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高三数学第一轮复习章节测试9-5


第9章 第5节 一、选择题 x2 y2 1.设椭圆m2+ =1(m>1)上一点 P 到其左焦点的距离为 3,到右焦点的距离为 1,则该 m2-1 椭圆的离心率为( A.2 3 C. 2 ) 1 B.2 2 D. 2

[答案] B [解析] 由椭圆定义知 2a=3+1=4,故 a=2. ∴m2=a2=4,b2=m2-1=3. 1 ∴c2=a2-b2=1,

即 c=1.∴e=2. 2.已知椭圆的方程为 2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为( 1 A.3 2 C. 2 3 B. 3 1 D.2 )

[答案] B [解析] 由选项知 e 与 m 无关,令 m=6,则 a2=3,b2=2,c2=1, c 3 ∴e=a= 3 . x2 y2 一般解法:2x2+3y2=m(m>0)化为 m + m =1, 2 m m m 1 ∴c2= 2 - 3 = 6 .∴e2=3.故选 B. → → 3.(2008· 江西)已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,满足MF1· MF2=0 的点 M 总在椭圆内部,则椭 圆离心率的取值范围是( A.(0,1) 2 C.(0, 2 ) [答案] C c 2 [解析] 依题意得,c<b,即 c2<b2,∴c2<a2-c2,2c2<a2,故离心率 e=a< 2 ,又 0<e<1,∴ 2 0<e< 2 . x2 y2 4.如图 F1、F2 分别是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的两个焦点,A 和 B 是以 O 为圆心,以|OF1|为 半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且△F2AB 是等边三角形,则椭圆的离心率为( ) ) 1 B.(0,2] 2 D.[ 2 ,1) 3

3 A. 2 2 C. 2

1 B.2 D. 3-1

[答案] D [解析] 连接 AF1,由圆的性质知,∠F1AF2=90°,又∵△F2AB 是等边三角形,∴∠AF2F1= c 2c 2c 30°,∴AF1=c,AF2= 3c,∴e=a=2a= = 3-1.故选 D. c+ 3c 5.已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF2|, 那么动点 Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 [答案] A [解析] ∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a. 即|F1Q|=2a. ∴动点 Q 到定点 F1 的距离等于定长 2a, 故动点 Q 的轨迹是圆. 6.已知椭圆 x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A.3 2 30 C. 3 B.2 3 3 D.2 6

[答案] C [解析] 依题设弦端点 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x12+2y12=4,x22+2y22=4, ∴x12-x22=-2(y12-y22), y1-y2 x1+x2 1 ∴此弦斜率 k= =- =-2, x1-x2 + 1 ∴此弦所在直线方程 y-1=-2(x-1), 1 3 即 y=-2x+2代入 x2+2y2=4, 整理得 3x2-6x+1=0, 1 ∴x1· x2=3,x1+x2=2. ∴|AB|= = 1 4-4×3· + -4x1x2· 1+k2 1 30 1+4= 3 .

x2 y2 a2 7.(2010· 四川理改编)椭圆a2+b2=1(a>b>0,c2=a2-b2)的右焦点为 F,直线 x= c 与 x 轴的 交点为 A,在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是 ( ) A.?0,

? ?

2? ? 2?

? 1? B. 0,2 ? ? ?1 ? D. 2,1 ? ?

C.[ 2-1,1) [答案] D

a2 [解析] 由题意得|PF|=|AF|= c -c,∵a-c≤|PF|≤a+c, a2 1 ∴a-c≤ c -c≤a+c,2≤e<1. x2 y2 → → 8. (文)已知 P 是以 F1、 F2 为焦点的椭圆a2+b2=1(a>b>0)上的一点, 若PF1· PF2=0, tan∠PF1F2 1 =2,则此椭圆的离心率为( 1 A.2 1 C.3 [答案] D → → [解析] ∵PF1· PF2=0,∴PF1⊥PF2, 1 1 又 tan∠PF1F2=2,令 PF2=2PF1=x, ) 2 B.3 5 D. 3

? ?3x=2a 则? ,∴ ?5x2=4c2 ?

? ?a= 2 ? 5 ? ?c= 2 x
3x



c 5 ∴e=a= 3 .故选 D. x2 y2 (理)设 M 为椭圆a2+b2=1 上一点, F1、 F2 为椭圆的焦点, 如果∠MF1F2=75°, ∠MF2F1=15°, 则椭圆的离心率为( 3 A. 2 1 C.2 [答案] B 2c |MF1| |MF2| |MF1|+|MF2| 2a [解析] 由正弦定理得sin90°= sin15°= sin75°= = , sin15°+sin75° sin15°+sin75° ) 6 B. 3 6 D. 4

c 1 1 6 ∴e=a= = = . sin15°+cos15° 2sin60° 3 二、填空题 x2 y2 9.若直线 y=kx+1(k∈R)与焦点在 x 轴上的椭圆 5 + t =1 恒有公共点,则 t 的取值范围是 ________. [答案] [1,5) [解析] 用数形结合法,∵y=kx+1 恒过定点(0,1),只要使(0,1)恒在椭圆内或椭圆上,就能满 足题设条件. 1 ? ? t ≤1 ∴? ,∴1≤t<5. ? ?0<t<5 10.已知正方形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心率为________. [答案] 2-1 [解析] 令 AB=2,则 AC=2 2, ∴椭圆中 c=1,2a=2+2 2? a=1+ 2, c 1 可得 e=a= = 2-1. 2 +1 11.(2010· 全国卷Ⅰ)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C → → 于点 D,且BF=2FD,则 C 的离心率为________. 2 [答案] 3 → [解析] 解法 1:设椭圆 C 的焦点在 x 轴上,如图,B(0,b),F(c,0),D(xD,yD),则BF=(c,- → b),FD=(xD-c,yD), → → ∵BF=2FD,
?c= - ? ∴? ? ?-b=2yD



?xD=2c ∴? b ?yD=-2
3

.

1 3 ∴ a2 + b2 =1,即 e2=3,∴e= 3 . 解法 2:|BF|= b2+c2=a, → → 作 DD1⊥y 轴于点 D1,则由BF=2FD得,

?3c?2 ?-b?2 ? 2 ? ? 2?

|OF| |BF| 2 3 3 |DD1|=|BD|=3,所以|DD1|=2|OF|=2c, 3c 3c2 ?a2 3c? 即 xD= 2 ,由椭圆的第二定义得|FD|=e c - 2 =a- 2a

?

?

3c2 又由|BF|=2|FD|,得 c=2a- a ,整理得 3c2-2a2+ac=0. 2 两边都除以 a2,得 3e2+e-2=0,解得 e=-1(舍去),或 e=3. 三、解答题 12.(2010· 福建理)已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l, 使得直线 l 与椭圆 C 有公共点, 且直线 OA 与 l 的距离等于 4? 若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. [解析] 解法 1: x2 y2 (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为a2+b2=1(a>b>0),且可知左焦点为 f ′ (-2,0).
? ? ?c=2 ?c=2, 从而有? 解得? ?2a=|AF|+|Af ′ ?a=4. |=3+5=8, ? ?

又 a2=b2+c2,所以 b2=12, x2 y2 故椭圆 C 的方程为16+12=1. 3 (2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=2x+t.

?y=2x+t, 由? x2 y2 ?16+12=1
3

得 3x2+3tx+t2-12=0.

因为直线 l 与椭圆 C 有公共点, 所以 Δ=(3t)2-4×3(t2-12)≥0, 解得-4 3≤t≤4 3. 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d=4 可得 |t| =4,从而 t=±2 13. 9 4+1

由于±2 13?[-4 3,4 3],所以符合题意的直线 l 不存在. 解法 2: x2 y2 (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为a2+b2=1(a>b>0),且有: 4 9 ? ?a2+b2=1, ? ?a2-b2=4. ? 解得 b2=12 或 b2=-3(舍去).从而 a2=16.

x2 y2 所以椭圆 C 的方程为16+12=1. (2)同解法 1: [点评] 求圆锥曲线的标准方程可以用定义法,也可以用待定系数法,两种方法比较.定义法 计算简单,但又不易想到,待定系数法计算较多.但方法易于掌握,是常规方法.对于探究 性问题,我们的方法都是假设存在.若真的存在,则一定能确定参数的值.若不存在,则一 定能推出矛盾,所以可以大胆假设. 6 13.(2010· 北京文)已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是(- 2,0),( 2,0),离心率是 3 , 直线 y=t 与椭圆 C 交于不同的两点 M、N,以线段 MN 为直径作圆 P,圆心为 P. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标. [解析] 本题考查了圆和椭圆的标准方程. c 6 (1)∵a= 3 且 c= 2,∴a= 3,b=1. x2 ∴椭圆 C 的方程为 3 +y2=1. (2)由题意知点 P(0,t)(-1<t<1), y=t ? ? 由?x2 得 x=± ? 3 +y2=1 ? ∴圆 P 的半径为 - 又∵圆 P 与 x 轴相切, ∴t= -





3 ,解得 t=± 2 ,

故 P 点坐标为?0,±

? ?

3? ?. 2?

x2 14.设 F1、F2 分别是椭圆 4 +y2=1 的左、右焦点. → → (1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求PF1· PF2的最大值和最小值; (2)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、 B, 且∠AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点), 求直线 l 的斜率 k 的取值范围. [解析] (1)方法 1 易知 a=2,b=1,c= 3, 所以 F1(- 3,0),F2( 3,0).设 P(x,y),则 → → PF1· PF2=(- 3-x,-y)· ( 3-x,-y) x2 1 =x2+y2-3=x2+1- 4 -3=4(3x2-8). → → 因为 x∈[-2,2],故当 x=0,即点 P 为椭圆短轴端点时,PF1· PF2有最小值-2;当 x=±2,即 → → 点 P 为椭圆长轴端点时,PF1· PF2有最大值 1.

方法 2 易知 a=2,b=1,c= 3, 所以 F1(- 3,0),F2( 3,0),设 P(x,y),则 → → → → PF1· PF2=|PF1|· |PF2|cos∠F1PF2 → → → → → |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 =|PF1|· |PF2|· → → 2|PF1|· |PF2| 1 =2[(x+ 3)2+y2+(x- 3)2+y2-12] =x2+y2-3.(以下同方法一) (2)显然直线 x=0 不满足题设条件,可设直线 A(x1,y1),B(x2,y2). y=kx+2, ? ? 联立?x2 消去 y,整理得 + y2 = 1 , ? ?4 1 (k2+4)x2+4kx+3=0. 4k 3 ∴x1+x2=- 1,x1x2= 1. k2+4 k2+4 1 由 Δ=(4k)2-4(k2+4)×3=4k2-3>0, 3 3 得 k> 2 ,或 k<- 2 .① → → 又 0°<∠AOB<90°?cos∠AOB>0?OA· OB>0. → → ∴OA· OB=x1x2+y1y2>0. 又 y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4 = -8k2 -k2+1 1+ 1+4= 1 . k2+4 k2+4 k2+4 3k2 -k2+1 1+ 1 >0. k2+4 k2+4 3 =kx+2.



即 k2<4.∴-2<k<2.② 3 3 故由①②得-2<k<- 2 或 2 <k<2. 15.如图所示,已知圆 +1)2+y2=8,定点 A(1,0),C(-1,0),M 为圆上一动点,点 P 在 → → → → → → AM 上,点 N 在 CM 上,且满足AM=2AP,NP· AM=0,NP· AM点 N 的 轨迹为曲线 E.经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线与曲线 E 有两个不同的 交点 P 和 Q.

(1)求曲线 E 的方程; (2)求 k 的取值范围; → → → (3)设曲线 E 与 x 轴、y 轴正半轴的交点分别为 D、B,是否存在常数 k,使得向量OP+OQ与DB 共线?如果存在,求 k 的值;如果不存在,请说明理由. → → [解析] (1)∵AM=2AP,∴P 为 AM 的中点. → → → → 又∵NP· AM=0,∴NP⊥AM ∴NP 为 AM 的垂直平分线 ∴|NA|=|NM|,∵|NC|+|NM|=2 2 ∴|NC|+|NA|=2 2>2 ∴动点 N 的轨迹是以点 C(-1,0)A(1,0)为焦点的椭圆,且 2a=2 2,2c=2 x2 ∴a= 2,c=1,b2=1,∴E 的方程为 2 +y2=1 x2 1 (2)由已知条件设直线 l 的方程为 y=kx+ 2,代入椭圆方程得 2 +(kx+ 2)2=1,整理得(2+ k2)x2+2 2kx+1=0① 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 1 Δ=8k2-4(2+k2)=4k2-2>0 2 2 解得 k<- 2 或 k> 2 , 2 2 ∴k 的范围为(-∞,- 2 )∪( 2 ,+∞) (3)设 P(x1,y1)、Q(x2,y2) → → 则OP+OQ=(x1+x2,y1+y2) 4 2k 由方程①得 x1+x2=- ② 1+2k2 又 y1+y2=k(x1+x2)+2 2③ 而 D( 2,0)、B(0,1) → DB=(- 2,1) → → → ∴OP+OQ与DB共线等价于 x1+x2=- 2(y1+y2) 2 将②③代入上式得 k= 2 . 2 2 由(2)知 k<- 2 或 k> 2 故没有符合题意的常数 k.


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