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【名师点拨】 2014-2015学年高中数学必修1模块过关测试卷


必修 1 模块过关测试卷 (150 分,120 分钟) 一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1. 〈长沙模拟〉 设全集 U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩?UN ={2,4},则 N= ( A.{1,2,3} C.{1,4,5} 2.函数 y ? A.{x|x>1} C.{x|x>0} B.{1,3,5} D.{2,3,4} ) )

x ? lg

x 的定义域为( x ?1

B.{x|x≥1} D.{x|x≥1}∪{0} ) D.-1,-3

3.函数 f(x)= ? x 2 ? 5x ? 6 的零点是( A.-2,3 B.2,3

C.2,-3

4.〈南京部分学校高一统考题〉已知函数 f(x)的定义域为 A,如果对 于属于定义域内某个区间 I 上的任意两个不同的自变量 x1 , x2 都有
f ? x1 ? ? f ? x2 ? >0,则( x1 ? x2



A.f(x)在这个区间上为增函数 B.f(x)在这个区间上为减函数 C.f(x)在这个区间上的增减性不变 D. f(x)在这个区间上为常函数 5.已知定义域为 R 的函数 f(x)在 (8, +∞) 上为减函数, 且函数 y=f(x+8) 为偶函数,则( A.f(6)>f(7) ) B.f(6)>f(9)

C.f(7)>f(9)

D.f(7)>f(10)

6. 〈江西理〉 观察下列各式: 55 ? 3125 , 56 ? 15625 , 57 ? 78125 ,?, 则 52011 的末四位数字为( A.3 125 ) B.5 625 C.0 625
x

D.8 125

7.〈唐山高一考题〉若函数 f(x)= ?1 ? 2a ? 在实数集 R 上是减函数,则 实数 a 的取值范围是(
1 ? A. ? ? , ?? ? ?2 ? 1? B. ? ? 0, ? ? 2?


1? C. ? ? ? ?, ? ? 2? 1 1? D. ? ?? , ? ? 2 2?

8.〈江苏淮安高一检测〉函数 y= 2 x (x≥0)的反函数为( A.y=
x2 (x∈R) 4



B.y=

x2 (x≥0) 4

C.y= 4 x 2 (x∈R)
2

D.y= 4 x 2 (x≥0) )

9.设 a= log5 4 ,b= ? log 5 3 ? ,c= log4 5 ,则( A.a<c<b C.a<b<c

B.b<c<a D.b<a<c

10.对于集合 M, N, 定义 M-N={x|x∈M 且 x ? N},M ? N=(M-N)∪(N -M).设 M={y|y= x2 ? 4x ,x∈R},N={y|y= ?2 x ,x∈R},则 M ? N=( A.(-4,0] C.(-∞,-4)∪[0,+∞) B.[-4,0) D.(-∞,-4)∪(0,+∞) )

11.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x>0 时,f(x)= 2010x ? log2010 x ,则 方程 f(x)=0 的实数根的个数是( A.1 B.2 C.3 ) D.5

图1 12.如图 1,点 P 在边长为 1 的正方形上运动,设 M 是 CD 的中点, 则当 P 沿 A—B—C—M 运动时,点 P 经过的路程 x 与△APM 的面积 y 之间的函数 y=f(x)的图象大致是图 2 中的( )

图2 二、填空题(每题 4 分,共 16 分) 13.已知 C1 :y= loga x , C2 :y= logb x , C3 :y= log c x , C4 :y= logd x 四个函数在 同一平面直角坐标系中的图象如图 3, 其中 a,b,c,d 均为不等于 1 的正 数,则将 a,b,c,d,1 按从小到大的顺序排列为_______.

图3 14.已知函数 f(x)= e
x ?a

(a 为常数).若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,

则 a 的取值范围是________. 15.已知函数 f ( x) ? ?
?(2a ? 3) x ? 4a ? 3( x≥1),
x ?a ( x ? 1)

在(-∞,+∞)上是增函数,

则 a 的取值范围是________. 16.〈山东潍坊高三联考〉某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元, 每生产 x 千件,需另投入成本为 C(x)万元,当年产量不足 80 千件 时,C(x)= x 2 ? 10 x (万元) ;当年产量不小于 80 千件时,C(x) =51x+
10000 -1 450(万元).每件商品售价为 0.05 万元, 通过市场分析, x 1 3

该厂生产的商品能全部售完.则年利润 L (x) (万元) 关于年产量 x (千 件)的函数解析式为_________. 三、解答题(22 题 14 分,其余每题 12 分,共 74 分) 17.〈湖北宜昌统考〉已知集合 A={x|x<-1 或 x>4},B={x|2a≤x≤ a+3},若 B ? A,求实数 a 的取值范围.

18. 〈黄冈模拟〉已知函数 f(x+3) 的定义域为[- 5 ,- 2 ] , 求函数 f(x+1)+f(x-1)的定义域.

19.〈成都高一联考题〉已知函数 y=f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(x) <0(x>0),试判断 F(x)= 过程.
1 在(0,+∞)上的单调性并给出证明 f ( x)

20.已知 f(x)=2+ log3 x ,x∈[1,3],求 y= ? ? f ? x ?? ? +f(x)的最大值及相应的 x
2

的值.

ex a ? 是定义在 R 上的偶函数. 21.设 a>0,f(x)= a ex

(1)求 a 的值;

(2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数.

22.〈山东德州一模〉某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预 测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险 型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资 1 万元时两类 产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元. (1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系式;

(2)该家庭有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金 能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?

参考答案及点拨 一、1. B 点拨:如答图 1 所示,可知 N={1,3,5}.

答图 1 2. A 3. B 4. A 点拨:①当 x1 > x2 时, x1 - x2 >0,则 f( x1 )-f( x2 )>0,即 f( x1 ) 点拨:x
? x( x ? 1)≥0, ? x≥1或x≤0, ? 应满足 ? ∴定义域为{x|x>1}. ? x ? 1 ? 0, 即 ? x ? 1, ? x>0, ? x>0, ? ?

>f( x2 ),∴f(x)在区间 I 上是增函数; ②当 x1 < x2 时, x1 - x2 <0,则 f( x1 )-f( x2 )<0, 即 f( x1 )<f( x2 ),∴f(x)在区间 I 上是增函数. 综合①②可知,f(x)在区间 I 上是增函数. 5. D 点拨:方法一:∵y=f(x+8)为偶函数.∴f(-x+8)=f(x+8).可知函

数 y=f(x)的图象关于直线 x=8 对称.∴f(7)=f(-1+8)=f(1+8)=f(9).又 f(x) 在(8,+∞)上为减函数.∴f(9)>f(10),即 f(7)>f(10),故选 D. 方法二:y=f(x+8)的图象关于 y 轴对称,故由图象向右平移 8 个单位 长度可知 y=f(x)的图象关于直线 x=8 对称. 其他同上. 6. D 7. B 点拨:由已知得 0<1-2a<1,解得 0<a< ,即实数 a 的取
1 2

1? 值范围是 ? ? 0, ? . ? 2?

8. B

点拨: 由 y=2 x(x≥0) 得 x= y
2

2

4

(y≥0).因此, 函数 y=2 x (x

≥0)的反函数是 y= x

4

(x≥0),故选 B.

9. D 点拨:∵a= log5 4< 1,0<log5 3<log5 4<, 1
? b ? ? log 5 3? <log 5 3<log 5 4 ? a . Q c ? log4 5>, 1 ,∴c>a>b.
2

10. C

点拨:∵y= x2 ? 4x = ? x ? 2 ? ? 4 ≥-4,∴M=[-4,+∞).又∵
2

y= ?2 x <0(x∈R),∴N=(-∞,0).依题意,有 M-N=[0,+∞),N -M=(-∞, -4), ∴M ? N=(M-N)∪(N-M)=(-∞,-4)∪[0,+∞).故选 C. 11. C 点拨:设 g(x)= a x ? loga x (a>1),g(x)=0,即 a x ? log 1 x (a>1),
a

函数 y1 ? a , y2 ? log 1 x 的图象有唯一的交点,如答图 2.
x

a

从图中可看出 a ? log 1 x0 ,即 g( x0 )=0,∴g(x)= a x ? loga x (a>1)有唯一
x0 a

的零点.取 a=2 010,则函数 f(x)= 2 010 x + log2010 x 在区间(0,+∞)内有 唯一的零点, 设这个零点为 x0 , 因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以 0, ? x0 也是函数 f(x)的零点.

答图 2 12. A 点拨:依题意,当 0<x≤1 时, S △ APM ? ? 1 ? x ? x ;当 1<x
1 2 1 2

1? 1 ≤2 时, S △APM ? S 梯形ABCM ? S △ABP ? S △PCM ? 1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ?1? ? x ? 1? 2 ? 2? 2

1 1 1 3 ? ? ? ?2 ? x ? ? ? x ? ; 2 2 4 4
1? 1 当 2<x<2.5 时, S △ APM ? S 梯形ABCM ? S 梯形ABCP ? 1 ? ? ?1 ? ? ? 1 ? 2 ? 2? 2

?1 ? 2 x, 0<x≤1, ? 3 1 1 1 5 1 3 ? ?1 ? x ? 2? ? 1 ? ? x ? ? ? x ? . ∴ y ? f ( x) ? ? ?? x ? ,1<x≤2, 再结合 4 2 2 2 4 4 ? 4 5 ? 1 ? ? 2 x ? 4 , 2<x<2.5. ?

图象知应选 A. 二、13. c<d<1<a<b 点拨:如答图 3,作直线 y=1,则它分别与四 个函数的图象交于四点,其横坐标就是底数,从而不难看出, C3 的底 数最小,其次为 C4 的底数,且 C3 和 C4 的横坐标都小于 1,再次为 C1 的 底数,最大的为 C2 的底数,且 C1 和 C2 的横坐标都大于 1.故填 c<d<1 <a<b.

答图 3

答图 4

14. ( -∞,1] 点拨:函数 f(x)= e x?a |的图象如答图 4 所示,其对称 轴为直线 x=a.函数在[a,+∞)上是增函数,由已知条件函数 f(x)在 [1,+∞)上是增函数,可得[1,+∞) ? [a,+∞),则 a≤1,即得

a 的取值范围为(-∞,1]. 15.(1,2]
? 1 2 ? x ? 40 x ? 250(0≤x<80) ? ? 3 16. L (x) =? 10 000 ? ?1 200 ? ? x? ? ? ( x≥80) ? x ? ? ?

点拨: 因为每件商品售价为 0.05

万元,则 x 千件商品的销售额为 0.05×1 000x(万元) ,依题意得:当 0≤x<80 时, L (x) =(0.05×1 000x)-
1 2 1 x ? 40 x ? 250 =- x 2 ? 40 x ? 250 ; 当 x≥80 时, 3 3
10000 x

L(x)=(0.05×1 000x) -51x-

10000 ? +1 450-250=1 200- ? ?x? ?. ? x ?

? 1 2 ? x ? 40 x ? 250(0≤x<80) ? ? 3 所以 L(x)= ? 10 000 ? ?1 200 ? ? x? ? ? ( x≥80) ? x ? ? ?

三、17. 解:当 B= ? 时,只需 2a>a+3,即 a>3; 当 B ≠ ? 时 , 根 据 题 意 作 出 如 答 图 5,6 所 示 的 数 轴 , 可 得
?a ? 3≥2a, ?a ? 3≥2a, 解得 a<-4 或 2<a≤3. 或? ? ?a ? 3< ? 1 ?2a>4,

答图 5

答图 6

综上可得,实数 a 的取值范围为{a|a<-4 或 a>2}. 点拨:在遇到“A ? B”或“A ? B 且 B≠?”时,一定要分 A=? 和 A ≠? 两种情况进行讨论,其中 A=? 的情况易被忽略,应引起足够的 重视. 18. 解:∵-5≤x≤-2,∴-2≤x+3≤1,故函数 f(x)的定义域为[-

2,1].由 ?

??2≤x ? 1≤1, 可得-1≤x≤0,故函数 f(x+1)+f(x-1)的定义域为 ??2≤x ? 1≤1,

[-1,0]. 19. 解:F(x)在(0,+∞)上为减函数.下面给出证明:任取 x1 , x2 ∈(0,+ ∞),且Δ x= x2 - x1 >0, ∴Δ Y=F( x2 )-F( x1 )=
f ? x1 ? ? f ? x2 ? 1 1 .∵y=f(x)在(0,+∞) ? ? f ? x2 ? f ? x1 ? f ? x2 ? f ? x1 ?

上为增函数,且Δ x= x2 ? x1 >0, ∴Δ y=f( x2 )-f( x1 )>0,即 f( x2 )>f( x1 ). ∴f( x1 )-f( x2 )<0. 而 f( x1 )<0,f( x2 )<0,∴f( x1 )f( x2 )>0. ∴F( x2 )-F( x1 )<0,即Δ Y<0.又∵Δ x>0, ∴F(x)在(0,+∞)上为减函数. 20.解:∵f(x)=2+ log3 x ,x∈[1,3] ,
2 ∴y= ? ? f ? x ?? ? ? f ( x) ? ? log3 x ? ? 5log3 x ? 6 , 2

其定义域为[1,3]. 令 t= log3 x ,∵t= log3 x 在[1,3]上单调递增,∴0≤t≤1.
2 ∴ y= ? ? f ? x ?? ? ? f ( x) ? t ? 5t ? 6 (0 ≤ t ≤ 1). 从而要求 y= ? ? f ? x ?? ? ? f ( x) 在 2 2

2 [1,3]上的最大值,只需求 y= t ? 5t ? 6 在[0,1]上的最大值即可.∵

y= t 2 ? 5t ? 6 在[0,1]上单调递增,∴当 t=1,即 x=3 时, y max =12.∴当 x=3 时,y= ? ? f ? x ?? ? ? f ( x) 的最大值为 12.
2

21.(1)解:依题意,对一切 x∈R 有 f(x)=f(-x), 即
ex a 1 ? x ? x ? ae x . a e ae

1 ?? 1 ? x 所以 ? ? a ? ?? x ? ? e =0 对一切 x∈R 恒成立. a e ? ?? ?

由此可得 a ? =0,即 a 2 =1.又因为 a>0,所以 a=1. (2)证明:任取 x1 , x2 ∈(0,+∞),且 x1 < x2 ,则
f ? x1 ? ? f ? x2 ? = e x1 ? e x2 ?
x1 >0, x2 >0, x1 < x2 ,
1 1 ? x2 x1 e e
? 1 ? ex ?x ? 1 ? x x = ? ex ? ex ? ? = e ? e ? ? 1 ? ? e x ? x ? .由 ? x ?x ? ? ?e ? ? ?
1 2

1 a

2

1

2

1

1

2

1

2

得 x1 + x2 >0, ex ? e x >0, 1 ? e x ? x <0,
2 1
1 2

所以 f( x1 )-f( x2 )<0,即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 点拨: (1)中要注意 f(x)=f(-x)是关于 x 的恒等式, (2)中要注意证 明函数单调性的解题步骤. 22.解: (1)设投资债券类产品、股票类产品的收益与投资 x(万元) 的函数分别为 f(x)= k1 x ,g(x)= k2 x .由已知得 f(1)= 所以 f(x)=
1 x 8 1 1 ? k1 ,g(1)= ? k2 , 8 2

(x≥0),g(x)= 1 x (x≥0).
2

(2)设投资债券类产品为 x 万元,投资获得收益为 y 万元. 依题意得 y=f(x)+g(20-x)=
2

1 x 8

+

1 20 ? x 2

(0≤x≤20).令 t= 20 ? x (0

≤t≤ 2 5 ),则 y= 20 ? t ? 1 t ? ? 1 ? t ? 2 ?2 ? 3 .
8 2 8

所以当 t=2,即 x=16 时,收益最大,其最大收益是 3 万元. 答:将 16 万元用于投资债券类产品,4 万元用于投资股票类产品, 能使投资获得最大收益,其最大收益是 3 万元.


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