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空间向量与立体几何.板块五.用空间向量解柱体问题(1).学生版


板块五.用空间向量解柱体问 题(1)

典例分析
【例1】 如图,在直三棱柱 A1 B1 C 1 别为线段
A1 B 1
? ABC

中,? B A C

?

π 2

,AB

? A C ? A A1 ? 2
AC



,点 G 与 E 分

和 C 1 C 的中点,点 D 与 F 分别为线段 长度的最小值是(
C1



AB

上的动点.若

G D ? E F ,则线段 D F



A1 G B1

E A F B D C

A.

2

B. 1

C.

2 5

5

D.

2 2

【例2】 如图,四棱柱 A B C D 正方形,侧棱 A A1
? 2

? A1 B1 C1 D1 中, A1 D ?

平面 A B C D ,底面 A B C D 是边长为 1 的



⑴ 求证: C 1 D ∥ 平面 A B B1 A1 ; ⑵ 求直线 B D 1 与平面 A1 C 1 D 所成角的正弦值; ⑶ 求二面角 D
? A1 C 1 ? A

的余弦值.
1

智康高中数学.板块五.用空间向量解柱体问题.题库

【例3】 如图, 在正三棱柱 A B C 上,且 D E
? AE

? A1 B1 C 1

中,A B

?

2 A A1 , D 点

是 A1 B 1 的中点, E 在 A1 C 1 点


?

⑴证明:平面 A D E

平面 A C C 1 A1 ;

⑵求直线 A D 和平面 A B C 1 所成角的正弦值.
A1 E D B1 C1

A

C

B

【例4】 如图,在直四棱柱
AB ? 4

A B C D ? A1 B1 C 1 D 1

中,底面

ABCD

为等腰梯形,

AB ∥ CD



, BC

? CD ? 2

, A A1

? 2

, E , E 1 , F 分别是棱 A D 、 A A1 、 A B 的中点.

⑴证明:直线 E E 1 ∥ 平面 F C C 1 ; ⑵求二面角 B
D1 A1

? F C1 ? C

的余弦值.

C1 B1

E1 E A

D

C

F

B

【例5】 已知正三棱柱 A B C
A1 C 1

? A1 B1 C 1

, 底面边长 A B

? 2

,A A1

?

2

O , O 、 1 分别是边 A C , 点

的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.
? B C1

⑴求证: A B1


????

⑵若 M 为 B C 1 的中点,试用基向量 A A1 、 A B 、 A C 表示向量 A M ; ⑶求异面直线 A B1 与 B C 所成角的余弦值.

??? ?

????

???? ?

智康高中数学.板块五.用空间向量解柱体问题.题库

2

z A1 B1 M A B O C y x O1 C1

【例6】 如图,直三棱柱 A B C ⑴求证: C D

? A1 B1 C 1

中,? A C B

? 90?

,AC

?1

,C B

?

2

,侧棱 A A1

?1



侧面 A A1 B1 B 的两条对角线交点为 D , B1 C 1 的中点为 M .
?

平面 B D M ;

⑵求面 B 1 B D 与面 C B D 所成二面角的大小. A A1
D C M B B1 C1

【例7】 如图,正三棱柱 A B C 上一点,且 B D
A
? BC

? A1 B1 C 1

的底面边长为 3 ,侧棱 A A1

?

3 2

3

, D 是 C B 延长线


A1

C B D B1

C1

⑴求证:直线 B C 1 ∥ 平面 A B 1 D ; ⑵求二面角 B1 ⑶求三棱锥 C 1
? AD ? B

的大小;

? A B B1 的体积.

【例8】 如图,直三棱柱
A A1 ? 2 , M ,N ???? ⑴求 B N 的长;

A B C ? A1 B1 C 1

,底面 ? A B C 中, C A ?

CB?1

, ?BCA

? 9 0 ° ,棱

分别是 A1 B1 ,A1 A 的中点,

⑵求 B A1 与 C B1 的夹角的余弦值; ⑶求证: A1 B
? C1 M



智康高中数学.板块五.用空间向量解柱体问题.题库

3

C1 B1 A1 M

N C A B

【例9】 如图,正三棱柱 A B C

? A1 B1 C 1

所有棱长都是 2 , D 是棱 A C 的中点, E 是棱 C C 1 的

中点, A E 交 A1 D 于点 H . ⑴ 求证: A E
?

平面 A1 B D ; 的大小(用反三角函数表示) ;

⑵ 求二面角 D

? B A1 ? A

⑶ 求点 B1 到平面 A1 B D 的距离.
B1 B

C1

E H D

C

A1

A

【例10】 如图,已知正三棱柱 A B C

? A1 B1 C 1

的侧棱长和底面边长均为 1, M 是底面 B C 边上
? ? N C1 .

的中点, N 是侧棱 C C 1 上的点,且 C N ⑴ 求证: A M ⑵ 若二面角 B1
?

面 B C C 1 B1 ; (或若 E 为 A B1 的中点,求证: E M 的平面角的余弦值为
5 5

∥ 平面 A A1 C 1 C



? AM ? N

,求 ? 的值;

⑶ 在第⑵的前提下,求点 B1 到平面 A M N 的距离.
A1 B1 C1 N A B M C

智康高中数学.板块五.用空间向量解柱体问题.题库

4

【例11】 直三棱柱 A B C
C1

? A1 B1 C 1

中, B C 1

? A1 C ,B C 1 ? A B1

.求证: A B1

? A1 C



A1

B1

C

A

B

【例12】 直 四 棱 柱

A B C D ?

1

A 1 B 1C 1D 底 面 A B C D 的

为平行四边形,其中

AB ?

2



B D ? B C ? 1 , A A1 ? 2

, E 为 D C 中点, F 是棱 D D 1 上的动点.

⑴求异面直线 A1 D 1 与 B C 1 所成角的正切值; ⑵当 D F
? 1 4

时,证明 E F

? B C1


? FB ? D

⑶当 D F 的长为多少时,二面角 E
D1 A1 B1 C1

的大小为 6 0 ? ?

F D A E B C

【例13】 如图,圆柱 O O 1 内有一个三棱柱 A B C 角形,且 A B 是圆 O 直径.
A1 C1 O1 B1

? A1 B1 C 1

,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三

A C

O

B

⑴ 证明:平面 A1 A C C 1 ⑵ 设 AB 的概率为 p .

?

平面 B1 B C C 1 ; 内

? A A1 , 在圆柱 O O 1 内随机选取一点, 记该点取自于三棱柱 A B C ? A1 B1 C 1

(i)当点 C 在圆周上运动时,求 p 的最大值;

智康高中数学.板块五.用空间向量解柱体问题.题库

5

(ii)记平面 A1 A C C 1 与平面 B1 O C 所成的角为 ? ? 0 ? < ? 求 c o s ? 的值.

≤ 90??

,当 p 取最大值时,

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