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湖北省宜昌市三峡高级中学、宜昌金东方高级中学2015-2016学年高二数学下学期期中联考试题 理


宜昌金东方高级中学 2016 年春季学期期中考试 高二数学试题(理科)
本试题卷共 4 页,三大题 22 小题。全卷满分 150 分,考试用时 120 分钟。 ★祝考试顺利★ 一.选择题(本大题共 12 个小题,每个小题 5 分,共 60 分。 ) 1.从编号为 1~60 的 60 枚最新研制的某型号导弹中随机抽取 5 枚来进行发射试验,用系统抽样 方法抽取 5 枚导弹

的编号可能是( A.1,3,4,7,9,5, C.5,17,29,41,53 ) B.10,15,25,35,45 D.3,13,23,33,43

2.如右图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 3.双曲线 C 的焦距为 2 3 ,焦点到一条渐近线的距离为 2 ,则双曲线 的标准方程为( A. x ?
2

) B.

y2 ?1 2

x2 ? y2 ? 1 2
D. )

C. x ?
2

y2 x2 ? 1或 y2 ? ? 1 2 2

x2 y2 ? y 2 ? 1或 ? x2 ? 1 2 2

4.下列说法中,正确的是(

A.命题“若 am 2 ? bm 2 ,则 a ? b ”的逆命题是真命题 B.已知 x ? R ,则“ x ? 2 ”是“ x ? 1 ”的必要不充分条件 C.命题“ p 或 q ”为真命题,则命题“ p ”和命题“ q ”均为真命题 D.命题“ ?x ? R ,使得 x ? 1 ”的否定是: “ ? x ? R ,都有 x ? ?1 或 x ? 1 ” 5.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产 A 产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨)的几组对应数据:

x y

3 2.5

4

5 4

6 4.5 )

t

^ 根据上表提供的数据, 求得 y 关于 x 的线性回归方程为y=0.7x+0.35, 那么表中 t 的值为 ( A.3 B.3.15 C.3.5 D.4.5 )

6.已知 m,n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列命题中正确的是( A. 若 ? ? ? , ? ? ? , 则? / / ? C.若 m / / n, m / /? , 则n / /?
2

B.若 m / / n, m ? ? , n ? ? , 则? / / ? D.若 m / / n, m ? ? , n ? ? , 则? / / ?

7. 设抛物线 y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.如果直线 AF 的斜 率为 - 3 ,那么|AF|=( )

1

A. 4 3

B.8

C. 8 3

D.16 )

8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( A. 18 ? 9 3 C. 9 ? 18 2 9 .设 n ? B. 18 ? 9 2 D. 9+18 3

?

?

2 0

2 2 4 sin xdx ,则 ( x ? )( x ? ) n 的展开式中各项系数 x x

和为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10.某家门前挂了两串彩灯,两串彩灯第一次闪亮相互独立,若接通电源后的 4 秒 内任一时刻闪亮 都等可能发生,每串彩灯在 4 秒内为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时 刻相差不超过 2 秒的概率是( ) A.

1 4

B.

1 2

C.

3 4

D.

7 8

2 2 11. 已知椭圆 C: x ? y ? 1(a>b>0)的离心率为 3 ,过右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的直线与 C 2 2 2 a b

相交于 A、B 两点.若 AF ? 3FB ,则 k =( A.1 B. 2

) C. 3 D.2

12. 函数 y ? f ( x) 图像上不同两点 A( x 处的切线的斜率分别是 k A , kB ,规定 1, y 1 ), B ( x 2 ,y 2 )
? ( A, B) ?
| k A ? k B | 叫做曲线 | AB |
3 2

,给出以下命题: y ? f ( x) 在点 A 与点 B 之间的“弯曲度”

①函数 y ? x ? x ? 1 图像上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1, 2 ,则 ? ( A, B) ? 3; ②存在这样的函数,图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数; ③设点 A 、 B 是抛物线 y ? x ? 1 上不同 的两点,则 ? ( A, B) ? 2 ;
2

④设曲线 y ? e 上不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,且 x1 ? x2 ? 1 ,若 t ? ? ( A, B) ? 1 恒成立,则实
x

数 t 的取值范围是 (??,1) .以上正确命题的序号为( ) A. ①② B. ②③ C. ③④

D.

②③④

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置) 13.7 个人排成一排,其中甲乙两人相邻且与丙不相邻的方法种数是 .(结果用数字作答)

6 ?? 1? ?? x ? ? , x ? 0, 14. 设函 数 f ( x) ? ?? , 则当 x>0 时 , f [ f ( x)] 表 达式 的展 开 式中 常 数项 为 x? ? x ? 0. ? ? x,

____________. 15 已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,且 0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则_________. 16.已知函数 y=f(x)(x∈R),对函数 y=g(x)(x∈I),定义 g(x)关于 f(x)的“对称函数”为函 数 y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意 x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x)) 对称.若 h(x)是 g(x)= 4-x 关于 f(x)=3x+b 的“对称函数”,且 h(x)>g(x)恒成立,则实 数 b 的取值范围是________.
2 3 2

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. 我校数学老师这学期分别用 A, B 两种不同的教学方式试验 高二甲、乙两个班(人数均为 60 人,入学数学平均分数和优秀 率都相同,勤奋程度和自 觉性都一样).现随机抽取甲、乙两 班各 20 名的数学期末考试成绩,得到茎叶图: (1)现从甲班数学成绩不得低于 80 分的同学中随机抽取两名 同学,求成绩为 86 分的同学至少有一个被抽中的概率; (2)学校规定:成绩不低于 85 分的为优秀,请画出 2×2 列联表,并判断“能否在犯错误的概 率不超过 0.025 的前提下认为成绩优秀与教学方式有关?” 下面的临界值表供参考:

P(K2≥k0) k0
参考公式: K 2 ?

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n(ad ? bc)2 ,其中 n=a+b+c+d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

18. 某同学在篮球场上进行投篮训练,先投“2 分的篮”2 次,每次投中的概率为 次得 2 分,不中得 0 分;再投“3 分的篮”1 次,每次投中的概率为

4 ,每投中一 5

2 ,投中得 3 分,不中得 0 3

分,该同学每次投篮的结果相互独立,假设该同学要完成以上三次投篮。 (1)求该同学恰好有 2 次投中的概率; (2)求该同学所得分 X 的分布列。

2 2 19. 命 题 p : y ? (a ? 4a ? 5) x ? 4(a ?1) x ? 3 的 图 象 全 在 x 轴 的 上 方 , 命 题 q : 函 数

2 f ( x)? x ? 4 x? 在 3 ?0, a ? 的值域为 [?1,3] ,若 p ? q 为假命题,求实数 a 的取值范围。

20. 如图,已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各棱长都是 4, E 是 BC 的中点, 动点 F 在侧棱 CC1 上,且不与点 C 重合. (1)当 CF ? 1 时,求证: EF ? A1C ; (2)设二面角 C ? AF ? E 的大小为 ? ,求 tan ? 的最小值.

3

21.已知 F1、F2 为椭圆 E 的左右焦点,点 P (1, ) 为其上一点,且有 | PF 1 | ? | PF 2 |? 4 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2) 过 F1 的直线 l1 与椭圆 E 交于 A、 B 两点, 过 F2 与 l1 平行的直线 l2 与椭圆 E 交于 C、D 两点, 求四边形 ABCD 的面积 S ABCD 的最大值.

3 2

22.已知函数 f ( x) ? x(a ? ln x) 有极小值 ?e?2 . (1)求实数 a 的值; (2)若 k ? Z ,且 k ?

f ( x) 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值; x ?1

(3)当 n ? m ? 1,(n, m ? Z ) 时,证明: mnn

?

? ? ?nm ? .
m m n

高二数学理科 CBCD ADBA CCBB 13.960 14.-20 15.

? 6,9?

16.(2 10,+∞)

17. (1)记成绩为 86 分的同学为 A,B,其他不低于 80 分的同学为 C,D,E,F “从甲班数学成绩不得低于 80 分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件 有:(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(A,F)(B,C)(B,D)(B,E)(B,F)(C,D) (C,E)(C,F)(D,E)(D,F)(E,F)一共 15 个, “抽到至少有一个 86 分的同学”所组成的基本事件有:(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(A, F )(B,C)(B,D)(B,E)(B,F)共 9 个,---------(6 分) 故 P= 9 15 = 3 5 (2) 甲班 优秀 3 乙班 10 合计 13

4

不优秀 合计 ∴K = 40×(3×10?10× 2 17)
2

17 20

10 20

27 40

13×27×20×20 ≈5.584>5.024, 因此在犯错误的概率不超 过 0.025 的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关.

18.

19. 当 P 为真时 1 ? a ? 19

当 q 为真时 2 ? a ? 4

因为 P 和 q 都为假,所以 a ? 19或a ? 1 20.如图,已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各棱长都是 4, E 是 BC 的中点,动点 F 在侧棱 CC1 上,且不与点 C 重合.

5

(1)当 CF ? 1 时,求证: EF ? A1C ; (2)设二面角 C ? AF ? E 的大小为 ? ,求 tan ? 的最小值. 解:法一:过 E 作 EN⊥A C 于 N,连接 EF. 如图 1,连接 NF、AC1, 由直棱柱的性质知,底面 ABC⊥侧面 A1C, 又底面 ABC∩侧面 A1C=AC,且 EN? 底面 ABC,所以 EN⊥侧面 A1C.NF 为 EF 在侧面 A1C 内的射影, 在 Rt△CNE 中,CN=CEcos60°=1. 则由

CF CN 1 = = ,得 NF∥AC1,AC1⊥A1C,故 NF⊥A1C. CC1 CA 4

由三垂线定理知 EF⊥A1C?????(6 分) 如图 2,连接 AF,过 N 作 NM⊥AF 于 M,连接 ME. 由(1)知 EN⊥侧面 A1C,根据三垂线定理得 EM⊥AF, 所以∠EMN 是二面角 C-AF-E 的平面角,即∠EMN=θ . 设∠FAC=α ,则 0°<α ≤45°.在 Rt△CNE 中,NE=EC·sin60°= 3, 在 Rt△AMN 中,MN=AN·sinα =3sinα , 故 tanθ = = 故当 sinα =

NE 3 2 .又 0°<α ≤45°,∴0<sinα ≤ . MN 3sinα 2

2 3 6 ,即当 α =45°时,tanθ 达到最小值,tanθ = × 2= ,此时 F 与 C1 重 2 3 3 合.?.(12 分) 法二:(1)建立如图 3 所示的空间直角坐标系,连接 EF,AF, 则由已知可得 A(0,0,0),B(2 3,2,0),C(0,4,0),A1(0,0,4),E( 3,3,0),F(0,4,1), 于是 CA1― →=(0,-4,4),EF― →=(- 3,1,1). 则 CA1― →·EF― →=(0,-4,4)·(- 3,1,1) =0-4+4=0,故 EF⊥A1C. ??.(6 分) (2)设 CF=λ ,(0<λ ≤4),平面 AEF 的一个法向量为 m=(x,y,z),则由(1)得 F(0,4,λ ).
? →=0, ?m·AE― AE― →=( 3, 3,0), AF― →=(0,4, λ ), 于是由 m⊥AE― →, m⊥AF― → 可得? ?m·AF― →=0, ?

即?

? 3x+3y=0, ?4y+λ z=0.

取 m=( 3λ ,-λ ,4).又由直三棱柱的性质可取侧面 A1C 的一个法向量

为 n=(1,0,0), |m·n| 3λ 于是由 θ 为锐角可得 cosθ = = , |m|·|n| 2 λ 2+4 λ +16 2 λ +4
2 2

sinθ =

,所以 tanθ =

λ +16 3λ

2



1 16 1 1 + ≥ ,即 tanθ ≥ 2 . 由 0 < λ ≤4,得 3 3λ λ 4

1 1 6 + = . 3 3 3

6

故当 λ =4,即点 F 与点 C1 重合时,tanθ 取得最小值

6 ?????..(12 分) 3

21(1)设椭圆 E 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

2a ? 4 ,? a ? 2 由已知 | PF 1 | ? | PF 2 |? 4 得
又点 P (1, ) 在椭圆上,?

3 2

1 9 ? 2 ?1 ? b ? 3 4 4b

x2 y 2 ? ?1 椭圆 E 的标准方程为 4 3
(2)由题意可知,四边形 ABCD 为平行四边形 ? S ABCD =4 S?OAB 设直线 AB 的方程为 x ? my ? 1 ,且 A( x1,y1 )、B( x2 ,y2 )

? x ? my ? 1 ? 由 ? x2 y2 得 (3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4
6m 9 , y1 y2 ? ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4 1 1 S?OAB = S?OF1 A + S?OF1B = | OF1 | ? | y1 ? y2 | = | y1 ? y2 | 2 2 y1 ? y2 ?
=

1 2

( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 = 6

m2 ? 1 (3m2 ? 4)2
1 t =6 , 2 1 (3t ? 1) 9t ? ? 6 t

2 令 m ? 1 ? t ,则 t ? 1

S?OAB = 6

又? g (t ) ? 9t ? 在 [1, ??) 上单调递增

1 t

? g (t ) ? g (1) ? 10

? S?OAB 的最大值为

3 2

所以 S ABCD 的最大值为 6. 22.(1)a=1 (2)k 的最大值是 3. (3)只需证明

m n ln m ? ln n(1 ? m ? n) m ?1 n ?1

构造函数 h( x ) ?

x ln x x ?1

7


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