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江西省红色六校2013届高三下学期第二次联考数学(理)试卷


江西省红色六校 2013 届高三第二次联考数学理科试题卷
1. 若错误!未找到引用源。( A. B B. A D. Z 2 . “? ﹤1”是“数列错误!未找到引用源。为递增数列”的( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 3.两个变量 x,y 与其线性相关系数 r 有下列说法 (1)若 r>0,则 x 增大时,y 也

相应增大; (2)若 r<0,则 x 增大时,y 也相 应增大; (3)若 r=1 或 r=-1,则 x 与 y 的关系完全对应(有函数关系),在散点图上 各个散点均在一条直线上.其中正确的有( ) A. ① B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 4.某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数 是( ) |x| A.f(x)=x2 B.f(x)= 第Ⅰ卷 ) C.错误! 未找到引用源。

x

e -e 1+sin x-cos x D.(x)= f x -x e +e 1+sin x+cos x 5.设函数错误!未找到引用源。,其中错误!未找到引用源。, 错 误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。的展开式中错误! 未找到引用源。的系数为( ) A.-360 B.360 C.-60 D.60 6.已知实数 x,y 满足错误!未找到引用源。且不等式 axy 错误!未找到引用源。 恒成立,则实数 a 的最小值是( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.2 C.f(x)= 7.设等差数列 ?a n ? 的前错误!未找到引用源。项和为 S n ,若 S15 ? 0, S16 ? 0 ,则
S S1 S 2 , , ? , 15 a1 a 2 a15

x

-x

中最大的是(

)

A.错误!未找到引用源。 C. 错误!未找到引用源。

B . 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 D.错误!未找到引用源。 2 2 x y 3a 8.设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 上一点, a b 2 △F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( A. 1 2 B. 2 3 C. 3 4 D. ) 4 5

9.有 20 张卡片分别写着数字 1,2,?,19,20.将它们放入一个盒中,有 4 个 人从中各抽取一张卡片, 取到两个较小数字的二人在同一组,取到两个较大数字

的二人在同一组,若其中二人分别抽到 5 和 14,则此二人在同一组的概率等于 ( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。

C. 错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 10.下图展示了一个由区间错误!未找到引用源。到实数集错误!未找到引用源。 的映射过程:区间错误!未找到引用源。中的实数错误!未找到引用源。对应 数轴上的 点错误!未找到引用源。(如图错误!未找到引用源。) ,将线段错误!未找到 引用源。围成一个正方形,使两端点错误!未找到引用源。恰好重合(如图错 误!未找到引用源。) ,再将这个 正方形放在平面直角坐标系中,使其中两个顶点在错误!未找到引用源。轴上, 点错误!未找到引用源。的坐标为错误!未找到引用源。(如图错误!未找到 引用源。) , 若图错误!未找到引用源。中直线错误!未找 到引用源。与错误!未找到引用源。轴交于 点错误!未找到引用源。,则错误!未找到 引用源。 的象就是错误!未找到引用源。,记作错误! 未找到引用源。.现给出以下命题: ①错误!未找到引用源。; ②错误!未找到引用源。的图象关于点错误!未找到引用源。对称; ③错误!未找到引用源。为偶函数; ④错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上为常数函数. 其中正确命题的个数为( C.错误!未找到引用源。 ) B.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 A.错误!未找到引用源。

第 II 卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,把答案填在答题卷中的 .......... 横线上) ... 11.已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2, 且 z1·z2 是实数,则 z2 等于 12.在 4×□+9×□=60 的两个□中,分别填入两自然数,使它们的倒数和最小, 应分别填 上 和 。 2 2 13. 设圆(x+1) +y =25 的圆心为 C,(1,0)是圆内一定点, 为圆周上任一点. A Q 线 段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方程为

14. 已知函数错误! 未找到引用源。 .项数为 17 的等差数列错误! 未找到引用源。 满足错误!未找到引用源。 ,且公差错误!未找到引用源。.若错误!未找到引用 源。 ,则当错误!未找到引用源。=__________时,错误!未找到引用源。. 三、选 做 题 : 请 考 生 在 下 列 两 题 中 任 选 一 题 作 答 . 若 两 题 都 做 , 则 按 做 的 第 一 题 评 阅 计 分 .本 题 共 5 分. 15.⑴(坐标系与参数方程选做题)化极坐标方程错误!未找到引用源。为直角 坐标方程为 . ⑵(不等式选择题)不等式错误!未找到引用源。对任意错误!未找到引用 源。恒成立的实数错误!未找到引用源。的取值范围为_____________ 四、本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、(本小题满分 12 分) π? ? 设 f(x)=4cos 错误!未找到引用源。?ω x- ?sinω x-cos(2ω x+π ), 6? ? 其中 ω >0. (1)求函数 y=f(x)的值域; ? 3π π ? , ?上为增函数,求 ω 的最大值. (2)若 f(x)在区间?- 2 2? ?

17、 (本小题满分 12 分)
1 1 已 知 {an } 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 例 数 列 , 且 a1 ? a2 ? 2( ? ) , a1 a2
a3 ? a4 ? a5 ? 64( 1 1 1 ? ? ) a3 a4 a5 .

(Ⅰ) 求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? (an ?

1 2 ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an

18. (本小题满分错误!未找到引用源。分) 如图,在四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,侧面 A1ADD1⊥底面 ABCD,D1A=D1D= 2 ,底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC//AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. A1 D1 ⑴求证:A1O//平面 AB1C; ⑵求锐二面角 A—C1D1—C 的余弦值.
B1 C1 A

·

O

D

B

19.(本小题满分 12 分) 某单位实行休年假制度三年以来, 名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示: 50 休假次数

0

1

2

3

5 10 20 15 人数 根据上表信息解答以下问 题: ⑴从该单位任选两名职工,用错误!未找到引用源。表示这两人休年假次数之 和,记“函数错误!未找到引用源。 在区间 (4 , 6) 上有且只有一个零点” 为事件 A ,求事件 A 发生的概率 P ; ⑵从该单位任选两名职工,用错误!未找到引用源。表示这两人休年假次数之 差的绝对值,求随机变量错误!未找到引用源。的分布列及数学期望错误! 未找到引用源。.

20.(本小题满分 13 分) 如图, 直角坐标系错误! 未找到引用源。 一直角三角形错误! 中, 未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ,B、D 在错误!未找到引用源。轴上且关于原点错误!未 找到引用源。对称,错误!未找到引用源。在边错误!未找到引用源。上,BD=3DC, △ABC 的周长为 12.若一双曲线错误!未找到引用源。以 B、C 为焦点,且经过 A、D 两点. ⑴ 求双曲线错误!未找到引用源。的方程; ⑵ 若一过点错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。为非零常数)的 直线错误!未找到引用源。与双曲线错误!未找到引用源。相交于不同 于双曲线顶点的两点错误!未找到引用源。 、错误!未 y 找到引用源。 ,且错误!未找到引用源。 ,问在错误! 未找到引用源。轴上是否存在定点错误!未找到引用 源。 ,使错误!未找到引用源。?若存在,求出所有这 样定点错误!未找到引用源。的坐标;若不存在,请 D O B 说明理由

A

C

x

21. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? a ln x ? bx 2 在点(1,f(1))处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 。 (1)求 f(x)的表达式;

(2)若 f(x)满足 f ( x) ? g ( x) 恒成立,则称 f(x)为 g(x)的一个“上界函数” ,如 果 f(x)为 g ( x) ?
t ,求 t 的取值范围; ? ln x(t ? R) 的一个“上界函数” x

(3)当 m>0 时讨论 F ( x) ? f ( x) ?

x2 m2 ? 1 ? x 在区间(0,2)上极值点的个数。 2 m

答案
一、选择题: 1 题号 答案 C 2 A 3 C 4 C 5 D 6 B 7 C 8 C 9 B 10 B

二、填空题: 11. 4+2i. 12. 6、4。 13. 4x2 4y2 + =1. 25 21 14.9

15 (1)错误!未找到引用源。,(2)错误!未找到引用源。 三、解答题: 3 1 16.解:(1)f(x)=4? cosωx+ sinωx?sinωx+cos2ωx 2 ?2 ?
=2 3sinωxcosωx+2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωx = 3sin2ωx+1. ?????????4 分 因-1≤sin2ωx≤1,所以函数 y=f(x)的值域为[1- 3,1+ 3].???6 分 π π (2)因 y=sinx 在每个闭区间?2kπ-2,2kπ+2?(k∈Z)上为增函数,故 f(x)= 3sin2ωx+ ? ? kπ π kπ π ? 1(ω>0)在每个闭区间? ω -4ω, ω +4ω?(k∈Z)上为增函数.????8 分 ? 3π π? ?kπ π kπ π ? 依题意知?- 2 ,2?? ? ω -4ω, ω +4ω??????????9 分 ? 3π π - ≥- , 2 4ω 对某个 k∈Z 成立,此时必有 k=0,于是 ???????10 分 π π ≤ , 2 4ω 1 1 解得 ω≤ ,故 ω 的最大值为 .?????????12 分 6 6

? ? ?

17 解: (Ⅰ)设公比为 q,则错误!未找到引用源。.由已知有 错误!未找到引用源。化简得错误!未找到引用源。????????3 分 又错误!未找到引用源。?????????5 分 所以错误!未找到引用源。?????????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知错误!未找到引用源。??????8 分 因此错误!未找到引用源。???12 分

18.解(Ⅰ)证明:如图(1) ,连结 CO、A1O、AC、AB1,??1 分 则四边形 ABCO 为正方形,所以 OC=AB=A1B1,
A1

D1

B1

C1 A

·

O

D

所以,四边形 A1B1CO 为平行四边形,???3 分 所以 A1O//B1C, 又 A1O 错误!未找到引用源。平面 AB1C,B1C 错误!未找到引用源。平面 AB1C 所以 A1O//平面 AB1C??????6 分 (Ⅱ)因为 D1A=D1D,O 为 AD 中点,所以 D1O⊥AD, 又侧面 A1ADD1⊥底面 ABCD, 所以 D1O⊥底面 ABCD,?????7 分 以 O 为原点,OC、OD、OD1 所在直线分别为错误!未找到引用源。轴、错误!未 找到引用源。轴、错误!未找到引用源。轴建立如图(2)所示的坐标系,则错 误!未找到引用源。(1,0,0) ,错误!未找到引用源。(0,1,0) ,错误!未 找到引用源。(0,0,1) ,错误!未找到引用源。(0,-1,0)..8 分 所以错误!未找到引用源。,??9 分 设错误!未找到引用源。为平面 C1CDD1 的一个法向量, 错D 1 由错误!未找到引用源。,得错误!未找到引用源。, A1 误 令错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。.??10 分 ! B1 又设错误!未找到引用源。为平面 AC1D1 的一个法向量,C1 未 由错误!未找到引用源。,得错误!未找到引用源。, O 找· D A 令错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。,????????11 分 错 到 则错误!未找到引用源。,故所求锐二面角 A-C1D1-C 的余弦值为错误!未找到引 误 B 图 C 引(2) 用源。??12 分 ! 错 用 2 19.解:(1) 函数 f ? x ? ? x ? ? x ? 1 过 (0, ?1) 点,在区间 (4, 6) 上有且只有一个零 未 误 源
找 ? f (4) ? 0 ?16 ? 4? ? 1 ? 0 15 35 ! 。 点,则必有 ? 即: ? ,解得: ? ? ? 到 4 6 未 ? f (6) ? 0 ?36 ? 6? ? 1 ? 0 找 ????3 分 引 所以,? ? 4 或? ? 5

C 2 ? C1 C1 C1 C1 12 68 源 当? ? 4 时, P ? 20 2 10 15 ? ,当? ? 5 时, P2 ? 20 2 15 ? 引 1 C50 245 C50 49 。 用 ? ? 4 与? ? 5 为互斥事件,由互斥事件有一个发生的概率公式 源 68 12 128 。 所以 P ? P ? P2 ? ????6 分 ? ? 1 245 49 245 (2) 从该单位任选两名职工,用 ? 表示这两人休年假次数之差的绝对值,则 ? 的可能取值分别是 0,1, 2,3 , ????7 分
于是 P ?? ? 0 ? ?
2 2 2 1 1 1 1 C52 ? C10 ? C20 ? C15 2 C1C1 ? C10C20 ? C15C20 22 , ? , P(? ? 1) ? 5 10 ? 2 2 C50 7 C50 49





1 1 1 1 C5C20 ? C10C15 10 C1C1 3 ? , P(? ? 3) ? 5 2 15 ? ????10 分 2 C50 49 C50 49 从而 ? 的分布列: ? 0 1 2 3 2 22 10 3 P 7 49 49 49 2 22 10 3 51 ????12 分 ? 的数学期望: E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 7 49 49 49 49

P(? ? 2) ?

20 解:(1) 设双曲线错误!未找到引用源。的方程为错误!未找到引用源。 ,则 错误!未找到引用源。 . 由错误!未找到引用源。 ,得错误!未找到引用源。 ,即 y 错误!未找到引用源。 . A ∴错误!未找到引用源。 ???????.3 分 解之得错误!未找到引用源。 ,∴错误!未找到引用源。 . ∴双曲线错误!未找到引用源。的方程为错误!未找到引用 D O B C 源。 .???????.5 分 y (2) 设在错误!未找到引用源。轴上存在定点错误!未找到引用 源。 ,使错误!未找到引用源。 . 设直线错误!未找到引用源。的方程为错误!未找到引用源。 ,错 G B C 误!未找到引用源。 . O P 由错误!未找到引用源。 ,得错误!未找到引用源。 . N 即错误!未找到引用源。 ① ????6 分 M ∵错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , ∴错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 . 即错误!未找到引用源。 ② ???????.8 分 . 把①代入②,得错误!未找到引用源。 ③ ???????.9 分 把错误!未找到引用源。代入错误!未找到引用源。并整理得错误!未找到引用 源。 其中错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。 且错误!未找到引用源。 . 错误!未找到引用源。 ???????.10 分 . 代入③,得错误!未找到引用源。 ,化简得 错误!未找到引用源。 .当错误!未 找到引用源。时,上式恒成立. 因此,在错误!未找到引用源。轴上存在定点错误!未找到引用源。 ,使错误! 未找到引用源。 .???????.13 分
21. 解: (1)错误!未找到引用源。,由题可知错误!未找到引用源。????2 分 a=1,b=0, f ( x) ? ln x ?????????4 分 (2) ln x ?

x

x

t ? ln x ? t ? 2 x ln x x 1 ?????????6 分 e

令 ? ( x) ? 2 x ln x , ? ( x) ? 2 ln x ? 2 ? 0 ? x ?

1 1 x ? (0, ) 时, ? (x) ? x ? ( ,??) 时, ? (x) ? e e 1 2 2 ? ? ( x) min ? ? ( ) ? ? ,即得 t ? ? ?????????9 分 e e e

(3) F ( x) ? ln x ?

x2 m2 ? 1 ? x 2 m

F ' ( x) ?

1 m 2 ? 1 mx 2 ? (m 2 ? 1) x ? m (mx ? 1)( x ? m) ?x? ? ? ?0 x m mx mx

1 或 x=m?????????10 分 m 1 ? 1 (i)当 ?0 ? m ? 2 ,即 ? m ? 2 且 m ? 1 时,F(x)在(0,2)上有两个极值点 m ? 2 ?0 ? m ? 2

即得 x ?

? 1 ?m ? m ?



1 m

(ii)当 ? m

?1 ?2 ,即 0 ? ? ?0 ? m ? 2 ?

m?

1 时 F(x)在(0,2)上只有一个极值点为 x=m 2

(iii)当 m ? (iv)当 ? ?


1 ,即 m=1 时无极值点 m

1 ? 1 0? ?2 ,即 m ? 2 时,F(x)在(0,2)上只有一个极值点 ?14 m m ?m ? 2 ?


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