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人教A版选修【2-2】1.3.4《函数与导数综合问题》ppt课件


第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.4 函数与导数综合问题 栏 目 链 接 1.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调 区间. 2.会用导数求函数的极大值、极小值,会求闭区间 上函数的最大值、最小值. 栏 目 链 接 栏 目 链 接 基 础 梳 理 1.导数的几何意义:函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何 意义是曲线 y=

f(x)在点 P(x0, f(x0))处的切线的斜率. 也就是说, 曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0), 相应地, 切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 2.导数与函数的单调性:一般地,设函数 y=f(x)在某个 区间可导,如果 f′(x)>0,则 y=f(x)为增函数;如果 f′(x)< 0,则 y=f(x)为减函数;如果在某区间内恒有 f′(x)=0,则 y =f(x)为常函数. 栏 目 链 接 基 础 梳 理 3.导数与函数的极值点及极值:曲线在极值点处切线 的斜率为 0,极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切 线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜 率为负,右侧为正. 4.导数与函数的最值:一般地,在区间 [a,b]上连续 的函数 y=f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. 栏 目 链 接 自 测 自 评 1 . 曲 线 y = x(3ln x + 1) 在 点 (1,1) 处 的 切 线 方 程 为 ____________. 栏 目 链 接 答案:4x-y-3=0 自 测 自 评 2.函数 y=1+3x-x3 有( A.极小值-1,极大值 1 B.极小值 1,极大值 3 C.极小值-2,极大值 2 D.极小值-1,极大值 3 答案:D ) 栏 目 链 接 自 测 自 评 3.设 a<b,函数 y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( ) 栏 目 链 接 自 测 自 评 解析:y′=(x-a)(3x-a-2b),由 y′=0,得 x=a a+2b a+2b 或 x= ,∴当 x=a 时,y 取极大值 0;当 x= 时, 栏 3 3 目 y 取极小值且极小值为负.当 x<b 时,y<0;当 x>b 时, y>0,选 C. 答案:C 链 接 栏 目 链 接 题型1 利用导数求函数的单调性 例1 求满足条件的实数a,使y=sin x+ax为R上的增函数. 解析:y′=cos x+a,依题意 y′>0 在 R 上恒成立,所以 a>[-cos x]max=1. 当 a=1 时,函数 y=sin x+x 为 R 上的增函数. 综上所述, a∈[1,+∞). 点评:利用导数求函数的单调性,主要涉及的几类题型:求 单调区间, 判断函数在某区间上的单调性, 根据单调性求参数. 只 要牢牢掌握导函数的符号与原函数单调性的对应关系,这些问题 就不难解决. 栏 目 链 接 跟 踪 训 练 1.已知函数 f(x)=mx3+nx2 (m、n∈R,m≠0),函数 y= f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线与 x 轴平行. (1)用关于 m 的代数式表示 n; (2)求函数 f(x)的单调增区间. 解析:(1)由已知条件得 f′(x)=3mx2+2nx, 又 f′(2)=0,所以 3m+n=0,故 n=-3m. 栏 目 链 接 跟 踪 训 练 (2)因为 n=-3m,所以 f(x)=mx3-3mx2, 所以 f′(x)=3mx2-6mx. 令 f′

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