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高考数学


函数中存在性和任意性问题分类解析
湖北省阳新县高级中学 邹生书 全称量词、 特称量词以及全称命题和特称命题在近几年新课标高考卷和模拟卷中频频亮 相成为高考的热点问题.特别是全称量词”任意”和特称量词”存在”与函数情投意合风火情深, 火借风势、风助火威,大有逾演逾烈之势.两种量词插足函数,使得函数问题意深难懂神秘 莫测,问题显得更加扑朔迷离难度大增,同时题目也因此显得富有

变化和新意.解决这类问 题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目, 本文通过典型题目分类解析供参 考. 1. 数 在 , 上的值域 ,使得 的交集不空,即 ,等价于函数 . 在 上的值域 与函

例 1 已知函数 若存在 ,使得

和函数 成立,则实数 的取值范围是( )



解 设函数





上的值域分别为



,依题意

.



时,

,则

,所以



上单调

递增,所以



.



时,

,所以

单调递,所以



.

综上所述



上的值域

.



时,

,又

,所以

在在

上 单 调 递 增 , 所以



,故



上的值域

.

因为 2.对 函数 在 ,

,所以 ,使得 的子集,即



解得 ,等价于函数 .

,故应选 在

. 是

上的值域

上的值域

例 2(2011 湖北八校第二次联考)设 ①若 , ,使 成立,则实数 ,使得



.

的取值范围为___;②若

,则实数 的取值范围为___

解 ①依题意实数

的取值范围就是函数

的值域.设

,则问题转化为求函数 值不等式得, ,故实数 的取值范围是 . 的值域 是函数 的值域

的值域,由均

②依题意实数 的取值范围就是使得函数 的实数 的取值范围.由①知

的值域 , 则

的子集

, 易求得函数

当且仅当 例 3 已知



,故实数 的取值范围是 ,它们的定义域都是

. ,其中 是自然对数的底

数, 意的

.(1)求

的单调区间;(2)若 ,使

,且

,函数 ,求实数 的取值范围. 上 的值域

,若对任

,总存在

解 (1)略;(2)依题意实数 的取值范围就是使得在区间 的值域 的子集实数 的取值范围.



当 上单调递减,所以

时, 由 即

得 ,于是

, 故

在 .

因 ①当

,由 时,

得 ,故 在

. 上单调递增,所以



,于是

.因为

,则当且仅当

,即

.

②当

时,同上可求得

.

综合①②知所求实数 的取值范围是 3.已知 价于 是在闭区间 . 的上连续函, 则对 使得

. , 等

例 4 已 知 的极值点,求实数 成立,求实数 的取值范围. 解 (1) 略 ;(2) 对 . , 有

, 其 中

.(1) 若

是 函 数 都有

的 值 ;(2) 若 对 任 意 的

, 等 价 于





时, .

,所以



上单调递增,所以

因为

, 令



,又且



.

①当

时, .令

,所以 得 时

在在 这与 ,当

上单调递增,所以 矛盾。 时 ,所以 在

②当

时,当

上单调递减在

上单调递增,所以

.令







,所以



③当

时,

, 所以



上单调递减, 所以

.





,又

,所以



综合①②③得所求实数 的取值范围是 另解 同上求得 .由上知求 ,要证

。 时, ,即

需对参数 进行分类讨论过程繁而长,其实可避免分类讨 难求,将

论,不等式恒成立问题往往转化最值问题来解决,逆向思维,由于

退回到恒成立问题: 证 只需证当 时,

时,

即 恒成立,只需证

恒成立, .因为

,令



.当



,当



,故

,所以

,故所

求实数 的取值范围是



点评 这里“另解”将不等式恒成立问题与最值问题的单向转化变成双向转化,将一个 需要分类讨论的最值问题 转化为另一个不需要分类讨论的最值问题 .

练习:已知函数 经过点 ,且在点

, 处的切线线恰好与直线

,若函数 垂直.(1)求

的图象 的值;(2)求

函数

的在

上最大值和最小值; (3)如果对任意

都有

成立,求实数 的取值范围. 4.若对 在 , 上的最小值即 ,使 ,等价于 (这里假设 在 上的最小值不小于 存在)。

例 5(2010 年山东)已知函数

.(1)当

时,讨论

的 单 调 性 ;(2) 设 ,使

,当 ,求实数 的取值范围. 在

时,若对任意

,存在

解(1)略;(2)依题意

上的最小值不小于



上的最小值即

,于是问题转化为最值问题.

当 则当

时, 时, ;当

,所以 时, ,所以当

, 时,

.

, ①当

时, 可求得

, 由



这与

矛盾.②当

时, 可求得

, 由



这与

矛盾.③当

时, 可求得

, 由



.

综合①②③得实数 的取值范围是

.


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