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1993年全国高中数学联合竞赛试卷


1993 年全国高中数学联合竞赛试卷
第 一.选择题(每小题 5 分,共 30 分) 一 试

1. 若 M={(x,y)| |tg?y|+sin ?x
2

? 0},N={(x,y)|
(C)8

x2+y2≤2},则 M
(D)9

? N 的元素个数是(





(A)4 2. 已知 f (A)?5

(B)5

(x)=asinx+b+4(a,b 为实数),且 f (lglog310) (B)?3 (C)3

? 5,则 f(lglg3)的值是(



(D)随 a,b 取不同值而取不同值

3. 集合 A, B 的并集 A (A)8

? B={a ,a ,a },当 A?B 时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则这样的(A,B)对的个数是(
1 2 3



(B)9

(C)26

(D)27

4.

? 若直线 x= 4 被曲线 C:(x-arcsina)(x-arccosa)+(y-arcsina)(y+arccosa)=0 所截的弦长为 d, 当 a 变化时
d 的最小值是(
(A) )

? 4

(B)

? 3

? (C) 2

(D)?

5.

sin C ? A ? cos C ? A 2 2 的值 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,若 c?a 等于 AC 边上的高 h,则
是( )

(A)1

(B)

1 2
y o
F2 F1

(C) 3

1

(D)?1

y
F2 F1

y x
F2 F1

y

o
F2

x

o

x

F1

O (A)

x (B) (C) (D)

6. 设 m,n 为非零复数,i 为虚数单位,z?C,则方程| z+ni|+| z-mi|=n 与| z+ni|-|z-mi|=-m 在同一复平 面内的图形(F1,F2 为焦点)是( 二.填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 二次方程(1-i)x +(?+i)x+(1+i?)=0(i 为虚数单位,??R)有两个虚根的充分必要条件是 ? 的取值范围为
2

)

________.

2. 实数 x,y 满足 4x -5xy+4y =5,设

2

2

1 ? 1 ? S Smin _____ S=x +y ,则 max
2 2

__.

-1-

3.

5? 若 z?C,arg(z ?4)= 6
2

? ,arg(z +4)= 3 ,则 z 的值是_
2

_______.

4.

? 1093 ? ? 31 ? 整数 ?10 ? 3 ? 的末两位数是_______.

logx0 1993? log x1 1993? logx2 1993 k ? logx0 1993
5. 设任意实数 x0>x1>x2>x3>0,要使 最大值是_____ __.
x1 x2 x3



x3

恒成立,则 k 的

6. 三位数(100,101,?,999)共 900 个,在卡片上打印这些三位数,每张卡片上打印一个三位数,有的卡片所印的, 倒过来看仍为三位数,如 198 倒过来看是 861;有的卡片则不然,如 531 倒过来看是 二用,于是至多可以少打印__ 三. (本题满分 20 分) 三棱锥 S-ABC 中,侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直,M 为三角形 ABC 的重心,D 为 AB 的中点,作与 SC 平行的直线 DP.证 明:(1)DP 与 SM 相交;(2)设 DP 与 SM 的交点为 四. (本题满分 20 分) 设 0<a<b,过两定点 A(a,0)和 B(b,0)分别引直线 l 和 m,使与抛物线 y =x 有四个不同的交点,当这四点共圆时, 求这种直线 l 与 m 的交点 P 的轨迹. 五. (本题满分 20 分)
2

,因此,有些卡片可以一卡

___张卡片.

D? ,则 D? 为三棱锥 S-ABC 的外接球球心.

设正数列 a0,a1,a2,?,an,? 满足

anan?2 ? an?1an?2 ? 2an?1 (n≥2)且 a =a =1.求{a }的通项公式.
0 1

n

-2-


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