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山东省临沂市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)


山东省临沂市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)设集合 M={x|0≤x≤2},集合 N={x|x ﹣x﹣2<0},则 M∩N=() A.{x|0<x<2} B.{x|0≤x<2} C.{x|0≤x≤2} D.{

x0<x≤2} 2. (5 分)命题“?x0∈?RQ,x0 ∈Q”的否定是() 3 3 A.?x0??RQ,x0 ∈Q B. ?x0∈?RQ,x0 ?Q 3 3 C. ?x0??RQ,x0 ∈Q D.?x0∈?RQ,x0 ?Q 3. (5 分)“x<0”是“log2(x+1)<0”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也必要条件 4. (5 分)若 a>b>0,c<d<0,则一定有() A. > B. < C. > D. <
3 2

5. (5 分)在等比数列{an}中,Tn 表示前 n 项的积,若 T7=1,则() A.a2=1 B.a3=1 C.a4=1 D.a5=1 6. (5 分)若平面 α∥β,则下面可以是这两个平面法向量的是() A. C. =(1,2,3) , =(1,1,1) , =(﹣3,2,1) =(﹣2,2,1) B. D. =(1,2,3) , =(1,1,1) , =(﹣2,2,1) =(﹣2,﹣2,﹣2)

7. (5 分) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若c = (a﹣b) +6, C= 则△ ABC 的面积是() A. B. C. D.2

2

2



8. (5 分)下列结论错误的是() A.若 ab>0,则 + ≥2 B. 函数 y=cosx+ C. 函数 y=2 +2
x
﹣x

(0<x< 的最小值为 2

)的最小值为 2

D.若 x∈(0,1) ,则函数 y=lnx+

≤ ﹣2

9. (5 分)已知数列{an}的通项公式 an= S98 最接近的整数是() A.13 B.14

,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则与

C.15

D.16

10. (5 分)已知 F1,F2 是双曲线



=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点 F2 关于渐近

线对称点恰好落在以点 F1 为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为() A.2 B. 3 C. D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷的横线上.. 11. (5 分)已知 =(2,﹣1,3) , =(﹣1,4,﹣2) , =(7,7,λ) ,若 , , 共面, 则实数 λ=. 12. (5 分)已知抛物线 y =4x 的焦点为 F,过 F 的直线与抛物线交于 A(x1,x2) ,B(x2, 2 2 y2)两点,则 y1 +y2 的最小值为. 13. (5 分)已知命题 p:函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上是减函数,若“非 p”是假命题,则 a 的取值范围是.
2 2

14. (5 分)已知 x,y 满足

,且目标函数 z=3x+y 的最小值是 5,则 z 的最

大值为. 15. (5 分)如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座的山顶 C 为测量观测点,从 A 点测得 M 点的仰角∠AMN=60°, C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°; 从 C 点测得∠MCA=60°, 已知山高 BC=1000m,则山高 MN= m.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,其中 a=4,c=2 (B+C)= (1)求 sinC 的值; (2)求 b 的值.

,cos

17. (12 分)已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,A 点在抛物线上,且 A 的横坐标为 4, |AF|=5. (1)求抛物线的方程; (2)设 l 为过(4,0)点的任意一条直线,若 l 交抛物线于 A,B 两点,求证:以 AB 为直 径的圆必过坐标原点. 18. (12 分) 已知数列{an}满足: a1=1, 2an+1=2an+1, n∈N , 数列{bn}的前 n 项和为 Sn, Sn= (1﹣ ) ,n∈N
+ +

2

(1)求数列{an},{bn}的通项公式; + (2)设 cn=anbn,n∈N ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 19. (12 分)为保护环境,绿色出行,某高校今年年初成立自行车租赁公司,初期投入 36 万元,建成后每年收入 25 万元,该公司第 n 年需要付出的维修费用记作 an 万元,已知{an} 为等差数列,相关信息如图所示. (1)设该公司前 n 年总盈利为 y 万元,试把 y 表示成 n 的函数,并求出 y 的最大值; (总盈 利即 n 年总收入减去成本及总维修费用) (2)该公司经过几年经营后,年平均盈利最大,并求出最大值.

20. (13 分) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为菱形, PA⊥平面 ABCD, ∠BAD=120°, E,F 分别为 BC,PC 的中点. (1)证明:AE⊥PD (2)若 PA=AB=4,求二面角 E﹣AF﹣C 的余弦值.

21. (14 分)已知椭圆 C: 一个端点构成正三角形. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l:y=kx+m(|k|≤

+

=1(a>b>0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的

)与椭圆 C 相较于 A,B 两点,以线段 OA,OB 为邻边作

?OAPB,其中定点 P 在椭圆 C 上,O 为坐标原点,求|OP|的取值范围.

山东省临沂市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 2 1. (5 分)设集合 M={x|0≤x≤2},集合 N={x|x ﹣x﹣2<0},则 M∩N=() A.{x|0<x<2} B.{x|0≤x<2} C.{x|0≤x≤2} D.{x0<x≤2} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 利用交集定义和不等式性质求解. 解答: 解:∵集合 M={x|0≤x≤2},集合 N={x|x ﹣x﹣2<0}={x|﹣1<x<2}, ∴M∩N={x|0≤x<2}. 故选:B. 点评: 本题考查交集的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意不等式性质的合理运用. 2. (5 分)命题“?x0∈?RQ,x0 ∈Q”的否定是() 3 3 A.?x0??RQ,x0 ∈Q B. ?x0∈?RQ,x0 ?Q 3 3 C. ?x0??RQ,x0 ∈Q D.?x0∈?RQ,x0 ?Q 考点: 命题的否定. 专题: 应用题. 分析: 根据特称命题“?x∈A,p(A)”的否定是“?x∈A,非 p(A)”,结合已知中命题, 即可得到答案. 解答: 解:∵命题“?x0∈CRQ, ∴“?x0∈CRQ, 故选 D ∈Q”是特称命题,而特称命题的否定是全称命题, ?Q
3 2

∈Q”的否定是?x0∈CRQ,

点评: 本题考查的知识点是命题的否定, 其中熟练掌握特称命题的否定方法“?x∈A, p (A) ” 的否定是“?x∈A,非 p(A)”,是解答本题的关键. 3. (5 分)“x<0”是“log2(x+1)<0”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:由 log2(x+1)<0 得 0<x+1<1,解得﹣1<x<0, 则“x<0”是“log2(x+1)<0”的必要不充分条件, 故选:B 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件,求出不等式的等价条件是解决本题的关键. 4. (5 分)若 a>b>0,c<d<0,则一定有() A. > B. < C. > D. <

考点: 专题: 分析: 解答: 则

不等式比较大小;不等关系与不等式. 不等式的解法及应用. 利用特例法,判断选项即可. 解:不妨令 a=3,b=1,c=﹣3,d=﹣1, , , =﹣ , ,∴A、B 不正确;

∴C 不正确,D 正确. 解法二: ∵c<d<0, ∴﹣c>﹣d>0, ∵a>b>0, ∴﹣ac>﹣bd, ∴ ∴ . ,

故选:D. 点评: 本题考查不等式比较大小,特值法有效,导数计算正确. 5. (5 分)在等比数列{an}中,Tn 表示前 n 项的积,若 T7=1,则() A.a2=1 B.a3=1 C.a4=1 D.a5=1

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 7 分析: 由等比数列的性质可得 T7=a4 =1,解方程可得. 2 解答: 解:由等比数列的性质可得 a1a7=a2a6=a3a5=a4 , 7 ∴T7=a1a2a3a4a5a6a7=a4 =1, ∴a4=1 故选:C 点评: 本题考查等比数列的性质,属基础题. 6. (5 分)若平面 α∥β,则下面可以是这两个平面法向量的是() A. C. =(1,2,3) , =(1,1,1) , =(﹣3,2,1) =(﹣2,2,1) B. D. =(1,2,3) , =(1,1,1) , =(﹣2,2,1) =(﹣2,﹣2,﹣2)

考点: 平面的法向量. 专题: 空间向量及应用. 分析: 由于平面 α∥β,可得这两个平面法向量共线.判断出即可. 解答: 解:∵平面 α∥β, ∴这两个平面法向量共线. 只有 D 中的 ,

故选;D. 点评: 本题考查了平行平面的性质、向量共线定理,属于基础题. 7. (5 分) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若c = (a﹣b) +6, C= 则△ ABC 的面积是() A. B. C. D.2
2 2



考点: 余弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 2 2 2 分析: 运用余弦定理可得 c =a +b +ab,再由条件可得 ab,再由三角形的面积公式计算即 可得到. 解答: 解:因为 c =(a﹣b) +6,C= 又由余弦定理得 c2=a2+b2﹣2abcos
2 2 2 2 2



=a2+b2+ab,
2

所以 a +b +ab=(a﹣b) +3ab=(a﹣b) +6, 解得 ab=2, 所以 S△ ABC= absinC= ×2× = .

故选:A. 点评: 本题考查余弦定理及面积公式的运用,考查运算能力,属于基础题. 8. (5 分)下列结论错误的是() A.若 ab>0,则 + ≥2 B. 函数 y=cosx+ C. 函数 y=2 +2
x
﹣x

(0<x< 的最小值为 2

)的最小值为 2

D.若 x∈(0,1) ,则函数 y=lnx+

≤ ﹣2

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题;阅读型;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 若 ab>0,则 >0, >0,由基本不等式即可判断 A; 令 t=cosx(0<x<
x

) ,则 0<t<1,y=t+ 在(0,1)上递减,即可判断 B;

令 t=2 ,则 t>0,再由基本不等式,可得最小值,即可判断 C; 令 t=lnx,则 t<0,y=t+ =﹣,运用基本不等式 即可判断 D. 解答: 解:对于 A.若 ab>0,则 >0, >0,则 + ≥2 对于 B.令 t=cosx(0<x< 值,则 B 错误; 对于 C.令 t=2 ,则 t>0,y=2 +2 =t+ ≥2,当且仅当 t=1 即 x=0 时,取得最小值 2,则 C 正确; 对于 D.令 t=lnx,则 t<0,则 y=t+ =﹣≤﹣2 =﹣2,当且仅当 t=﹣1,取得最大
x x
﹣x

=2,则 A 正确;

) ,则 0<t<1,y=t+ 在(0,1)上递减,即有 y>2,无最小

值﹣2,则 D 正确. 故选 B. 点评: 本题考查基本不等式的运用:求最值,考查余弦函数、指数函数和对数函数的单调 性的运用,考查运算能力,属于基础题和易错题.

9. (5 分)已知数列{an}的通项公式 an= S98 最接近的整数是() A.13 B.14 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列.

,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则与

C.15

D.16

分析: 由 an= 最接近的整数. 解答: 解:∵an=

=

=10(

) ,利用裂项求和法能求出与 S98

=

=10(

) ,

∴S98=10(1﹣ =10(1+ ﹣ = ≈14.7≈15. )

+ …+



∴与 S98 最接近的整数是 15. 故选:C. 点评: 本题考查与前 98 项和最接近的整数的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意 裂项求和法的合理运用.

10. (5 分)已知 F1,F2 是双曲线



=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点 F2 关于渐近

线对称点恰好落在以点 F1 为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为() A.2 B. 3 C. D. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 首先求出 F2 到渐近线的距离, 利用 F2 关于渐近线的对称点恰落在以 F1 为圆心, |OF1| 为半径的圆上,可得直角三角形,即可求出双曲线的离心率. 解答: 解:由题意,F1(0,﹣c) ,F2(0,c) , 一条渐近线方程为 y= x,则 F2 到渐近线的距离为 =b.

设 F2 关于渐近线的对称点为 M,F2M 与渐近线交于 A, ∴|MF2|=2b,A 为 F2M 的中点, 又 0 是 F1F2 的中点,∴OA∥F1M,∴∠F1MF2 为直角, ∴△MF1F2 为直角三角形, 2 2 2 ∴由勾股定理得 4c =c +4b 2 2 2 2 2 ∴3c =4(c ﹣a ) ,∴c =4a , ∴c=2a,∴e=2. 故选:A. 点评: 本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线,考查勾股定理的运 用,考查学生的计算能力,属于中档题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷的横线上..

11. (5 分)已知 =(2,﹣1,3) , =(﹣1,4,﹣2) , =(7,7,λ) ,若 , , 共面, 则实数 λ=9. 考点: 向量的数量积判断向量的共线与垂直. 专题: 空间向量及应用. 分析: 由若 , , 共面,则存在实数 m,n,使得 ,由此能求出实数 λ.

解答: 解:∵ =(2,﹣1,3) , =(﹣1,4,﹣2) , =(7,7,λ) , ∴若 , , 共面,则存在实数 m,n,使得 ∴(7,7,λ)=m(2,﹣1,3)+n(﹣1,4,﹣2) , ,





解得 n=3,m=5, ∴λ=3×5﹣2×3=9. 故答案为:9. 点评: 本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量共面的性质的合 理运用. 12. (5 分)已知抛物线 y =4x 的焦点为 F,过 F 的直线与抛物线交于 A(x1,x2) ,B(x2, 2 2 y2)两点,则 y1 +y2 的最小值为 8. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出抛物线的焦点,设直线方程为 x=my+1,代入抛物线方程,消去 x,运用韦达 定理,再由配方和二次函数的最值,即可得到最小值. 解答: 解:抛物线 y =4x 的焦点为 F(1,0) , 设直线方程为 x=my+1,与抛物线方程联立消去 x 得, 2 y ﹣4my﹣4=0, ∴y1+y2=4m,y1y2=﹣4, 2 2 2 2 则 y1 +y2 =(y1+y2) ﹣2y1y2=16m +8≥8, 当 m=0 时取等号, 2 2 则 y1 +y2 的最小值为 8. 故答案为:8. 点评: 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,注意联立方程运用韦 达定理,属于中 档题. 13. (5 分)已知命题 p:函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上是减函数,若“非 p”是假命题,则 a 的取值范围是 a≤﹣3.
2 2 2

考点: 复合命题的真假;二次函数的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: 由题意知函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上是减函数是真命题, 从而得﹣(a﹣1)≥4,从而解得. 解答: 解:∵“非 p”是假命题, 2 ∴命题 p:函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上是减函数是真命题, ∴﹣(a﹣1)≥4; 解得,a≤﹣3; 故答案为:a≤﹣3. 点评: 本题考查了复合命题的判断及二次函数的单调性的应用,属于基础题.
2

14. (5 分)已知 x,y 满足

,且目标函数 z=3x+y 的最小值是 5,则 z 的最

大值为 10. 考点: 简单线性规划. 专题: 计算题. 分析: 画出满足条件的可行域, 结合目标函数的解析式形式, 分析取得最优解的点的坐标, 然后求出此目标函数的最大值即可. 解答: 解:作出 x 不等式组满足的可行域如下图: 可得直线 x=2 与直线﹣2x+y+c=0 的交点 B,使目标函数 z=3x+y 取得最小值 5, 故由 x=2 和﹣2x+y+c=0,解得 x=2,y=4﹣c, 代入 3x+y=5 得 6+4﹣c=5 ∴c=5, 由 x+y=4 和﹣2x+y+5=0 可得 C(3,1) 当过点 C(3,1)时,目标函数 z=3x+y 取得最大值,最大值为 10. 故答案为:10

点评: 本题主要考查了利用可行 域求解目标函数的最大值,解题的关键是由最小值求解 出 c 的值, 如果约束条件中含有参数,我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区 域,分析取得最优解的位置 15. (5 分)如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座的山顶 C 为测量观测点,从 A 点测得 M 点的仰角∠AMN=60°, C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°; 从 C 点测得∠MCA=60°, 已知山高 BC=1000m,则山高 MN=1500 m.

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;解三角形. 分析: △ ABC 中,由条件利用直角三角形中的边角关系求得 AC;△ AMC 中,由条件利 用正弦定理求得 AM;Rt△ AMN 中,根据 MN=AM?sin∠MAN,计算求得结果. 解答: 解:△ ABC 中,∵∠BAC=45°,∠ABC=90°,BC=1000, ∴AC= =1000 .

△ AMC 中,∵∠MAC=75°,∠MCA=60°, ∴∠AMC=45°,由正弦定理可得 ,解得 AM=1000 .

Rt△ AMN 中,MN=AM?sin∠MAN=1000 ×sin60°=1500(m) , 故答案为:1500. 点评: 本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,其中 a=4,c=2 ,cos (B+C)= (1)求 sinC 的值; (2)求 b 的值. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 计算题;三角函数的求值;解三角形. 分析: (1)由诱导公式可得 cosA,再由平方关系可得 sinA,再由正弦定理,可得 sinC; 2 2 2 (2)运用余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA,计算即可得到 b. 解答: 解: (1)cos(B+C)= sinA= = , ,即有 cosA=﹣ ,

由正弦定理可得 sinC= (2)由 a=4,c=2
2 2 2

= ,

=



,cosA=﹣

则运用余弦定理可得, a =b +c ﹣2bccosA, 即为 16=b +8﹣2×
2 2

b×(﹣

) ,

即有 b +2b﹣8=0, 解得 b=2(﹣4 舍去) . 点评: 本题考查正弦定理、余弦定理的运用,考查同角的基本关系式的运用,考查运算能 力,属于基础题. 17. (12 分)已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,A 点在抛物线上,且 A 的横坐标为 4, |AF|=5. (1)求抛物线的方程; (2)设 l 为过(4,0)点的任意一条直线,若 l 交抛物线于 A,B 两点,求证:以 AB 为直 径的圆必过坐标原点. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)求出抛物线的焦点和准线方程,再由抛物线的定义,可得 p=2,进而得到抛 物线方程; (2)设直线 l:x=my+4,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,代入抛物线方程,运用韦达定理,结 合向量垂直的条件,即可证得以 AB 为直径的圆必过坐标原点. 解答: (1)解:抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F( ,0) ,准线为 x=﹣ , 由抛物线的定义可得,|AF|=4+ =5, 解得 p=2, 2 即有抛物线的方程为 y =4x; (2)证明:设直线 l:x=my+4,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 2 代入抛物线方程 y =4x,可得 2 y ﹣4my﹣16=0, 2 判别式为 16m +64>0 恒成立, y1+y2=4m,y1y2=﹣16, x1x2= ? =16,
2 2

即有 x1x2+y1y2=0, 则 ⊥ ,

则以 AB 为直径的圆必过坐标原点.

点评: 本题考查抛物线的定义、方程和性质,主要考查抛物线的方程的运用,注意联立方 程,运用韦达定理,结合向量垂直的条件,属于中档题. 18. (12 分) 已知数列{an}满足: a1=1, 2an+1=2an+1, n∈N , 数列{bn}的前 n 项和为 Sn, Sn= (1﹣ ) ,n∈N
+ +

(1)求数列{an},{bn}的通项公式; + (2)设 cn=anbn,n∈N ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由 2an+1=2an+1,变形为 Sn= (1﹣ ) ,利用递推式可得 bn. ,利用等差数列的通项公式可得 an.由

(2)利用“错位相减法”、等比数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解: (1)∵2an+1=2an+1,∴ ∴数列{an}是等差数列,首项 a1=1,公差 d= . ∴an=1+ ∵Sn= (1﹣ ) , , )﹣ = . = . ,

∴当 n≥2 时,Sn﹣1= bn=Sn﹣Sn﹣1= (1﹣ 当 n=1 时, ∴ 综上可得:an= (2)cn=anbn= ∴数列{cn}的前 n 项和 Tn= = ∴ = + . , . .

= ,上式也成立.

+…+ +…+ +…+

, ,

=



= + ﹣ ∴Tn= ﹣

, .

点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“错位相减法”,考 查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19. (12 分)为保护环境,绿色出行,某高校今年年初成立自行车租赁公司,初 期投入 36 万元,建成后每年收入 25 万元,该公司第 n 年需要付出的维修费用记作 an 万元,已知{an} 为等差数列,相关信息如图所示. (1)设该公司前 n 年总盈利为 y 万元,试把 y 表示成 n 的函数,并求出 y 的最大值; (总盈 利即 n 年总收入减去成本及总维修费用) (2)该公司经过几年经营后,年平均盈利最大, 并求出最大值.

考点: 数列与不等式的综合;函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)由题意知,每年的费用是以 6 为首项,2 为公差的等差数列,即可把 y 表示 成 n 的函数,利用配方法求出 y 的最大值; (2)年平均盈利 =﹣(n+ )+20,利用基本不等式能求出这种设备使用 6 年,该公司的

年平均获利最大. 解答: 解: (1)由题意,每年的维修费是以 6 为首项,2 为公差的等差数列, ∴an=a1+2(n﹣1)=2n+4, ∴y=25n﹣ ﹣36=﹣n +20n﹣36=﹣(n﹣10) +64
2 2

∴n=10 时,y 的最大值为 64 万元; (2)年平均盈利 =﹣(n+ 当且仅当 n= )+20≤﹣2 +20=8,

,即 n=6 时,年平均收益最大.

所以这种设备使用 6 年,该公司的年平均获利最大. 点评: 本题考查数列在生产实际中的应用, 考查基本不等式的运用, 确定函数关系是关键.

20. (13 分) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为菱形, PA⊥平面 ABCD, ∠BAD=120°, E,F 分别为 BC,PC 的中点. (1)证明: AE⊥PD (2)若 PA=AB=4,求二面角 E﹣AF﹣C 的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)由已知条件推导出 AE⊥BC,AE⊥AD,由线面垂直得 PA⊥AE,由此能证明 AE⊥平面 PAD,则 AE⊥PD; (2)过 E 作 ES⊥AF 于 S,连接 OS,由已知条件得∠ESO 为二面角 E﹣AF﹣C 的平面角, 由此能求出二面角 E﹣AF﹣C 的余弦值. 解答: (1)证明:如图, 由四边形 ABCD 为菱形,∠BAD=120°, 可得∠ABC=60°,△ ABC 为正三角形. ∵E 为 BC 的中点,∴AE⊥BC. 又 BC∥AD,因此 AE⊥AD. ∵PA⊥平面 ABCD,AE?平面 ABCD,PA⊥AE. 而 PA∩AD=A,∴AE⊥平面 PAD, PD?面 PAD,∵AE⊥PD; (2)解:∵PA⊥平面 ABCD,PA?平面 PAC,∴平面 PAC⊥平面 ABCD. 过 E 作 EO⊥AC 于 O,则由面面垂直的性质定理可知:EO⊥平面 PAC, ∴EO⊥AF,过 E 作 ES⊥AF 于 S,连接 OS,AF⊥平面 ESO, ∴AF⊥SO,则∠ESO 为二面角 E﹣AF﹣C 的平面角. 在 Rt△ AOE 中,OE=AEsin30°= ,OA=AEcos30°=3, 又 F 是 PC 的中点,PA=AC,∴AF⊥PC 且 AF=FC, 在 Rt△ ASO 中,SO=AOsin45°= 又 SE= . ,

在 Rt△ ESO 中,cosESO=



即二面角 E﹣AF﹣C 的余弦值为 .

点评: 本题考查直线与平面垂直的证明, 考查二面角的余弦值的求法, 解题时要认真审