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一道江苏高考题的大学解法及其思考


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 一道江苏高考题的大学解法及其思考 作者:薛峰 赵玉祥 来源:《新课程· 中旬》2013 年第 08 期 江苏的高考倒数第二题是一道带电小球在复合场中特殊曲线运动的好题,如下: 在场强为 B 的水平匀强磁场中,一质量为 m、带正电为 q 的小球在 O 点静止释放,小球 的运动曲线如下图所示。已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到 x 轴的 2 倍,重力加速度为 g。求 (1)小球运动到任意位置 p(x,y)处的速率; (2)小球在运动过程中第一次下降的最大距离 ym; (3)当在上述磁场中加一竖直向上场强为 E(E>)的匀强电场时,小球在 O 点静止释放 后获得的最大速率 vm。 参考答案: 解:将小球速度分解为水平方向和竖直方向,其对应的是洛仑兹力在竖直方向和水平方向 上的力,得: 思考一:显然,从=到=ωy 说明小球的水平分速度只与竖直距离有关,整个过程中只有重 力做功说明小球的速度同样只与竖直距离有关,而小球在最高点只有水平速度,所以由牛顿第 二定律得:max=qBvy 从原点到极大值点求和:maxΔt=qBvyΔt 由初始条件得:mvm=qBym 由动能定理得:mgym=mv2m 联立方程可得:ym= 说明:第二问与第三问本质相同,请读者自行整理。 思考二:从 y=(1-cosωt)说明小球在 y 轴方向做振幅为,角频率为 ω 的简谐振动;从 x= (ωt-sinωt)说明在 x 轴方向上,小球的运动是两个运动的叠加,一个是振幅为,角频率 ω 的 简谐振动,另一个是振动中心以速度 vx==向右运动。所以完全可以从运动的独立性入手。虽 然小球初始静止,但将其分解为沿 x 轴方向的速度+v 和-v,且满足:qBv=mg 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 从此小球的运动可视为一个速度为 v 沿 x 轴正方向匀速直线运动和一个速率为 v 匀速圆周 运动的合成,对匀速圆周运动,有 qBv=m 易得:ym=2R= 说明:通过此法同样能得到轨迹方程。不难得出小球的最大速度 vm=2v=,由向心力公式 得 qBvm-mg=m,解得 ρ==2ym,所以不但不需要此曲线在最低点的曲率半径为该点到 x 轴的 2 倍这一条件,而且可以通过利用初等数学推导出来,为我们今后的命题提出思考。 (作者单位 江苏省镇江新区大港中学)

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