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新疆乌鲁木齐市2015年高考数学三诊试卷(文科)解析


2015 年新疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷(文科)
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(? UA)∩B=( A. {2} B. {2,4} C. {0,4} D. {4} )

2.已知 a∈R,复数

z= A.

是纯虚数(i 数虚数单位) ,则 a=(



B. ﹣1 C. 1 D.
2 2

3. “a= ”是“直线 y=x 与圆(x﹣a) +y =1 相切”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件



4.执行如图所示的程序框图,若输入 x=8,则输出 y 的值为(



A. ﹣

B.

C.

D. 3

5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A. 1 B.

C.

D.



6.等比数列{an}满足 a2+8a5=0,设数列{ A. ﹣11 B. ﹣8 C. 5 D. 11

}的前 n 项和为 Sn,则

=(



7.已知向量



,且

,则|

|的最小值为(



A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

8.若 A. B.

,sin2θ= ,则 tanθ=( C. 2 D.



9.过点 M(2,1)且斜率为 1 的直线与抛物线 y =2px(p>0)交于 A,B 两点,且 M 为 AB 的中点,则 p 的值为( ) A. B. 1 C. D. 2

2

10.奇函数 f(x)满足 f(x+2)=﹣f(x) ,当 x∈(0,1)时,f(x)=3 + ,则 f(log354) =( ) C.[来源:学.科.网 Z.X.X.K] D. 2

x

A. ﹣2 B. ﹣

11.在棱长均相等的正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D 为 BB1 的中点,F 在 AC1 上,且 DF⊥AC1,则 下述结论:①AC1⊥BC;②AF=FC1;③平面 DAC1⊥平面 ACC1A1,其中正确的个数为( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

12.已知 a、b、c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,若 A= =( ) A. a+b B. b+c C. a+c D. a+b+c

,则 a(cosC+

sinC)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。



13.设变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣3y 的最小值



14.某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是: [50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100],则图中 a 的值为 .

[来源:Z|xx|k.Com] 15.已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 为双曲线上一 . }的前 n 项和,则下列结论:

点,若△F1PF2 为等腰三角形,则双曲线的离心率的值为 16.已知数列{an}满足 a1=1,an+an+1=2n+1,n∈N ,Sn 是数列{ ①S2n﹣1=(2n﹣1) ? ;②S2n= Sn;③S2n≥ ﹣
*

+ Sn;④S2n≥Sn+ ,其中正确的是

(填写所有正确结论的序号) .

三、解答题:第 17-21 题每题 12 分,解答时应在答卷的相应各题中写出文字说明、证明过 程或演算步骤。 17.若函数 f(x)=sin ax﹣ 切点的横坐标依次成公差为 的等差数列.
2

的图象与直线 y=b 相切,并且

(Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)求函数 y=f(x)的单调增区间. 18.如图,正方体 A1B1C1D1﹣ABCD 中,E,F 分别是 AD,BC1 的中点. (1)求证:EF∥平面 C1CDD1; (2)在线段 A1B 上是否存在点 G,使得 EG⊥平面 A1BC1?若存在,求二面角 A1﹣C1G﹣C 的平 面角的余弦值;若不存在,请说明理由.



19.某企业为了对其生产工艺流程进行质量监控,制定了正常产品的标准:与产品均值 的 误差在±3 范围之内的产品为正常产品 (s 为产品方差) . 现从该企业在一个生产季度内
2

生产的产品中抽取 50 件产品,其数值用茎叶图表示(如图) .

(Ⅰ)试给出该企业的正常产品标准的范围; (Ⅱ)该企业还制定了其生产工艺流程很稳定的标准:从产品中任取一件落在 ( )范围内的概率不小于 0.9974,落在( )范围内的概率不 小于 0.9544,落在( )范围内的概率不小于 0.6826,根据上述样本判断这个 生产季度的生产工艺流程是否很稳定.

20.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,点 A,B 分别为椭圆的右顶点和上顶点,

且|AB|= . (Ⅰ)试求椭圆的方程; (Ⅱ)斜率为 共圆. 21.已知函数 f(x)=e ,g(x)=ln(x+1) (Ⅰ)讨论函数 h(x)=f(x)﹣g(x)的单调性; (Ⅱ)求证当 x≥0 时,f(x)g(x)≥x.
x

的直线 l 与椭圆交于 P、Q 两点,点 P 在第一象限,求证 A、P、B、Q 四点

选考题:请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题记分, 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,已知 PA 与半圆 O 切于点 A,PO 交半圆 O 于点 B、C,AD⊥PO 于点 D. (Ⅰ)求证 AB 平分∠PAD;



(Ⅱ)求证



选修 4-4:坐标系与参数方程 23.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 两点 A、B 对应的参数分别为α,α+ . (a>b>0,φ为参数,0≤φ<2π)上的

(1)求 AB 中点 M 的轨迹的普通方程; (2)求点 O 到直线 AB 的距离的最大值和最小值.

选修 4-5:不等式选讲 24.已知实数 a,b,c 满足 a +b +c =3. (Ⅰ)求证 a+b+c≤3; (Ⅱ)求证 .
2 2 2



2015 年新疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(? UA)∩B=( A. {2} B. {2,4} C. {0,4} D. {4} 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 集合. 根据集合的基本运算进行求解即可. 解:∵U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4}, )

∴? UA={0,4}, 则(? UA)∩B={4}, 故选:D 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础.

2.已知 a∈R,复数 z= A.

是纯虚数(i 数虚数单位) ,则 a=(



B. ﹣1 C. 1 D.

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出. 解答: 解:∵复数 z= ∴ =0, = = + 是纯虚数,

≠0,解得 a=﹣1.

故选:B. 点评: 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义,属于基础题. 3. “a= ”是“直线 y=x 与圆(x﹣a) +y =1 相切”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2



考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义结合直线和圆相切的位置关系进行判断即可. 解答: 解:若直线和圆相切,则圆心到直线的距离 d= 即 a= 故“a= . ,

, 2 2 ”是“直线 y=x 与圆(x﹣a) +y =1 相切”的充分不必要条件,

故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据直线和圆的位置关系是解决本题的 关键. 4.执行如图所示的程序框图,若输入 x=8,则输出 y 的值为( )

A. ﹣

B.

C.

D. 3

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环计算 y 值并输出,模拟程序的运行过程,即可得到答案. 解答: 解:第一次执行循环体后,y=3,此时|y﹣x|=5,不满足退出循环的条件,则 x=3 第二次执行循环体后,y= ,此时|y﹣x|= ,满足退出循环的条件, 故输出的 y 值为 故选:B 点评: 本题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,模拟程序的运行过程是解 答此类问题最常用的办法. 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A. 1 B.

C.

D.



考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥,结合图中数据 求出它的体积. 解答: 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥, 如图所示; 所以,该四棱锥的底面积为 S 底= ×( +1)×1= , 它的体积为 V 四棱锥 P﹣ABCD= × ×1= . 故选:D.

点评: 本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题,是基础题目.

6.等比数列{an}满足 a2+8a5=0,设数列{ A. ﹣11 B. ﹣8 C. 5 D. 11 考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列.

}的前 n 项和为 Sn,则

=(



分析: 设等比数列{an}的公比为 q,由 a2+8a5=0,解得 q=﹣ ,可得数列{ 首项为 ,公比为﹣2.利用等比数列的前 n 项和公式即可得出.

}是等比数列,

解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q,∵a2+8a5=0, ∴ ∴数列{ =0,解得 q=﹣ , }是等比数列,首项为 ,公比为﹣2.

∴S2=

=﹣

,S5=

=





=﹣11.

故选:A. .

点评: 本题考查了等比数列的通项公式及其前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.

7.已知向量



,且

,则|

|的最小值为(



A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 首先求出 xy,然后利用 x,y 表示| 解答: 解:由题意,因为向量 所以 xy=2,所以|
2 2 2 2

|,利用基本不等式求最小值. , ,且 , |≥3;

| =(x+y) +1=x +y +2xy+1≥4xy+1=9,所以|

故选 D. 点评: 本题考查了向量的坐标运算以及利用基本不等式求最值.

8.若 A. B.

,sin2θ= ,则 tanθ=( C. 2 D.



考点: 同角三角函数基本关系的运用;二倍角的正弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 已知等式利用二倍角的正弦函数公式化简,结合 sin θ+cos θ=1,根据θ的范围, 求出 sinθ与 cosθ的值,即可确定出 tanθ的值. 解答: 解:由 sin2θ= ,得到 2sinθcosθ= ,即 sinθcosθ= , 与 sin θ+cos θ=1 联立,结合θ∈[ 解得:sinθ= ,cosθ= ,
2 2 2 2



],

则 tanθ=2, 故选:C. 点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,以及二倍角的正弦函数公式,熟练掌握 基本关系是解本题的关键. 9.过点 M(2,1)且斜率为 1 的直线与抛物线 y =2px(p>0)交于 A,B 两点,且 M 为 AB 的中点,则 p 的值为( ) A. B. 1 C. D. 2
2

考点: 抛物线的简单性质. .

专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用点差法,结合直线的斜率,即可求出 p 的值. 解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 得(y1﹣y2) (y1+y2)=2p(x1﹣x2) , 依题意 x1≠x2,∴ , , ,两式相减,

于是 y1+y2=2p=2, 因此 p=1. 故选 B. 点评: 本题考查直线与抛物线的位置关系,考查点差法的运用,考查学生分析解决问题的 能力,比较基础.
x

10.奇函数 f(x)满足 f(x+2)=﹣f(x) ,当 x∈(0,1)时,f(x)=3 + ,则 f(log354) =( ) C. D. 2

A. ﹣2 B. ﹣

考点: 函数的周期性;对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 f(x+2)=﹣f(x)得 f(x+4)=f(x) ,可得到函数 f(x)的周期是 4,利用对 数的运算性质、函数的周期性和奇偶性,将 f(log354)转化为﹣ 解析式求出 的值,即可得到 f(log354)的值.[来源:学科网] ,代入函数

解答: 解:∵f[(x+2)+2]=﹣f(x+2)=f(x) , ∴f(x)是以 4 为周期的奇函数, 又∵

, ∵ ,∴ ,∴f(log354)=﹣2,

故选:A. 点评: 本题考查函数的周期性和奇偶性的综合应用,以及对数的运算性质,考查转化思想, 属于中档题. 11.在棱长均相等的正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D 为 BB1 的中点,F 在 AC1 上,且 DF⊥AC1,则 下述结论:①AC1⊥BC;②AF=FC1;③平面 DAC1⊥平面 ACC1A1,其中正确的个数为( )[来 源:学,科,网 Z,X,X,K] .

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系;命题的真假判断与应用;空间中直线与平面之 间的位置关系;平面与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离;简易逻辑. 分析: 设出棱长,通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行,推出①的正误;判断 F 是 AC1 的中点推出②正误;利用直线与平面垂直推出排名与平面垂直推出③正误; 解答: [来源:学科网] 解: 不妨设棱长为: 2, 对于①连结 AB1, 则 AB1=AC1=2 , ∴∠AC1B1=90° 即 AC1 与 B1C1 不垂直,又 BC∥B1C1,∴①不正确; 对于②,连结 AD,DC1,在△ADC1 中,AD=DC1= ,而 DF⊥AC1,∴F 是 AC1 的中点,AF=FC1; ∴②正确; 对于③由②可知,在△ADC1 中,DF= ,连结 CF,易知 CF= ,而在 Rt△CBD 中,CD= 2 2 2 ∴DF +CF =CD , 即 DF⊥CF,又 DF⊥AC1,∴DF⊥面 ACC1A1,∴平面 DAC1⊥平面 ACC1A1,∴③正确; 故选:C. ,

点评: 本题考查命题的真假的判断,棱锥的结构特征,直线与平面垂直,直线与直线的位 置关系的应用,考查空间想象能力以及逻辑推理能力. [来源:学科网 ZXXK] 12.已知 a、b、c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,若 A= =( ) A. a+b B. b+c C. a+c D. a+b+c 考点: 专题: 分析: 解. 解答: . 正弦定理. 解三角形. 由正弦定理可得:a=2RsinA 代入已知式子,由三角函数恒等变换的应用化简即可得 解:∵由正弦定理可得:a=2RsinA ,则 a(cosC+ sinC)

∴ =2RsinAcosC =2RsinAcosC+3RsinC = =2R(sinAcosC+cosAsinC+sinC) =2R[sin(A+C)+sinC] =2R(sinB+sinC) =b+c. 故选:B. 点评: 本题主要考查了正弦定理,三角函数恒等变换的应用,三角形内角和定理的应用, 属于基本知识的考查. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

13.设变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣3y 的最小值 ﹣8 .

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题. 分析: 作出变量 x,y 满足约束条件所对应的平面区域,采用直线平移的方法,将直线 l: 平移使它经过区域上顶点 A(﹣2,2)时,目标函数达到最小值﹣8 解答: 解:变量 x,y 满足约束条件所对应的平面区域为△ABC 如图,化目标函数 z=x﹣3y 为 将直线 l: 平移,因为直线 l 在 y 轴上的截距为﹣ ,所以直线 l 越向上

移, 直线 l 在 y 轴上的截距越大,目标函数 z 的值就越小,故当直线经过区域上顶点 A 时, 将 x=﹣2 代入,直线 x+2y=2,得 y=2,得 A(﹣2,2) 将 A(﹣2,2)代入目标函数,得达到最小值 zmin=﹣2﹣3×2=﹣8



故答案为:﹣8 点评: 本题考查了用直线平移法解决简单的线性规划问题,看准直线在 y 轴上的截距的与 目标函数 z 符号的异同是解决问题的关键. 14.某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是: [50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100],则图中 a 的值为 0.005 .

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据所以概率的和为 1,即所求矩形的面积和为 1,建立等式关系,可求出所求. 解答: 解:由 10a+0.04×10+0.03×10+0.02×10+10a=1, 解得 a=0.005, 故答案为:0.005. 点评: 本题主要考查了频率分布直方图,熟练掌握频率分布直方图中各组累积频率和为 1 是解答的关键.

15.已知双曲线

的左、右焦点分别为 F1、F2,P 为双曲线上一 +1 .

点,若△F1PF2 为等腰三角形,则双曲线的离心率的值为

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 运用双曲线的定义和等腰三角形的定义,由离心率公式,计算即可得到. .

解答: 解:由△F1PF2 为等腰三角形,可得∠PF1F2 或∠PF2F1 为 90° 不妨设∠PF1F2=90°,则|PF1|=|F1F2|=2c,|PF2|=2 c, 由双曲线的定义可得,|PF2|﹣|PF1|=2a=2 c﹣2c, ∴e= +1. 故答案为: +1. 点评: 本题考查双曲线的定义和性质,考查离心率的求法,考查运算能力,属于基础题. 16.已知数列{an}满足 a1=1,an+an+1=2n+1,n∈N ,Sn 是数列{ ①S2n﹣1=(2n﹣1) ? ;②S2n= Sn;③S2n≥ ﹣
*

}的前 n 项和,则下列结论:

+ Sn;④S2n≥Sn+ ,其中正确的是 ③

④ (填写所有正确结论的序号) . 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 易知,a2=2,由 an+an+1=2n+1,an+1+an+2=2n+3,两式相减,得 an+2﹣an=2,即此数列每 隔一项成等差数列,可得 an=n. ①令 n=2,即可判断出正误; ②令 n=1,即可判断出正误; ③作差 ④作差: 即可判断出正误. 解答: 解:易知,a2=2,由 an+an+1=2n+1,an+1+an+2=2n+3, 两式相减,得 an+2﹣an=2, 即此数列每隔一项成等差数列,由 a1=1,可得数列 1 的奇数项为 1,3,5,…, 由 a2=2,可得其偶数项为 2,4,6,…, 故 an=n. ①令 n=2, ②令 n=1, ③∵ ∴ ④∵ ∵ ∴f(n+1)>f(n) ,∴f(n)单增,∴ ,设 , ,
n

,利用 ,设

,即可判断出正误; ,判断出其单调性,

, , ,又 2 >2n﹣1,∴ ,故③正确; , , ,∴ ,②错; ,

,①错;







(n∈N ) ,故④正确.

*

综上可得:只有③④正确. 故答案为:③④. 点评: 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、数列的单调性, 考查了“作差法” 、推理能力与计算能力,属于中档题. 三、解答题:第 17-21 题每题 12 分,解答时应在答卷的相应各题中写出文字说明、证明过 程或演算步骤。 17.若函数 f(x)=sin ax﹣ 切点的横坐标依次成公差为 的等差数列.
2

的图象与直线 y=b 相切,并且

(Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)求函数 y=f(x)的单调增区间. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 等差数列与等比数列;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得 f(x)=﹣sin(2ax+ 题意 b 为 f(x)的最大值或最小值,可求 b,求得最小正周期,由周期公式可求 a. (Ⅱ)由 2kπ+ ≤4x+ ≤2kπ+ ,即可解得 y=f(x)的单调增区间. ) ,由

解答: (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)f(x)=sin ax﹣ = ﹣ sin2ax﹣ ) ,
2

=﹣sin(2ax+

∵函数 y=f(x)的图象与直线 y=b 相切, ∴b 为 f(x)的最大值或最小值,即 b=﹣1 或 b=1, ∵切点的横坐标依次成公差为 ∴f(x)的最小正周期为 的等差数列, = ,a>0,

,即 T=

∴a=2,即 f(x)=﹣sin(4x+

)…6 分 )的减区间, ≤x≤ (k∈Z) ,

(Ⅱ)f(x)的增区间,即为 y=sin(4x+ ∴2kπ+ ≤4x+ ≤2kπ+ ,解得: ,

∴y=f(x)的单调增区间为:[

](k∈Z)…12 分



点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的图象与性质,属于基本知 识的考查. 18.如图,正方体 A1B1C1D1﹣ABCD 中,E,F 分别是 AD,BC1 的中点. (1)求证:EF∥平面 C1CDD1; (2)在线段 A1B 上是否存在点 G,使得 EG⊥平面 A1BC1?若存在,求二面角 A1﹣C1G﹣C 的平 面角的余弦值;若不存在,请说明理由.

考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)过 E 作 EH∥CD,连接 FH,只要证明平面 EFH∥平面 C1CDD1 即可; (2)假设在线段 A1B 上存在点 G,使得 EG⊥平面 A1BC1;设正方体的棱长为 2,以 A 原点, AB,AD,AA1 所在直线分别为 x,y,z 轴,分别求出平面 A1BC1?的法向量以及 用向量的数量积解答. 解答: 证明: (1)过 E 作 EH∥CD,连接 FH,[来源:学|科|网 Z|X|X|K] 则 FH∥CC1, 所以平面 EFH∥平面 C1CDD1; 所以 EF∥平面 C1CDD1; (2)假设在线段 A1B 上存在点 G,使得 EG⊥平面 A1BC1;设正方体的棱长为 2, 以 A 原点,AB,AD,AA1 所在直线分别为 x,y,z 轴,如图: 则 =(2,0,﹣2) , =(2,2,2) , 的坐标,利

设平面 A1BC1 的法向量为 =(x,y,z) ,则

,令 x=1,则 =(1,﹣2,1) ,

G(a,0,c) ,则 所以

=(a,﹣1,c) ,要使 EG⊥平面 A1BC1,只要



,所以 a=c= ,所以在线段 A1B 上存在点 G,使得 EG⊥平面 A1BC1;

由以上可知 是平面 A1GC1 的一个法向量;



设平面 CGC1 的法向量为 =(x',y',z') ,则



,所以

,令 y'=1,则 =(﹣2,1,0)为平面 CGC1 的一个法向量,

所以二面角 A1﹣C1G﹣C 的平面角的余弦值为

=



点评: 本题考查证明线面平行的方法,关键是将问题转为线线平行解决,体现了转化的思 想. 19.某企业为了对其生产工艺流程进行质量监控,制定了正常产品的标准:与产品均值 的 误差在±3 范围之内的产品为正常产品 (s 为产品方差) . 现从该企业在一个生产季度内
2

生产的产品中抽取 50 件产品,其数值用茎叶图表示(如图) .

(Ⅰ)试给出该企业的正常产品标准的范围; (Ⅱ)该企业还制定了其生产工艺流程很稳定的标准:从产品中任取一件落在 ( )范围内的概率不小于 0.9974,落在( )范围内的概率不 小于 0.9544,落在( )范围内的概率不小于 0.6826,根据上述样本判断这个 生产季度的生产工艺流程是否很稳定. 考点: 极差、方差与标准差;茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)取 5.5 为中心数,取每个数与 5.5 的偏差计算平均数,根据平均数和方差的 公式计算即可, (Ⅱ)分别计算( ) , ( ﹣2s, +2s) , ( ﹣s, +s) ,并判断即可. 解答: 解: (Ⅰ)取 5.5 为中心数,取每个数与 5.5 的偏差计算平均数,



=5.5+

[﹣0.8+0.8+3×0.7+3×(﹣0.7)+9×0.6+9×9×(﹣0.6)+2×(﹣0.5)+

2×0.5+0.4+(﹣0.4)+0.3+(﹣0.3)+3×0.2+3×(﹣0.2)+3×(﹣0.1)+3×0.1)]=5.5, S=
2

(6×0.1 +6×0.2 +2×0.3 +2×0.4 +4×0.5 +18×0.6 +6×0.7 +2×0.8 )=0.5 ,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∴s=0.5, ﹣3s=5.5﹣3×0.5=4, +3s=5.5+3×0.5=7, 该企业的正常产品标准的范围(4,7) ; (Ⅱ) ( )=(4,7)落在这个范围内的产品共有 50 个, =1,

( ﹣2s, +2s)=(4.5,6.5)落在这个范围内的产品共有 50 个, ( ﹣s, +s)=(5,6)落在这个范围内的产品共有 20 个,

=1,

=0.4,

根据上述样本判断这个生产季度的生产工艺流程不是很稳定. 点评: 本题考查了方差和平均数的计算方法和数据的应用,属于基础题.

20.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,点 A,B 分别为椭圆的右顶点和上顶点,

且|AB|= . (Ⅰ)试求椭圆的方程; (Ⅱ)斜率为 共圆. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)运用离心率公式和两点的距离公式,结合椭圆的 a,b,c 的关系,可得 a,b, 进而得到椭圆方程; (Ⅱ)设直线 PQ 的方程为 ,联立椭圆方程,运用韦达定理,设过点 三点圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,证明 Q 也在此圆上. 解答: 解: (Ⅰ)依题意知,
2 2 2 2 2 2 2

的直线 l 与椭圆交于 P、Q 两点,点 P 在第一象限,求证 A、P、B、Q 四点

, ,



即 a +b =7,又 a ﹣b =c ,解得 a=2, ∴椭圆的方程为 ;

(Ⅱ)设直线 PQ 的方程为 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)在椭圆上,





将直线 l 的方程代入椭圆方程 整理得

+ ,

=1,

则△=12m ﹣12(2m ﹣6)>0,

2

2

…①,

又 设过点



,∴

…②, 三点圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0, , ,
2 2

于是 2D+F+4=0, ∴ 令 ∵x1 +y1 +Dx1+Ey1+F1=0, ∴ = 将①②③式代入此式,并化简,得 又
2 2



…③ ,

, …④,

=(x2+x1) (x2﹣x1)+(y2+y1) (y2﹣y1)+D(x2﹣x1)+E(y2﹣y1) , 将①②③式,及 并化简,得 由④⑤得, ,∴t=0,或 x2﹣x1=﹣2; 代入此式, …⑤,依题意,x1≠x2,

若 x2﹣x1=﹣2,则 ∴ 或 , 此时直线 l 经过点 或 这与直线 l 过椭圆在第一象限上的一点 P 矛盾, 所以 t=0,故 ,

,得 m =3,

2



即点 Q 在过点 A,P,B 三点的圆上,所以 A,P,B,Q 四点共圆. .

点评: 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用,联立直线 方程,运用韦达定理,同时考查四点共圆的证法,属于中档题. 21.已知函数 f(x)=e ,g(x)=ln(x+1) (Ⅰ)讨论函数 h(x)=f(x)﹣g(x)的单调性; (Ⅱ)求证当 x≥0 时,f(x)g(x)≥x. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)先求出函数 h(x)的导数,通过讨论 h′(x)的情况,从而求出 h(x)的 单调性; (Ⅱ)令 p(x)=f(x) ? g(x)﹣x,求出函数 p(x)的导数,通过讨论 p′(x)的情况, 从而证出结论. 解答: 解: (Ⅰ)易知 h(x)的定义域为(﹣1,+∞) ,h′(x)=e ﹣
x x x x



令φ(x)=e ﹣

,则φ′(x)=e +



∵当 x>﹣1 时,φ′(x)>0, ∴函数φ(x)在区间(﹣1,+∞)上为增函数, ∴当﹣1<x≤0 时,φ(x)≤φ(0)=0,即 h′(x)≤0, 当 x>0 时,φ(x)>φ(0)=0,即 h′(x)>0, ∴函数 h(x)在区间(﹣1,0)上为减函数,在区间(0,+∞)上为增函数; (Ⅱ)令 p(x)=f(x) ? g(x)﹣x,则 p(x)=e ln(x+1)﹣x, p′(x)=e ln(x+1)+ 令 s(x)=e ln(x+1)+ 则 s′(x)=e
x x x x

﹣1, ﹣1, ,

∴当 x≥0 时,e >0,x+1≥1, ∴ln(x+1)≥0, >0,

x

∴s′(x)≥0,∴函数 s(x)在区间(0,+∞)为增函数, ∴当 x≥0 时,s(x)≥s(0)=0,∴p′(x)≥0, ∴函数 p(x)在区间[0,+∞)上是增函数, ∴当 x≥0 时,p(x)≥p(0)=0, 即当 x≥0 时,f(x) ? g(x)≥x 成立. 点评: 本题考察了函数的单调性,考察导数的应用,求出函数的导数,讨论关于导函数的 不等式是解答问题的关键,本题是一道中档题.



选考题:请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题记分, 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,已知 PA 与半圆 O 切于点 A,PO 交半圆 O 于点 B、C,AD⊥PO 于点 D. (Ⅰ)求证 AB 平分∠PAD; (Ⅱ)求证 .

考点: 与圆有关的比例线段;弦切角. 专题: 选作题. 分析: (Ⅰ)利用 BC 为半圆 O 的直径,AD⊥BC,PA 与半圆 O 切于点 A,证明∠PAB=∠BAD, 即可证明 AB 平分∠PAD; (Ⅱ)证明△PAB∽△PCA, = ,即可证明 .

解答: 证明: (Ⅰ)由题意,BC 为半圆 O 的直径,A 为半圆 O 上一点, ∴∠BAC=90°, ∵AD⊥BC, ∴∠BAD=∠ACD, ∵PA 与半圆 O 切于点 A, ∴∠PAB=∠ACD, ∴∠PAB=∠BAD, ∴AB 平分∠PAD; (Ⅱ)连接 AC, ∵∠PAB=∠PCA,∠P=∠P, ∴△PAB∽△PCA, ∴ .

在 Rt△BAC 中,AD⊥CD, ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ = , , , . , = = , ,



点评: 本题考查圆的切线的性质,考查三角形相似的判定与性质,考查学生分析解决问题 的能力,属于中档题. 选修 4-4:坐标系与参数方程 23.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 两点 A、B 对应的参数分别为α,α+ . (a>b>0,φ为参数,0≤φ<2π)上的

(1)求 AB 中点 M 的轨迹的普通方程; (2)求点 O 到直线 AB 的距离的最大值和最小值. 考点: 轨迹方程;点到直线的距离公式. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用中点坐标公式,即可求 AB 中点 M 的轨迹的普通方程; (2)利用点到直线的距离公式求解和化简即可.

解答: 解: (1)设 AB 中点 M(x,y) ,则



所以

;[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

(2)以坐标原点 0 为极点,x 轴正半轴为极轴,且取相同的长度单位建立极坐标系, 所以有 ,

所以ρ =

2



设 A(ρ1,α) ,B(ρ2,

) ,则|AB|=



∴点 O 到 AB 直线的距离为

=

=



∴点 O 到 AB 直线的距离为定值



点评: 本题重点考查了参数方程、距离公式,考查极坐标系等知识,属于中档题.



选修 4-5:不等式选讲 24.已知实数 a,b,c 满足 a +b +c =3. (Ⅰ)求证 a+b+c≤3; (Ⅱ)求证 .
2 2 2

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (I)由于(a+b+c) =a +b +c +2ab+2bc+2ac,利用基本不等式的性质即可证明; (II)由于(a +b +c ) 性质即可证明. 解答: 证明: (I)∵(a+b+c) =a +b +c +2ab+2bc+2ac 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≤a +b +c +(a +b )+(b +c )+(a +c )=3(a +b +c )=9. ∴a+b+c≤3; (II)∵(a +b +c ) =3+ + + + + =3+ + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=3+

+

+

+

+

,利用基本不等式的



+2

+2

=9.当且仅当 a =b =c =1 时取等号.

2

2

2



≥3

点评: 本题考查了基本不等式的性质,考查了变形能力、推理能力与计算能力,属于




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