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2013届复旦大学附中高三数学一轮复习单元训练:直线与圆


复旦大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:直线与圆 第Ⅰ卷(选择题 是符合题目要求的) 1.已知圆 C1 : ( x ? 1) + ( y ? 1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的
2 2

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项

方程为(

)
2 2

A. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1 C. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2

B. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2

2

2

D. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

【答案】B 2.如果两条直线l1: ax ? 2 y ? 6 ? 0 与l2: x ? (a ? 1) y ? 3 ? 0 平行,那么 a 等于(
2 3

)

A.1 【答案】D

B.-1

C.2

D.

3.A(1,3),B(5,-2),点 P 在 x 轴上使|AP|-|BP|最大,则 P 的坐标为( A. 【答案】B 4.已知三点 A(-2,-1)、B(x,2)、C(1,0)共线,则 x 为( A.7 【答案】A 5.已知正数 x,y 满足 x ? y ? 1, 则
2 2

)

(4,0)

B. (13,0)

C. (5,0)

D. (1,0) ) D.-1

B.-5

C.3

xy x? y

的最大值为(

)

A.

2 5 15

B.

2 4

C.

5 5

D.

2 2

【答案】B 6.已知直线 l1 : (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0 ,与 l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则 k 的值是( A.1 或 3 【答案】C 7.方程 x 2 +y 2 -x+y+m=0 表示圆则 m 的取值范围是( A. m≤2 【答案】C 8.已知点 M ?a, b ? 关于 x 轴、 y 轴的对称点分别为 N 、 P ,则 PN ? ( A. 0 C. 2 a ? b
2 2

)

B.1 或 5

C.3 或 5 )
1 2

D.1 或 2

B. m<2

C. m<

D. m ≤

1 2

)

B.

a ?b
2

2

D. 2a

【答案】C 9.当圆 x2+y2+2x+ky+k2=0 的面积最大时,圆心坐标是( A.(0,-1) 【答案】B 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x ? y ? 4 上有且仅有四个点到直线 12x―5y+c=0 的距离
2 2

) D.(-1,1)

B.(-1,0)

C.(1,-1)

为 1,则实数 c 的取值范围是( A. (― 13 , 13 ) C.[― 13 , 13 ] 【答案】D

) B.[―13,13] D. (―13,13)

11.圆的标准方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 3 ,则此圆的圆心和半径分别为(
2 2

)

A. (?1,1) , 3 【答案】B

B. (1,?1) ,

3

C. (?1,1) , 3

D. (1,?1) , 3

12.直线 x ? y ? m ? 0与圆x ? y ? 2 x ? 1 ? 0 有两个不同交点的一个充分不必要条件是(
2 2

)

A. ?3 ? m ? 1 【答案】C

B. ?4 ? m ? 2

C. 0 ? m ? 1 共 90 分)

D. m ? 1

第Ⅱ卷(非选择题
?
2

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知 a ? R ,且 ? ? k? ? , k ? Z 设直线 l : y ? x tan ? ? m ,其中 m ? 0 ,给出下列结
?

论:① l 的倾斜角为 arctan(tan ? ) ;② l 的方向向量与向量 a ? (cos ? , sin ? ) 共线;③ l 与直 线 x sin ? ? y cos ? ? n ? 0 ( n ? m) 一定平行;④若 0 ? a ?
?
4 ? ? ;⑤若 ? ? k? ?

?
4

,则 l 与 y ? x 直线的夹角为

?
4

, k ? Z ,与 l 关于直线 y ? x 对称的直线 l ? 与 l 互相垂直.其中 (写出所有真命题的编号) .

真命题的编号是 【答案】②④

14.以点(2,-1)为圆心且与直线 x+y=6 相切的圆的方程是 【答案】 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

25 2

15.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x ? 6 x ? 1 与坐标轴的交点都在圆 C 上,则圆 C 的方程
2


2



【答案】

x ? y ? 6 x ? 2 y ? 1 ? 0 ( ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9 )
2 2 2

16.直线 l 1 过点(3,0),直线 l 2 过点(0, 4);若 l 1 ∥l 2 且 d 表示 l 1 到 l 2 之间的距离, 则 d 的取值范围是 【答案】 0 ? d ? 5 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 。

17.已知动圆 C 过点 A(-2,0),且与圆 M : ? x ? 2 ?2 (1)求动圆 C 的圆心的轨迹方程;

? y

2

? 64 相内切.

(2)设直线 l : y ? kx ? m (其中 k , m ? Z ) 与(1)中所求轨迹交于不同两点 B,D 与双曲线 x 交于不同两点 若不存在,请说明理由.

2

?

y

2

?1

???? ??? ? E,F,问是否存在直线 l , 使得向量 DF ? BE ? 0 , 若存在, 指出这样的直线有多少条?

4

12

【答案】 (1)圆 M : ? x ? 2 ? ? y ? 64 , 圆心 M 的坐标为 ?2, 0 ? ,半径 R ? 8 .
2 2

∵ AM ? 4 ? R ,∴点 A?? 2, 0 ? 在圆 M 内. 设动圆 C 的半径为 r ,圆心为 C ,依题意得 r ? CA ,且 CM ? R ? r , 即 CM ? CA ? 8 ? AM . ∴圆心 C 的轨迹是中心在原点,以 A, M 两点为焦点,长轴长为 8 的椭圆,设其方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1?a ? b ? 0 ? ,

则 a ? 4, c ? 2 .∴ b ? a ? c ? 12 .
2 2 2

∴所求动圆 C 的圆心的轨迹方程为

x

2

?

y

2

? 1.

16

12

? y ? kx ? m, ? 2 2 2 2 (2)由 ? x 2 消去 y 化简整理得: 3 ? 4k x ? 8kmx ? 4m ? 48 ? 0 y ? ? 1. ? 16 12 ?

?

?

设 B ( x1 , y1 ) , D ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? ① 由 ? x2

8km 3 ? 4k
2

.△ 1 ? ?8km ? ? 4?3 ? 4k
2

2

??4m

2

? 48 ? 0 .

?

? y ? kx ? m, ? 2 2 2 2 消去 y 化简整理得: 3 ? k x ? 2kmx ? m ? 12 ? 0 . y ? ? 1. ? 4 12 ?

?

?

设 E ? x3 , y 3 ?, F ? x 4 , y 4 ? ,则 x3 ? x 4 ?
???? ??? ?

2km 3?k
2

,△ 2 ? ?? 2km ? ? 4?3 ? k
2

2

??m

2

? 12 ? 0 .

?



∵ DF ? BE ? 0 ,∴ ( x4 ? x2 ) ? ( x3 ? x1 ) ? 0 ,即 x1 ? x2 ? x3 ? x4 , ∴?
8km 3 ? 4k
2

?

2km 3?k
2

.∴ 2km ? 0 或 ?

4 3 ? 4k
2

?

1 3?k
2

.解得 k ? 0 或 m ? 0 .
?1 , 0 ,1 ,2,3 ;

当 k ? 0 时,由①、②得 当 m ? 0 ,由①、②得

? 2 3 ? m ? 2 3 ,∵ m ? Z,,∴ m 的值为 ? 3,?2
? 3?k ? 3 ,∵ k ? Z,,∴ k ? ?1, 0, 1 .

∴满足条件的直线共有 9 条. 18. 设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? b( x ? R ) 的图像与两坐标轴有三个
2

交点,经过这三个交点的圆记为 C .求: (1)求实数 b 的取值范围; (2)求圆 C 的方程; (3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论.

【答案】 (Ⅰ)令 x =0,得抛物线与 y 轴交点是(0,b) ; 令 f ? x ? ? x ? 2 x ? b ? 0 ,由题意 b≠0 且Δ >0,解得 b<1 且 b≠0.
2

(Ⅱ)设所求圆的一般方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,
2

2

令 y =0 得 x ? Dx ? F ? 0 这与 x ? 2 x ? b =0 是同一个方程,故 D=2,F= b .
2 2

令 x =0 得 y ? Ey =0,此方程有一个根为 b,代入得出 E=―b―1.
2

所以圆 C 的方程为 x ? y ? 2 x ? (b ? 1) y ? b ? 0 .
2 2

(Ⅲ)圆 C 必过定点(0,1)和(-2,1) .证明如下:将(0,1)代入圆 C 的方程,得左边=0 +1 +2×0-(b+1)+b=0,右边=0, 所以圆 C 必过定点(0,1) . 同理可证圆 C 必过定点(-2,1) .
2

2

19.已知椭圆的一个顶点为 B(0,-1) ,焦点在 x 轴上,若右焦点 F 到直线 x-y+2 2 =0 的距 离为 3. (1) 、求椭圆的方程;(2)、设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 M、N, 直线 l 的斜率为 k(k≠0) ,当|BM|=|BN|时,求直线 l 纵截距的取值范围. 【答案】 (1) 、椭圆方程为 x +3y =3
2 2

(2)设 P 为弦 MN 的中点.由 ?

? y ? kx ? m, ?x 2 ? y ? 1, ? ? 3
2

得(3k +1)x +

2

2

6kmx+3(m -1)=0.由Δ >0,得 m <3k +1

2

2

2

①,∴xP= x

M

? xN 2

??

3mk 3k ? 1
2

,从而,yP=kxp+m



m 3k ? 1
2

.∴kBP= ?
2

m ? 3k ? 1
2

.由 MN⊥BP,得
2

3km

?

2 m ? 3k ? 1 =- 1

,即 2m=3k +1 ②.将

2

3km

k

②代入①,得 2m>m ,解得 0<m<2.由②得 k =(2m-1)/3>0.解得 m>1/2.故所求 m 的取值范 围为(1/2,2) . 20.两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)和 B(-3,-1),并且各自绕着 A,B 旋转,如果两条平行直 线间的距离为 d. 求:1)d 的变化范围; 2)当 d 取最大值时两条直线的方程。 【答案】 (1)方法一:①当两条直线的斜率不存在时,即两直线分别为 x=6 和 x=-3,则它们之 间的距离为 9. ②当两条直线的斜率存在时,设这两条直线方程为 l1:y-2=k(x-6),l2:y+1=k(x+3), 即 l1:kx-y-6k+2=0,l2:kx-y+3k-1=0, |3k-1+6k-2| 3|3k-1| ∴d= = . 2 2 k +1 k +1 2 2 2 即(81-d )k -54k+9-d =0. ∵k∈R,且 d≠9,d>0, ∴Δ =(-54) -4(81-d )(9-d )≥0,即 0<d≤3 10且 d≠9.
2 2 2

综合①②可知,所求 d 的变化范围为(0,3 10]. 方法二:如图所示,显然有 0<d≤|AB|.

而|AB|= ?6+3? +?2+1? =3 10. 故所求的 d 的变化范围为(0,3 10]. (2)由图可知,当 d 取最大值时,两直线垂直于 AB. 2-?-1? 1 而 kAB= = , 6-?-3? 3 ∴所求直线的斜率为-3. 故所求的直线方程分别为 y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),即 3x+y-20=0 和 3x+y+10=0. 21.设圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长之比为 3:1;③圆心到直 线 l : x ? 2 y ? 0 的距离为
5 5

2

2

,求该圆的方程.

【答案】设圆心为 ( a, b) ,半径为 r,由条件①: r ? a ? 1 ,由条件②: r ? 2b ,从而有:
2 2 2 2

2b ? a ? 1 .由条件③:
2 2

| a ? 2b | 5

? 2b ? a ? 1 ?a ? 1 可得:? ? ?| a ? 2b |? 1 ,解方程组 ? 5 ?b ? 1 ?| a ? 2b |? 1
5
2 2

或?

? a ? ?1 ?b ? ?1
2

,所以 r ? 2b ? 2 .故所求圆的方程是 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 或
2 2

2

2

( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2

22.已知方程 x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 .
2 2

(Ⅰ)若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (Ⅱ)若(Ⅰ)中的圆与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M,N 两点,且 OM ? ON(O 为坐标原点)求 m 的 值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程. 【答案】 (Ⅰ)
x ? y ? 2x ? 4 y ? m ? 0
2 2

D=-2,E=-4,F= m
D ?E
2 2

? 4 F =20- 4m ? 0 , m ? 5

(Ⅱ)

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 2 2 ?x ? y ? 2x ? 4 y ? m ? 0
5 y ? 16 y ? 8 ? m ? 0
2

x ? 4 ? 2y

代入得

y1 ? y 2 ?

16 5 ,

y1 y 2 ?

8?m 5

∵OM ? ON
m? 8 5

得出:

x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0



5 y1 y 2 ? 8( y1 ? y 2 ) ? 16 ? 0



(Ⅲ)设圆心为 ( a, b)
x1 ? x 2 2 4 5
4 5

a?

?

,b ?

y1 ? y1 2
8 5

?

8 5

r ?

4 5 5

半径

(x ?

) ? (y ?
2

)

2

?

16 5

圆的方程




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