tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

文科一轮学案3.1导数的概念及运算


第三章

导数及其运算

学案 3.1
【双基梳理】 1.平均变化率

导数的概念及运算
自主预习案
自主复习 夯实基础

一般地,已知函数 y=f(x),x0,x1 是其定义域内不同的两点,记 Δx=x1-x0,Δy=y1-y0=f(x1)-f(x0) f?x0+Δx?

-f?x0? Δy =f(x0+Δx)-f(x0),则当 Δx≠0 时,商 = ,称作函数 y=f(x)在区间[x0,x0+Δx](或[x0 Δx Δx +Δx,x0])的平均变化率. 2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 (1)定义 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 lim → 记作 f′(x0),即 f′(x0)= lim → (2)几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点 线方程为 . 处的切线的斜率.相应地,切
Δx 0

f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim 为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数, → Δx Δx 0 Δx

Δx 0

f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim . Δx Δx→0 Δx

3.函数 f(x)的导函数 如果 f(x)在开区间(a,b)内每一点 x 都是可导的,则称 f(x)在区间 .这样,对开区间(a,b)内每个

值 x,都对应一个确定的导数 f′(x).于是,在区间(a,b)内,f′(x)构成一个新的函数,我们把这个函 数称为函数 y=f(x)的导函数,记为 4.基本初等函数的导数公式 或 y′

y=f(x) y=c y=xn(n∈N+) y=xu(x>0,u≠0 且 u∈Q) y=ax(a>0,a≠1) y=logax(a>0,a≠1,x>0) y=sin x y=cos x

y′=f′(x) y′= y′= y′= ,n 为正整数 ,u 为有理数 y′= y′= y′= y′=

5.导数的四则运算法则 设 f(x),g(x)是可导的,则 (1)[f(x)± g(x)]′= (2)[f(x)g(x)]′= ; ;
-1-

第三章 导数及其运算

f′?x?g?x?-f?x?g′?x? f?x? (3)[ ]′= (g(x)≠0). g?x? g2?x? 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( (2)求 f′(x0)时,可先求 f(x0)再求 f′(x0).( (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) ) ) )

(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( (5)函数 f(x)=sin(-x)的导数是 f′(x)=cos x.( 考点一 导数的运算 )

考点探究案

典例剖析 考点突破

【例 1】求下列函数的导数: (1)y=(3x2-4x)(2x+1); (2)y=x2sin x; (3)y=3xex-2x+e; ln x (4)y= 2 . x +1

变式训练:(1)f(x)=x(2 016+ln x),若 f′(x0)=2 017,则 x0 等于( A.e2 C.ln 2 B.1 D.e )

)

(2)若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于( A.-1 C.2 D.0 B.-2

考点二 导数的几何意义

【例 2】命题点 1 已知切点的切线方程问题 例2 ln x-2x (1)函数 f(x)= 的图象在点(1,-2)处的切线方程为( x B.2x+y=0 D.x+y+1=0 )

A.2x-y-4=0 C.x-y-3=0

(2) 已知函数 y = f(x) 及其导函数 y = f′(x) 的图象如图所示,则曲线 y = f(x) 在点 P 处的切线方程是 ______________.
-2-

第二章

函数与基本初等函数

命题点 2 未知切点的切线方程问题 例3 (1)与直线 2x-y+4=0 平行的抛物线 y=x2 的切线方程是( )

A.2x-y+3=0 B.2x-y-3=0 C.2x-y+1=0 D.2x-y-1=0 )

(2)已知函数 f(x)=xln x,若直线 l 过点(0,-1),并且与曲线 y=f(x)相切,则直线 l 的方程为( A.x+y-1=0 C.x+y+1=0 B.x-y-1=0 D.x-y+1=0

命题点 3 和切线有关的参数问题 1 7 例 4 已知 f(x)=ln x,g(x)= x2+mx+ (m<0),直线 l 与函数 f(x),g(x)的图象都相切,且与 f(x)图象的 2 2 切点为(1,f(1)),则 m 等于( )

A.-1 B.-3 C.-4 D.-2 命题点 4 导数与函数图象的关系 例 5 如图,点 A(2,1),B(3,0),E(x,0)(x≥0),过点 E 作 OB 的垂线 l.记△AOB 在直线 l 左侧部分的面 积为 S,则函数 S=f(x)的图象为图中的( )

变式训练:(1)已知函数 f(x)=x3-3x,若过点 A(0,16)且与曲线 y=f(x)相切的直线方程为 y=ax+16, 则实数 a 的值是________. (2)若直线 y=2x+m 是曲线 y=xln x 的切线,则实数 m 的值为________. 【当堂达标】 1 1.(教材改编)f′(x)是函数 f(x)= x3+2x+1 的导函数,则 f′(-1)的值为( 3
-3-

)

第三章 导数及其运算

A.0 B.3 C.4 D.-

7 3 )

2.如图所示为函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是(

π π 3.设函数 f(x)的导数为 f′(x),且 f(x)=f′( )sin x+cos x,则 f′( )=________. 2 4 4 4.已知点 P 在曲线 y= x 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围是__________. e +1 1 5.(2015· 陕西)设曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为 x ________.

巩固提高案
1.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x,则 f′(1)等于( A.-e C.1 B.-1 D.e ) )

日积月累 提高自我

2.已知曲线 y=ln x 的切线过原点,则此切线的斜率为( 1 A.e B.-e C. e D.- 1 e

3.已知函数 f(x)的导数为 f′(x),且满足关系式 f(x)=x2+3xf′(2)+ln x,则 f′(2)的值等于( 9 9 A.-2 B.2 C.- D. 4 4 4.(2014· 课标全国Ⅱ)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a 等于( A.0 C.2 B.1 D.3 )

)

5.已知 a 为常数,若曲线 y=ax2+3x-ln x 存在与直线 x+y-1=0 垂直的切线,则实数 a 的取值范 围是( ) 1? B.? ?-∞,-2? D.(-∞,-1]
-4-

1 ? A.? ?-2,+∞? C.[-1,+∞)

第二章

函数与基本初等函数

6.设函数 f(x)=x(x+k)(x+2k)(x-3k),则 f′(0)=6,则 k=________. b 7.在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+ (a,b 为常数)过点 P(2,-5),且该曲线在点 P 处的 x 切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是______. 8.(2015· 课标全国Ⅱ)已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a= ________. 9.已知曲线 y=x3+x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限. (1)求 P0 的坐标; (2)若直线 l⊥l1,且 l 也过切点 P0,求直线 l 的方程. b 10.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为定值,并求 此定值.

-5-

第三章 导数及其运算

学案 3.1
【双基梳理】 1.平均变化率

导数的概念及运算
自主预习案
自主复习 夯实基础

一般地,已知函数 y=f(x),x0,x1 是其定义域内不同的两点,记 Δx=x1-x0,Δy=y1-y0=f(x1)-f(x0) f?x0+Δx?-f?x0? Δy =f(x0+Δx)-f(x0),则当 Δx≠0 时,商 = ,称作函数 y=f(x)在区间[x0,x0+Δx](或[x0 Δx Δx +Δx,x0])的平均变化率. 2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 (1)定义 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 lim → 记作 f′(x0),即 f′(x0)= lim → (2)几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率.相应地, 切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 3.函数 f(x)的导函数 如果 f(x)在开区间(a,b)内每一点 x 都是可导的,则称 f(x)在区间(a,b)可导.这样,对开区间(a,b)内 每个值 x,都对应一个确定的导数 f′(x).于是,在区间(a,b)内,f′(x)构成一个新的函数,我们把这 个函数称为函数 y=f(x)的导函数,记为 f′(x)或 y′(或 y′x). 4.基本初等函数的导数公式
Δx 0

f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim 为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数, → Δx Δx 0 Δx

Δx 0

f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim . Δx Δx→0 Δx

y=f(x) y=c y=xn(n∈N+) y=xu(x>0,u≠0 且 u∈Q) y=ax(a>0,a≠1) y=logax(a>0,a≠1,x>0) y=sin x y=cos x

y′=f′(x) y′=0 y′=nxn 1,n 为正整数


y′=uxu 1,u 为有理数


y′=axln a 1 y′= xln a y′=cos x y′=-sin x

5.导数的四则运算法则 设 f(x),g(x)是可导的,则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x);
-6-

第二章

函数与基本初等函数

(2)[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); f′?x?g?x?-f?x?g′?x? f?x? (3)[ ]′= (g(x)≠0). g?x? g2?x? 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( × ) (2)求 f′(x0)时,可先求 f(x0)再求 f′(x0).( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (5)函数 f(x)=sin(-x)的导数是 f′(x)=cos x.( × )

考点探究案
考点一 导数的运算

典例剖析 考点突破

【例 1】求下列函数的导数: (1)y=(3x2-4x)(2x+1); (2)y=x2sin x; (3)y=3xex-2x+e; ln x (4)y= 2 . x +1 解 (1)∵y=(3x2-4x)(2x+1)

=6x3+3x2-8x2-4x=6x3-5x2-4x, ∴y′=18x2-10x-4. (2)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x. (3)y′=(3xex)′-(2x)′+e′ =(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′ =3xexln 3+3xex-2xln 2 =(ln 3+1)· (3e)x-2xln 2. ?ln x?′?x2+1?-ln x?x2+1?′ (4)y′= ?x2+1?2 1 2 ?x +1?-2xln x 2 x x +1-2x2ln x = = . 2 2 ?x +1? x?x2+1?2

变式训练:(1)f(x)=x(2 016+ln x),若 f′(x0)=2 017,则 x0 等于( A.e2 C.ln 2 B.1 D.e )

)

(2)若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于(
-7-

第三章 导数及其运算

A.-1 C.2 D.0 答案 解析

B.-2

(1)B (2)B 1 (1)f′(x)=2 016+ln x+x× =2 017+ln x,故由 f′(x0)=2 017 得 2 017+ln x0=2 017,则 ln x0 x

=0,解得 x0=1. (2)f′(x)=4ax3+2bx,∵f′(x)为奇函数,且 f′(1)=2, ∴f′(-1)=-2.

考点二 导数的几何意义

【例 2】命题点 1 已知切点的切线方程问题 例2 ln x-2x (1)函数 f(x)= 的图象在点(1,-2)处的切线方程为( x B.2x+y=0 D.x+y+1=0 )

A.2x-y-4=0 C.x-y-3=0

(2) 已知函数 y = f(x) 及其导函数 y = f′(x) 的图象如图所示,则曲线 y = f(x) 在点 P 处的切线方程是 ______________.

答案 解析

(1)C (2)x-y-2=0 1-ln x (1)f′(x)= , x2

则 f′(1)=1, 故该切线方程为 y-(-2)=x-1,即 x-y-3=0. (2)根据导数的几何意义及图象可知,曲线 y=f(x)在点 P 处的切线的斜率 k=f′(2)=1,又过点 P(2,0), 所以切线方程为 x-y-2=0. 命题点 2 未知切点的切线方程问题 例3 (1)与直线 2x-y+4=0 平行的抛物线 y=x2 的切线方程是( )

A.2x-y+3=0 B.2x-y-3=0 C.2x-y+1=0 D.2x-y-1=0 )

(2)已知函数 f(x)=xln x,若直线 l 过点(0,-1),并且与曲线 y=f(x)相切,则直线 l 的方程为( A.x+y-1=0 B.x-y-1=0
-8-

第二章

函数与基本初等函数

C.x+y+1=0 答案 解析 (1)D (2)B

D.x-y+1=0

(1)对 y=x2 求导得 y′=2x.设切点坐标为(x0,x2 0),则切线斜率为 k=2x0.

由 2x0=2 得 x0=1,故切线方程为 y-1=2(x-1), 即 2x-y-1=0. (2)∵点(0,-1)不在曲线 f(x)=xln x 上, ∴设切点为(x0,y0).
?y0=x0ln x0, ? 又∵f′(x)=1+ln x,∴? ?y0+1=?1+ln x0?x0, ?

解得 x0=1,y0=0. ∴切点为(1,0),∴f′(1)=1+ln 1=1. ∴直线 l 的方程为 y=x-1,即 x-y-1=0.故选 B. 命题点 3 和切线有关的参数问题 1 7 例 4 已知 f(x)=ln x,g(x)= x2+mx+ (m<0),直线 l 与函数 f(x),g(x)的图象都相切,且与 f(x)图象的 2 2 切点为(1,f(1)),则 m 等于( )

A.-1 B.-3 C.-4 D.-2 答案 D 1 解析 ∵f′(x)= , x ∴直线 l 的斜率为 k=f′(1)=1. 又 f(1)=0,∴切线 l 的方程为 y=x-1. g′(x)=x+m, 设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0,y0), 1 7 则有 x0+m=1,y0=x0-1,y0= x2 +mx0+ ,m<0, 2 0 2 于是解得 m=-2.故选 D. 命题点 4 导数与函数图象的关系 例 5 如图,点 A(2,1),B(3,0),E(x,0)(x≥0),过点 E 作 OB 的垂线 l.记△AOB 在直线 l 左侧部分的面 积为 S,则函数 S=f(x)的图象为图中的( )

-9-

第三章 导数及其运算

答案 D 解析 函数的定义域为[0,+∞),当 x∈[0,2]时,在单位长度变化量 Δx 内面积变化量 ΔS 大于 0 且越 来越大,即斜率 f′(x)在[0,2]内大于 0 且越来越大,因此,函数 S=f(x)的图象是上升的,且图象是下 凸的; 当 x∈(2,3)时,在单位长度变化量 Δx 内面积变化量 ΔS 大于 0 且越来越小,即斜率 f′(x)在(2,3)内大于 0 且越来越小,因此,函数 S=f(x)的图象是上升的,且图象是上凸的; 当 x∈[3,+∞)时,在单位长度变化量 Δx 内面积变化量 ΔS 为 0,即斜率 f′(x)在[3,+∞)内为常数 0, 此时,函数图象为平行于 x 轴的射线. 变式训练:(1)已知函数 f(x)=x3-3x,若过点 A(0,16)且与曲线 y=f(x)相切的直线方程为 y=ax+16,则 实数 a 的值是________. (2)若直线 y=2x+m 是曲线 y=xln x 的切线,则实数 m 的值为________. 答案 解析 (1)9 (2)-e (1)先设切点为 M(x0,y0),则切点在曲线上有 y0=x3 0-3x0,①

2 求导数得到切线的斜率 k=f′(x0)=3x0 -3,

y0-16 又切线 l 过 A、M 两点,所以 k= , x0 y0-16 则 3x2 ,② 0-3= x0 联立①②可解得 x0=-2,y0=-2, -2-16 从而实数 a 的值为 a=k= =9. -2 (2)设切点为(x0,x0ln x0), 1 由 y′=(xln x)′=ln x+x· =ln x+1, x 得切线的斜率 k=ln x0+1, 故切线方程为 y-x0ln x0=(ln x0+1)(x-x0), 整理得 y=(ln x0+1)x-x0,与 y=2x+m 比较得
? ?ln x0+1=2, ? 解得 x0=e,故 m=-e. ?-x0=m, ?

【当堂达标】 1 1.(教材改编)f′(x)是函数 f(x)= x3+2x+1 的导函数,则 f′(-1)的值为( 3 A.0 B.3 C.4 D.- 7 3
- 10 -

)

第二章

函数与基本初等函数

答案 B 1 解析 ∵f(x)= x3+2x+1,∴f′(x)=x2+2. 3 ∴f′(-1)=3. 2.如图所示为函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是( )

答案 D 解析 由 y=f′(x)的图象知 y=f′(x)在(0,+∞)上单调递减,说明函数 y=f(x)的切线的斜率在(0,+ ∞)上也单调递减,故可排除 A,C. 又由图象知 y=f′(x)与 y=g′(x)的图象在 x=x0 处相交,说明 y=f(x)与 y=g(x)的图象在 x=x0 处的切 线的斜率相同,故可排除 B.故选 D. π π 3.设函数 f(x)的导数为 f′(x),且 f(x)=f′( )sin x+cos x,则 f′( )=________. 2 4 答案 - 2 π 解析 因为 f(x)=f′( )sin x+cos x, 2 π 所以 f′(x)=f′( )cos x-sin x, 2 π π π π 所以 f′( )=f′( )cos -sin , 2 2 2 2 π 即 f′( )=-1,所以 f(x)=-sin x+cos x. 2 f′(x)=-cos x-sin x. π π π 故 f′( )=-cos -sin =- 2. 4 4 4 4 4.已知点 P 在曲线 y= x 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围是__________. e +1 3π ? 答案 ? ? 4 ,π? 4 解析 ∵y= x , e +1
- 11 -

第三章 导数及其运算

-4ex -4ex -4 ∴y′= x = = . 2 2x x ?e +1? e +2e +1 x 1 e + x+2 e 1 1 ∵ex>0,∴ex+ x≥2,当且仅当 ex= x=1, e e 即 x=0 时,“=”成立.∴y′∈[-1,0), ∴tan α∈[-1,0).又 α∈[0,π), 3π ? ∴α∈? ? 4 ,π?. 1 5.(2015· 陕西)设曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为 x ________. 答案 (1,1)

1 解析 y′=ex,曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线的斜率 k1=e0=1,设 P(m,n),y= (x>0)的导数为 y′= x - 1 1 1 2 (x>0),曲线 y= (x>0)在点 P 处的切线斜率 k2=- 2 (m>0),因为两切线垂直,所以 k1k2=-1, x x m

所以 m=1,n=1,则点 P 的坐标为(1,1).

巩固提高案
1.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x,则 f′(1)等于( A.-e C.1 答案 B 1 解析 由 f(x)=2xf′(1)+ln x,得 f′(x)=2f′(1)+ . x ∴f′(1)=2f′(1)+1, 则 f′(1)=-1. 2.已知曲线 y=ln x 的切线过原点,则此切线的斜率为( 1 A.e B.-e C. e 答案 C 1 解析 y=ln x 的定义域为(0,+∞),且 y′= , x 1 设切点为(x0,ln x0),则 y′|x=x0= , x0 1 切线方程为 y-ln x0= (x-x0), x0 因为切线过点(0,0),所以-ln x0=-1, 1 解得 x0=e,故此切线的斜率为 . e
- 12 -

日积月累 提高自我

)

B.-1 D.e

)

D.-

1 e

第二章
2

函数与基本初等函数

3.已知函数 f(x)的导数为 f′(x),且满足关系式 f(x)=x +3xf′(2)+ln x,则 f′(2)的值等于( 9 9 A.-2 B.2 C.- D. 4 4 答案 C 解析 因为 f(x)=x2+3xf′(2)+ln x, 1 所以 f′(x)=2x+3f′(2)+ , x 1 9 所以 f′(2)=2×2+3f′(2)+ ,解得 f′(2)=- . 2 4 4.(2014· 课标全国Ⅱ)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a 等于( A.0 C.2 答案 D 解析 令 f(x)=ax-ln(x+1),则 f′(x)=a- B.1 D.3 )

)

1 .由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为 x+1

f′(0)=a-1.又切线方程为 y=2x,则有 a-1=2,∴a=3. 5.已知 a 为常数,若曲线 y=ax2+3x-ln x 存在与直线 x+y-1=0 垂直的切线,则实数 a 的取值范围 是( ) 1? B.? ?-∞,-2? D.(-∞,-1]

1 ? A.? ?-2,+∞? C.[-1,+∞) 答案 A

1 解析 由题意知曲线上存在某点的导数为 1,所以 y′=2ax+3- =1 有正根,即 2ax2+2x-1=0 有 x 1 1 正根.当 a≥0 时,显然满足题意;当 a<0 时,需满足 Δ≥0,解得- ≤a<0.综上,a≥- . 2 2 6.设函数 f(x)=x(x+k)(x+2k)(x-3k),则 f′(0)=6,则 k=________. 答案 -1 解析 ∵f(x)=x(x+k)(x+2k)(x-3k)=x4-7k2x2-6k3x, ∴f′(x)=4x3-14k2x-6k3, ∴f′(0)=-6k3=6, 解得 k=-1. b 7.在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+ (a,b 为常数)过点 P(2,-5),且该曲线在点 P 处的切 x 线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是______. 答案 -3 b b 解析 y=ax2+ 的导数为 y′=2ax- 2, x x 7 直线 7x+2y+3=0 的斜率为- . 2

- 13 -

第三章 导数及其运算

?4a+2=-5, 由题意得? b 7 ?4a-4=-2,
________. 答案 8

b

? ?a=-1, 解得? 则 a+b=-3. ?b=-2, ?

8.(2015· 课标全国Ⅱ)已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a=

1 解析 由 y=x+ln x,得 y′=1+ ,得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为 k=y′|x=1=2,所以切线方程 x 为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1,此切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,消去 y 得 ax2+ax+2=0,得 a≠0 且 Δ=a2-8a=0,解得 a=8. 9.已知曲线 y=x3+x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限. (1)求 P0 的坐标; (2)若直线 l⊥l1,且 l 也过切点 P0,求直线 l 的方程. 解 (1)由 y=x3+x-2,得 y′=3x2+1,

由已知令 3x2+1=4,解之得 x=± 1. 当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限,∴切点 P0 的坐标为(-1,-4). (2)∵直线 l⊥l1,l1 的斜率为 4, 1 ∴直线 l 的斜率为- . 4 ∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为(-1,-4), 1 ∴直线 l 的方程为 y+4=- (x+1), 4 即 x+4y+17=0. b 10.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为定值,并求 此定值. (1)解 7 方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3. 4

1 b 当 x=2 时,y= .又 f′(x)=a+ 2, 2 x

?2a-2=2, 于是? b 7 ?a+4=4,

b 1

? ?a=1, 3 解得? 故 f(x)=x- . x ?b=3. ?

3 (2)证明 设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ 2知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 x
- 14 -

第二章

函数与基本初等函数

3 1+ ?(x-x0), y-y0=? x 20 ? ? 3 3 x0- ?=?1+ ?(x-x0). 即 y-? x x 20 ? ? ? ?
0

6 令 x=0,得 y=- , x0 6? 从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为? ?0,-x ?.
0

令 y=x,得 y=x=2x0, 从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 6 1 - ?|2x0|=6. 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为 S= ? 2? x0? 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值,且此定值为 6.

- 15 -


推荐相关:

2016届高考数学(理)一轮复习学案:3.1+导数的概念及运算(苏教版含解析)

2016届高考数学(理)一轮复习学案:3.1+导数的概念及运算(苏教版含解析)_数学_高中教育_教育专区。§3.1 导数的概念及运算 1.函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的...


2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第三章导数及其应用3.1导数、导数的计算

2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第三章导数及其应用3.1导数导数的...第三章 导数及其应用 3.1 导数导数的计算考纲要求 1.了解导数概念的实际背景...


【步步高】2016高考数学大一轮复习 3.1导数的概念及运算学案 理 苏教版

【步步高】2016高考数学大一轮复习 3.1导数的概念及运算学案 理 苏教版_数学_高中教育_教育专区。第三章 学案 13 导数及其应用 导数的概念及运算 导学目标: 1....


2017年普通高考数学科一轮复习精品学案 第38讲 导数、定积分

2017年普通高考数学科一轮复习精品学案 第38讲 导数...的形式考察基本概念运算及导数的应用,也经常以解答...(1)计算 t 从 3 秒到 3.1 秒、3.001 秒、 ...


高三高考理科数学一轮复习学案:导数的概念及运算

高三高考理科数学一轮复习学案:导数的概念及运算_数学_高中教育_教育专区。高三高考理科数学一轮复习学案 知识梳理: (阅读选修教材 2-2 第 2 页—第 21 页) ...


【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第2篇 导数的定义与计算学案 理

【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第2篇 导数的定义计算学案 理...e 在点 A(0,1)处的切线斜率为 4、 (2011 山东 4)曲线 y ? x ? ...


(导学案)§3.1 导数的概念及运算(教师版)

(导学案3.1 导数的概念及运算(教师版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。...导数的几何意义是高考考查的重点内容之一,常以选择、 填空的形式出现, 有时也...


吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习 导数与定积分学案 理

吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习 导数与定积分学案 理_数学...a b 二、 题型探究: 【探究一】 .用导数的定义求函数在某一点处的导函数...


2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)变化率与导数、导数的计算(含解析)

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)变化率与导数、导数的计算(含解析)_数学_高中教育_教育专区。2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com