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一道第二十四届“希望杯”高二竞赛题的研究


福建 中学数 学  

2 0 1 4 年第 5 期  



道第二十 四届 “ 希望杯 "高二竞赛题 的研 究 
竹晓文  浙江省绍兴市越州中学 ( 3 1 2 0 7 5 )  
即数 列  + (   )   } 从第 2项 起是常 数列 .  


题 目

记数 列 { a   } 的前 项 和为 S   ,若 4 S   =a 川 


3  

3,a   =0, 则用 n 表 示数 列通 项 a n , 是— — .   这是 一 道 二 十 四届 “ 希望 杯 ” 全 国数学 邀 请 赛高 
" (   6 2 - } 一   9=   2 1
,  


二 第一 试 试题 ,本文 从 一题 多解 ,一 题 多 变两 个 角 

f 0,   =1 ,  


度对试题进行研究 ,希望对同学们有所帮助.   1一题多解  解法 1’ . ’ a l = 0 ,. ? . 4 S l = a 2 - 3  3 ,即  2 = 1 2 ,   4   =a  一 3  - 3,故 当 / 7 ≥2时 ,  
? ‘ .

“   一 1   2 1 × 5   一 2 — 3 ” , " ≥ 2 .  

点评 构 造常 数列 求递推 数列 通项 ,利 用常数 列  的特性 ,往往 能 获得简 捷 的解法 .   2 一题 多变 

4 a  : 4 S



4   l =a  】 一a  一3   “ +3  一3+3 ,  

,  

即a   l =5 a   +2 × 3  ,  . ‘ a  l +3   =5 ( 臼   + 3   ) ,  

变式 l  ( 第一届世界数学团体锦标赛样题)已  

故从第 2 项起数列{  + 3 ” } 成等比 数列,  
at  

知数列 { a   } 中, a   = 1 1 ,   。 = 3 a  4 n + 2 , 则   = 一.  
解法 1  a  = 3 a   - 4 n + 2 ,  


+3  =( a 2 +9 ) × 5   =2 1 X 5   ,  
r 0 ”一1.  

‘ a   =3 a  1 — 4 ( n 一 1 ) + 2, , ? ≥2,  

即口  

2 1

两 式相减得 a  I 一 口 ,   =3 ( a   一 “   1 ) 一 4 ( n  2 ) ,  
.  
。 . .

x5 "2—3  , ”≥ 2

a n + 1 一a n 一2=3 ( a   一a   一 1 —2 ) (  ≥2 ) ,  


解法 2 ’ . ’ a 1 =0, . ? . 4 S l =a 2 -3   3,即 a 2 = 1 2,  
. ? . ‘

?

{   - a . 一 2 } 是首项 为 1 8 , 公 比为 3的等 比数列 ,  

4   =a   + 。 一 3  一 3,. 。 . 当 "≥2 时,  
. .

‘ a   一a   一 2 =1 8 × 3  ‘ 与a   =3 a ,   -4 n + 2 联立 ,  
‘a  = 3 ”   ’ +2 n
. 

4a  = 4   一4   1= a  1 一a  一3   +3  一3+ 3,  

I I ] 1   a . + I =5 a +2 x 3  
设  =   a n,则 
’ . . 

.  

=   a n +   2(   3  

解法 2  a n + l :   一 4   + 2 = = >  

:   2 ( n +   2 - 4 n

,  

+ 

一  

=  

(   ) ” ( ” ≥2 ) ,  

3 ” + l   +  3 + I   = 鲁 3 Ⅳ   +  3 ,  



( 6   一  一   ) + ( 6  一  一 2 ) + … +(  一  ) +b 2  



 

l (   )   + (   ) ” 一 2 + ? 一 + c 詈 )   l +   1 2  
?

{ 三   _ 2 ’ 即 数 列 {  } 是 常 数 列 .  
‘ 。 — —  :  
. . 

一— —  
:  

一J 3   ,  ‘  “ ~”  一


. )  

+2 ". ‘    
1_ 二  



 

学+   :  
卜  

变式 2  ( 第 二十一 届” 希望 杯” 高 一培 训题 )正 
数数列 { a   } 的 前  项 和 为 S   ,且 对 一 切 ∈N+ 都 有 

f 0, ”=1 ,  


+ T / a   一 6 n = 3 .( 1 )求 { 以   } 的通项公式;( 1 )令 


?

? 

” 

1 2 1 × 5   2 — 3 ” , n  2 .  

( a   一 2 ) 【  + 1 ) ,求 {  } 的前 项 和  .  

解法 3 ‘ . ‘ 0 1 = 0 ,. ? . 4 S 1 = a 2 - 3   - 3 ,即a 2 = 1 2 ,   4   =a n + 1 - 3  一 3,. ‘ . 当, z  2 时,  
?

解  ( 1 )当 = 1 时,2  +  一 6 = 3 ,得 以 , = 3 ;  
当 ≥2时 ,’ . ’ 2 S +/ T a   一 6 n :3 ① 
‘ .





4 a  : 4 S  一4 S  l: a   + 1 一a  一3   +3 ”一3+3 ,  
n +l 即  + 。 =   +2 × 3  ,. _ . a

2 S   1 + (   一1 ) a   l 一 6 ( n 一1 ) =3 ② 


 



n + 



( j 3 )  
,  

①一 ②得 (   + 2 ) a   = (   - 1 ) a   。 + 6.  

5  

可化为 (   + 2 ) ( 口   一 2 ) = (   — 1 ) ( 口   一 . 一 2 ) ,  
,  

l t   b . +   一  =   2 (   3 )   ( " ≥2 ) 设  =   a n  ̄


两边 同乘 以 (   + 1 )  ,  

得( " +2 ) ( " + 1 ) n ( a   一 2 ) =(   +1 ) n ( n 一 1 ) (   一 2 ).   即  + 。 +(   )   =  + (   )   (  ≥2 ).  

故数列 { ( ” + 2 ) ( 即 + 1 ) n ( a   一 2 ) } 是常数列,  

2 0 1 4年第 5 期 

福建 中学数 学  
与(  + 2 ) a   =( " 一 1 ) a   一 1 + 1 2 n 一 6比较 ,  
得 A=一 3, B:1 ,  

4 7  

得( 7 / + 2 ) ( 月 + 1 ) n ( a   一 2 ) =3 × 2 x l ( a l 一 2 ) =6,  


.以 = 2+ 

.  

( 胛 + 1 ) ( , z + 2 )  

即(   + 2 ) (  一 3 n + 1 ) =( " 一 1 ) [  一 1 — 3 ( n 一 1 ) +1 ] ,   两边 同乘 以  + 1 ) n,  

( 2 )略.  

变 式 3正数数列  } 的前 项和为  ,且对一 
切  ∈ N+ 都有 2  + 7 / a   一 6 n  = 3, 求  } 的通 项公 式 .  

得( , z + 2 ) (   + 1 ) n ( a   一 3 n +1 )  


(  + 1 ) n ( n —1 ) [  一 I 一 3 ( n 一1 ) +1 ] ,   (   +2 ) (   + 1 ) n ( a   一 3 n +1 )  
3 × 2× 1 x (   一3 +1 ) :6,  
”  ‘  

解 当/ 7 = 1 时,2  +   1 一 n = 3 ,得 a 1 = 3 ;  
当F / ≥2 时 ,2   +F / a   一6 n  =3 ,  
2  


故数 列 {   +2 )   +1 ) n ( a   一 3 n +1 ) } 是常 数列 ,  
.  .



+( i v / 一 1 ) a   一 1 — 6 ( n 一1 )   =3,  



两 式相 减 ,整理 得 ( 7 / +2 ) a   =( 7 / — 1 ) a  + 1 2 n 一 6,  

令( 7 / + 2 ) (  +  胛 + B ) : (   一 一 1 ) [  1 + A ( n 一 1 ) +  ]  
(   +2 ) a   =(   一1 ) a   一 l 一 4 A n +  一 3  



道 “ 希望杯 "竞赛题 的研 究 
蔡 苏兰  戴 志祥   浙江省 绍 兴市 高级 中 学 ( 3   1 2 0 0 0 )  

题目   ( 第 二十 一届 “ 希 望 杯” 高 二第 2试 ) 已知 


b   e   R + , _ R   a 6 = 2 , 则   ≥   的 最 小 值 是 一 ?  
本文 从 二 个 角 度对 问题 进行 研 究 ,先对 问题 作 

腿 赤 +  
将 这 二式相 加得 :  
—  

2  : 争  


b ( 2 +a 2 ) +a ( 2 +b 2 )  
2  a   。2  b  
+  +—



题多解 ,然后对问题作多方面变式,供大家参考 .   1一题多解  解法 1 ’ . ’  , b ∈ R + ,且 a b = 2 ,.   . b = 二,  

1 6  

2  


,  

2 b+a b 2 a+ 2 b+a b ( 2 + a 2 ) +a ( 2 + b 2 ) 2
— —

a+




. 







1 6  

1 6  
  — —

4  
2— — =—— .  

b  

— —

’  



+—



口 + b   + b  口 + b  2 √  
一— — = — —

√ 2  
2  

2+Ⅱ   。2+b  

2  

4  

4  

4  

一   2   +   6 / 2 +   2   +   b   2 +   + 。 麦  1 。 4  
? 
?

等 号成 立仅 当 a=b =4 2,  
? . .  

a 

+  

的最小 值是  4 2
? 

2  

6 / 3  

4+ Ⅱ  

+ 丽
4+ a 4  
. .  

 — 2 a ( 2 + — a 2 ) ’  
,  

解法 3 ? . ? 日 , b ∈R + ,且 a b=2,由柯 西不 等式 ,  
得[ 6 ( 2 + a 2 )   ( 2   ) 】 (  
? ? .

( — 2 +   a 2 )  
a   2+ a  
— —

+  

) >( 6  



b  
一 —— 。
. 。



2 4 2 a   √ 2  
— — = —— .  

b ( 2 + a   ) +   ( 2 + 6   ) =2 ( 口 + 6 ) +  b + b 2 a =4 ( 日 + 6 ),  
_ + ,  
2+a   2+b   a b 4 >一 a+b> 2





+ — — 

 

2   a  

2  b  

4 a  

4a  

2  

. 

:  

.  

等一 … … g r, " 当   =b =   ,  
? .


4  

4  

2  

丽b +  

的最小值是  .  

等号成立仅 当  = b = √  ,  
? . .  

+  

的最小值是  ?  

解法 2 ? . ?  , 6 ∈ R + ,且 口 , , = 2 ,由均值不等式 ,  
得  +   b ( 2 +   a 2 ) ≥2  

解法 4 ‘ . ‘ a , b ∈R+ ,且 a b=2,  
:   ,  
‘ ? ‘ 

b  
+ 

口  

b  
+ 

a  

a  + b 。  
’  


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