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第六章 不等式、推理与证明


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第六章? ? 不等式、推理与证明
第一节 不等关系与不等式

?

1.实数大小顺序与运算性质之间的关系 a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a<b. 2.不等式的性质 (1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c?a>c; (3)可加性:a>b?a+c>b+c; a>b,c>d?a+c>b+d; (4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc; a>b>0,c>d>0?ac>bd; (5)可乘方:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥1); n n (6)可开方:a>b>0? a > b(n∈N,n≥2).

[小题体验]
1.(教材习题改编)用不等号“>”或“<”填空: (1)a>b,c<d?a-c________b-d; (2)a>b>0,c<d<0?ac________bd; 3 3 (3)a>b>0? a________ b. 答案:(1)> (2)< (3)>

2. 限速 40 km/h 的路标, 指示司机在前方路段行驶时, 应使汽车的速度 v 不超过 40 km/h, 写成不等式就是__________. 答案:v≤40 km/h b+c a+c 3.若 0<a<b,c>0,则 与 的大小关系为________. a+c b+c b+c a+c 答案: > a+c b+c

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1.在应用传递性时,注意等号是否传递下去,如 a≤b,b<c?a<c. 2.在乘法法则中,要特别注意“乘数 c 的符号”,例如当 c≠0 时,有 a>b?ac2>bc2; 若无 c≠0 这个条件,a>b?ac2>bc2 就是错误结论(当 c=0 时,取“=”). [小题纠偏] 1.设 a,b,c∈R,且 a>b,则( A.ac>bc C.a2>b2 答案:D 1 1 2.若 ab>0,且 a>b,则 与 的大小关系是________. a b 1 1 答案:a<b ) 1 1 B.a<b D.a3>b3

考点一

比较两个数?式?的大小?基础送分型考点——自主练透? [题组练透]

1.已知 a1,a2∈(0,1),记 M=a1a2,N=a1+a2-1,则 M 与 N 的大小关系是( A.M<N C.M=N 解析:选 B M-N=a1a2-(a1+a2-1) =a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1), 又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0. ∴(a1-1)(a2-1)>0,即 M-N>0.∴M >N. 2.(易错题)若 a= ln 2 ln 3 ,b= ,则 a____b(填“>”或“<”). 2 3 B.M >N D.不确定

)

b 2ln 3 解析:易知 a,b 都是正数,a= =log89>1,所以 b>a. 3ln 2 答案:< 3.若实数 a≠1,比较 a+2 与 解:a+2- 3 的大小. 1-a

-a2-a-1 a2+a+1 3 = = 1-a 1-a a-1

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∴当 a>1 时,a+2>

3 ; 1-a

3 当 a<1 时,a+2< . 1-a

[谨记通法]
比较两个数(式)大小的 2 种方式

如“题组练透”第 2 题易忽视作商法.

考点二

不等式的性质?重点保分型考点——师生共研?
[典例引领]
2

1.设 a,b∈R 则“(a-b)· a <0”是“a<b”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 解析:选 A

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(a-b)· a2<0,则必有 a-b<0,即 a<b;而 a<b 时,不能推出(a-b)· a2

<0,如 a=0,b=1,所以“(a-b)· a2<0”是“a<b”的充分不必要条件. 2.如果 a<b<0,那么下列不等式成立的是( 1 1 A. < a b C.-ab<-a2 ) B.ab<b2 1 1 D.-a<-b

1 1 b-a 解析: 选 D 法一(性质判断): 对于 A 项, 由 a<b<0, 得 b-a>0, ab>0, 故a-b= ab >0, 1 1 2 a>b,故 A 项错误;对于 B 项,由 a<b<0,得 b(a-b)>0,ab>b ,故 B 项错误;对于 C 项, 由 a<b<0,得 a(a-b)>0,a2>ab,即-ab>-a2,故 C 项错误;对于 D 项,由 a<b<0,得 a 1 a-b 1 1 1 - ?= -b<0,ab>0,故- -? <0,- <- 成立,故 D 项正确. a ? b? ab a b 1 1 1 法二(特殊值法):令 a=-2,b=-1,则a=- >b=-1,ab=2>b2=1,-ab=-2>- 2 1 1 1 a2=-4,-a= <-b=1.故 A、B、C 项错误,D 项正确. 2

[由题悟法]
不等式性质应用问题的 3 大常见类型及解题策略 (1)利用不等式性质比较大小.熟记不等式性质的条件和结论是基础,灵活运用是关键,

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要注意不等式性质成立的前提条件. (2)与充要条件相结合问题.用不等式的性质分别判断 p?q 和 q?p 是否正确,要注意特 殊值法的应用. (3)与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外,还经常采用 特殊值验证的方法.

[即时应用]
1.若 a>b>0,则下列不等式不成立的是( 1 1 A. < a b C.a+b<2 ab ) B.|a|>|b| 1?a ?1?b D.? ?2? <?2?

1?a ?1?b 1 1 解析:选 C ∵a>b>0,∴a<b,且|a|>|b|,a+b>2 ab,又 2a>2b,∴? ?2? <?2? . a b 2.若 a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论:①ad>bc;②d+c <0;③a-c>b-d; ④a(d-c)>b(d-c)中成立的个数是( A.1 C.3 ∴ad<bc,故①错误. ∵a>0>b>-a,∴a>-b>0, ∵c<d<0,∴-c>-d>0, ∴a(-c)>(-b)(-d), a b ac+bd ∴ac+bd<0,∴d+c = cd <0,故②正确. ∵c<d,∴-c>-d, ∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d), 即 a-c>b-d,故③正确. ∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),故④正确. ) B.2 D.4

解析:选 C ∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0,

考点三

不等式性质的应用?题点多变型考点——纵引横联?
[典型母题]

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已知-1<x<4,2<y<3,则 x-y 的取值范围是________,3x+2y 的取值范围是________. 解析:∵-1<x<4,2<y<3, ∴-3<-y<-2,∴-4<x-y<2. 由-1<x<4,2<y<3, 得-3<3x<12,4<2y<6,∴1<3x+2y<18. 答案:(-4,2) (1,18)

[类题通法]
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围,但应注意两点:一是必须严格运用不等 式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先 建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算求 解范围.

[越变越明]
[变式 1] 将母题条件改为“-1<x<y<3”,求 x-y 的取值范围. 解:∵-1<x<3,-1<y<3, ∴-3<-y<1, ∴-4<x-y<4.① 又∵x<y, ∴x-y<0,② 由①②得-4<x-y<0. 故 x-y 的取值范围为(-4,0). [变式 2] 若将母题条件改为“-1<x+y<4,2<x-y<3”,求 3x+2y 的取值范围. 解:设 3x+2y=m(x+y)+n(x-y),
? ?m+n=3, 则? ?m-n=2, ?

?m=2, ∴? 1 ?n=2,

5

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5 1 即 3x+2y= (x+y)+ (x-y), 2 2 又-1<x+y<4,2<x-y<3, 5 5 1 3 ∴- < (x+y)<10,1< (x-y)< , 2 2 2 2 3 5 1 23 ∴- < (x+y)+ (x-y)< , 2 2 2 2 3 23 即- <3x+2y< . 2 2 3 23? 故 3x+2y 的取值范围为? ?-2, 2 ?. [变式 3] 已知函数 f(x)=ax2+bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.求 f(-2)的取值范围. 解:由题意知 f(-1)=a-b,f(1)=a+b. f(-2)=4a-2b. 设 m(a+b)+n(a-b)=4a-2b.
?m+n=4, ?m=1, ? ? 则? 解得? ? ? ?m-n=-2, ?n=3.

∴f(-2)=(a+b)+3(a-b)=f(1)+3f(-1). ∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤f(-2)≤10. 即 f(-2)的取值范围为[5,10]. [破译玄机] 由 a<f(x,y)<b,c<g(x,y)<d 求 F(x,y)的取值范围,要利用待定系数法解决,即设 F(x, y)=mf(x,y)+ng(x,y),用恒等变形求得 m,n,再利用不等式的性质求得 F(x,y)的取值范 围. x x2 [变式 4] 若母题条件变为“已知 1≤lg xy≤4,-1≤lg ≤2”,求 lg 的取值范围. y y x 解:由 1≤lg xy≤4,-1≤lg y ≤2, 得 1≤lg x+lg y≤4,-1≤lg x-lg y≤2, x2 1 3 而 lg y =2lg x-lg y= (lg x+lg y)+ (lg x-lg y), 2 2 x2 所以-1≤lg y ≤5, x2 即 lg y 的取值范围是[-1,5].

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?

一抓基础,多练小题做到眼疾手快 )

1.设 a,b∈[0,+∞),A= a+ b,B= a+b,则 A,B 的大小关系是( A.A≤B C.A<B B.A≥B D.A>B

解析:选 B 由题意得,B2-A2=-2 ab≤0,且 A≥0,B≥0,可得 A≥B. 2.若 a<b<0,则下列不等式不能成立的是( A. 1 1 > a-b a ) 1 1 B.a>b D.a2>b2 1 1 > 不成立. a-b a )

C.|a|>|b| 解析:选 A 取 a=-2,b=-1,则

3.(2016· 西安八校联考)“x1>3 且 x2>3”是“x1+x2>6 且 x1x2>9”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 解析:选 A x1>3,x2>3?x1+x2>6,x1x2>9;反之不成立,例如 x1= ,x2=20. 2 4.(2016· 资阳一诊)已知 a,b∈R,下列命题正确的是( A.若 a>b,则|a|>|b| 1 1 B.若 a>b,则a<b C.若|a|>b,则 a2>b2 D.若 a>|b|,则 a2>b2 解析:选 D 当 a=1,b=-2 时,A,B,C 均不正确;对于 D,a>|b|≥0,则 a2>b2. 5.(2016· 贵阳监测考试)下列命题中,正确的是( A.若 a>b,c>d,则 ac>bd B.若 ac>bc,则 a>b a b C.若 2< 2,则 a<b c c D.若 a>b,c>d,则 a-c>b-d 解析:选 C 取 a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知 A 错误;当 c<0 时,ac>bc?a<b, a b ∴B 错误;∵ 2< 2,∴c≠0,又 c2>0,∴a<b,C 正确;取 a=c=2,b=d=1,可知 D 错误. c c ? 二保高考,全练题型做到高考达标 ) )

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1.若 m<0,n>0 且 m+n<0,则下列不等式中成立的是( A.-n<m<n<-m C.m<-n<-m<n

)

B.-n<m<-m<n D.m<-n<n<-m

解析:选 D 法一:(取特殊值法)令 m=-3,n=2 分别代入各选项检验即可. 法二:m+n<0?m<-n?n<-m,又由于 m<0<n,故 m<-n<n<-m 成立. π 2.若角 α,β 满足- <α<β<π,则 α-β 的取值范围是( 2 3π 3π? A.? ?- 2 , 2 ? 3π? C.? ?0, 2 ? 3π ? B.? ?- 2 ,0? π ? D.? ?-2,0? )

π π π 3π 3π 解析:选 B ∵- <α<π,- <β<π,∴-π<-β< ,∴- <α-β< .又∵α<β,∴α- 2 2 2 2 2 β<0,从而- 3π <α-β<0. 2 )

1 1 3.(2015· 湘潭一模)设 a,b 是实数,则“a>b>1”是“a+ >b+ ”的( a b A.充分不必要条件 C.充要条件 解析: 选 A B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

?a-b??ab-1? 1 1 1 1 b+ ? = b+ ? = 因为 a+ - ? ,若 a>b>1,显然 a+ - ? a ? b? ab a ? b?

?a-b??ab-1? 1 2 1 1 >0,则充分性成立,当 a= ,b= 时,显然不等式 a+ >b+ 成立,但 a>b>1 ab a b 2 3 不成立,所以必要性不成立. 4.(2016· 重庆一中调研)设 a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是( A.a>b2 1 1 C.a<b 1 1 B.a>b D.a2>2b )

解析:选 A 对于 A,∵-1<b<1,∴0≤b2<1,又∵a>1,∴a>b2,故 A 正确;对于 B, 1 1 1 1 若 a=2,b= ,此时满足 a>1>b>-1,但a<b,故 B 错误;对于 C,若 a=2,b=- ,此时 2 2 1 1 9 3 满足 a>1>b>-1, 但a>b, 故 C 错误; 对于 D, 若 a= , b= , 此时满足 a>1>b>-1, 但 a2<2b, 8 4 故 D 错误. 5.(2016· 江门模拟)设 a,b∈R,定义运算“?和“⊕”如下:
?a,a≤b, ?b,a≤b, ? ? a?b=? a⊕b=? 若 m?n≥2,p⊕q≤2,则( ?b,a>b, ?a,a>b. ? ?

)

A.mn≥4 且 p+q≤4 C.mn≤4 且 p+q≥4

B.m+n≥4 且 pq≤4 D.m+n≤4 且 pq≤4

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? ? ?m≥2, ?n≥2, 解析:选 A 结合定义及 m?n≥2 可得? 或? 即 n≥m≥2 或 m>n≥2, ?m≤n ? ? ?m>n, ?q≤2, ?p≤2, ? ? 所以 mn≥4;结合定义及 p⊕q≤2 可得? 或? 即 q<p≤2 或 p≤q≤2,所以 p ?p>q ? ? ?p≤q,

+q≤4. 6.用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长 18 m,要求菜园的面 积不小于 216 m2,靠墙的一边长为 x m,其中的不等关系可用不等式(组)表示为________.

30-x 解析:矩形靠墙的一边长为 x m,则另一边长为 m, 2 0<x≤18, ? ? x? ? 即?15-2?m,根据题意知? ? x? ? ?x?15-2?≥216. 0<x≤18, ? ? 答案:? ? x 15- ?≥216 x ? 2 ? ? ? 7.已知 a,b,c∈R,有以下命题: ①若 a>b,则 ac2>bc2;②若 ac2>bc2,则 a>b; ③若 a>b,则 a· 2c>b· 2c . 其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上). 解析:①若 c=0,则命题不成立.②正确.③中由 2c>0 知成立. 答案:②③ a b 1 1 8.已知 a+b>0,则 2+ 2与 + 的大小关系是________. b a a b 1 1 ? ?a+b??a-b?2 a b ?1 1? a-b b-a ? 解析: 2+ 2-?a+b?= 2 + 2 =(a-b)· . ?b2-a2?= b a b a a2b2 ∵a+b>0,(a-b)2≥0, ?a+b??a-b?2 ∴ ≥0. a2b2 a b 1 1 ∴ 2+ 2≥a+b. b a a b 1 1 答案: 2+ 2≥ + b a a b 9.已知存在实数 a 满足 ab2>a>ab,则实数 b 的取值范围是__________. 解析:∵ab2>a>ab,∴a≠0, 当 a>0 时,b2>1>b,

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2 ? ?b >1, 即? 解得 b<-1; ?b<1, ?

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当 a<0 时,b2<1<b,
?b2<1, ? 即? 此式无解. ? ?b>1,

综上可得实数 b 的取值范围为(-∞,-1). 答案:(-∞,-1)

10.若 a>b>0,c<d<0,e<0.求证: 证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0. 又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0. ∴(a-c)2>(b-d)2>0. 1 1 ∴0< < . ?a-c?2 ?b-d?2 又∵e<0,∴ e e > . ?a-c?2 ?b-d?2

e e . 2> ?a-c? ?b-d?2

?

三上台阶,自主选做志在冲刺名校

c 1.(2016· 合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为 a,b,c,且满足 b+c≤3a,则 的取值 a 范围为( ) B.(0,2) D.(0,3)

A.(1,+∞) C.(1,3)

a<b+c≤3a, ? ? 解析:选 B 由已知及三角形三边关系得?a+b>c, ? ?a+c>b,

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? ? bc ∴?1+a>a, c b ? >a, ?1+a

b c 1< + ≤3, a a

?1<a+a≤3, ∴? c b ?-1<a-a<1,

b

c

c 两式相加得,0<2×a<4, c ∴a的取值范围为(0,2). a b 2.若 x>y,a>b,则在①a-x>b-y,②a+x>b+y,③ax>by,④x-b>y-a,⑤ > 这 y x 五个式子中,恒成立的不等式的序号是________. 解析:令 x=-2,y=-3,a=3,b=2, 符合题设条件 x>y,a>b, ∵a-x=3-(-2)=5,b-y=2-(-3)=5, ∴a-x=b-y,因此①不成立. ∵ax=-6,by=-6,∴ax=by,因此③也不成立. a b 3 2 ∵ y= =-1,x= =-1, -3 -2 a b ∴ = ,因此⑤不成立.由不等式的性质可推出②④成立. y x 答案:②④ 3.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票, 其余人可享受 7.5 折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的 8 折优惠.”这两个车 队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠. 解:设该单位职工有 n 人(n∈N*),全票价为 x 元,坐甲车需花 y1 元,坐乙车需花 y2 元, 3 则 y1=x+ x· (n-1) 4 1 3 = x+ xn, 4 4 4 y2= nx. 5 1 3 4 所以 y1-y2= x+ xn- nx 4 4 5

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1 1 = x- nx 4 20 n 1 1- ?. = x? 5? 4 ? 当 n=5 时,y1=y2; 当 n>5 时,y1<y2; 当 n<5 时,y1>y2. 因此当单位去的人数为 5 人时,两车队收费相同;多于 5 人时,甲车队更优惠;少于 5 人时,乙车队更优惠.

第二节

一元二次不等式及其解法

“三个二次”的关系 判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c= 0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 有两相异实根 x1, x2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2} 有两相等实根 b x1=x2=- 2a
? ? b ? ?x x≠- ? 2 a ? ? ?

Δ>0

Δ=0

Δ<0

没有实数根

R ?

?

[小题体验] 1.设集合 S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则(?RS)∪T=( A.(-2,1] B.(-∞,-4] )

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C.(-∞,1]

D.[1,+∞)

解析:选 C 由题意得 T= {x|-4≤x≤1},根据补集定义, ?RS={x|x≤-2},所以(?RS)∪T={x|x≤1}. 2.(教材习题改编)不等式-x2+2x-3>0 的解集为________. 答案:? 3. 已知集合 A={x|-5<x<1}, 集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}, 且 A∩B=(-1,n), 则 m=________,n=________. 答案:-1 1

1.对于不等式 ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论 a=0 时的情形. 2.当 Δ<0 时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为 R 还是?,要注意区别. 3.含参数的不等式要注意选好分类标准,避免盲目讨论.

[小题纠偏]
1 1? 1.不等式 ax2+bx+2>0 的解集是? ?-2,3?,则 a+b 的值是( A.10 C.14 B.-10 D.-14 )

1 1 解析:选 D 由题意知- , 是 ax2+bx+2=0 的两根, 2 3 则 a=-12,b=-2.所以 a+b=-14. 2.若不等式 mx2+2mx+1>0 的解集为 R,则 m 的取值范围是________. 解析:①当 m=0 时,1>0 显然成立.
?m>0, ? ②当 m≠0 时,由条件知? 2 ?Δ=4m -4m<0. ?

得 0<m<1,由①②知 0≤m<1. 答案:[0,1)

考点一

一元二次不等式的解法?基础送分型考点——自主练透?
[题组练透]
2

? ?2x +1,x≤0, 1.已知函数 f(x)=? 则不等式 f(x)-x≤2 的解集是________. ?-2x,x>0, ?

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1 解析:当 x≤0 时,原不等式等价于 2x2+1-x≤2,∴- ≤x≤0;当 x>0 时,原不等式 2
? 1 ? x≥- ?. 等价于-2x-x≤2,∴x>0.综上所述,原不等式的解集为?x? 2 ? ? ? ? 1 ? x≥- ? 答案:?x? 2 ? ? ?

2x+1 2.不等式 ≥-1 的解集为________. x-5 3x-4 解析:将原不等式移项通分得 ≥0, x-5
??3x-4??x-5?≥0, ? 等价于? ? ?x-5≠0, ? ? 4 ? 所以原不等式的解集为?x? ?x≤3或x>5 . ? ? ? ? 4 ? 答案:?x? ?x≤3或x>5 ? ?

3.解下列不等式: (1)(易错题)-3x2-2x+8≥0; (2)0<x2-x-2≤4. 解:(1)原不等式可化为 3x2+2x-8≤0, 即(3x-4)(x+2)≤0. 4 解得-2≤x≤ , 3
? 4 ? ? 所以原不等式的解集为?x? ?-2≤x≤3 . ? ?

(2)原不等式等价于
2 2 ? ? ?x -x-2>0, ?x -x-2>0, ? 2 ? ? 2 ? ? ?x -x-2≤4 ?x -x-6≤0

? ? ??x-2??x+1?>0, ?x>2或x<-1, ?? ?? ??x-3??x+2?≤0 ? ? ?-2≤x≤3.

借助于数轴,如图所示,

所以原不等式的解集为{x|-2≤x<-1或2<x≤3}.

[谨记通法]
解一元二次不等式的 4 个步骤
(1)化:把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式,如“题组练透”第 3 题中(1)题; (2)判:计算对应方程的判别式;

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(3)求:求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根; (4)写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.

考点二

含参数的一元二次不等式的解法?重点保分型考点——师生共研?
[典例引领]

(2016· 青岛模拟)求不等式 12x2-ax>a2(a∈R)的解集. 解:原不等式可化为 12x2-ax-a2>0, 即(4x+a)(3x-a)>0, a a 令(4x+a)(3x-a)=0,解得 x1=- ,x2= . 4 3 a? ?a ? 当 a>0 时,不等式的解集为? ?-∞,-4?∪?3,+∞?; 当 a=0 时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞); a? ? a ? 当 a<0 时,不等式的解集为? ?-∞,3?∪?-4,+∞?.

[由题悟法]
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于 0,小于 0,还是大于 0,然后将不等式转化为一 次不等式或二次项系数为正的形式. (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式 Δ 与 0 的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确 定解集形式. [提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时,不要忘记讨论其等于 0 的情况.

[即时应用]
1.不等式 f(x)=ax2-x-c>0 的解集为{x|-2<x<1},则函数 y=f(-x)的图象为( )

解析:选 B

c 1 由根与系数的关系得a=-2+1,-a=-2,得 a=-1,c=-2,∴f(x)

1 9? =-x2-x+2(经检验知满足题意),∴f(-x)=-x2+x+2,其图象开口向下,顶点为? ?2,4?. 2.解关于 x 的不等式:ax2-(a+1)x+1<0. 解:原不等式可化为(x-1)(ax-1)<0, ∴①当 a=0 时,可解得 x>1,

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1? ②当 a>0 时,不等式可化为(x-1)? ?x-a?<0, ∴当 a=1 时,不等式可化为(x-1)2<0,解集为?;
? 1 ? 1 1<x< ?; 当 0<a<1 时, >1,不等式的解集为?x? a ? a ? ? ? 1 ? 1 <x<1 ?; 当 a>1 时, <1,不等式的解集为?x? a ? a ? ?

1? ③当 a<0 时,不等可化为(x-1)? ?x-a?>0,
? 1 ? x>1或x< ?. ∴不等式的解集为?x? a ? ? ?

综上可知,
? 1 ? ? 当 a<0 时,不等式的解集为?x? ?x>1或x<a ; ? ?

当 a=0 时,不等式的解集为{x|x>1};
? 1 ? ? 当 0<a<1 时,不等式的解集为?x? ?1<x<a ; ? ?

当 a=1 时,不等式的解集为?;
? 1 ? ?. < x <1 当 a>1 时,不等式的解集为?x? ?a ? ?

考点三

一元二次不等式恒成立问题?常考常新型考点——多角探明?
[命题分析]

一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题 时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问 题,常根据二次函数图象与 x 轴的交点情况确定判别式的符号,进而求出参数的取值范围. 常见的命题角度有: (1)形如 f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围; (2)形如 f(x)≥0(x∈[a,b])确定参数范围; (3)形如 f(x)≥0(参数 m∈[a,b])确定 x 的范围.

[题点全练]
角度一:形如 f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围 1.已知不等式 mx2-2x-m+1<0,是否存在实数 m 对所有的实数 x,不等式恒成立? 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解:要使不等式 mx2-2x-m+1<0 恒成立,

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即函数 f(x)=mx2-2x-m+1 的图象全部在 x 轴下方. 1 当 m=0 时,1-2x<0,则 x> ,不满足题意; 2 当 m≠0 时,函数 f(x)=mx2-2x-m+1 为二次函数, 需满足开口向下且方程 mx2-2x-m+1=0 无解,
?m<0, ? 即? ?Δ=4-4m?1-m?<0, ?

不等式组的解集为空集,即 m 无解. 综上可知不存在这样的实数 m 使不等式恒成立. 角度二:形如 f(x)≥0(x∈[a,b])确定参数范围 2.设函数 f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取 值范围. 解:要使 f(x)<-m+5 在[1,3]上恒成立, 则 mx2-mx+m-6<0, 1?2 3 即 m? ?x-2? +4m-6<0 在 x∈[1,3]上恒成立. 有以下两种方法: 1 3 x- ?2+ m-6,x∈[1,3]. 法一:令 g(x)=m? ? 2? 4 当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以 g(x)max=g(3)=7m-6<0, 6 6 所以 m< ,则 0<m< ; 7 7 当 m<0 时,g(x)在[1,3]上是减函数, 所以 g(x)max=g(1)=m-6<0, 所以 m<6,即 m<0. 6? 综上所述,m 的取值范围是(-∞,0)∪? ?0,7?. 1?2 3 法二:因为 x2-x+1=? ?x-2? +4>0, 又因为 m(x2-x+1)-6<0, 所以 m< 6 . x -x+1
2

6 6 因为函数 y= 2 = x -x+1 ? 1?2 3 ?x-2? +4 6 在[1,3]上的最小值为 , 7

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6 所以只需 m< 即可. 7 因为 m≠0, 6? 所以 m 的取值范围是(-∞,0)∪? ?0,7?. 角度三:形如 f(x)≥0(参数 m∈[a,b])确定 x 的范围 3. 对任意 m∈[-1,1], 函数 f(x)=x2+(m-4)x+4-2m 的值恒大于零, 求 x 的取值范围. 解:由 f(x)=x2+(m-4)x+4-2m =(x-2)m+x2-4x+4, 令 g(m)=(x-2)m+x2-4x+4. 由题意知在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零,
2 ? ?g?-1?=?x-2?×?-1?+x -4x+4>0, ? ∴ 2 ?g?1?=?x-2?+x -4x+4>0, ?

解得 x<1 或 x>3. 故当 x∈(-∞,1)∪(3,+∞)时,对任意的 m∈[-1,1],函数 f(x)的值恒大于零.

[方法归纳]
一元二次型不等式恒成立问题的 3 大破解方法 方法 解读 (1)ax2+bx+c≥0 对任意实数 x 恒成立的条件是
? ?a>0,? ? ?Δ≤0; ?

适合题型

判别 式法

二次不等式在 R 上恒成立 (如“题点全练”第 1 题、第 2 题)

(2)ax2+bx+c≤0 对任意实数 x 恒成立的条件是
?a<0,? ? ? ?Δ≤0 ?

如果不等式中的参数比较“孤单”,分离后其 分离参 数法 系数与 0 能比较大小,便可将参数分离出来, 利用下面的结论求解. a≥f(x) 恒成立等价于 a≥f(x)max;a≤f(x)恒成立等价于 a≤f(x)min 把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的 主参换 位法 函数,根据原变量的取值范围列式求解.常见 的是转化为一次函数 f(x)=ax+b(a≠0)在[m,
?f?m?>0,? ? n]恒成立问题, 若 f(x)>0 恒成立?? ?f?n?>0, ?

适合参数与变量能分离且 f(x)的 最值易求 (如“题点全练”第 2 题) 若在分离参数时会遇到讨论参 数与变量, 使求函数的最值比较 麻烦, 或者即使能容易分离出却 难以求出时 (如“题点全练”第 3 题)

第 19 页 ? ?f?m?<0,? 若 f(x)<0 恒成立?? ?f?n?<0 ?

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?

一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1 的定义域,则 A∩B 等于( x-1

1.设集合 A={x|x2+x-6≤0},集合 B 为函数 y= A.(1,2) C.[1,2) B.[1,2] D.(1,2]

)

解析:选 D A={x|x2+x-6≤0}={x|-3≤x≤2},由 x-1>0 得 x>1,即 B={x|x>1}, 所以 A∩B={x|1<x≤2}. 2.(2016· 梧州模拟)不等式 2 <1 的解集是( x+1 )

A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-1,1) 1- x 2 2 解析:选 A ∵ <1,∴ -1<0,即 <0,该不等式可化为(x+1)(x-1)>0,∴ x+1 x+1 x+ 1 x<-1 或 x>1. 3.若集合 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的取值范围是( A.(0,4) C.(0,4] B.[0,4) D.[0,4] )

解析:选 D 由题意知 a=0 时,满足条件.
?a>0, ? a≠0 时,由? 得 0<a≤4,所以实数 a 的取值范围是[0,4]. 2 ?Δ=a -4a≤0, ?

4.不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集是________. 解析:不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集即 x(x-2)<0 的解集,解得 0<x<2. 答案:{x|0<x<2} 1 1? 2 5.已知关于 x 的不等式 ax2+2x+c>0 的解集为? ?-3,2?,则不等式-cx +2x-a>0 的 解集为________.

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?-3+2=-a, 解析:依题意知,? 1 1 c ?-3×2=a,
∴解得 a=-12,c=2, ∴不等式-cx2+2x-a>0, 即为-2x2+2x+12>0,即 x2-x-6<0, 解得-2<x<3. 所以不等式的解集为(-2,3). 答案:(-2,3) ? 二保高考,全练题型做到高考达标

1 1

2

1.已知不等式 x2-2x-3<0 的解集为 A,不等式 x2+x-6<0 的解集为 B,不等式 x2 +ax+b<0 的解集为 A∩B,则 a+b 等于( A.-3 C.-1 ) B.1 D.3

解析:选 A 由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},∴A∩B={x|-1<x< 2},由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,则 a+b=-3.
?x2-4x+3<0, ? 2.不等式组? 2 的解集是( ? ?2x -7x+6>0

) 3? B.? ?1,2?∪(2,3) D.(-∞,1)∪(2,+∞)

A.(2,3) 3? C.? ?-∞,2?∪(3,+∞) 解析:选 B ∵x2-4x+3<0,∴1<x<3. 又∵2x2-7x+6>0, ∴(x-2)(2x-3)>0, 3 ∴x< 或 x>2, 2 3? ∴原不等式组的解集为? ?1,2?∪(2,3).

3 3.(2016· 辽宁一模)若不等式 2kx2+kx- <0 对一切实数 x 都成立,则 k 的取值范围为 8 ( ) A.(-3,0) C.[-3,0] B.[-3,0) D.(-3,0]

3 解析:选 D 当 k=0 时,显然成立;当 k≠0 时,即一元二次不等式 2kx2+kx- <0 对 8

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一切实数 x 都成立, k<0, ? ? 则? 2 解得-3<k<0. ? 3? ?k -4×2k×?-8?<0, ? 3 综上,满足不等式 2kx2+kx- <0 对一切实数 x 都成立的 k 的取值范围是(-3,0]. 8 4.某商场若将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售,每天可销售 100 件,现准备采 用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高 1 元,销售量就要减少 10 件.那么 要保证每天所赚的利润在 320 元以上,销售价每件应定为( A.12 元 C.12 元到 16 元之间 B.16 元 D.10 元到 14 元之间 )

解析:选 C 设销售价定为每件 x 元,利润为 y,则: y=(x-8)[100-10(x-10)], 依题意有,(x-8)[100-10(x-10)]>320, 即 x2-28x+192<0, 解得 12<x<16, 所以每件销售价应为 12 元到 16 元之间. 5.若不等式 x2-(a+1)x+a≤0 的解集是[-4,3]的子集,则 a 的取值范围是( A.[-4,1] C.[1,3] B.[-4,3] D.[-1,3] )

解析:选 B 原不等式为(x-a)(x-1)≤0,当 a<1 时,不等式的解集为[a,1],此时只要 a≥-4 即可,即-4≤a<1;当 a=1 时,不等式的解为 x=1,此时符合要求;当 a>1 时,不 等式的解集为[1,a],此时只要 a≤3 即可,即 1<a≤3.综上可得-4≤a≤3. 6.不等式 x2+ax+4<0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是________. 解析:∵不等式 x2+ax+4<0 的解集不是空集, ∴Δ=a2-4×4>0,即 a2>16.∴a>4 或 a<-4. 答案:(-∞,-4)∪(4,+∞) 1? 7.若 0<a<1,则不等式(a-x)? ?x-a?>0 的解集是________. 1? 1 1 解析:原不等式为(x-a)? ?x-a?<0,由 0<a<1 得 a<a,∴a<x<a.
? 1 ? ? 答案:?x? ?a<x<a ? ?

?a b?=ad-bc.若不等式?x-1 8.(2016· 西安质检)在 R 上定义运算:? ? ? ?c d ? ?a+1
意实数 x 恒成立,则实数 a 的最大值为________.

a-2? x

?≥1 对任 ?

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解析:原不等式等价于 x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1, 即 x2-x-1≥(a+1)(a-2)对任意 x 恒成立, 1?2 5 5 x2-x-1=? ?x-2? -4≥-4, 5 1 3 所以- ≥a2-a-2,解得- ≤a≤ . 4 2 2 答案: 3 2

9.已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+6. (1)解关于 a 的不等式 f(1)>0; (2)若不等式 f(x)>b 的解集为(-1,3),求实数 a,b 的值. 解:(1)∵f(x)=-3x2+a(6-a)x+6, ∴f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3, ∴原不等式可化为 a2-6a-3<0, 解得 3-2 3<a<3+2 3. ∴原不等式的解集为{a|3-2 3<a<3+2 3}. (2)f(x)>b 的解集为(-1,3)等价于方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0 的两根为-1,3, -a? , ?-1+3=a?63 等价于? 6-b ?-1×3=- 3 ,

?a=3± 3, 解得? ?b=-3.

10.(2016· 北京朝阳统一考试)已知函数 f(x)=x2-2ax-1+a,a∈R. f?x? (1)若 a=2,试求函数 y= x (x>0)的最小值; (2)对于任意的 x∈[0,2],不等式 f(x)≤a 成立,试求 a 的取值范围.
2 f?x? x -4x+1 1 解:(1)依题意得 y= x = =x+x-4. x

1 因为 x>0,所以 x+x≥2. 1 当且仅当 x= 时,即 x=1 时,等号成立. x 所以 y≥-2. 所以当 x=1 时,y= f?x? 的最小值为-2. x

(2)因为 f(x)-a=x2-2ax-1,所以要使得“?x∈[0,2],不等式 f(x)≤a 成立”只要“x2 -2ax-1≤0 在[0,2]恒成立”. 不妨设 g(x)=x2-2ax-1, 则只要 g(x)≤0 在[0,2]上恒成立即可.

第 23 页 ? ? ?g?0?≤0, ?0-0-1≤0, 所以? 即? ?g?2?≤0, ? ? ?4-4a-1≤0,

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3 解得 a≥ . 4 3 ? 则 a 的取值范围为? ?4,+∞?. ? 三上台阶,自主选做志在冲刺名校

1.(2016· 九江一模)若关于 x 的不等式 x2-4x-2-a>0 在区间(1,4)内有解,则实数 a 的 取值范围是( ) B.(-2,+∞) D.(-∞,-6)

A.(-∞,-2) C.(-6,+∞)

解析: 选 A 不等式 x2-4x-2-a>0 在区间(1,4)内有解等价于 a<(x2-4x-2)max, 令 g(x) =x2-4x-2,x∈(1,4),∴g(x)<g(4)=-2,∴a<-2. 2.甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1≤x≤10),每小时可获 3 5x+1-x?元. 得利润是 100? ? ? (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最 大利润. 解:(1)根据题意, 3? 200? ?5x+1-x?≥3 000, 3 整理得 5x-14-x≥0, 即 5x2-14x-3≥0, 又 1≤x≤10,可解得 3≤x≤10. 即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元,x 的取值范围是[3,10]. (2)设利润为 y 元,则 3? 900 y= x · 100? ?5x+1-x? 1 3? =9×104? ?5+x-x2? 1 1?2 61? -3? =9×104? x-6? +12?, ? ? 故 x=6 时,ymax=457 500 元. 即甲厂以 6 千克/小时的生产速度生产 900 千克该产品获得的利润最大,最大利润为 457

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500 元.

第三节

二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

1.一元二次不等式(组)表示的平面区域 不等式 Ax+By+C>0 Ax+By+C≥0 不等式组 表示区域 直线 Ax+By+C=0 某一侧的 所有点组成的平面区域 不包括边界直线 包括边界直线

各个不等式所表示平面区域的公共部分

2.线性规划中的基本概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 意义 由变量 x,y 组成的不等式(组) 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 关于 x,y 的函数解析式,如 z=2x+3y 等 关于 x,y 的一次解析式 满足线性约束条件的解(x,y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

[小题体验]
?x-3y+6≥0, ? 1.(教材习题改编)不等式组? 表示的平面区域是( ?x-y+2<0 ?

)

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答案:B 2.下列各点中,不在 x+y-1≤0 表示的平面区域内的是( A.(0,0) C.(-1,3) 答案:C y≤x, ? ? 3.(教材习题改编)设 x,y 满足约束条件?x+y≤1, ? ?y≥-1. ________. 答案:3 B.(-1,1) D.(2,-3) )

则目标函数 z=2x+y 的最大值为

1 .画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为 ax + by + c>0(a>0). 2.线性规划问题中的最优解不一定是唯一的,即可行域内使目标函数取得最值的点不 一定只有一个,也可能有无数多个,也可能没有. z z 3.在通过求直线的截距b的最值间接求出 z 的最值时,要注意:当 b>0 时,截距b取最 z z 大值时,z 也取最大值;截距b取最小值时,z 也取最小值;当 b<0 时,截距b取最大值时,z z 取最小值;截距 取最小值时,z 取最大值. b

[小题纠偏]
x+2y≥0, ? ? 1.(2015· 福建高考)若变量 x,y 满足约束条件?x-y≤0, ? ?x-2y+2≥0,

则 z=2x-y 的最小值

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等于(

) 5 2 3 2 B.-2 D.2

A.- C.-

解析:选 A 作可行域如图,由图可知,当直线 z=2x-y 过点 A 时,z 值最小.
?x-2y+2=0, ? 由? ?x+2y=0 ?

1 -1, ?, 得点 A? 2? ? 1 5 zmin=2×(-1)- =- . 2 2

?-x+y≤0, 2. 若用阴影表示不等示组? 所形成的平面区域, 则该平面区域中的夹角的 ? 3x-y≤0
大小为________. 答案:15°

考点一

二元一次不等式?组?表示平面区域?基础送分型考点——自主练透? [题组练透]

x+y≥2, ? ? 1.(2016· 忻州一模)不等式组?2x-y≤4, ? ?x-y≥0 A.3 2 C.6 解析:选 D

所围成的平面区域的面积为(

)

B.6 2 D.3 如图,不等式组所围成的平面区域为△ABC,其中

1 A(2,0),B(4,4),C(1,1),所求平面区域的面积为 S△ABO-S△ACO= (2×4 2 -2×1)=3.

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x-y≥0, ? ? 2.(易错题)若满足条件?x+y-2≤0, ? ?y≥a 坐标都是整数的点,则整数 a 的值为( A.-3 C.-1 )

的整点(x,y)恰有 9 个,其中整点是指横、纵

B.-2 D.0

解析:选 C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分,当 a =0 时,只有 4 个整点(1,1),(0,0),(1,0),(2,0);当 a=-1 时,正好 增加(-1,-1),(0,-1),(1,-1),(2,-1),(3,-1)共 5 个整点. 3.如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________.

解析:两直线方程分别为 x-2y+2=0 与 x+y-1=0. 由(0,0)点在直线 x-2y+2=0 右下方可知 x-2y+2≥0, 又(0,0)点在直线 x+y-1=0 左下方可知 x+y-1≥0,
? ?x+y-1≥0, 即? 为所表示的可行域. ?x-2y+2≥0 ? ?x+y-1≥0, ? 答案:? ?x-2y+2≥0 ?

[谨记通法]
确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法 (1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式组.若满足不等 式组,则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就对应与特殊 点异侧的平面区域.如“题组练透”第 2 题易忽视边界. (2)当不等式中带等号时, 边界为实线; 不带等号时, 边界应画为虚线, 特殊点常取原点.

考点二

求目标函数的最值?常考常新型考点——多角探明?
[命题分析]

线性规划问题是高考的重点,而线性规划问题具有代数和几何的双重形式,多与函数、 平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透,自然地融合在一起,使数学问题 的解答变得更加新颖别致.

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常见的命题角度有: (1)求线性目标函数的最值; (2)求非线性目标的最值; (3)线性规划中的参数问题.

[题点全练]
角度一:求线性目标函数的最值 x+y-2≤0, ? ? 1.(2015· 全国卷Ⅰ)若 x,y 满足约束条件?x-2y+1≤0, ? ?2x-y+2≥0, ________. 解析:画出可行域(如图所示). ∵z=3x+y,∴y=-3x+z. ∴直线 y=-3x+z 在 y 轴上截距最大时,即直线过点 B 时,z 取得最大值.

则 z=3x+y 的最大值为

?x+y-2=0, ? 由? ?x-2y+1=0, ? ?x=1, ? 解得? 即 B(1,1), ? ?y=1,

∴zmax=3×1+1=4. 答案:4 x+y+5≥0, ? ? 2.(2016· 吉林实验中学)已知实数 x,y 满足约束条件?x-y≤0, ? ?y≤0, 的最大值是________. x+y+5≥0, ? ? 解析:满足约束条件?x-y≤0, ? ?y≤0

则 z=2x+4y-3

的区域如图所示,目标函数

z=2x+4y-3 在点(0,0)处取得最大值,则 zmax=-3. 答案:-3 角度二:求非线性目标的最值

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x-y≤1, ? ? 3.(2016· 开封模拟)设变量 x,y 满足约束条件?x+y≥2, ? ?y≤2, 值范围为( A.[2,8] C.[2,13] ) B.[4,13] 5 ? D.? ?2,13?

则目标函数 z=x2+y2 的取

解析:选 C 作出可行域,如图中阴影部分,将目标函数看作是 可 行 域 内 的 点 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 从 而 可 得 zmin = |OA|2 =

?|0+0-2|?2 ? 2 2 ? =2,zmax=|OB|2=32+22=13.故 z 的取值范围为[2,13]. ? 1 +1 ?
x-1≥0, ? ? 4.(2015· 全国卷Ⅰ)若 x,y 满足约束条件?x-y≤0, ? ?x+y-4≤0, 最大值为________. y 解析:画出可行域如图阴影所示,∵ 表示过点(x,y)与原点(0,0) x 的直线的斜率, y ∴点(x,y)在点 A 处时x最大.
?x=1, ? 由? ? ?x+y-4=0, ? ?x=1, 得? ?y=3. ?

y 则x的

y ∴A(1,3).∴ 的最大值为 3. x 答案:3 角度三:线性规划中的参数问题 x-y≥0, ? ? 5.(2015· 山东高考)已知 x,y 满足约束条件?x+y≤2, ? ?y≥0. a= ( ) A.3 C.-2 B.2 D.-3

若 z=ax+y 的最大值为 4,则

解析:选 B 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示, 若 z=ax+y 的最大值为 4,则最优解为 x=1,y=1 或 x=2,y=0,

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经检验知 x=2,y=0 符合题意,∴2a+0=4,此时 a=2,故选 B. x+y-2≤0, ? ? 6.已知 x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0, ? ?2x-y+2≥0. 则实数 a 的值为( 1 A. 或-1 2 C.2 或 1 ) B.2 或 1 2

若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,

D.2 或-1

解析:选 D 由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示,可知 A(0,2),B(2,0),C(-2, -2),则 zA=2,zB=-2a,zC=2a-2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要 zA =zB>zC 或 zA=zC>zB 或 zB=zC>zA,解得 a=-1 或 a=2.

[方法归纳]
1.求目标函数的最值 3 步骤 (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点 的那一条直线; (2)平移——将 l 平行移动,以确定最优解的对应点的位置; (3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解),代入目标函数,即可求出最值. 2.常见的 3 类目标函数 (1)截距型:形如 z=ax+by. a z 求这类目标函数的最值常将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式:y=- x+ ,通过求 b b z 直线的截距b的最值间接求出 z 的最值. (2)距离型:形如 z=(x-a)2+(y-b)2. (3)斜率型:形如 z= [提醒] y-b . x-a

注意转化的等价性及几何意义.

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考点三

线性规划的实际应用?重点保分型考点——师生共研?
[典例引领]

(2015· 陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料,已知生产 1 吨每种 产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该企业每天可获得最大利润为( 甲 A(吨) B(吨) 3 1 乙 2 2 ) 原料限额 12 8

A.12 万元 C.17 万元

B.16 万元 D.18 万元

解析:选 D 设每天生产甲、乙产品分别为 x 吨、y 吨,每天所 3x+2y≤12, ? ? 获利润为 z 万元,则有?x+2y≤8, ? ?x≥0,y≥0,

z=3x+4y,作出可行域如图

阴影部分所示,由图形可知,当直线 z=3x+4y 经过点 A(2,3)时,z 取最大值,最大值为 3×2 +4×3=18.

[由题悟法]
1.解线性规划应用题 3 步骤 (1)转化——设元,写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为线性规划问题; (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题; (3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案. 2.求解线性规划应用题的 3 个注意点 (1)明确问题中的所有约束条件,并根据题意判断约束条件是否能够取到等号. (2)注意结合实际问题的实际意义,判断所设未知数 x,y 的取值范围,特别注意分析 x, y 是否是整数、是否是非负数等. (3)正确地写出目标函数,一般地,目标函数是等式的形式.

[即时应用]
(2015· 云南省第一次统一检测)某校今年计划招聘女教师 a 名,男教师 b 名,若 a,b 满

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2a-b≥5, ? ? 足不等式组?a-b≤2, ? ?a<7,

设这所学校今年计划招聘教师最多 x 名,则 x=________.

解析:画出线性目标函数所表示的区域,如图阴影部分所示,作直线 l:b+a=0,平移 直线 l,再由 a,b∈N,可知当 a=6,b=7 时,招聘的教师最多,此时 x=a+b=13.

答案:13

?

一抓基础,多练小题做到眼疾手快 )

1. 已知点(-3, -1)和点(4, -6)在直线 3x-2y-a=0 的两侧, 则 a 的取值范围为( A.(-24,7) B.(-7,24) C.(-∞,-7)∪(24,+∞) D.(-∞,-24)∪(7,+∞) 解析:选 B 根据题意知(-9+2-a)· (12+12-a)<0. 即(a+7)(a-24)<0,解得-7<a<24. x≥0, ? ? 2.不等式组?x+3y≥4, ? ?3x+y≤4 A. C. 3 2 4 3

所表示的平面区域的面积等于(

)

B.

2 3 3 4

D.

解析:选 C 平面区域如图中阴影部分所示.
?x+3y=4, ? 解? 得 A(1,1), ? ?3x+y=4

4? 易得 B(0,4),C? ?0,3?,

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4 8 |BC|=4- = . 3 3 1 8 4 ∴S△ABC= × ×1= . 2 3 3 4x+5y≥8, ? ? 3.(2015· 广东高考)若变量 x,y 满足约束条件?1≤x≤3, ? ?0≤y≤2, ( ) A.4 C.6 4x+5y≥8, ? ? 解析:选 B 不等式组?1≤x≤3, ? ?0≤y≤2 B. 23 5 31 5

则 z=3x+2y 的最小值为

D.

表示的平面区域为如图

所示的阴影部分,作直线 l0:3x+2y=0,平移直线 l0,当经过点 A 时,z 取得最小值.
?x=1, ? 4 4 23 1, ?,∴zmin=3×1+2× = . 此时? ∴A? 5 ? ? 5 5 ?4x+5y=8, ?

4.点(-2,t)在直线 2x-3y+6=0 的上方,则 t 的取值范围是________. 解析:因为直线 2x-3y+6=0 的上方区域可以用不等式 2x-3y+6<0 表示,所以由点 2 (-2,t)在直线 2x-3y+6=0 的上方得-4-3t+6<0,解得 t> . 3 2 ? 答案:? ?3,+∞? x≥1, ? ? 5 .设变量 x , y 满足约束条件 ?x+y-4≤0, ? ?x-3y+4≤0, ________. 解析:根据约束条件作出可行域,如图中阴影部分所示,∵ z =3x-y,∴y=3x-z,当该直线经过点 A(2,2)时,z 取得最大值, 即 zmax =3×2-2=4. 答案:4 ? 二保高考,全练题型做到高考达标 )

则目标函数 z = 3x - y 的最大值为

1. 不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是(

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解析:选 C 可知选 C.

?x-2y+1≥0, ?x-2y+1≤0, ? ? (x-2y+1)(x+y-3)≤0?? 或? 结合图形 ?x+y-3≤0 ? ? ?x+y-3≥0.

2x-y≤0, ? ?x-3y+5≥0, 2.已知 x,y 满足? x≥0, ? ?y≥0,

- ?1?y 则 z=8 x· ?2? 的最小值为(

)

3 A.1 C. 1 16 B. D.

2 4

1 32

解析:选 D 根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示,而
- ?1?y -3x-y z=8 x· ,欲使 z 最小,只需使-3x-y 最小即可.由图知 ?2? =2

当 x=1,y=2 时,-3x-y 的值最小,且-3×1-2=-5,此时 2
-y

-3x

1 最小,最小值为 . 32 x≥0, ? ? 3.设动点 P(x,y)在区域 Ω:?y≥x, ? ?x+y≤4

上,过点 P 任作直线 l,设直线 l 与区域 Ω 的

公共部分为线段 AB,则以 AB 为直径的圆的面积的最大值为( A.π C.3π B.2π D.4π

)

解析:选 D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示, 4?2 则根据图形可知,以 AB 为直径的圆的面积为最大值 S=π×? ?2? =4π. x≥1, ? ? 4.(2016· 郑州第一次质量预测)已知点 P(x,y)的坐标满足条件?y≥x-1, ? ?x+3y-5≤0, P 到直线 3x-4y-13=0 的距离的最小值为( A. 11 5 ) B.2

那么点

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C.

9 5

D.1

解析:选 B 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域 及直线 3x-4y-13=0,结合图形可知,在该平面区域内所有的点中, 到直线 3x-4y-13=0 的距离最近的点是(1,0).又点(1,0)到直线 3x- |3×1-4×0-13| 4y-13=0 的距离等于 =2,即点 P 到直线 3x-4y- 5 13=0 的距离的最小值为 2. y≥-1, ? ? 5.变量 x,y 满足约束条件?x-y≥2, ? ?3x+y≤14, 多个,则实数 a 的取值集合是( A.{-3,0} C.{0,1} ) B.{3,-1} D.{-3,0,1}

若使 z=ax+y 取得最大值的最优解有无穷

解析:选 B 作出不等式组所表示的平面区域,如图所示. 易知直线 z=ax+y 与 x-y=2 或 3x+y=14 平行时取得最大值的 最优解有无穷多个,即-a=1 或-a=-3,∴a=-1 或 a=3. x+y-2≥0, ? ? 6. (2014· 安徽高考)不等式组 ?x+2y-4≤0, ? ?x+3y-2≥0 的面积为________. 1 解析:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,可知 S△ABC= ×2×(2+2) 2 =4.

表示的平面区域

答案:4
? ?|x|+|y|≤1, 7.(2016· 山西质检)若变量 x,y 满足? 则 2x+y 的取值范围为________. ?xy≥0, ?

解析:作出满足不等式组的平面区域,如图中阴影部分所示,平移直线 2x+y=0,经过点(1,0)时,2x+y 取得最大值 2×1+0=2,经过点(-1,0)时, 2x+y 取得最小值 2×(-1)+0=-2,所以 2x+y 的取值范围为[-2,2]. 答案:[-2,2]

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2x+y≥0, ? ? 8.(2016· 郑州第二次质量预测)已知实数 x,y 满足?x-y≥0, ? ?0≤x≤a, 最小值为-2,则 b 的最大值为________.

设 b=x-2y,若 b 的

1 b 解析:画出可行域,如图阴影部分所示.由 b=x-2y 得,y= x- . 2 2 易知在点(a,a)处 b 取最小值,故 a-2a=-2,可得 a=2.在点(2,-4) 处 b 取最大值,于是 b 的最大值为 2+8=10. 答案:10 9. 已知 D 是以点 A(4,1), B(-1, -6), C(-3,2)为顶点的三角形区域(包 括边界与内部).如图所示. (1)写出表示区域 D 的不等式组. (2)设点 B(-1,-6),C(-3,2)在直线 4x-3y-a=0 的异侧,求 a 的取值范围. 解:(1)直线 AB,AC,BC 的方程分别为 7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10=0. 7x-5y-23≤0, ? ? 原点(0,0)在区域 D 内,故表示区域 D 的不等式组为:?x+7y-11≤0, ? ?4x+y+10≥0. (2)根据题意有[4× (-1)-3× (-6)-a][4× (-3)-3× 2-a]<0,即(14-a)(-18-a)<0. 解得-18<a<14. 故 a 的取值范围是(-18,14). x+y≥1, ? ? 10.若 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ? ?2x-y≤2. 1 1 (1)求目标函数 z= x-y+ 的最值; 2 2 (2)若目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求 a 的取值范围. 解:(1)作出可行域如图,可求得 A(3,4),B(0,1),C(1,0). 1 1 平移初始直线 x-y+ =0,过 A(3,4)取最小值-2, 2 2 过 C(1,0)取最大值 1. 所以 z 的最大值为 1, 最小值为-2. a (2)直线 ax+2y=z 仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1<- <2,解得-4< 2 a<2.

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故所求 a 的取值范围为(-4,2). ? 三上台阶,自主选做志在冲刺名校

x-y+2≥0, ? ? 1.实数 x,y 满足不等式组?2x-y-5≤0, ? ?x+y-4≥0,

则 z=|x+2y-4|的最大值为________.

解析:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示. z=|x+2y-4|= |x+2y-4| · 5,即其几何含义为阴影区域内的 5

点到直线 x+2y-4=0 的距离的 5倍.
?x-y+2=0, ? 由? 得 B 点坐标为(7,9),显然点 B 到直线 x+ ?2x-y-5=0, ?

2y-4=0 的距离最大,此时 zmax=21. 答案:21 2.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个,生产一个卫 兵需 5 分钟,生产一个骑兵需 7 分钟,生产一个伞兵需 4 分钟,已知总生产时间不超过 10 小时.若生产一个卫兵可获利润 5 元,生产一个骑兵可获利润 6 元,生产一个伞兵可获利润 3 元. (1)试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 w(元); (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少? 解:(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100-x-y, 所以利润 w=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300. 5x+7y+4?100-x-y?≤600, ? ? (2)约束条件为?100-x-y≥0, ? ?x≥0,y≥0,x,y∈N. x+3y≤200, ? ? 整理得?x+y≤100, ? ?x≥0,y≥0,x,y∈N. 目标函数为 w=2x+3y+300. 作出可行域.如图所示:

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? ?x+3y=200, 初始直线 l0:2x+3y=0,平移初始直线经过点 A 时,w 有最大值.由? ?x+y=100, ? ?x=50, ? 得? ? ?y=50.

最优解为 A(50,50),所以 wmax=550 元. 所以每天生产卫兵 50 个,骑兵 50 个,伞兵 0 个时利润最大,最大利润为 550 元.

第四节

基本不等式

1.基本不等式 ab≤

a+b 2

(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b. 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥ 2ab(a,b∈R); b a (2)a+b≥2(a,b 同号); a+b?2 (3)ab≤? ? 2 ? (a,b∈R); a+b?2 a2+b2 (4)? ? 2 ? ≤ 2 (a,b∈R). 3.算术平均数与几何平均数 a+b 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 ,几何平均数为 ab,基本不等式可叙述为: 2 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则

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(1)如果 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值是 2 p(简记:积定和最小). q2 (2)如果 x+y 是定值 q,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是 (简记:和定积最大). 4

[小题体验]
1 1.函数 y=x+ (x>0)的值域为________. x 答案:[2,+∞) 2.(教材习题改编)设 x,y∈R+,且 x+y=18,则 xy 的最大值为________. 答案:81 3.若 x,y∈(0,+∞),且 x+4y=1,则 xy 的最大值是________. 解析:∵x,y∈(0,+∞),则 1=x+4y≥4 xy,即 xy≤ 答案: 1 16 1 . 16

1.使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可. 2.“当且仅当 a=b 时等号成立”的含义是“a=b”是等号成立的充要条件,这一点至 关重要,忽略它往往会导致解题错误. 3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. [小题纠偏] 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)当 a≥0,b≥0 时, a+b ≥ ab( 2 ) )

(2)两个不等式 a2+b2≥2ab 与

a+b ≥ ab成立的条件是相同的( 2 )

x y (3)x>0 且 y>0 是y +x≥2 的充要条件( 答案:(1)√ (2)× (3)×

2.若 f(x)=x+ A. C. 5 2 7 2

1 (x>2)在 x=n 处取得最小值,则 n 等于( x-2 B.3 D.4

)

答案:B

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考点一

利用基本不等式证明不等式?重点保分型考点——师生共研?
[典例引领]

1 ??1 ??1 ? 已知 x,y,z 是互不相等的正数,且 x+y+z=1,求证:? ?x-1??y-1?? z -1?>8. 证明:因为 x,y,z 是互不相等的正数,且 x+y+z=1, 1-x y+z 2 yz 1 所以 -1= = > ,① x x x x 1-y x+z 2 xz 1 -1= = > ,② y y y y 1-z x+y 2 xy 1 z -1= z = z > z ,③ 又 x,y,z 为正数,由①×②×③, 1 ??1 ??1 ? 得? ?x-1??y-1?? z -1?>8.

[由题悟法]
利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本 不等式, 对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换, 常见的变形技巧有: 拆项, 并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.

[即时应用]
1 1 设 a,b 均为正实数,求证: 2+ 2+ab≥2 2. a b 证明:由于 a,b 均为正实数, 1 1 所以 2+ 2≥2 a b 1 1 2 ·= , a2 b2 ab

1 1 当且仅当 2= 2,即 a=b 时等号成立, a b 2 又因为ab+ab≥2 2 ab=2 2, ab·

2 当且仅当ab=ab 时等号成立, 1 1 2 所以 2+ 2+ab≥ab+ab≥2 2, a b

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?a =b , 当且仅当? 2 ?ab=ab,
2 2

1

1

4 即 a=b= 2时取等号.

考点二

利用基本不等式求最值?题点多变型考点——纵引横联?
[典型母题]

1 1 已知 a>0,b>0,a+b=1,则a+b的最小值为________. [解析] ∵a>0,b>0,a+b=1, ba 1 1 a· b=4,即a+b的最小值为 4,当且仅当 a=b b a 1 1 a+b a+b ∴a+b= a + b =2+a+b≥2+2 1 = 时等号成立. 2 [答案] 4

[类题通法]
利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值,主要有两种思路: (1)对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解. (2)条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值.

[越变越明]
1? ? 1? [变式 1] 母题的条件不变,则? ?1+a??1+b?的最小值为________.

?1+1??1+1?=?1+a+b??1+a+b?=?2+b?· ?2+a?=5+2?b+a?≥5+4=9.当且 解析: a ? a?? b? ? ? ? ? b? ?a b? a ?? b ?
1 仅当 a=b= 时取等号. 2

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答案:9 [变式 2] ________. 1 1 1 1 解析:由 + =4,得 + =1. a b 4a 4b 1 1 1 b a 1 + ?(a+b)= + + ≥ +2 ∴a+b=? 4 a 4 b ? ? 2 4a 4b 2 1 当且仅当 a=b= 时取等号. 2 答案:1 2 1 [变式 3] 若母题条件变为“已知 a>0,b>0,a+2b=3”,则a+b的最小值为________. 1 2 解析:由 a+2b=3 得 a+ b=1, 3 3 2 1 1 2 ??2 1? ∴a+b=? ?3a+3b??a+b? 4 a 4b = + + 3 3b 3a 4 ≥ +2 3 a 4b 8 · = . 3b 3a 3 b a · =1. 4a 4b 1 1 母题的条件和结论互换即:已知 a>0,b>0,a+b=4,则 a+b 的最小值为

3 当且仅当 a=2b= 时取等号. 2 答案: 8 3

b2 [变式 4] 若母题的条件变为“已知 a 为正实数且 a2+ =1”,则 a 1+b2的最大值为 2 ________. 解析:因为 a>0, 所以 a 1+b2= 2
2 ?1 b ?? 2? ?a +?2+ 2 ?? 2

1 b2 ? a2? ?2+ 2 ?



2



1 b2? ? 2 b2? 1 3 又 a2+? ?2+ 2 ?=?a + 2 ?+2=2, 1 3? 3 2 所以 a 1+b2≤ 2? ?2×2?= 4 , 当且仅当 a= 3 2 ,b= 时等号成立. 2 2 3 2 . 4

即(a 1+b2)max=

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答案:

3 2 4

[破译玄机] 本题求最值利用了拼凑法,拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关 键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题:(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意 利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的 定值为目标;(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. [变式 5] b2 若母题变为: 设 a, b, c 均为正数, 满足 a-2b+3c=0, 则ac的最小值是________.

a+3c 解析:∵a-2b+3c=0,∴b= , 2
2 2 b2 a +9c +6ac 6ac+6ac ∴ac= ≥ =3, 4ac 4ac

当且仅当 a=3c 时取“=”. 答案:3 [变式 6] 若母题变为:已知各项为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在两项

1 4 am,an,使得 am· an=2 2a1,则 + 的最小值为________. m n 解析:设公比为 q(q>0),由 a7=a6+2a5?a5q2=a5q+2a5?q2-q-2=0(q>0)?q=2.
m 1 n 1 am· an=2 2a1?a12m 1· a12n 1=8a2 · 2 =8?m+n-2=3?m+n=5, 1?2
- - - -

1 4 1 1 4? + (m+n) 则 + = ? m n 5?m n? n 4m 1 1 9 = ? 5+? + ??≥ (5+2 4)= , 5? ?m n ?? 5 5 当且仅当 n=2m= 答案: 9 5 10 时等号成立. 3

考点三

基本不等式的实际应用?重点保分型考点——师生共研?
[典例引领]

首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排,绿色生态”为主题.某单 位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用 的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)与月

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1 处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y= x2-200x+80 000, 且每处理一吨二氧化碳 2 得到可利用的化工产品价值为 100 元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴 多少元才能使该单位不亏损? y 1 80 000 解 : (1) 由 题 意 可 知 , 二 氧 化 碳 每 吨 的 平 均 处 理 成 本 为 = x + - 200≥2 x 2 x 1 80 000 x· x -200=200, 2 1 80 000 当且仅当 x= x ,即 x=400 时等号成立, 2 故该单位月处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为 200 元. 1 2 ? (2)不获利.设该单位每月获利为 S 元,则 S=100x-y=100x-? ?2x -200x+80 000?= 1 1 - x2+300x-80 000=- (x-300)2-35 000,因为 x∈[400,600], 2 2 所以 S∈[-80 000,-40 000]. 故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴 40 000 元才能不亏损.

[由题悟法]
解实际应用题的 3 个注意点 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时, 一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.

[即时应用]
某化工企业 2015 年年底投入 100 万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费 用是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化, 以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元.设该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用 为 y(单位:万元). (1)用 x 表示 y; (2)当该企业的年平均污水处理费用最低时,企业需重新更换新的污水处理设备.则该企 业几年后需要重新更换新的污水处理设备. 解:(1)由题意得,y= 100+0.5x+?2+4+6+?+2x? , x

100 即 y=x+ x +1.5(x∈N*). (2)由基本不等式得:

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100 y=x+ x +1.5≥2

100 x· x +1.5=21.5,

100 当且仅当 x= x ,即 x=10 时取等号. 故该企业 10 年后需要重新更换新的污水处理设备.

?

一抓基础,多练小题做到眼疾手快 )

1.已知 a,b∈R+,且 a+b=1,则 ab 的最大值为( A.1 C. 1 2 B. 1 4 2 2

D.

1 1 解析:选 B ∵a,b∈R+,∴1=a+b≥2 ab,∴ab≤ ,当且仅当 a=b= 时等号成立. 4 2 a b 2.设非零实数 a,b,则“a2+b2≥2ab”是“b+a≥2”成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

a 解析:选 B 因为 a,b∈R 时,都有 a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,即 a2+b2≥2ab,而 + b b a b 2 2 a≥2?ab>0,所以“a +b ≥2ab”是“b+a≥2”的必要不充分条件. 3.已知 a+b=t(a>0,b>0),t 为常数,且 ab 的最大值为 2,则 t=( A.2 C.2 2 B.4 D.2 5 )

?a+b?2 t2 t 解析:选 C 因为 a>0,b>0 时,有 ab≤ = ,当且仅当 a=b= 时取等号.因为 4 4 2 t2 ab 的最大值为 2,所以 =2,t2=8,所以 t= 8=2 2. 4 x 4.(2016· 鄂州一模)已知 x>0,则 2 的最大值为________. x +4 x 1 4 解析:因为 2 = ,又 x>0 时,x+ ≥2 x 4 x +4 x+x x 1 1 1 取等号,所以 0< ≤ ,即 2 的最大值为 . 4 4 4 x +4 x+x 4 4 x× =4,当且仅当 x= ,即 x=2 时 x x

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答案:

1 4

5.已知 a,b∈R,且 ab=50,则|a+2b|的最小值是________. 解析:依题意得 a,b 同号,于是有|a+2b|=|a|+|2b|≥2 |a|· |2b|=2 2|ab|=2 100=20, 当且仅当|a|=|2b|=10 时取等号,因此|a+2b|的最小值是 20. 答案:20 ? 二保高考,全练题型做到高考达标 )

1.下列函数中,最小值为 4 的是( A.y=x+ 4 x

4 B.y=sin x+ (0<x<π) sin x C.y=ex+4e
-x

D.y= x2+1+

2 x +1
2

4 解析: 选 C ∵y=x+x中 x 可取负值, ∴其最小值不可能为 4; 由于 0<x<π, ∴0<sin x≤1, ∴y=sin x+ 4 >2 sin x 4 - - sin x· =4, 其最小值大于 4; 由于 ex>0, ∴y=ex+4e x≥2 ex· 4e x sin x 2 ≥ 2 2, x2+1

=4, 当且仅当 ex=2 时取等号, ∴其最小值为 4; ∵ x2+1≥1, ∴y= x2+1+ 当且仅当 x=± 1 时取等号,∴其最小值为 2 2.

1 1 2.已知 a>0,b>0,a,b 的等比中项是 1,且 m=b+a,n=a+b,则 m+n 的最小值是 ( ) A.3 C.5 B.4 D.6

1 1 解析: 选 B 由题意知: ab=1, ∴m=b+ =2b, n=a+ =2a, ∴m+n=2(a+b)≥4 ab a b =4.当且仅当 a=b=1 时取等号. 1 2 3.(2015· 湖南高考)若实数 a,b 满足a+b= ab,则 ab 的最小值为( A. 2 C.2 2 B.2 D.4 )

1 2 解析:选 C 由a+b= ab,知 a>0,b>0, 1 2 所以 ab=a+b≥2 2 ab,即 ab≥2 2,

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?a=b, 当且仅当? 1 2 ?a+b=

1 2

ab,

4 4 即 a= 2,b=2 2时取“=”, 所以 ab 的最小值为 2 2. 4.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平 x 均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备费 8 用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( A.60 件 C.100 件 ) B.80 件 D.120 件

800 解析:选 B 每批生产 x 件,则平均每件产品的生产准备费用是 元,每件产品的仓 x x 800 x 储费用是 元,则 + ≥2 x 8 8 批生产产品 80 件. 5.(2016· 重庆巴蜀中学模拟)若正数 a,b 满足 a+b=2,则 A.1 C.9 解析:选 B B. 9 4 1 4 + 的最小值是( a+1 b+1 ) 800 x 800 x · =20,当且仅当 = ,即 x=80 时“=”成立,∴每 x 8 x 8

D.16 1 4 ?a+1?+?b+1? 1 4 + =?a+1+b+1? 4 ? a+1 b+1 ?

b+1 4?a+1?? 1 1? 9 + = ?1+4+ ≥ (5+2 4)= , ? 4? 4 a+1 b+1 ? 4 b+1 4?a+1? 1 5 当且仅当 = ,即 a= ,b= 时取等号,故选 B. 3 3 a+1 b+1 6.(2015· 广州一模)已知实数 x,y 满足 x2+y2-xy=1,则 x+y 的最大值为________. 解析:因为 x2+y2-xy=1,所以 x2+y2=1+xy. x+y?2 所以(x+y)2=1+3xy≤1+3×? ? 2 ?, 即(x+y)2≤4,解得-2≤x+y≤2. 当且仅当 x=y=1 时等号成立. 所以 x+y 的最大值为 2. 答案:2

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7.(2016· 青岛模拟)已知实数 x,y 均大于零,且 x+2y=4,则 log2x+log2y 的最大值为 ________. x+2y?2 解析:因为 log2x+log2y=log22xy-1≤log2? ? 2 ? -1=2-1=1, 当且仅当 x=2y=2,即 x=2,y=1 时等号成立, 所以 log2x+log2y 的最大值为 1. 答案:1 8.规定记号“?”表示一种运算,即 a?b= ab+a+b(a,b 为正实数).若 1?k=3,则 k 的值为________,此时函数 f(x)= k?x 的最小值为________. x

解析:1?k= k+1+k=3,即 k+ k-2=0, ∴ k=1 或 k=-2(舍),∴k=1. ∴f(x)= 1?x x+x+1 1 = =1+ x+ ≥1+2=3, x x x 1 ,即 x=1 时等号成立. x

当且仅当 x= 答案:1 3

3 8 9.(1)当 x< 时,求函数 y=x+ 的最大值; 2 2x-3 (2)设 0<x<2,求函数 y= x?4-2x?的最大值. 1 8 3 解:(1)y= (2x-3)+ + 2 2x-3 2 8 ? 3 ?3-2x =-? 2 + + . 3-2x? ? ? 2 3 当 x< 时,有 3-2x>0, 2 3-2x 8 ∴ + ≥2 2 3-2x 3-2x 8 · =4, 2 3-2x

3-2x 8 1 当且仅当 = ,即 x=- 时取等号. 2 2 3-2x 3 5 5 于是 y≤-4+ =- ,故函数的最大值为- . 2 2 2 (2)∵0<x<2,∴2-x>0, ∴y= x?4-2x?= 2· x?2-x?≤ x+2-x 2· = 2, 2

当且仅当 x=2-x,即 x=1 时取等号, ∴当 x=1 时,函数 y= x?4-2x?的最大值为 2. 10.已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0,求:

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(1)xy 的最小值; (2)x+y 的最小值. 8 2 解:(1)由 2x+8y-xy=0,得x+ y=1, 又 x>0,y>0, 8 2 则 1=x+y ≥2 82 8 x· y = xy,得 xy≥64,

当且仅当 x=16,y=4 时,等号成立. 所以 xy 的最小值为 64. 8 2 (2)由 2x+8y-xy=0,得x+y =1, 8 2? 2x 8y 则 x+y=? (x+y)=10+ + ?x+y?· y x ≥10+2 2x 8y · =18. y x

当且仅当 x=12 且 y=6 时等号成立, ∴x+y 的最小值为 18. ? 三上台阶,自主选做志在冲刺名校

3x-y-6≤0, ? ? 1. (2015· 河北五校联考)设 x, y 满足约束条件?x-y+2≥0, ? ?x≥0,y≥0, 3 2 >0,b>0)的最大值为 12,则a+b的最小值为( A. C. 25 6 11 3 ) B. 8 3

若目标函数 z=ax+by(a

D.4

解析:选 D 不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图 a z 中的阴影部分所示.由 z=ax+by 得 y=- x+ ,当 z 变化时,它 b b a 表示经过可行域的一组平行直线,其斜率为-b,在 y 轴上的截距为 z b,由图可知当直线经过点 A(4,6)时,在 y 轴上的截距最大,从而 z 也最大,所以 4a+6b= 4a 9b? 3 2 2a+3b ?3 2? 1? 3 12,即 2a+3b=6,所以 + = · ?a+b?=6?6+6+ b + a ?≥4,当且仅当 a=2,b=1 a b 6 时等号成立. 2.(2016· 常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长,计划利用学校空

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地建造一间室内面积为 900 m2 的矩形温室, 在温室内划出三块全等的矩形区域, 分别种植三 种植物,相邻矩形区域之间间隔 1 m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1 m 宽的通道, 左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3 m 宽的通道,如图.设矩形温室的室内长 为 x(单位:m),三块种植植物的矩形区域的总面积 为 S(单位:m2). ...

(1)求 S 关于 x 的函数关系式; (2)求 S 的最大值. 900 ? 7 200 解:(1)由题设,得 S=(x-8)? ? x -2?=-2x- x +916,x∈(8,450). (2)因为 8<x<450, 7 200 所以 2x+ x ≥2 7 200 2x× x =240,

当且仅当 x=60 时等号成立,从而 S≤676. 故当矩形温室的室内长为 60 m 时,三块种植植物的矩形为区域的总面积最大,最大为 676 m2.

命题点一 不等关系与一元二次不等式 命题指数:☆☆☆☆ 难度:中、低 题型:选择题、填空题

1.(2014· 天津高考)设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件

)

D.既不充分又不必要条件

解析: 选 C

构造函数 f(x) = x|x| ,则 f(x) 在定义域 R 上为奇函数.因为 f(x) =

2 ? ?x ,x≥0, ? 所以函数 f(x)在 R 上单调递增,所以 a>b?f(a)>f(b)?a|a|>b|b|.选 C. 2 ?-x ,x<0, ?

2.(2014· 四川高考)若 a>b>0,c<d<0,则一定有( a b A.c >d a b B.c <d

)

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a b C. > d c

a b D. < d c

a b 1 1 1 1 解析: 选 D 由 c<d<0?d< c<0?-d>-c >0, 又 a>b>0, 故由不等式性质, 得-d>- c>0, a b 所以d<c ,选 D. 3.(2014· 浙江高考)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,且 0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则 ( ) A.c≤3 C.6<c≤9 B.3<c≤6 D.c>9

解析:选 C 由题意,不妨设 g(x)=x3+ax2+bx+c-m,m∈(0,3],则 g(x)的三个零点 分别为 x1=-3,x2=-2,x3=-1,因此有(x+1)(x+2)(x+3)=x3+ax2+bx+c-m,则 c -m=6,因此 c=m+6∈(6,9].

? ?e ,x<1, 4.(2014· 全国卷Ⅰ)设函数 f(x)=? 1 则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是 ? ?x 3 ,x≥1,
________.
1

x-1

解析:当 x<1 时,由 ex 1≤2 得 x≤1+ln 2,∴x<1;当 x≥1 时,由 x 3 ≤2 得 x≤8,∴


1≤x≤8.综上,符合题意的 x 的取值范围是(-∞,8]. 答案:(-∞,8] 5.(2014· 江苏高考)已知函数 f(x)=x2+mx-1,若对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立,则实数 m 的取值范围是________.
?f?m?=2m2-1<0, ? 2 解析: 由题可得 f(x)<0 对于 x∈[m, m+1]恒成立, 即? 解得- 2 2 ? f ? m + 1 ? = 2 m + 3 m <0 , ?

<m<0. 答案: -

? ?

2 ? ,0 2 ? 简单的线性规划问题 命题指数:☆☆☆☆☆ 难度:中、低 题型:选择题、填空题

命题点二

x-y≤0, ? ? 1.(2015· 北京高考)若 x,y 满足?x+y≤1, ? ?x≥0, A.0 C. 3 2

则 z=x+2y 的最大值为(

)

B.1 D.2

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解析:选 D 作出不等式组所表示的平面区域,如下图.

作直线 x+2y=0,向右上平移,当直线过点 A(0,1)时,z=x+2y 取最大值,即 zmax=0 +2×1=2. x+y-2≤0, ? ? 2.(2015· 重庆高考)若不等式组?x+2y-2≥0, ? ?x-y+2m≥0 4 等于 ,则 m 的值为( 3 A.-3 C. 4 3 ) B.1 D.3

表示的平面区域为三角形,且其面积

解析:选 B 作出可行域,如图中阴影部分所示,

2-4m 2+2m? 易求 A, B, C, D 的坐标分别为 A(2,0), B(1-m,1+m), C? ? 3 , 3 ?,D(-2m,0). 1 S△ABC=S△ADB-S△ADC= |AD|· |yB-yC| 2 2+2m? 1 = (2+2m)?1+m- 2 3 ? ? m-2? 4 =(1+m)?1+ = , 3 ? 3 ? 解得 m=1 或 m=-3(舍去).
? ?x+y≥1, 3.(2014· 全国卷Ⅰ)不等式组? 的解集记为 D,有下面四个命题: ?x-2y≤4 ?

p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2; p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2; p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3; p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1.

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其中真命题是( A.p2,p3 C.p1,p2

) B.p1,p4 D.p1,p3

解析:选 C 法一:画出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当目标函数 z=x+2y 经过可行域内的点 A(2,-1)时,取得最小值 0,故 x+2y≥0,因此 p1,p2 是真命题,选 C.

法二:设 x+2y=m(x+y)+n(x-2y),
? ?1=m+n, 则? 解得 ?2=m-2n, ?

?m=3, ? 1 ?n=-3,

4

?x+y≥1, ? ∵? ?x-2y≤4, ?

4 4 1 4 ∴ (x+y)≥ ,- (x-2y)≥- , 3 3 3 3 4 1 ∴x+2y= (x+y)- (x-2y)≥0. 3 3 故命题 p1,p2 正确,p3,p4 错误.故选 C. x+y≥0, ? ? 4. (2015· 福建高考)变量 x, y 满足约束条件?x-2y+2≥0, ? ?mx-y≤0. 则实数 m 等于( A.-2 C.1 ) B.-1 D.2

若 z=2x-y 的最大值为 2,

解析:选 C 对于选项 A,当 m=-2 时,可行域如图①,直线 y=2x-z 的截矩可以无 限小,z 不存在最大值,不符合题意,故 A 不正确; 对于选项 B,当 m=-1 时,mx-y≤0 等同于 x+y≥0,可行域如图②,直线 y=2x-z 的截矩可以无限小,z 不存在最大值,不符合题意,故 B 不正确;

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对于选项 C,当 m=1 时可行域如图③,当直线 y=2x-z 过点 A(2,2)时截距最小,z 最 大为 2,满足题意,故 C 正确; 对于选项 D,当 m=2 时,可行域如图④,直线 y=2x-z 与直线 OB 平行,截距最小值 为 0,z 最大为 0,不符合题意,故 D 不正确. 5.(2015· 北京高考)如图,△ABC 及其内部的点组成的集合记为 D,P(x,y)为 D 中任意一点,则 z=2x+3y 的最大值为________. 2 1 2 解析:把 z=2x+3y 变形为 y=- x+ z,通过平移直线 y=- x 3 3 3 知,当过点 A(2,1)时,z=2x+3y 取得最大值为 zmax=2×2+3×1=7. 答案:7 x+4y≥4, ? ? 6.(2013· 广东高考)给定区域 D:?x+y≤4, ? ?x≥0.

令点集 T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,

y0)是 z=x+y 在 D 上取得最大值或最小值的点}, 则 T 中的点共确定________条不同的直线. 解析:解决本题的关键是要读懂数学语言,x0,y0∈Z,说明 x0,y0 是整数,作出图形可 知,△ABF 所围成的区域即为区域 D,其中 A(0,1)是 z 在 D 上取得最小值的点,B,C,D, E,F 是 z 在 D 上取得最大值的点,则 T 中的点共确定 AB,AC,AD,AE,AF,BF 共 6 条不同的直线.

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答案:6 x+2y-4≤0, ? ? 7.(2014· 浙江高考)当实数 x,y 满足?x-y-1≤0, ? ?x≥1 数 a 的取值范围是________. 3? 解析: 由线性规划的可行域(如图), 求出三个交点坐标分别为 A(1,0), B(2,1), C? ?1,2?, 3 都代入 1≤ax+y≤4,可得 1≤a≤ . 2

时,1≤ax+y≤4 恒成立,则实

3? 答案:? ?1,2?

命题点三

基本不等式 难度:中、低

命题指数:☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题

1.(2014· 福建高考)要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器,已知该容器 的底面造价是每平方米 20 元, 侧面造价是每平方米 10 元, 则该容器的最低总造价是 A.80 元 C.160 元 B.120 元 D.240 元 ( )

解析:选 C 设该容器的总造价为 y 元,长方体的底面矩形的长为 x m,因为无盖长 4 方体的容积为 4 m3,高为 1 m,所以长方体的底面矩形的宽为x m,依题意,得 y=20×4+ 10 ?2x+

?

2×4? 4? = 80 + 20 ? ?x+x? ≥80 + 20×2 x ?

4 ?当且仅当x=4,即x=2时取等号? . x· x ? x = 160 ?

所以该容器的最低总造价为 160 元.

2.(2014· 重庆高考)若 log4(3a+4b)=log2 ab,则 a+b 的最小值是( A.6+2 3 C.6+4 3 解析:选 D 因为 log4(3a+4b)=log2 ab, B.7+2 3 D.7+4 3

)

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所以 log4(3a+4b)=log4(ab),即 3a+4b=ab,
? ?3a+4b>0, 且? 即 a>0,b>0, ?ab>0, ?

4 3 所以 + =1(a>0,b>0), a b

?4+3?=7+4b+3a≥7+2 a+b=(a+b)· ?a b? a b
故选 D.

4b 3a 4b 3a a· b =7+4 3,当且仅当 a = 4 时取等号,

x2-y2 3.(2015· 山东高考)定义运算“?”:x?y= xy (x,y∈R,xy≠0).当 x>0,y>0 时, x?y+(2y)?x 的最小值为________. x2-y2 4y2-x2 x2-y2 解析:因为 x?y= xy ,所以(2y)?x= .又 x>0,y>0,故 x?y+(2y)?x= xy + 2xy 4y2-x2 x2+2y2 2 2xy = ≥ = 2,当且仅当 x= 2y 时,等号成立. 2xy 2xy 2xy 答案: 2 4.(2014· 上海高考)若实数 x,y 满足 xy=1,则 x2+2y2 的最小值为________. 解析:∵x2+2y2≥2 x2· 2y2=2 2xy=2 2,当且仅当 x= 2y 时取“=”,∴x2+2y2 的 最小值为 2 2. 答案:2 2 5.(2015· 重庆高考)设 a,b>0,a+b=5,则 a+1+ b+3的最大值为________. 解析:令 t= a+1+ b+3,则 t2=a+1+b+3+2 ?a+1??b+3?=9+2 ?a+1??b+3? ≤9+a+1+b+3=13+a+b=13+5=18, 7 3 当且仅当 a+1=b+3 时取等号,此时 a= ,b= . 2 2 ∴tmax= 18=3 2. 答案:3 2

第五节

合情推理与演绎推理

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1.合情推理 类型 归纳 推理 类比 推理 定义 根据一类事物的部分对象具有某种特征, 推出这类事物 的全部对象都具有这种特征的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些 已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理 特点 由部分到整体、由个 别到一般 由特殊到特殊

2.演绎推理 (1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎 推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.

[小题体验]
1?x 1? 1. “因为指数函数 y=ax 是增函数(大前提), 而 y=? 所以 y=? ?3? 是指数函数(小前提), ?3?
x

是增函数(结论)”,上面推理的错误是( A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都导致结论错 答案:A

)

2.(教材习题改编)已知数列{an}的第 1 项 a1=1,且 an+1= 数列的通项公式 an=________. 1 答案:n

an (n=1,2,3,?),归纳该 1+an

1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论,发现与猜想的结论都要经过进一步严格 证明. 2.演绎推理是由一般到特殊的证明,它常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的

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严密性,书写格式的规范性. 3.合情推理中运用猜想不能凭空想象,要有猜想或拓展依据. [小题纠偏] 判断正误 (1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确( (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理(
*

) ) ) )

(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适( (4)一个数列的前三项是 1,2,3,那么这个数列的通项公式是 an=n(n∈N )( (5)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确( 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× )

考点一

类比推理?基础送分型考点——自主练透?
[题组练透]

1.给出下面类比推理(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集): ①“若 a,b∈R,则 a-b=0?a=b”类比推出“a,c∈C,则 a-c=0?a=c”; ②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di?a=c,b=d”类比推出“a,b,c,d∈Q, 则 a+b 2=c+d 2?a=c,b=d ”; ③“a,b∈R,则 a-b>0?a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0?a>b”; ④“若 x∈R,则|x|<1?-1<x<1”类比推出“若 z∈C,则|z|<1?-1<z<1”. 其中类比结论正确的个数为( A.1 C.3 解析:选 B 类比结论正确的有①②. 2.(易错题)(2016· 贵州六校联考) 在平面几何中:△ABC 的∠C 内角平分线 CE 分 AB AC AE 所成线段的比为BC=BE.把这个结论类比到空间:在三棱锥 ABCD 中(如图),DEC 平分二 面角 ACDB 且与 AB 相交于 E,则得到类比的结论是______________________. ) B.2 D.4

解析:由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得 AE S△ACD = . EB S△BCD AE S△ACD 答案:EB= S△BCD

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[谨记通法]
类比推理的分类及处理方法 类别 类比定义 解读 在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理 型试题时,可以借助原定义来求解 从一个特殊式子的性质、 一个特殊图形的性 类比性质 质入手,提出类比推理型问题,求解时要认 真分析两者之间的联系与区别, 深入思考两 者的转化过程是求解的关键 有一些处理问题的方法具有类比性, 可以把 类比方法 这种方法类比应用到其他问题的求解中, 注 意知识的迁移 适合题型 已知熟悉定义类比新定义 平面几何与立体几何、 等差数列与 等比数列 如“题组练透”第 2 题易出现类 比失误 已知熟悉的处理方法类比未知问 题的处理方法

考点二

归纳推理?常考常新型考点——多角探明? [命题分析]

归纳推理是每年高考的常考内容,题型多为选择题和填空题,难度稍大,属中高档题. 常见的命题角度有: (1)与数字有关的推理; (2)与式子有关的推理; (3)与图形有关的推理.

[题点全练]
角度一:与数字有关的推理 1. (2016· 陕西模拟)观察下列式子: 1,1+2+1,1+2+3+2+1, 1+2+3+4+3+2+1, ?, 由以上可推测出一个一般性结论:对于 n∈N*,1+2+?+n+?+2+1=________. 解析:∵1=12,1+2+1=22,1+2+3+2+1=32,1+2+3+4+3+2+1=42,?,∴归纳 可得 1+2+?+n+?+2+1=n2. 答案:n2 角度二:与式子有关的推理 2.(2014· 陕西高考)已知 f(x)= 则 f2 014(x)的表达式为________. x ,x≥0,若 f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+, 1+x

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解析:由 f1(x)=

x x ?f2(x)=f?1+x? ? ? 1+x

x 1+x x = x =1+2x; 1+ 1+x 又可得 f3(x)=f(f2(x)) x 1+2x x = x =1+3x, 1+ 1+2x 故可猜想 f2 014(x)= 答案:f2 014(x)= x . 1+2 014x

x 1+2 014x

1 4 x x 4 27 x x 3.已知 x∈(0,+∞),观察下列各式:x+ ≥2,x+ 2= + + 2≥3,x+ 3 = + + x x 2 2 x x 3 3 x 27 a + ≥4,?,类比得 x+xn≥n+1(n∈N*),则 a=________. 3 x3 解析:第一个式子是 n=1 的情况,此时 a=11=1;第二个式子是 n=2 的情况,此时 a =22=4;第三个式子是 n=3 的情况,此时 a=33=27,归纳可知 a=nn. 答案:nn 角度三:与图形有关的推理 4.下面图形由小正方形组成,请观察图 1 至图 4 的规律,并依此规律,写出第 n 个图 形中小正方形的个数是________.

解析:由题图知第 n 个图形的小正方形个数为 1+2+3+?+n. n?n+1? ∴总个数为 . 2 答案: n?n+1? 2

[方法归纳]
归纳推理问题的常见类型及解题策略

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常见类型 与数字有关的等式的推理 与式子有关的推理 与图形变化有关的推理

解题策略 观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解 观察每个式子的特点,找到规律后可解 合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验 证其真伪性

考点三

演绎推理?重点保分型考点——师生共研?
[典例引领]

数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1=
?Sn? (1)数列? n ?是等比数列; ? ?

n+2 S (n∈N*).证明: n n

(2)Sn+1=4an. 证明:(1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1= n+2 S, n n

∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即 nSn+1=2(n+1)Sn. Sn+1 Sn 故 =2· n, n+1
? Sn ? 故?n ?是以 2 为公比,1 为首项的等比数列. ? ?

(小前提) (结论)

(大前提是等比数列的定义) Sn+1 Sn-1 (2)由(1)可知 =4· (n≥2), n+1 n-1 Sn-1 n-1+2 ∴Sn+1=4(n+1)· =4· · Sn-1 n-1 n-1 =4an(n≥2). 又∵a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1, ∴对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an. (小前提) (小前提) (结论)

[由题悟法]
演绎推理的推证规则 (1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应 当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略,本题中,等比数列的 定义在解题中是大前提,由于它是显然的,因此省略不写. (2)在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成.

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[即时应用] 已知函数 y=f(x)满足:对任意 a,b∈R,a≠b,都有 af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a),试证明: f(x)为 R 上的单调增函数. 证明:设 x1,x2∈R,取 x1<x2, 则由题意得 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1), ∴x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(x1)]>0, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0, ∵x1<x2, ∴f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1). ∴y=f(x)为 R 上的单调增函数.

?

一抓基础,多练小题做到眼疾手快

1.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以 上推理( ) B.大前提不正确 D.全不正确

A.结论正确 C.小前提不正确

解析:选 C 因为 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确. 2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a· b=b· a”; ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)· c=a· c+b· c”; ③“(m· n)t=m(n· t)”类比得到“(a· b)· c=a· (b· c)”; ④“t≠0,mt=xt?m=x”类比得到“p≠0,a· p=x· p?a=x”; ⑤“|m· n|=|m|· |n|”类比得到“|a· b|=|a|· |b|”; ac a a· c a ⑥“ = ”类比得到“ = ”. bc b b· c b 以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是( A.1 C.3 解析:选 B ①②正确,③④⑤⑥错误. B.2 D.4 )

3.(2016· 重庆一诊)某种树的分枝生长规律如图所示,第 1 年到第 5 年的分枝数分别为

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1,1,2,3,5,则预计第 10 年树的分枝数为(

)

A.21 C.52

B.34 D.55

解析:选 D 因为 2=1+1,3=2+1,5=3+2,即从第三项起每一项都等于前两项的和, 所以第 10 年树的分枝数为 21+34=55. 4.观察下列等式 12=1 12-22=-3 12-22+32=6 12-22+32-42=-10 ?? 照此规律,第 n 个等式可为________. 解析:观察规律可知,第 n 个式子为 12-22+32-42+?+(-1)n 1n2=(-1)n
+ +1

n?n+1? . 2

答案:12-22+32-42+?+(-1)n 1n2=(-1)n


+1

n?n+1? 2

5.(2016· 黑龙江哈三中期末)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8, S16-S12 成等差数列.类比以上结论我们可以得到的一个真命题为:设等比数列 {bn}的前 n 项积为 Tn,则________成等比数列. 解析:利用类比推理把等差数列中的差换成商即可. T8 T12 T16 答案:T4, , , T4 T8 T12 ? 二保高考,全练题型做到高考达标 )

1.(2016· 洛阳统考)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(

A.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:π 是无理数;结论:π 是无限不循环小数 B.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:π 是无限不循环小数;结论:π 是无理数 C.大前提:π 是无限不循环小数;小前提:无限不循环小数是无理数;结论:π 是无理数 D.大前提:π 是无限不循环小数;小前提:π 是无理数;结论:无限不循环小数是无理数 解析:选 B A 中小前提不正确,C、D 都不是由一般性结论到特殊性结论的推理,所 以 A、C、D 都不正确,只有 B 的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确.

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2.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(

)

A.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.由 an=2n-1,求出 S1=12,S2=22,S3=32,?,推断: Sn=n2 B.由 f(x)=xcos x 满足 f(-x)=-f(x)对?x∈R 都成立,推断:f(x)=xcos x 为奇函数 x2 y2 C.由圆 x2+y2=r2 的面积 S=πr2,推断:椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的面积 S=πab a b D.由(1+1)2>21,(2+1)2>22,(3+1)2>23,?,推断:对一切 n∈N*,(n+1)2>2n 解析:选 A 选项 A 由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{an}是等差数列, n?1+2n-1? 其前 n 项和等于 Sn= =n2,选项 D 中的推理属于归纳推理,但结论不正确. 2 3.在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则 S1 1 = ,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体 PABC 的内切球体积为 V1,外接球体 S2 4 积为 V2,则 A. C. 1 8 1 64 V1 =( V2 ) B. 1 9 1 27

D.

V1 1 解析:选 D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1∶3,故 = . V2 27 4.给出以下数对序列: (1,1) (1,2)(2,1) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) ?? 记第 i 行的第 j 个数对为 aij,如 a43=(3,2),则 an m=( A.(m,n-m+1) C.(m-1,n-m+1) )

B.(m-1,n-m) D.(m,n-m)

解析:选 A 由前 4 行的特点,归纳可得:若 an m=(a,b),则 a=m,b=n-m+1,∴ an m=(m,n-m+1).

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5.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,?,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数; 类似地,称图 2 中的 1,4,9,16,?,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方 形数的是( A.289 C.1 225 ) B.1 024 D.1 378

解析:选 C 观察三角形数:1,3,6,10,?,记该数列为{an},则 a1=1, a2=a1+2, a3=a2+3, ? an=an-1+n. ∴a1+a2+?+an=(a1+a2+?+an-1)+(1+2+3+?+n),∴an=1+2+3+?+n= n?n+1? , 2 观察正方形数:1,4,9,16,?,记该数列为{bn},则 bn=n2.把四个选项的数字,分别代入 上述两个通项公式,可知使得 n 都为正整数的只有 1 225. 1 1 1 3 5 6. (2015· 日照二模)设 n 为正整数, f(n)=1+ + +?+n, 计算得 f(2)= , f(4)>2, f(8)> , 2 3 2 2 f(16)>3,观察上述结果,可推测一般的结论为________. n+2 3 4 5 6 解析:∵f(21)= ,f(22)>2= ,f(23)> ,f(24)> ,∴归纳得 f(2n)≥ (n∈N*). 2 2 2 2 2 n+2 答案:f(2n)≥ (n∈N*) 2 7.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 7 8 5 9 ?? 6 10

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根据以上排列规律,数阵中第 n(n≥3)行从左至右的第 3 个数是________. 解析:前 n-1 行共有正整数 1+2+?+(n-1)= n?n-1? n2-n 个,即 个,因此第 n 行从 2 2

n2-n n2-n+6 左至右的第 3 个数是全体正整数中第 +3 个,即为 . 2 2 答案: n2-n+6 2

8.如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,那么对于区间 D 内的任意 x1,x2,?,xn,都 有 f?x1?+f?x2?+?+f?xn? ?x1+x2+?+xn? ≤f n n ? ?.若 y=sin x 在区间(0,π)上是凸函数,那么在△

ABC 中,sin A+sin B+sin C 的最大值是________. 解析:由题意知,凸函数满足 f?x1?+f?x2?+?+f?xn? ?x1+x2+?+xn? ≤f n n ? ?, A+B+C π 3 3 又 y=sin x 在区间(0, π)上是凸函数, 则 sin A+sin B+sin C≤3sin =3sin = . 3 3 2 答案: 3 3 2

9.在锐角三角形 ABC 中,求证:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. 证明:∵△ABC 为锐角三角形, π ∴A+B> , 2 π ∴A> -B, 2 π 0, ?上是增函数, ∵y=sin x 在? ? 2? π ? ∴sin A>sin? ?2-B?=cos B, 同理可得 sin B>cos C,sin C>cos A, ∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. 10.(2015· 上海闸北二模)已知 O 是△ABC 内任意一点,连接 AO,BO,CO 并延长,分 别交对边于 A′,B′,C′,则 采用“面积法”: OA′ OB′ OC′ S△OBC S△OCA S△OAB S△ABC + + = + + = =1. AA′ BB′ CC′ S△ABC S△ABC S△ABC S△ABC 请运用类比思想, 对于空间中的四面体 V?BCD, 存在什么类似的结论, 并用“体积法” 证明. 解:在四面体 V?BCD 中,任取一点 O,连接 VO,DO,BO,CO OA′ OB′ OC′ + + =1,这是一道平面几何题,其证明常 AA′ BB′ CC′

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并延长,分别交四个面于 E,F,G,H 点. OE OF OG OH 则 VE+DF+BG+CH=1. 证明:在四面体 O?BCD 与 V?BCD 中, 1 S△ · h OE h1 3 BCD 1 VO?BCD = = = . VE h 1 VV?BCD S△BCD· h 3 OF VO?VBC OG VO?VCD OH VO?VBD 同理有DF= ; = ; = , VD?VBC BG VB?VCD CH VC?VBD OE OF OG OH ∴ + + + VE DF BG CH VO?BCD+VO?VBC+VO?VCD+VO?VBD VV?BCD = = =1. VV?BCD VV?BCD ? 三上台阶,自主选做志在冲刺名校

π 1 1.已知 cos = , 3 2 π 2π 1 cos cos = , 5 5 4 π 2π 3π 1 cos cos cos = , 7 7 7 8 ?? (1)根据以上等式,可猜想出的一般结论是________; π π 2π (2)若数列{an}中,a1=cos ,a2=cos cos , 3 5 5 π 2π 3π a3=cos cos cos ,?, 7 7 7 前 n 项和 Sn= 1 023 ,则 n=________. 1 024

解析:(1)从题中所给的几个等式可知,第 n 个等式的左边应有 n 个余弦相乘,且分母均 1 为 2n+1,分子分别为 π,2π,?,nπ,右边应为 n,故可以猜想出结论为 2 nπ π 2π 1 cos · cos · ?· cos = n(n∈N*). 2 2n+1 2n+1 2n+1 1 (2)由(1)可知 an= n, 2 1? ?1?n? 1- n 2? ?2? ? 1 2 -1 1 023 故 Sn= =1- n= n = , 1 2 2 1 024 1- 2 解得 n=10. nπ π 2π 1 答案:(1)cos cos · ?· cos = n(n∈N*) (2)10 2n+1 2n+1 2n+1 2

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2.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°; ②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°; ③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°; ④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°; ⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解:(1)选择②式,计算如下: 1 sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1- sin 30° 2 1 3 =1- = . 4 4 (2)法一:三角恒等式为 3 sin2α+cos2(30°-α)-sin α· cos(30°-α)= . 4 证明如下: sin2α+cos2(30°-α)-sin α· cos(30°-α) =sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α· (cos 30°cos α+sin 30°sin α) 3 3 1 3 1 =sin2α+ cos2α+ sin αcos α+ sin2α- sin αcos α- sin2α 4 2 4 2 2 3 3 3 = sin2α+ cos2α= . 4 4 4 法二:三角恒等式为 3 sin2α+cos2(30°-α)-sin α· cos(30°-α)= . 4 证明如下: sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α) 1-cos 2α 1+cos?60° -2α? = + -sin α· (cos 30°cos α+sin 30°sin α) 2 2 1 1 1 1 3 1 = - cos 2α+ + (cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)- sin αcos α- sin2α 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 = - cos 2α+ + cos 2α+ sin 2α- sin 2α- (1-cos 2α) 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 3 =1- cos 2α- + cos 2α= . 4 4 4 4

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第六节

直接证明和间接证明

1.直接证明 直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法. (1)综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理 论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. 综合法又称为:由因导果法(顺推证法). (2)分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后, 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这 种证明方法叫做分析法. 分析法又称为:执果索因法(逆推证法). 2.间接证明 反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设 错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法. [小题体验] 1.要证 a2+b2-1-a2b2≤0 只要证明( A.2ab-1-a b ≤0 C. ?a+b?2 -1-a2b2≤0 2
2 2

) a4+b4 B.a +b -1- ≤0 2
2 2

D.(a2-1)(b2-1)≥0

答案:D 2.设 a=lg 2+lg 5,b=ex(x<0),则 a 与 b 的大小关系为( A.a>b C.a=b 答案:A B.a<b D.a≤b )

1.用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)?”“即 要证?”“就要证?”等分析到一个明显成立的结论 P,再说明所要证明的数学问题成立. 2.利用反证法证明数学问题时,没有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推理过程是 错误的.

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[小题纠偏]
1.用分析法证明不等式 3+ 7<2 5成立时,________把“ 3+ 7<2 5”作为已知 条件.(填“能”或“不能”) 答案:不能 2.用反证法证明“如果 a>b,那么 a3>b3”时假设的内容为________. 答案:a3≤b3

考点一

分析法?基础送分型考点——自主练透? [题组练透]

1.已知 a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b. 证明:要证明 2a3-b3≥2ab2-a2b 成立, 只需证 2a3-b3-2ab2+a2b≥0, 即 2a(a2-b2)+b(a2-b2)≥0, 即(a+b)(a-b)(2a+b)≥0. ∵a≥b>0, ∴a-b≥0,a+b>0,2a+b>0, 从而(a+b)(a-b)(2a+b)≥0 成立, ∴2a3-b3≥2ab2-a2b. 2.(易错题)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,A,B,C 的对边分别为 a, b,c. 求证: 1 1 3 + = . a+b b+c a+b+c

1 1 3 证明:要证 + = , a+b b+c a+b+c 即证 a+b+c a+b+c c a + =3,也就是 + =1, a+b b +c a+b b+c

只需证 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 需证 c2+a2=ac+b2, 又△ABC 三内角 A,B,C 成等差数列,故 B=60°, 由余弦定理,得 b2=c2+a2-2accos 60°, 即 b2=c2+a2-ac, 故 c2+a2=ac+b2 成立. 于是原等式成立.

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[谨记通法]
1.利用分析法证明问题的思路 分析法的证明思路:先从结论入手,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这 些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命 题得证.如“题组练透”第 2 题. 2.分析法证明问题的适用范围 当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需用的知识不太明确、 具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,常考虑用分析法.

考点二

综合法?常考常新型考点——多角探明? [命题分析]

综合法证明问题是历年高考的热点问题,也是必考问题之一.通常在解答题中出现. 常见的命题角度有: (1)立体几何证明题; (2)数列证明题; (3)与函数、方程、不等式结合的证明题.

[题点全练]
角度一:立体几何证明题 1.如图,在三棱锥 P ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC, AB 的中点.已知 PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5. 求证:(1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC. 证明:(1)因为 D,E 分别为棱 PC,AC 的中点,所以 DE∥PA. 又因为 PA?平面 DEF,DE?平面 DEF, 所以直线 PA∥平面 DEF. (2)因为 D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,PA=6,BC=8, 1 1 所以 DE∥PA,DE= PA=3,EF= BC=4. 2 2 又因为 DF=5,故 DF2=DE2+EF2, 所以∠DEF=90°,即 DE⊥EF. 又 PA⊥AC,DE∥PA,所以 DE⊥AC.

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因为 AC∩EF=E,AC?平面 ABC,EF?平面 ABC, 所以 DE⊥平面 ABC. 又 DE?平面 BDE,所以平面 BDE⊥平面 ABC. 角度二:数列证明题 2. (2014· 江苏高考节选)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若对任意正整数 n, 总存在正整数 m, 使得 Sn=am,则称{an}是“H 数列”. (1)若数列{an}的前 n 项和 Sn=2n(n∈N*),证明:{an}是“H 数列”; (2)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H 数列”{bn}和{cn},使得 an=bn+cn(n ∈N*)成立. 证明:(1)由已知,当 n≥1 时,an+1=Sn+1-Sn=2n 1-2n=2n.于是对任意的正整数 n,


总存在正整数 m=n+1,使得 Sn=2n=am. 所以{an}是“H 数列”. (2)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(n∈N*). 令 bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),则 an=bn+cn(n∈N*). 下面证{bn}是“H 数列”. 设{bn}的前 n 项和为 Tn,则 Tn= 数 m= n?n+1? a1(n∈N*).于是对任意的正整数 n,总存在正整 2

n?n+1? ,使得 Tn=bm,所以{bn}是“H 数列”. 2

同理可证{cn}也是“H 数列”. 所以任意的等差数列{an},总存在两个“H 数列”{bn}和{cn},使得 an=bn+cn(n∈N*)成 立. 角度三:与函数、方程、不等式结合的证明题 1 1 3.已知函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx- x2+ x3,函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象 2 3 在交点(0,0)处有公共切线. (1)求 a,b 的值; (2)证明:f(x)≤g(x). 1 解:(1)f′(x)= ,g′(x)=b-x+x2, 1+x
?g?0?=f?0?, ? 由题意得? ? ?f′?0?=g′?0?,

解得 a=0,b=1. (2)证明:令 h(x)=f(x)-g(x) 1 1 =ln(x+1)- x3+ x2-x(x>-1). 3 2

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h′(x)=

-x3 1 -x2+x-1= . x+1 x+1

h(x)在(-1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数. h(x)max=h(0)=0,h(x)≤h(0)=0, 即 f(x)≤g(x).

[方法归纳]
综合法证题的思路

考点三

反证法?重点保分型考点——师生共研? [典例引领]

设{an}是公比为 q 的等比数列. (1)推导{an}的前 n 项和公式; (2)设 q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列. 解:(1)设{an}的前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=a1+a1+?+a1=na1; 当 q≠1 时,Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn 1,①


qSn=a1q+a1q2+?+a1qn,② ①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn, na ,q=1, ? ? 1 a1?1-qn? ∴Sn= ,∴Sn=?a1?1-qn? 1-q ,q≠1. ? ? 1-q (2)证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的 k∈N*, (ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),

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a2 k+1+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
2k k k 1 a2 · a1qk 1+a1qk 1+a1qk 1. 1q +2a1q =a1q
- + - +

∵a1≠0,∴2qk=qk 1+qk 1.
- +

∵q≠0,∴q2-2q+1=0, ∴q=1,这与已知矛盾. ∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.

[由题悟法]
反证法证明问题的 3 步骤 (1)反设:假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定命题)成立;(否定结论) (2)归谬:将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾——与已知条件、 已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾) (3)立论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然原命题结论的 反面不成立,从而肯定了原命题成立.(命题成立)

[即时应用]
1 已知 x∈R,a=x2+ ,b=2-x,c=x2-x+1,试证明 a,b,c 至少有一个不小于 1. 2 证明:假设 a,b,c 均小于 1,即 a<1,b<1,c<1, 则有 a+b+c<3, 1?2 1 而 a+b+c=2x2-2x+ +3=2? ?x-2? +3≥3, 2 两者矛盾,所以假设不成立, 故 a,b,c 至少有一个不小于 1.

?

一抓基础,多练小题做到眼疾手快

1.下列表述:①综合法是由因导果法;②综合法是顺推法;③分析法是执果索因法; ④分析法是逆推法;⑤反证法是间接证法.其中正确的有( A.2 个 C.4 个 B.3 个 D.5 个 )

解析:选 D 由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确. 2.若 a,b,c 为实数,且 a<b<0,则下列命题正确的是( A.ac <bc
2 2

)

B.a >ab>b

2

2

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1 1 C. < a b 解析:选 B a2-ab=a(a-b), ∵a<b<0,∴a-b<0,∴a2-ab>0, ∴a2>ab.① 又 ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2,② 由①②得 a2>ab>b2.

b a D. > a b

3.(2014· 山东高考)用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x3+ax+b=0 至少有 一个实根”时,要做的假设是( )

A.方程 x3+ax+b=0 没有实根 B.方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根 解析:选 A 没有实根”. 4.如果 a a+b b>a b+b a,则 a,b 应满足的条件是__________. 解析:a a+b b>a b+b a,即( a- b)2( a+ b)>0,需满足 a≥0,b≥0 且 a≠b. 答案:a≥0,b≥0 且 a≠b 5. (2016· 太原模拟)用反证法证明“若 x2-1=0, 则 x=-1 或 x=1”时, 应假设________. 解析:“x=-1 或 x=1”的否定是“x≠-1 且 x≠1”. 答案:x≠-1 且 x≠1 ? 二保高考,全练题型做到高考达标 至少有一个实根的否定是没有实根,故做的假设是 “方程 x3+ax+b=0

1. 分析法又称执果索因法, 若用分析法证明“设 a>b>c, 且 a+b+c=0, 求证: b2-ac < 3a”索的因应是( A.a-b>0 C.(a-b)(a-c)>0 解析:选 C b2-ac< 3a?b2-ac<3a2 ) B.a-c>0 D.(a-b)(a-c)<0

?(a+c)2-ac<3a2 ?a2+2ac+c2-ac-3a2<0 ?-2a2+ac+c2<0 ?2a2-ac-c2>0 ?(a-c)(2a+c)>0 ?(a-c)(a-b)>0.

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1 1 1 2.设 a,b,c 均为正实数,则三个数 a+ ,b+ ,c+ ( b c a A.都大于 2 C.至少有一个不大于 2 解析:选 D ∵a>0,b>0,c>0, 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ∴? ?a+b?+?b+c?+?c+a?=?a+a?+?b+b?+ B.都小于 2

)

D.至少有一个不小于 2

?c+1?≥6,当且仅当 a=b=c=1 时,“=”成立,故三者不能都小于 2,即至少有一 ? c?
个不小于 2. 3.已知 m>1,a= m+1- m,b= m- m-1,则以下结论正确的是( A.a>b C.a=b 解析:选 B ∵a= m+1- m= b= m- m-1= 1 m+ m-1 . B.a<b D.a,b 大小不定 1 , m+1+ m )

而 m+1+ m> m+ m-1>0(m>1), ∴ 1 1 < ,即 a<b. m+1+ m m+ m-1

4.设 a,b 是两个实数,给出下列条件: ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1. 其中能推出:“a,b 中至少有一个大于 1”的条件是( A.②③ C.③ 1 2 解析:选 C 若 a= ,b= ,则 a+b>1, 2 3 但 a<1,b<1,故①推不出; 若 a=b=1,则 a+b=2,故②推不出; 若 a=-2,b=-3,则 a2+b2>2,故④推不出; 若 a=-2,b=-3,则 ab>1,故⑤推不出; 对于③,即 a+b>2,则 a,b 中至少有一个大于 1, 反证法:假设 a≤1 且 b≤1, 则 a+b≤2 与 a+b>2 矛盾, 因此假设不成立,a,b 中至少有一个大于 1. 5.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,若 x1+x2>0,则 f(x1) B.①②③ D.③④⑤ )

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+f(x2)的值(

) B.恒等于零 D.无法确定正负

A.恒为负值 C.恒为正值

解析:选 A 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x≥0 时,f(x)单调递减, 可知 f(x)是 R 上的单调递减函数, 由 x1+x2>0,可知 x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2), 则 f(x1)+f(x2)<0. 6.设 a>b>0,m= a- b,n= a-b,则 m,n 的大小关系是________. 解析:法一:(取特殊值法)取 a=2,b=1,得 m<n. 法二: (分析法) a- b< a-b? b+ a-b> a?a<b+2 b· a-b+a-b?2 b· a-b >0,显然成立. 答案:m<n b a 7.下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使a+b≥2 成 立的条件的序号是________. b a b a 解析:要使a+b≥2,只需a>0 且b>0 成立,即 a,b 不为 0 且同号即可,故①③④都 b a 能使a+b≥2 成立. 答案:①③④ 8.若二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在区间[-1,1]内至少存在一点 c,使 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是________. 解析:法一:(补集法)
2 ? ?f?-1?=-2p +p+1≤0, 3 ? 令 解得 p≤-3 或 p≥ , 2 2 ?f?1?=-2p -3p+9≤0, ?

3? 故满足条件的 p 的取值范围为? ?-3,2?. 法二:(直接法) 依题意有 f(-1)>0 或 f(1)>0, 即 2p2-p-1<0 或 2p2+3p-9<0, 1 3 得- <p<1 或-3<p< . 2 2 3? 故满足条件的 p 的取值范围是? ?-3,2?.

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3? 答案:? ?-3,2? |a|+|b| 9.已知非零向量 a,b,且 a⊥b,求证: ≤ 2. |a+b| 证明:a⊥b?a· b=0, 要证 |a|+|b| ≤ 2. |a+b|

只需证|a|+|b|≤ 2|a+b|, 只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2(a2+2a· b+b2), 只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2b2, 只需证|a|2+|b|2-2|a||b|≥0, 即(|a|-|b|)2≥0, 上式显然成立,故原不等式得证. 1 an+1 1 10.(2016· 福州模拟)在数列{an}中,已知 a1= , = ,bn+2=3log 1 an(n∈N*). 4 an 4
4

(1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn}是等差数列. an+1 1 1 1 解:(1)因为 a = ,所以数列{an}是首项为 ,公比为 的等比数列, 4 4 4 n 1?n * 所以 an=? ?4? (n∈N ). (2)证明:因为 bn=3log 1 an-2,
4

1? n 所以 bn=3log 1 ? ?4? -2=3n-2.
4

所以 b1=1,公差 d=3, 所以数列{bn}是首项 b1=1,公差 d=3 的等差数列. ? 三上台阶,自主选做志在冲刺名校

1.(2015· 德州一模)如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的 正弦值,则△A2B2C2 是________三角形. 解析:由条件知,△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则△A1B1C1 是锐角三角形, 假设△A2B2C2 是锐角三角形.

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? ? π ? 由?sin B =cos B =sin? ?2-B ?, ? -C ?, ?sin C =cos C =sin??π 2 ?
2 1 1 2 1 1

π ? sin A2=cos A1=sin? ?2-A1?,

? ? π 得?B =2-B , ? -C . ?C = π 2
2 1 2 1

π A2= -A1, 2

π 那么,A2+B2+C2= ,这与三角形内角和为 180°相矛盾. 2 所以假设不成立,又显然△A2B2C2 不是直角三角形. 所以△A2B2C2 是钝角三角形. 答案:钝角 2.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与 x 轴有两个不同的交点,若 f(c)=0, 且 0<x<c 时,f(x)>0. 1 (1)证明: 是 f(x)=0 的一个根; a 1 (2)试比较a与 c 的大小; (3)证明:-2<b<-1. 解:(1)证明:∵f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点, ∴f(x)=0 有两个不等实根 x1,x2, ∵f(c)=0, ∴x1=c 是 f(x)=0 的根, c 又 x1x2= , a 1 1 ? ≠c , ∴x2= ? a?a ? 1 ∴ 是 f(x)=0 的一个根. a 1 1 (2)假设a<c,又a>0, 由 0<x<c 时,f(x)>0, 1? ?1? 知 f? ?a?>0 与 f?a?=0 矛盾,

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1 1 ∴ ≥c,又∵ ≠c, a a 1 ∴a>c. (3)证明:由 f(c)=0,得 ac+b+1=0, ∴b=-1-ac. 又 a>0,c>0,∴b<-1. 二次函数 f(x)的图象的对称轴方程为 b x1+x2 x2+x2 1 x=- = < =x2=a, 2a 2 2 即- b 1 < . 2a a

又 a>0,∴b>-2,∴-2<b<-1.

第七节

数学归纳法

数学归纳法
一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设 n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立.上述证明 方法叫做数学归纳法. [小题体验] 1.用数学归纳法证明 12+22+?+(n-1)2+n2+(n-1)2+?+22+12= n=k 的假设到证明 n=k+1 时,等式左边应添加的式子是( A.(k+1) +2k C.(k+1)2
2 2

n?2n2+1? 时,由 3

)
2

B.(k+1) +k

2

1 D. (k+1)[2(k+1)2+1] 3

解析:选 B 由 n=k 到 n=k+1 时,左边增加(k+1)2+k2. 2. (教材习题改编)用数学归纳法证明“1+a+a +?+a
2 n+1

1-an 2 = (a≠1)”. 当验证 n 1-a


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=1 时,上式左端计算所得为________. 答案:1+a+a2

1.数学归纳法证题时初始值 n0 不一定是 1. 2.推证 n=k+1 时一定要用上 n=k 时的假设,否则不是数学归纳法. 3.解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项,这是归纳、猜 想的基础.否则将会做大量无用功.

[小题纠偏]
判断正误 (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当 n=1 时结论成立( (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明( (3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用( ) ) )

(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由 n=k 到 n=k+1 时,项数都增加 了一项( )
+ +

(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+?+2n 2=2n 3-1”,验证 n=1 时,左边式子 应为 1+2+22+23( 答案:(1)× ) (3)× (4)× (5)√

(2)×

考点一 用数学归纳法证明等式?基础送分型考点——自主练透?

[题组练透]
1.(易错题)用数学归纳法证明: 证明:(1)当 n=1 时, 左边= 右边= 1 1 = , 2×1×?2×1+2? 8 1 1 = , 4?1+1? 8 n 1 1 1 1 + + +?+ = (n∈N*). 2×4 4×6 6×8 2n?2n+2? 4?n+1?

左边=右边,所以等式成立. (2)假设 n=k(k∈N*)时等式成立,即有 k 1 1 1 1 + + +?+ = , 2×4 4×6 6×8 2k?2k+2? 4?k+1?

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则当 n=k+1 时, =

1 1 1 1 1 + + +?+ + 2×4 4×6 6×8 2k?2k+2? 2?k+1?[2?k+1?+2]

k?k+2?+1 k 1 + = 4?k+1? 4?k+1??k+2? 4?k+1??k+2?

?k+1?2 k+1 k+1 = = = . 4?k+1??k+2? 4?k+2? 4?k+1+1? 所以当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对于一切 n∈N*等式都成立. 1 1 1 2.设 f(n)=1+ + +?+n(n∈N*).求证:f(1)+f(2)+?+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2, 2 3 n∈N*). 证明:(1)当 n=2 时,左边=f(1)=1, 1 ? 右边=2? ?1+2-1?=1,左边=右边,等式成立. (2)假设 n=k(k≥2,k∈N*)时,结论成立,即 f(1)+f(2)+?+f(k-1)=k[f(k)-1], 那么,当 n=k+1 时, f(1)+f(2)+?+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k) 1 =(k+1)f(k)-k=(k+1)?f?k+1?-k+1?-k

?

?

=(k+1)f(k+1)-(k+1)=(k+1)[f(k+1)-1], ∴当 n=k+1 时结论仍然成立. 由(1)(2)可知:f(1)+f(2)+?+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N*).

[谨记通法]
用数学归纳法证明等式应注意的 2 个问题 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型,其关键点在于弄清等式两边的构成规律,等 式两边各有多少项,以及初始值 n0 的值. (2)由 n=k 到 n=k+1 时, 除考虑等式两边变化的项外还要充分利用 n=k 时的式子, 即 充分利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明.如“题组练透”第 1 题易 忽视 n=k+1 时项数变化. 考点二 用数学归纳法证明不等式?重点保分型考点——师生共研?

[典例引领]
1 1? 3 1 1 已知函数 f(x)=ax- x2 的最大值不大于 ,又当 x∈? ?4,2?时,f(x)≥8. 2 6 (1)求 a 的值;

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1 1 (2)设 0<a1< ,an+1=f(an),n∈N*,证明:an< . 2 n+1 解:(1)由题意,知 a a2 3 3 x- ?2+ . f(x)=ax- x2=- ? 2 2? 3? 6 a? a2 1 1 2 又 f(x)max≤ ,所以 f ? ?3?= 6 ≤6.所以 a ≤1. 6 1 1? 1 又 x∈? ?4,2?时,f(x)≥8,

? 1 ?f ? ?2?≥8, 所以? 1? 1 ?f ? ?4?≥8,

1

?2-8≥8, 即? a 3 1 ?4-32≥8,

a 3 1

解得 a≥1.又因为 a2≤1,所以 a=1. (2)证明:用数学归纳法证明: 1 ①当 n=1 时,0<a1< ,显然结论成立. 2 1? 1 因为当 x∈? ?0,2?时,0<f(x)≤6, 1 1 所以 0<a2=f(a1)≤ < . 6 3 故 n=2 时,原不等式也成立. ②假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式 0<ak< 3 1 因为 f(x)=ax- x2 的对称轴为直线 x= , 2 3 1? 所以当 x∈? ?0,3?时,f(x)为增函数. 所以由 0<ak< 1 1 ≤ , k+1 3 1 成立. k+1

1 得 0<f(ak)<f ?k+1?. ? ? 于是,0<ak+1=f(ak)< k+4 1 3 1 1 1 1 1 - · + - = - < . k+1 2 ?k+1?2 k+2 k+2 k+2 2?k+1?2?k+2? k+2

所以当 n=k+1 时,原不等式也成立. 根据①②,知对任何 n∈N*,不等式 an< 1 成立. n+1

[由题悟法]
用数学归纳法证明不等式应注意的 2 个问题 (1)当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学

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归纳法. (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由 n=k 成立,推证 n=k+1 时也成立,证明时用 上归纳假设后,可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.

[即时应用]
1 1 1 1 1.用数学归纳法证明:1+ 2+ 2+?+ 2<2-n(n∈N*,n≥2). 2 3 n 1 5 1 3 证明:(1)当 n=2 时,1+ 2= <2- = ,命题成立. 2 4 2 2 (2)假设 n=k 时命题成立,即 1 1 1 1 1+ 2+ 2+?+ 2<2- . k 2 3 k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当 n=k+1 时,1+ 2+ 2+?+ 2+ <2-k+ <2-k+ =2-k+k- 2 3 k ?k+1?2 ?k+1?2 k?k+1? 1 k+1 1 =2- 命题成立. k+1 由(1)(2)知原不等式在 n∈N*,n≥2 时均成立.
2 * 2.已知数列{an},当 n≥2 时,an<-1,又 a1=0,a2 n+1+an+1-1=an,求证:当 n∈N

时,an+1<an. 证明:(1)当 n=1 时,∵a2 是 a2 2+a2-1=0 的负根, ∴a1>a2. (2)假设当 n=k(k∈N*)时,ak+1<ak,
2 2 ∵ak +1-ak=(ak+2-ak+1)(ak+2+ak+1+1),ak+1<ak≤0, 2 2 ∴ak +1-ak>0,

又∵ak+2+ak+1+1<-1+(-1)+1=-1, ∴ak+2-ak+1<0,∴ak+2<ak+1,即当 n=k+1 时,命题成立. 由(1)(2)可知,当 n∈N*时,an+1<an.

考点三

归纳—猜想—证明?重点保分型考点——师生共研?
[典例引领]

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an 1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn= + -1,且 an>0,n∈N*. 2 an (1)求 a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式; (2)证明通项公式的正确性. a1 1 解:(1)当 n=1 时,由已知得 a1= + -1,a2 1+2a1-2=0. 2 a1 ∴a1= 3-1(a1>0). a2 1 当 n=2 时,由已知得 a1+a2= + -1, 2 a2 将 a1= 3-1 代入并整理得 a2 2+2 3a2-2=0. ∴a2= 5- 3(a2>0).同理可得 a3= 7- 5. 猜想 an= 2n+1- 2n-1(n∈N*). (2)证明:①由(1)知,当 n=1,2,3 时,通项公式成立. ②假设当 n=k(k≥3,k∈N*)时,通项公式成立, 即 ak= 2k+1- 2k-1. 由于 ak+1=Sk+1-Sk= ak+1 ak 1 1 + - - , 2 ak+1 2 ak

将 ak= 2k+1- 2k-1代入上式,整理得 a2 k+1+2 2k+1ak+1-2=0, ∴ak+1= 2k+3- 2k+1, 即 n=k+1 时通项公式成立. 由①②可知对所有 n∈N*,an= 2n+1- 2n-1都成立.

[由题悟法]
归纳—猜想—证明类问题的解题步骤 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数 n 有关的未知问题、存在性问题,其基本模式是 “归纳—猜想—证明”,即先由合情推理发现结论,然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的 正确性. (2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”. 高中阶段该部分 与数列结合的问题是最常见的问题.

[即时应用]
(2016· 常德模拟)设 a>0,f(x)= ax ,令 a1=1,an+1=f(an),n∈N*. a+x

(1)写出 a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论.

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解:(1)∵a1=1,∴a2=f(a1)=f(1)= a a· 1+a a a3=f(a2)= a =2+a; a+ 1+a a a· 2+a a a4=f(a3)= = . a 3+a a+ 2+a 猜想 an= a (n∈N*). ?n-1?+a

a ; 1+a

(2)证明:①易知,n=1 时,猜想正确. ②假设 n=k,(k>1 且 k∈N*)时猜想正确, 即 ak= a , ?k-1?+a a· ak a+ak

则 ak+1=f(ak)= a a· ?k-1?+a = a a+ ?k-1?+a = = a ?k-1?+a+1

a . [?k+1?-1]+a

这说明,n=k+1 时猜想正确. 由①②知,对于任何 n∈N*,都有 an= a . ?n-1?+a

?

一抓基础,多练小题做到眼疾手快

1 1 1 1.若 f(n)=1+ + +?+ (n∈N+),则 f(1)为( 2 3 6n-1 A.1 1 1 1 1 C.1+ + + + 2 3 4 5 B. 1 5

)

D.非以上答案

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解析:选 C 等式右边的分母是从 1 开始的连续的自然数,且最大分母为 6n-1,则当 n=1 时,最大分母为 5. 2.一个关于自然数 n 的命题,如果验证当 n=1 时命题成立,并在假设当 n=k(k≥1 且 k∈N*)时命题成立的基础上,证明了当 n=k+2 时命题成立,那么综合上述,对于( A.一切正整数命题成立 C.一切正偶数命题成立 B.一切正奇数命题成立 D.以上都不对 )

解析:选 B 本题证的是对 n=1,3,5,7,?命题成立,即命题对一切正奇数成立. 1 1 1 127 3.用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ n-1> (n∈N*)成立,其初始值至少应取 2 4 64 2 ( ) A.7 C.9 B.8 D.10

1 1- n 2 1 1 1 1 解析:选 B 左边=1+ + +?+ n-1= =2- n-1,代入验证可知 n 的最 2 4 1 2 2 1- 2 小值是 8. 4.用数学归纳法证明 2n>2n+1,n 的第一个取值应是( A.1 C.3 B.2 D.4 )

解析:选 C ∵n=1 时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1 不成立; n=2 时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1 不成立; n=3 时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1 成立. ∴n 的第一个取值应是 3. 5.凸 n 多边形有 f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数 f(n+1)为( A.f(n)+n+1 C.f(n)+n-1 B.f(n)+n D.f(n)+n-2 )

解析:选 C 边数增加 1,顶点也相应增加 1 个,它与和它不相邻的 n-2 个顶点连接成 对角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加 n-1 条. ? 二保高考,全练题型做到高考达标

1.数列{an}中,已知 a1=1,当 n≥2 时,an-an-1=2n-1,依次计算 a2,a3,a4 后,猜 想 an 的表达式是( A.3n-2 C.3n
-1

) B.n2 D.4n-3

解析:选 B 计算出 a1=1,a2=4,a3=9,a4=16.可猜想 an=n2.

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1 2. 在数列{an}中, a1= , 且 Sn=n(2n-1)an, 通过求 a2, a3, a4, 猜想 an 的表达式为( 3 A. C. 1 ?n-1??n+1? 1 ?2n-1??2n+1? B. 1 2n?2n+1? 1 ?2n+1??2n+2?

)

D.

1 1 1 1 1 1 1 解析: 选 C 由 a1= , S =n(2n-1)an 求得 a2= = , a= = , a= = . 3 n 15 3×5 3 35 5×7 4 63 7×9 猜想 an= 1 . ?2n-1??2n+1? )

3.平面内有 n 条直线,最多可将平面分成 f(n)个区域,则 f(n)的表达式为( A.n+1 C. n2+n+2 2 B.2n D.n2+n+1

解析:选 C 1 条直线将平面分成 1+1 个区域;2 条直线最多可将平面分成 1+(1+2) =4 个区域;3 条直线最多可将平面分成 1+(1+2+3)=7 个区域;?;n 条直线最多可将平 面分成 1+(1+2+3+?+n)=1+ n?n+1? n2+n+2 = 个区域. 2 2

4.利用数学归纳法证明“(n+1)(n+2) ?(n+n)=2n×1×3×?×(2n-1),n∈N*”时, 从“n=k”变到“n=k+1”时,左边应增乘的因式是( A.2k+1 C. 2k+1 k+1 )

B.2(2k+1) D. 2k+3 k+1

解析:选 B 当 n=k(k∈N*)时, 左式为(k+1)(k+2) · ?· (k+k); 当 n=k+1 时,左式为(k+1+1)· (k+1+2)· ?· (k+1+k-1)· (k+1+k)· (k+1+k+1), ?2k+1??2k+2? 则左边应增乘的式子是 =2(2k+1). k+1 5.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被 9 整除”,利用归纳法假设证 明 n=k+1 时,只需展开( A.(k+3)3 C.(k+1)3 ) B.(k+2)3 D.(k+1)3+(k+2)3

解析:选 A 假设 n=k 时,原式 k3+(k+1)3+(k+2)3 能被 9 整除,当 n=k+1 时,(k +1)3+(k+2)3+(k+3)3 为了能用上面的归纳假设,只须将(k+3)3 展开,让其出现 k3 即可. 6.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”,当第二步假设 n= 2k-1(k∈N*)命题为真时,进而需证 n=________时,命题亦真. 解析:n 为正奇数,假设 n=2k-1 成立后,需证明的应为 n=2k+1 时成立.

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答案:2k+1 7.用数学归纳法证明 1+2+3+?+n2= 础上加上的项为______________. 解析:当 n=k 时左端为 1+2+3+?+k+(k+1)+(k+2)+?+k2, 则当 n=k+1 时,左端为 1+2+3+?+k2+(k2+1)+(k2+2)+?+(k+1)2, 故增加的项为(k2+1)+(k2+2)+?+(k+1)2. 答案:(k2+1)+(k2+2)+?+(k+1)2 8.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意的自然数 n 都有:(Sn-1)2=anSn,通过计算 S1,S2,S3,猜想 Sn=________. 1 解析:由(S1-1)2=S2 1得:S1= ; 2 2 由(S2-1)2=(S2-S1)S2 得:S2= ; 3 3 由(S3-1)2=(S3-S2)S3 得:S3= . 4 猜想 Sn= 答案: n . n+1 n4+ n2 ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基 2

n n+1

9.(2016· 安庆模拟)已知数列{an}满足 a1=a>2,an= an-1+2(n≥2,n∈N*). (1)求证:对任意 n∈N*,an>2; (2)判断数列{an}的单调性,并说明你的理由. 解:(1)证明:用数学归纳法证明 an>2(n∈N*). ①当 n=1 时,a1=a>2,结论成立; ②假设 n=k(k≥1)时结论成立,即 ak>2,则 n=k+1 时,ak+1= ak+2> 2+2=2, 所以 n=k+1 时,结论成立. 故由①②及数学归纳法原理,知对一切的 n∈N*,都有 an>2 成立. (2){an}是单调递减的数列.
2 2 因为 a2 n+1-an=an+2-an=-(an-2)(an+1),

又 an>2,
2 所以 a2 n+1-an<0,所以 an+1<an.

故{an}是单调递减的数列. bn 10.已知点 Pn(an,bn)满足 an+1=an· bn+1,bn+1= (n∈N*),且点 P1 的坐标 1-4a2 n 为(1,-1).

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(1)求过点 P1,P2 的直线 l 的方程; (2)试用数学归纳法证明:对于 n∈N*,点 Pn 都在(1)中的直线 l 上. 解:(1)由题意得 a1=1,b1=-1, b2= -1 1 1? 1 1 1 = ,a2=1× = ,∴P2? ?3,3?. 3 3 1-4×1 3

y+1 x-1 ∴直线 l 的方程为 = ,即 2x+y=1. 1 1 +1 -1 3 3 (2)证明:①当 n=1 时,2a1+b1=2×1+(-1)=1 成立. ②假设 n=k(k≥1 且 k∈N*)时,2ak+bk=1 成立. 则 2ak+1+bk+1=2ak· bk+1+bk+1 1-2ak bk bk = (2ak+1)= = =1, 2· 1-4ak 1-2ak 1-2ak ∴当 n=k+1 时,2ak+1+bk+1=1 也成立. 由①②知,对于 n∈N*,都有 2an+bn=1,即点 Pn 在直线 l 上. ? 三上台阶,自主选做志在冲刺名校

1.设平面上 n 个圆周最多把平面分成 f(n)片(平面区域),则 f(2)=________, f(n)= ________.(n≥1,n∈N*) 解析:易知 2 个圆周最多把平面分成 4 片;n 个圆周最多把平面分成 f(n)片,再放入第 n+1 个圆周, 为使得到尽可能多的平面区域, 第 n+1 个应与前面 n 个都相交且交点均不同, 有 n 条公共弦,其端点把第 n+1 个圆周分成 2n 段,每段都把已知的某一片划分成 2 片,即 f(n+1)=f(n)+2n(n≥1),所以 f(n)-f(1)=n(n-1),而 f(1)=2,从而 f(n)=n2-n+2. 答案:4 n2-n+2 1 1 1 1 3 1 2.已知 f(n)=1+ 3+ 3+ 3+?+ 3,g(n)= - 2,n∈N*. 2 3 4 n 2 2n (1)当 n=1,2,3 时,试比较 f(n)与 g(n)的大小关系; (2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系,并给出证明. 解:(1)当 n=1 时,f(1)=1,g(1)=1,所以 f(1)=g(1); 9 11 当 n=2 时,f(2)= ,g(2)= ,所以 f(2)<g(2); 8 8 当 n=3 时,f(3)= 251 312 ,g(3)= ,所以 f(3)<g(3). 216 216

(2)由(1)猜想 f(n)≤g(n),下面用数学归纳法给出证明. ①当 n=1,2,3 时,不等式显然成立. ②假设当 n=k(k≥3,k∈N*)时不等式成立.

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1 1 1 1 3 1 即 1+ 3+ 3+ 3+?+ 3< - 2, 2 3 4 k 2 2k 那么,当 n=k+1 时, 1 3 1 1 f(k+1)=f(k)+ < - 2+ , ?k+1?3 2 2k ?k+1?3 因为 1 ? 1 ?1 2- 2k2- ?k+1?3? 2?k+1? ?

k+3 -3k-1 1 = <0, 2= 3- 2?k+1? 2k 2?k+1?3k2 3 1 所以 f(k+1)< - =g(k+1). 2 2?k+1?2 由①②可知,对一切 n∈N*,都有 f(n)≤g(n)成立.

命题点一

合情推理与演绎推理

命题指数:☆☆☆ 题型:选择题、填空题

难度:中、低

1.(2014· 陕西高考)观察分析下表中的数据: 多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 面数(F) 5 6 6 顶点数(V) 6 6 8 棱数(E) 9 10 12

猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是________. 解析:三棱柱中 5+6-9=2;五棱锥中 6+6-10=2;立方体中 6+8-12=2,由此归 纳可得 F+V-E=2. 答案:F+V-E=2 2.(2014· 全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________. 解析:由甲、丙的回答易知甲去过 A 城市和 C 城市,乙去过 A 城市或 C 城市,结合乙 的回答可得乙去过 A 城市.

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答案:A 3.(2015· 陕西高考)观察下列等式: 1 1 1- = , 2 2 1 1 1 1 1 1- + - = + , 2 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1- + - + - = + + , 2 3 4 5 6 4 5 6 ? 据此规律,第 n 个等式可为__________________________________________________. 解析:等式的左边的通项为 1 1 1 1 1 1 1 - ,前 n 项和为 1- + - +?+ - ;右 2 n 2 3 4 2 2n-1 2n-1 n

1 1 1 1 边的每个式子的第一项为 ,共有 n 项,故为 + +?+ . n+1 n+1 n+2 n+n 1 1 1 1 1 1 1 1 答案:1- + - +?+ - = + +?+ 2 3 4 2n 2n-1 2n n+1 n+2

命题点二

直接证明与间接证明

命题指数:☆☆☆☆☆ 题型:解答题

难度:高、中

1.(2014· 江西高考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn= (1)求数列{an}的通项公式;

3n2-n ,n∈N*. 2

(2)证明:对任意的 n>1,都存在 m∈N* ,使得 a1,an,am 成等比数列. 解:(1)由 Sn= 3n2-n ,得 a1=S1=1, 2

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-2,当 n=1 时也适合. 所以数列{an}的通项公式为:an=3n-2. (2)证明:要使得 a1,an,am 成等比数列, 只需要 a2 am, n=a1· 即(3n-2)2=1· (3m-2), 即 m=3n2-4n+2,而此时 m∈N*,且 m>n. 所以对任意的 n>1,都存在 m∈N*,使得 a1,an,am 成等比数列.
? ?2an,an≤18, 2. (2015· 北京高考节选)已知数列{an}满足: a1∈N*, a1≤36, 且 an+1=? ?2an-36,an>18 ?

(n=1,2,?).记集合 M={an|n∈N*}. (1)若 a1=6,写出集合 M 的所有元素;

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(2)若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,证明:M 的所有元素都是 3 的倍数. 解:(1)6,12,24. (2)证明:因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,所以不妨设 ak 是 3 的倍数.
?2an,an≤18, ? 由 an+1=? 可归纳证明对任意 n≥k,an 是 3 的倍数. ?2an-36,an>18 ?

如果 k=1,则 M 的所有元素都是 3 的倍数. 如果 k>1,因为 ak=2ak-1 或 ak=2ak-1-36,所以 2ak-1 是 3 的倍数,于是 ak-1 是 3 的倍 数.类似可得,ak-2,?,a1 都是 3 的倍数. 从而对任意 n≥1,an 是 3 的倍数,因此 M 的所有元素都是 3 的倍数. 综上,若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,则 M 的所有元素都是 3 的倍数.

命题点三 难度:高

数学归纳法

命题指数:☆☆ 题型:解答题

(2015· 陕西高考)设 fn(x)是等比数列 1,x,x2,?,xn 的各项和,其中 x>0,n∈N,n≥2. 1 ? 1 1 n+1 (1)证明:函数 Fn(x)=fn(x)-2 在? ?2,1?内有且仅有一个零点(记为 xn),且 xn=2+2xn ; (2)设有一个与上述等比数列的首项、 末项、 项数分别相同的等差数列, 其各项和为 gn(x), 比较 fn(x)和 gn(x)的大小,并加以证明. 解:(1)证明:Fn(x)=fn(x)-2=1+x+x2+?+xn-2, 则 Fn(1)=n-1>0, 1? 1 ?1?2 ?1?n Fn? ?2?=1+2+?2? +?+?2? -2 1?n+1 1-? ?2? 1 = -2=- n<0, 1 2 1- 2 1 ? 所以 Fn(x)在? ?2,1?内至少存在一个零点. 又 F′n(x)=1+2x+?+nxn 1>0,


1 ? ?1 ? 故 Fn(x)在? ?2,1?内单调递增,所以 Fn(x)在?2,1?内有且仅有一个零点 xn. 因为 xn 是 Fn(x)的零点,所以 Fn(xn)=0,
1 1-xn 1 1 +1 n 即 -2=0,故 xn= + xn . 2 2 n 1-xn


(2)由题设,fn(x)=1+x+x2+?+xn, gn(x)= ?n+1??xn+1? ,x>0. 2

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当 x=1 时,fn(x)=gn(x). 当 x≠1 时,用数学归纳法可以证明 fn(x)<gn(x). 1 ①当 n=2 时,f2(x)-g2(x)=- (1-x)2<0, 2 所以 f2(x)<g2(x)成立. ②假设 n=k(k≥2)时,不等式成立,即 fk(x)<gk(x). 那么,当 n=k+1 时, fk+1(x)=fk(x)+x


k+1

<gk(x)+x

k+1

?k+1??1+xk? k+1 2xk 1+?k+1?xk+k+1 = +x = . 2 2


又 gk+1(x)-


2xk 1+?k+1?xk+k+1 2

kxk 1-?k+1?xk+1 = , 2 令 hk(x)=kxk 1-(k+1)xk+1(x>0),


则 h′k(x)=k(k+1)xk-k(k+1)xk =k(k+1)xk 1· (x-1).


-1

所以当 0<x<1 时,h′k(x)<0,hk(x)在(0,1)上递减; 当 x>1 时,h′k(x)>0,hk(x)在(1,+∞)上递增. 所以 hk(x)>hk(1)=0, 从而 gk+1(x)> 2xk 1+?k+1?xk+k+1 . 2


故 fk+1(x)<gk+1(x),即 n=k+1 时不等式也成立. 由①和②知,对一切 n≥2 的整数,都有 fn(x)<gn(x).


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