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2012届高三数学一轮复习


高考综合演练 1
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.设集合
{x |
A ? {x | 2x ? 1 ? 0} x?2 , B ? {x || x |? 1} ,则 A B ? (



A.

1 ? x ? 1} 2

B. {x

| ? 1 ? x ? 2} D.

C. {x | ?1 ? x ? 2 且x ? 1}

{x | ? 1 ? x ? 2}


2.如果命题“ ?( p或q) ”是假命题,则正确的是( A.p、q 均为真命题 C.p、q 均为假命题

B.p、q 中至少有一个为真命题 D.p、q 中至多有一个为真命题 )

3.要得到函数 y ? f (2 x ? ? ) 的图象,只须将函数 y ? f ( x) 的图象 (

A.向左平移 ? 个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 B .向右平移 ? 个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

1 C.向左平移 ? 个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的 2 倍,纵坐标不变 1 D .向右平移 ? 个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的 2 倍,纵坐标不变

?a a ?b ? ? ?b 4.定义运算

(a ? b) (a ? b) ,则函数 f ( x) ? 1 ? 2x 的图像大致为 (



A.

B.

C.
( )

D.

5.函数 f ( x) ? x ? ln x 的零点所在的区间为 A. (-1,0) B. (0,1) C. (1,2)
x

D. (1,e) )

6.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是 ( A.

(??,2)

B.(0,3)

C.(1,4)

D.

(2,??)

x?
7.由直线

1 1 y? 2 ,x=2,曲线 x 及 x 轴所围图形的面积为
用心 爱心 专心




-1-

15 A. 4

17 B. 4

1 ln 2 C. 2

D. 2 ln 2

y ? 2 cos 2 ( x ?
8.函数

?
4

) ?1
是 ( ) B. 最小正周期为? 的偶函数

A.最小正周期为 ? 的奇函数

? C. 最小正周期为 2 的奇函数
9.已知等差数列

? D. 最小正周期为 2 的偶函数
( )

{an }中, a1 ? 11 , 前7项的和S7 ? 35, 则前n项和S n 中
B.前 7 项和最大 D.前 7 项和最小

A.前 6 项和最大 C.前 6 项和最小

10.下列四个命题中,真命题的个数为( ) (1)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合; (2)两条直线可以确定一个平面; (3)若 M ? ? , M ? ? , ? ? ? ? l ,则 M ? l ; (4)空间中,相交于同一点的三直线在同一平面内. A.1 B.2 C.3 D .4 11.某商 场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、10 种、30 种、20 种,现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的 方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 ( ) A.4 B .5 C.6 D.7

12.在平面直角坐标系中,不等式组 积是 9,那么实数 a 的值为 ( A. 3 2 ? 2 B .— 3 2 ? 2

? x ? y ? 0, ? ? x ? y ? 4 ? 0,( a为常数) ? x ? a, ?


表示的平面区域的面

C.—5

D .1

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 13 . 设直 角三 角形 的两 直角 边的 长分 别为 a , b , 斜 边 长为 c , 斜 边上 的高 为 h , 则 有

a ? b ? c ? h 成 立 , 某 同 学 通 过 类 比 得 到 如 下 四 个 结 论 : ①a 2 ? b2 ? c 2 ? h2 ;
a ? b ? c ? h ;③ a ? b ? c ? h ;④ a ?b ? c ?h . ②
3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5

其中正确结论的序号是_ _;进一步类比得到的一般结论是:_ _ 14. 一个几何体的三视图及其尺寸(单位: cm)如图 3 所示, 则该几何体的侧面积为_______cm2.

用心

爱心

专心

-2-

2 1 ? 15.若直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a, b ? R ) 平分圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0 , 则 a b 的最小值是
? 2 2

__________ 16.若 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) ,定义由如下框图表述的运算(函数 f
x ?1

( x)是函数f ( x) 的反

函数) ,若输入 x ? ?2 时,输出

y?

1 1 , 则输入x ? 4 8 时,输出 y=

.

三、解答题(本大题 共 6 个小题,总分 74 分) 17. (12 分)已知函数 f ( x) ? 2cos x ? 2 3 sin x cos x .求
2

(1)函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)函数 f ( x ) 的单调递减区间;

[0, ] 2 上的最值. (3)函数 f ( x ) 在区 间

?

用心

爱心

专心

-3-

18.(12 分)某校从参加某次“广州亚运”知识竞赛测试的学生中随机抽出 60 名 学生, 将其成绩(百分制) (均为整数)分成六段 ?40,50? , ?50,60? ? ?90,100? 后得到如下部分频率分布直方图. 观察图形的信息,回答下列问题: (Ⅰ)求分数在

?70,80? 内的频率,并补全这个

频率分布直方图; (Ⅱ)统计方法中,同一 组数据常用该组 区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的 平均分;

第 17 题 图

(Ⅲ)若从 60 名学生中随机抽取 2 人,抽到 的学生成绩在

?40,70? 记 0 分,在 ?70,100? 记1 分,

用 ? 表示抽取结束后的总记分, 求 ? 的分布列和数学期望.

用心

爱心

专心

-4-

19. (12 分)已知数列

{an } 中, a1 ? 5 且 an ? 2an?1 ? 2n ?1 ( n ? 2 且 n ? N* ) .

? an ? 1 ? ? n ? {a } S (1)证明:数列 ? 2 ? 为等差数列; (2)求数列 n 的前 n 项和 n .

20. (12 分)对于定义在区间 D 上的函数 f ( x ) ,若存在闭区间 [a, b] ? D 和常数 c ,使得对 任意

x1 ?[a, b] ,都有 f ( x1 ) ? c ,且对任意 x2 ∈D,当 x2 ?[a, b] 时, f ( x2 ) ? c 恒成立,则

称函数 f ( x ) 为区间 D 上的“平底型”函数. (Ⅰ)判断函数 并说明理由; (Ⅱ) 设 f ( x) 是 (Ⅰ) 中的 “平底型” 函数, k 为非零常数, 若不等式 | t ? k | ? | t ? k |?| k | ? f ( x) 对一切 t ?R 恒成立,求实数 x 的取值范围; (Ⅲ) 若函数 g ( x) ? mx ?

f1 ( x) ?| x ?1| ? | x ? 2 | 和 f 2 ( x) ? x? | x ? 2 | 是否为 R 上的“平底型”函数?

x2 ? 2 x ? n 是区间 [?2, ??) 上的“平底型”函数,求 m 和 n 的值.

用心

爱心

专心

-5-

21. (13 分)如图所示的长方体

ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长

为 2 的正方形, O 为 AC 与 BD 的交点,

BB1 ? 2 , M 是线段

B1D1 的中点. D AC ; (Ⅰ)求证: BM // 平面 1
(Ⅱ)求证:

D1O ? 平面 AB1C ; B ? AB1 ? C 的大小.

(Ⅲ)求二面角

22. (13 分)已知抛物线 C : x ? 2 py
2

? p ? 0? 的焦点为 F , A 、 B 是抛物线 C 上异于坐标原
l l
l1 ? l2 ,l1 与 l2 相交于点 D .

点 O 的不同两点, 抛物线 C 在点 A 、B 处的切线分别为 1 、 2 , 且 (1) 求点 D 的纵坐标; (2) 证明: A 、 B 、 F 三点共线;

?3 ? ? , ?1? ? ,问是否存在经过 A 、 B 两点且与 l1 、 l2 都相切的圆,若存 (3) 假设点 D 的坐标为 ? 2
在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.

用心

爱心

专心

-6-

参考答案 选择题

A ? {x |
1. 【解析】选 D
? A B ? {x | ?1 ? x ? 2}

2x ? 1 1 ? 0} ? {x | ? ? x ? 2}, B ? { x || x |? 1} ? {x | ? 1? x ? 1}, x?2 2

2. 【解析】选 B, 因为“ ?( p或q) ”是假命题,则“ p或q ”是真命题,所以 p、q 中至少有一个 为真命题。 3. 【解析】选 C



f ( x) ????? ? f ( x ? ? ) ?????????? ? f (2 x ? ? ) 得选 C。
?2 x ( x ? 0), (a ? b) f ( x) ? 1 ? 2 x ? ? ( a ? b) 得 ?1 ( x ? 0).
】 选 B 方 法 1 :

左移? 个单位

1 纵不变,横坐标缩短到原来的 倍 2

?a a ?b ? ? ?b 4. 【解析】选 A 由
5 . 【 解 析

x ? 0,? A错;又因为f ( x) ? x ? ln x在(0, ??)上为增函数.f (1) ? 1 ? 0 ,
所以 f ( x) ? x ? ln x 在(1,2) 、 (1,e)上均有 f ( x) ? 0 ,故 C、D 不对。故选 B。

1 1 1 x ? ? (0,1),因为f ( ) ? ? 1 ? 0, f (1) ? 1 ? 0 e e e 方法 2:取 ,
所以 f ( x) ? x ? ln x 的零点所在的区间为(0,1) 。

6. 【解析】选 D.

f ?(x) ? ( x ?3) ?e x ?( x ?3) ?e x ?? ?( x ? 2) e x

? , 令 f ( x) ? 0 , 解得 x ? 2 , 故选 D

7. 【解析】选 D. 因为所围图形在 X 轴的上方,

21 ? S ? ?1 dx ? ln x 2 x

2 1 2

? ln 2 ? ln

1 ? 2ln 2. 2

? ?? ? 2? y ? 2cos2 ( x ? ) ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? sin 2x T? ?? 4 2 ? ? 2 8. 【解析】选 A. 因为 为奇函数, ,所
以选 A.

用心

爱心

专心

-7-

9. 【解析】选 A.

a1 ? 11, S7 ? 35.? 7a1 ?

7?6 d ? 35,? d ? ?2. 2

则Sn ? 11n ?

n(n ? 1) ? (?2) ? ? n 2 ? 12n ? ?(n ? 6) 2 ? 36.? S6最大 2 .

10. 【解析】选 A. (1)错,如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合(三点不共线 才行) ; (2)错,两条直线可以确定一个平面(两直线可以异面直线) ; (3)对,若 M ? ? , M ? ? , ? ? ? ? l ,则 M ? l (由公理 2 可得) ; (4)空间中,相交于同一点的三直线在同一平面内(不一定在同一平面内) . 11. 【解析】选 C. 应抽取植物油类 20×0.1=2,果蔬类食品 20×0.2=4,所以共抽取 2+4=6 种.

S?
12. 【解析】选 D. 二、填空题

1 2 ? a ? 2 ? ? 2 ? a ? 2? ? ? a ? 2? ? 9 ? a ? 1. 2

a ? b ? c ? h ;③ a ? b ? c ? h 的项与系数的关 13. 【解析】可以证明② ③ 正确;观察②
3 3 3 3 4 4 4 4

系,还有不等号的方向可得: a ? b ? c ? h (n ? N ) 。
n n n n

?

答案:② ③ , a ? b ? c ? h (n ? N )
n n n n

?

14.答案:80 15.答案: 3 ? 2 2

16. 【解析】 答案:-3 三、解答题

1 1 x ? ?2时,y ? .? a ? 2.? f ?1 ( x) ? log 2 x, ?当x ? 时,y ? ?3. 4 8

f ( x) ? cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ?
17. 【解析】

?
6

) ?1
(3 分)

T?
(1)最小正周期

2? ?? 2 ;

(5 分)

用心

爱心

专心

-8-

2 k? ?
(2) 当 调递减,

?
2

?2 x ?

?
6

?2k ? ?

3 ? ? 2? k? ? ? x ? k ? ? 2 ,即 6 3

k ? Z 时,函数 f ( x) 单

所以函数 f ( x ) 的单调递减区间为

[ k? ?

?
6

, k? ?

2? ] k ?Z 3 . (9 分)

(3)

? ? ? 7? x ? [0, ], ? 2 x ? ? [ , ] 2 6 6 6 ,
?
1 ?) ? [ 6 2 , 1] f ( x) min ? f ( ) ? 0 2 .

? s i n (x2 ?

? f ( x) max ? f ( ) ? 3, 6

?

?

(12 分)

18.解析:(Ⅰ)设分数在 根据频率分布直方图,

?70,80? 内的频率为 x ,

则有 (0.01 ? 0.015 ? 2 ? 0.025 ? 0.005) ? 10 ? x ? 1, 可得 x ? 0.3 ,所以频率分布直方图如图所示. ???4 分 (求解频率 3 分,画图 1 分)

(Ⅱ)平均分为:

x ? 45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.15 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05 ? 71. ???7 分
(Ⅲ)学生成绩在

?40,70? 的有 0.4 ? 60 ? 24 人, 在 ?70,100? 的有 0.6 ? 60 ? 36 人.
?? ??????????8 分

并且 ? 的可能取值是 0,1, 2 .

1 1 2 2 C24 C36 C36 C24 46 144 105 P(? ? 0) ? 2 ? P(? ? 1) ? ? P(? ? 2) ? 2 ? 2 C60 295 ; C60 295 ; C60 295 . 则

用心

爱心

专心

-9-

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

46 295

144 295

105 295

????????11 分

E? ? 0 ?

46 144 105 354 ? 1? ? 2? ? 295 295 295 295

(或 1.2)????????12 分

? an ? 1 ? ? n ? 19.解: (1) ∵数列 ? 2 ? 为等差数列
bn ? an ? 1 5 ?1 b1 ? ?2 n 2 , 2 an ?1 ? 1 an ? 1 1 ? n ? n ?1 ? ? an?1 ? 2an ? ? 1? n ?1 ? 2 ? 2 2
??????3 分



bn ?1 ? bn ? ?

1 ? 2n ?1 ? 1? ? 1? n ?1 ?? ? ?1 2 ,

? an ? 1 ? ? n ? 可知,数列 ? 2 ? 为首项是 2 、公差是 1 的等差数列.
an ? 1 a1 ? 1 ? ? ? n ? 1? ? 1 n 2 (2)由(1)知, 2 ,
∴ ∴ 即 令 则

??????4 分

an ? ? n ? 1? ? 2n ? 1



??????6 分
n ? ? n ? 2n ?1 ? 1? ? ? ?? n ? 1? ? 2 ? 1? ?

S n ? ? 2 ? 21 ? 1? ? ? 3 ? 22 ? 1? ?



Sn ? 2 ? 21 ? 3? 22 ? Tn ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? 2Tn ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ?

? n ? 2n?1 ? ? n ?1? ? 2n ? n ? n ? 2n?1 ? ? n ? 1? ? 2n
, .

. ① ②??????10 分

? n ? 2n ? ? n ?1? ? 2n?1

②-①,得

Tn ? ?2 ? 21 ? ? 22 ? 23 ?

? 2n ? ? ? n ? 1? ? 2n ?1

? n ? 2n?1 .


Sn ? n ? 2n ?1 ? n ? n ? ? 2n ?1 ? 1?


用心 爱心 专心

??????12 分
- 10 -

20.解析: (1)对于函数 当 x ? 1 或 x ? 2 时, 分) 对于函数

f1 ( x) ?| x ?1| ? | x ? 2 | ,当 x ? [1, 2] 时, f1 ( x) ? 1 .
(1

f1 ( x) ?| ( x ?1) ? ( x ? 2) |? 1恒成立,故 f1 ( x) 是“平底型”函数.

f 2 ( x)? x ? | x? 2 | , 2时 ] , f2 ( x )? 2; 当 x ? ( 2 , ? ?时 ) , , 当 x ?( ? ?

f 2 ( x)? 2 x? 2? . 2
所以不存在闭区间 [ a, b] ,使当 x ? [a, b] 时, f ( x) ? 2 恒成立. 故

f 2 ( x) 不是“平底型”函数.

(3 分)

(Ⅱ)若 | t ? k | ? | t ? k |?| k | ? f ( x) 对一 切 t ?R 恒成立,则 因为

(| t ? k | ? | t ? k |)min ?| k | ? f ( x) .
(5 分)

(| t ? k | ? | t ? k |)min ? 2 | k | ,所以 2 | k |?| k | ? f ( x) .又 k ? 0 ,则 f ( x) ? 2 .

1 5 ?x? 2. 因为 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | ,则 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 2 ,解得 2 1 5 [ , ] 故实数 x 的范围是 2 2 .
(Ⅲ)因为函数 g ( x) ? mx ?

(7 分)

x2 ? 2 x ? n 是区间 [?2, ??) 上的“平底型”函数,则
2

存在区间 [ a, b] ? [?2, ??) 和常数 c ,使得 mx ? x ? 2x ? n ? c 恒成立.

?m2 ? 1 ?m ? 1 ? m ? ?1 ? ? ? ? ?2mc ? 2 ?c ? ?1 ?c ? 1 ?c 2 ? n ?n ? 1 ?n ? 1 2 2 所以 x ? 2x ? n ? (mx ? c) 恒成立,即 ? . 解得 ? 或? .

(9 分)

?m ? 1 ? ?c ? ?1 ?n ? 1 当? 时, g ( x) ? x? | x ? 1| .
当 x ?[?2, ?1] 时, g ( x) ? ?1 ,当 x ? (?1, ??) 时, g ( x) ? 2 x ? 1 ? ?1恒成立. 此时, g ( x) 是区间 [?2, ??) 上的“平底型”函数. (10 分)

? m ? ?1 ? ?c ? 1 ?n ? 1 g ( x) ? ? x? | x ? 1| . 当? 时,
用心 爱心 专心 - 11 -

当 x ?[?2, ?1] 时, g ( x) ? ?2 x ? 1 ? 1 ,当 x ? (?1, ??) 时, g ( x) ? 1 . 此时, g ( x) 不是区间 [?2, ??) 上的“平底型”函数. 21. (12 分)

解:(Ⅰ)连接 ∴四边形 ∵

D1O ,如图,∵ O 、 M 分别是 BD 、 B1D1 的中点, BD1D1B 是矩形,
??????????2 分

D1OBM 是平行四边形,∴ D1O // BM .

D1O ? 平面 D1 AC , BM ? 平面 D1 AC ,

D AC .?????????? 4 分 ∴ BM // 平面 1
(Ⅱ)连接 ∴ 则

OB1 ,∵正方形 ABCD 的边长为 2 , BB1 ? 2 ,

B1D1 ? 2 2 , OB1 ? 2 , D1O ? 2 ,
OB12 ? D1O2 ? B1D12 ,∴ OB1 ? D1O .
?????6 分

∵在长方体

ABCD ? A1B1C1D1 中, AC ? BD , AC ? D1D ,

BDD1B1 ,又 D1O ? 平面 BDD1B1 , ∴ AC ? 平面
∴ ∴

AC ? D1O ,又 AC OB1 ? O ,

D1O ? 平面 AB1C .
ABB1
中过点 B 作

????????????????8 分

(Ⅲ)在平面

BE ? AB1 于 E ,连结 EC ,

CB ? BB1 , ∵ CB ? AB ,
∴ CB ? 平面 ∴ ∴ ∴

ABB1

,又

AB1 ?

平面

ABB1



???????????9 分

CB ? AB1
AB1 ?

,又

BE ? AB1

,且 CB

BE ? B ,
????????????10 分

平面 EBC ,而 EC ? 平面 EBC , .

AB1 ? EC

∴ ?BEC 是二面角

B ? AB1 ? C

的平面角.

??????????11 分

用心

爱心

专心

- 12 -

在 Rt ?BEC 中,

BE ?

2 3 3 , BC ? 2

∴ tan ?BEC ? 3 , ?BEC ? 60 , ∴二面角

B ? AB1 ? C 的大小为 60 .

???????????????13 分

解法 2 (坐标法) : (Ⅰ )建立如图 所示的空间直角坐标系.连 接

D1O ,则点 O(1,1, 0)、

D1 (0,0, 2) ,


OD1 ? (?1, ?1, 2)

又点 B(2, 2,0) , M (1,1, 2) , ∴ BM ? (?1, ?1, 2) ∴ ∴ 又

OD1 ? BM ,且 OD1 与 BM 不共线,
OD1 // BM .

D1O ? 平面 D1 AC , BM ? 平面 D1 AC ,
??????4 分

D AC . ∴ BM // 平面 1
(Ⅱ)∵

OD1 ? OB1 ? (?1, ?1, 2) ? (1,1, 2) ? 0 ,

OD1 ? AC ? (?1, ?1, 2) ? (?2,2,0) ? 0
∴ 又

OD1 ? OB1 , OD1 ? AC ,即 OD1 ? OB1 , OD1 ? AC ,
OB1 AC ? O
,∴

D1O ? 平面 AB1C .

??????? ?????????6 分

ABB1 CB ? BB1 (Ⅲ)∵ CB ? AB , ,∴ CB ? 平面 ,
∴ BC ? (?2,0,0) 为平面 ∵ ∴

ABB1

的法向量.

OD1 ? OB1 , OD1 ? AC , OD1 ? (?1, ?1, 2) 为平面 AB1C 的法向量.
cos ? BC , OD1 ?? 1 2,



用心

爱心

专心

- 13 -

∴ BC 与

OD1 的夹角为 60 ,即二面角 B ? AB1 ? C 的大小为 60 .??????13 分
B ? AB1 ? C 的大小为 ? ,?AB1C 在平面 AB1B 内的射影就是 ?AB1B ,
c o ?s ? S ?A 1 B S ?A 1 B
B C

(Ⅲ) (法三) 设二面角

根 据 射 影 面 积 公 式 可 得



S?AB1B ?

1 ? AB ? B1 B ? 2 2 ,

S ?AB1C ?



1 ? AC ? B1O ? 2 2 2 S ?AB1B 2 1 cos ? ? ? ? S ?AB1C 2 2 2

,∴二面角

B ? AB1 ? C 的大小为 60

????13 分

?x , y ? ?x , y ? 22.解析:(1):设点 A 、 B 的坐标分别为 1 1 、 2 2 ,


l1 、 l2 分别是抛物线 C 在点 A 、 B 处的切线,
k1 ? y '
x ? x1

∴直线 1 的斜率 ∵

l

?

x1 k2 ? y ' l p ,直线 2 的斜率

x ? x2

?

x2 p .

l1 ? l2 ,


k1k2 ? ?1, 得 x1 x2 ? ? p2 .



?2 分

∵ A 、 B 是抛物线 C 上的点,

y1 ?


x12 x2 , y2 ? 2 . 2p 2p y? x12 x1 x2 x ? ? x ? x1 ? y ? 2 ? 2 ? x ? x2 ? l 2p p 2p p , 直线 2 的方程为 .
x ?x ? x? 1 2, ? ? 2 ? ?y ? ? p . ? 2 解得 ?

∴ 直线 1 的方程为

l

? x12 x1 y ? ? ? x ? x1 ? , ? 2p p ? ? 2 ? y ? x2 ? x2 ? x ? x ? , 2 ? 2p p 由?
p ∴点 D 的纵坐标为 2 . ?

?4 分

? p? F ? 0, ? ? 2 ?. (2) 证法 1:∵ F 为抛物线 C 的焦点, ∴

用心

爱心

专心

- 14 -

∴ 直线 AF 的斜率为

k AF

x12 p p ? 2 p 2 x12 ? p 2 2 ? ? ? x1 ? 0 x1 2 px1 , y1 ?
2 x2 p p ? y2 ? 2 ? p2 2 p 2 x2 2 ? ? ? x2 ? 0 x2 2 px2 .

直线 BF 的斜率为

kBF

k AF ? kBF ?


2 x12 ? p 2 x2 ? p2 ? 2 px1 2 px2
2 x2 ? x 21 ? p 2? ? x ? 1x ? 2 p

?6 分

?

?

2

2 px1 x2

x1 x 2? x 1 ? x ?2? p 2 ? x ?1x ? 2 px1 x2

?

2

? p2 ? x1 ? x2 ? ? p 2 ? x1 ? x2 ? ? 2 px1 x2
? 0.


k AF ? kBF .
?8 分

∴ A 、 B 、 F 三点共线.

证法 2:∵ F 为抛物线 C 的焦点,

? p? F ? 0, ? ? 2 ?. ∴

? p 2 ? x12 ? p x2 ? ? AF ? ? ? x1 , ? 1 ? ? ? ? x1 , ? 2 2p ? ? 2p ? ? ∴ ,
2 ? ? ? p 2 ? x2 2? p x2 BF ? ? ? x2 , ? ? ? ? ? x2 , ? 2 2p ? ? 2p ? ? .

p 2 ? x12 p 2 ? x12 ? x1 x2 ? x12 x1 2p ? ? ? 2 2 2 p 2 ? x2 p 2 ? x2 ? x1 x2 ? x2 x2 2p ∵ ,
∴ AF // BF . ∴ A 、 B 、 F 三点共线.

?6 分

?8 分

用心

爱心

专心

- 15 -

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ? ? 2 ?. 证法 3:设线段 AB 的中点为 E , 则 E 的坐标为 ? 2
抛物线 C 的准线为

l:y??

p 2.
F
A

y

AA1 ? l , BB1 ? l , 垂足分别为 A1 , B1 . 作
p? ? x1 ? x2 ,? ? ? 2 ?, ∵ 由(1)知点 D 的坐标为 ? 2
∴ DE ? l . ∴ DE 是直角梯形

B E

O D

x

A1

B1

l

AA1B1B 的中位线.

DE ?


1 ? AA1 ? BB1 ? 2 .

?6 分 ,

根据抛物线的定义得:

AA1 ? AF , BB1 ? BF

DE ?


1 1 AA1 ? BB1 ? ? ? AF ? BF ? ? 2 2 .

∵ AD ? DB , E 为线段 AB 的中点,

DE ?


1 AB 2 .

1 1 AB ? ? AF ? BF ? AB ? AF ? BF 2 ∴2 ,即 .
∴ A 、 B 、 F 三点共线. (3)解: 不存在. 证明如下: 假设存在符合题意的圆,设该圆的圆心为 M , ?8 分

MA ? MB 依题意得 MA ? AD, MB ? BD ,且 ,


l1 ? l2

,得 AD ? BD .

∴ 四边形 MADB 是正方形. ∴

AD ? BD

.

?10 分

用心

爱心

专心

- 16 -

?3 ? ? , ?1? ?, ∵点 D 的坐标为 ? 2
?


p ? ?1 2 ,得 p ? 2 .

x12 x1 ? 3 ? ?3 ? ? 1 ? ? ? ? ? x1 ? ? , ?1? l 4 2 ?2 ? 的坐标代入直线 1 , 得 ? 把点 D ? 2
解得

x1 ? 4 或 x1 ? ?1 ,

1? ? ?1, ? ? ? 4, 4? 或 ? 4 ? . ∴点 A 的坐标为 ?1, ? 4, 4 ? ? ? 4?. ? B 同理可求得点 的坐标为 或 1? ? A ? ?1, ? 4 ? , B ? 4,4? . 由于 A 、 B 是抛物线 C 上的不同两点,不妨令 ?
3? ?1 ? 125 ? AD ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1? ? 2? ?4 ? 16 , ? ∴

2 2

?

1?

3? 125 2 ? BD ? ? 4 ? ? ? ? 4 ? 1? ? 2? 4 . ?12 分 ?

2

AD ? BD

, 这与

AD ? BD
l l

矛盾. ?13 分

∴经过 A 、 B 两点且与 1 、 2 都相切的圆不存在.

用心

爱心

专心

- 17 -


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