×AC= ,解得 AC=5.由余弦定 2 2 2 4 理得 BC =AB +AC -2AB·ACcos 120°=9+25+15=49,所以 BC=7. 答案 7 π? ? 12.如图所示的是函数 y=Asin(ω x+φ )?A>0,ω >0,|φ |< ?图 2? ?
3
2 2 2

象的一部分,则其函数解析式是________.

T π ? π? π 解析 由图象知 A=1, = -?- ?= ,得 T=2π ,则 ω =1,所以 y=sin(x+φ ). 4 6 ? 3? 2
π ?π ? 由图象过点? ,1?,可得 φ =2kπ + (k∈Z), 3 ?6 ? π π 又|φ |< ,所以 φ = ,所以所求函数解析式是 2 3

y=sin?x+ ?. 3

? ?

π?

?

? π? 答案 y=sin?x+ ? 3? ?
13.(2016·扬州一检)锐角△ABC 中,若 A=2B,则 的取值范围是________. 解析 因为△ABC 为锐角三角形,且 A=2B, π ? ?0<2B< 2 , 所以? π ?0<π -3B< 2 , ? π π 所以 <B< . 6 4 因为 A=2B,sin A=sin 2B=2sin Bcos B, 所以 =

a b

a sin A =2cos B∈( 2, 3). b sin B

答案 ( 2, 3) π 1 1 14.(2016·苏北四市调研)已知 <α <π ,-π <β <0,tan α =- ,tan β =- ,则 2α 2 3 7 +β 等于________.

? 1? 2×?- ? 2tan α 3 ? 3? 解析 tan 2α = = =- , 2 1-tan α 2 4 ? 1? 1-?- ? ? 3?
tan 2α +tan β tan(2α +β )= 1-tan 2α tan β 3 1 - - 4 7 = =-1. 3 ? ? ? 1? 1-?- ?×?- ? ? 4? ? 7? π 1 因为 <α <π ,-1<tan α =- <0, 2 3 3 3 所以 π <α <π , π <2α <2π .① 4 2

4

1 又-π <β <0,tan β =- <0, 7 π 所以- <β <0.② 2 由①②知π <2α +β <2π . 7π 又 tan(2α +β )=-1,所以 2α +β = . 4 答案 7π 4

二、解答题 π? ? 15.函数 f(x)=Asin?ω x- ?+1(A>0,ω >0)的最大值为 3,其图象相邻两条对称轴之间的 6? ? π 距离为 . 2 (1)求函数 f(x)的解析式;

? π ? ?α ? (2)设 α ∈?0, ?,f? ?=2,求 α 的值. 2? ? ?2?
解 (1)∵函数 f(x)的最大值为 3, ∴A+1=3,即 A=2, π ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 , 2 ∴最小正周期 T=π , π? ? ∴ω =2,故函数 f(x)的解析式为 y=2sin?2x- ?+1. 6? ? π? ?α ? ? (2)f ? ?=2sin?α - ?+1=2, 6? ?2? ? π? 1 ? 即 sin?α - ?= , 6? 2 ? π π π π ∵0<α < ,∴- <α - < , 2 6 6 3 π π π ∴α - = ,故 α = . 6 6 3 16.(2015·苏、锡、常、镇一模)设函数 f(x)=6cos x-2 3·sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期和值域; 4 (2)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f(B)=0 且 b=2,cos A= , 5 求 a 和 sin C.
5
2

π? 1+cos 2x ? 解 (1)f(x)=6× - 3sin 2x=3cos 2x- 3sin 2x+3=2 3cos?2x+ ?+3. 6? 2 ? 所以 f(x)的最小正周期 T= 2π =π , 2

值域为[3-2 3,3+2 3]. π? 3 ? (2)由 f(B)=0,得 cos?2B+ ?=- . 6? 2 ? π π 7π π 5π ∵B 为锐角,∴ <2B+ < ,2B+ = , 6 6 6 6 6 π ∴B= . 3 4 π ∵cos A= ,A∈(0, ), 5 2 所以 sin A= 2 ?4? 3 1-? ? = . ?5? 5

3 2× 5 4 3 bsin A 在△ABC 中,由正弦定理得 a= = = . sin B 5 3 2 所以 sin C=sin(π -A-B)=sin? = 3 1 3+4 3 cos A+ sin A= . 2 2 10

?2π -A? ? ? 3 ?

17.(2016·南京、盐城模拟)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,m=(cos A, cos C),n=( 3c-2b, 3a),且 m⊥n. (1)求角 A 的大小; (2)若 AC=BC,且 BC 边上的中线 AM 的长为 7,求△ABC 的面积. 解 (1)由 m⊥n,得(2b- 3c)cos A= 3acos C, 所以(2sin B- 3sin C)cos A= 3sin Acos C, 即 2sin Bcos A= 3sin Acos C+ 3sin Ccos A, 即 2sin Bcos A= 3sin B, 因为 sin B≠0, 所以 cos A= 3 π ,于是 A= . 2 6

π (2)由(1)知 A= ,又 AC=BC, 6 2π 1 所以 C= .设 AC=x,则 MC= x. 3 2

6

在△AMC 中,由余弦定理得

AC2+MC2-2AC·MCcos C=AM2,
2 x 2π ?x? 2 2 即 x +? ? -2x· cos =( 7) , 2 3 ?2? 解得 x=2, 1 2 2π 故 S△ABC= ×2 ×sin = 3. 2 3 sin A+sin B 18.(2016·泰州调研)在△ABC 中, 角 A,B, C 的对边分别为 a,b,c,tan C= . cos A+cos B (1)求角 C 的大小; (2)若△ABC 的外接圆直径为 1,求 a +b 的取值范围. sin A+sin B 解 (1)因为 tan C= , cos A+cos B sin C sin A+sin B 即 = , cos C cos A+cos B 所以 sin Ccos A+sin Ccos B=cos Csin A+cos Csin B, 即 sin Ccos A-cos Csin A=cos Csin B-sin CcosB. 得 sin(C-A)=sin (B-C). 所以 C-A=B-C,或 C-A=π -(B-C)(不成立). π 即 2C=A+B,得 C= . 3 π π π 2π π π (2)由 C= ,设 A= +α ,B= -α ,0<A,B< ,知- <α < . 3 3 3 3 3 3 又 a=2Rsin A=sin A,b=2Rsin B=sin B, 故 a +b =sin A+sin B 1-cos 2A 1-cos 2B = + 2 2 1? ?2π ? ?2π ?? =1- ?cos? +2α ?+cos? -2α ?? 2? ? 3 ? ? 3 ?? 1 =1+ cos 2α . 2 π π 2π 2π 1 由- <α < ,知- <2α < ,- <cos 2α ≤1, 3 3 3 3 2 3 2 2 3 故 <a +b ≤ . 4 2
2 2 2 2 2 2

7

19.(2015·淮安期中)如图, 两座建筑物 AB, CD 的底部都在同一个水平面上, 且均与水平面垂直,它们的高度分别是 9 m 和 15 m,从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的张角∠CAD=45°. (1)求 BC 的长度; (2)在线段 BC 上取一点 P(点 P 与点 B, C 不重合), 从点 P 看这两座建筑物的张角分别为∠APB =α ,∠DPC=β ,问点 P 在何处时,tan(α +β )最小? 解 (1)如图,作 AN⊥CD 于 N. 因为 AB∥CD,AB=9,CD=15, 所以 DN=6,NC=9. 设 AN=x,∠DAN=θ , 因为∠CAD=45°, 所以∠CAN=45°-θ . 在 Rt△ANC 和 Rt△AND 中, 6 9 tan θ = ,tan(45°-θ )= ,

x

x

1-tan θ 因为 tan(45°-θ )= , 1+tan θ 9 所以 = 6 1-

x

, 6 1+

x

x

整理得 x -15x-54=0, 解得 x1=18,x2=-3(舍去). 所以 BC 的长度为是 18 m. 9 15 (2)设 BP=t,所以 PC=18-t,tan α = ,tan β = , t 18-t tan α +tan β 则 tan(α +β )= 1-tan α tan β 9 =

2

t 18-t
9 15 1- · t 18-t 6 1 350



15

=-

t-45+ t+27
8

=-

6 1 350 t+27+ -72 t+27

6 ≥- , 2 1 350-72 1 350 当且仅当 t+27= , t+27 即 t=15 6-27 时,tan(α +β )最小. 20.(2015·南京二模)某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面 内布设一个对角线在 l 上的四边形电气线路,如图所示,为充分利 用现有材料,边 BC,CD 有一根 5 米长的材料弯折而成,边 BA,AD 用一根 9 米长的材料弯折而成,要求∠A 和∠C 互补,且 AB=BC. (1)设 AB=x 米,cos A=f(x),求 f(x)的解析式,并指出 x 的取值范围; (2)求四边形 ABCD 面积的最大值. 解 (1)在△ABD 中,BD =AB +AD -2AB·AD·cos A. 同理,在△CBD 中,BD =CB +CD -2CB·CD·cos C. 因为∠A 和∠C 互补,所以 AB +AD -2AB·AD·cos A=CB +CD -2CB·CD·cos C=CB +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

CD2+2CB·CD·cos A,
即 x +(9-x) -2x(9-x)cos A=x +(5-x) +2x(5-x)cos A. 2 2 解得 cos A= ,即 f(x)= ,其中 x∈(2,5).
2 2 2 2

x

x

(2)四边形 ABCD 的面积

S= (AB·AD+CB·CD)sin A
1 2 = [x(9-x)+x(5-x)] 1-cos A 2 =x(7-x)
2

1 2

2 ?2? 1-? ? x

? ?

= (x -4)(7-x)
2 2

2

= (x -4)(x -14x+49). 记 g(x)=(x -4)(x -14x+49),x∈(2,5). 由 g′(x)=2x(x -14x+49)+(x -4)(2x-14)=2(x-7)(2x -7x-4)=0, 1 ? ? 解得 x=4?x=7和x=- 舍?. 2 ? ? 函数 g(x)在区间 (2,4)内单调递增,在区间(4,5)内单调递减.
9
2 2 2 2 2

因此 g(x)的最大值为 g(4)=12×9=108. 所以 S 的最大值为 108=6 3.

10


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