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福建省晋江季延中学2014-2015学年高二下学期期中考试 数学理


福建省晋江市季延中学 2014-2015 学年高二年下学期期中 考试理科数学试卷
考试时间:120 分钟 满分:150 分

一,选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题所给的四个答 案中有且只有一个答案是正确的)
1. 在 100 件产品中有 6 件次品,现从中任取 3 件产品,至少有 1 件次品的不同取法的

种数 是( )
1 2 A. C6 C94 1 2 B. C6 C99 3 3 C. C100 ? C94
3 3 D. A100 ? A94

2 某次数学成绩 ? ~ N 90, ? 2 (? ? 0) ,显示 p ?70 ? ? ? 110 ? ? 0.6 ,则 P ?? ? 70 ? ? (

?

?



A . 0 .2 B. 0.3 C. 0.1 D. 0.5 3. 4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张 卡片上的数字之和为奇数的概率为( )

1 1 2 3 B. C. D. 3 2 3 4 6 4 4. (1 ? x ) (1 ? x ) 的展开式中 x 的系数是( ) A. ?4 B. ? 3 C.3 D.4
A. 5.给出下列五个命题: ①某班级一共有 52 名学生,现将该班学生随机编号,用 系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本,已知 7 号,33 号,46 号同学在样本中,那么样本另一位同学的编号为 23; ②一组数据 1、2、3、3、4、5 的平均数、众数、中位 数相同; ③一组数据 a、0、1、2、3,若该组数据的平均值为 1, 则样本标准差为 2; ④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得 的回归直线方程为

y ? bx ? a中, a ? 2 , x ? 1, y ? 3 ,则 b =1;
⑤如图是根据抽样检测后得出的产品样本净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,已 知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净重大于或等于 98 克,并且小于 104 克 的产品的个数是 90. 其中真命题为( ): A. ①②④ B. ②④⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ a a a2011 1 2 6. 若(1-2x)2011=a0+a1x+?+a2011x2011(x∈R),则 + 2+?+ 2011的值为 ( ) 2 2 2 A.-2 B.-1 C.0 D.2 )

?

7. 已知随机变量 η=8--ξ,若 ξ~B(10,0.6),则 Eη,Dη 分别是( A.6 和 2.4 B.2 和 5.6 C.6 和 5.6 D.2 和 2.4

8.设某种产品分两道工序生产,第一道工序的次品率为 10%,第二道工序的次品率为 3%.生

产这种产品只要有一道工序出次品就出次品,则该产品的次品率是(

)

A. 0.13

B.

0.03

C.

0.127

D.

0.873

9.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 10 个数字中任取 3 个不同的数字构成空间直角坐标系中的点 的坐标 ( x, y, z ) ,若 x ? y ? z 是 3 的倍数,则满足条件的点的个数为( A. 216 B. 72 C. 42 D. 252 )

10. 为调查某校学生喜欢数学课的人数比例,采用如下调查方法: (1)在该校中随机抽取 100 名学生,并编号为 1,2,3,??,100; (2)在箱内放置两个白球和三个红球,让抽取的 100 名学生分别从箱中随机摸出一球,记 住其颜色并放回; (3)请下列两类学生举手: (ⅰ)摸到白球且号数为偶数的学生; (ⅱ)摸到红球且不喜欢 数学课的学生. 如果总共有 26 名学生举手,那么用概率与统计的知识估计,该校学生中喜欢数学课的 人数比例大约是( ) A.88% B. 90% C. 92% D.94% 11.甲、乙两位同学玩游戏,对于给定的实数 a1 ,按下列方法操作一次产生一个新的实数: 由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币,如果出现两个正面朝上或两个反面朝上,则把 a1 乘 以 2 后再减去 12;如果出现一个正面朝上,一个反面朝上,则把 a1 除以 2 后再加上 12, 这样就可得到一个新的实数 a2 . 对 a2 仍按上述方法进行一次操作, 又得到一个新的实数

3 a3 . 当 a3 ? a1 时, 甲获胜, 否则乙获胜. 若甲获胜的概率为 , 则 a1 的取值范围是 4
( ) B. ?? ?,12? ? ?24,??? C. A. (12,24)

(12,18)

18,??? D. ?? ?,12? ? ?

12.在右图所示的电路中,5 只箱子表示保险匣,箱中所示数值表示通 电时保险丝被切断的概率,当开关合上时,电路畅通的概率是( )

29 551 29 B. C. 36 720 72 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
A. 13. ( x ?

D.

29 144

2 10 ) 展开式中的常数项等于_________. x2

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .

15. 如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色, 要求相邻区域不得使用同一颜色.现有 4 种颜色可供选择, 则不同的着色方法共有 ___ 种. 16.称集合 A= {1,,, 2 3 , 9} 的某非空子集中所有元素之和为奇数的集合为奇子集,问 A 共

有 _

个奇子集。 (用数字作答)

三、解答题(10+10+12+12+13+13=70 分,写出必要的解题过程)
17. (10 分)为了下一次的航天飞行,现准备从 10 名预备队员(其中男 6 人, 女 4 人)中选 4 人参加“神舟十一号”的航天任务。 (Ⅰ)若男甲和女乙同时被选中,共有多少种选法? (Ⅱ)若至少两名男航天员参加此次航天任务,问共有几种选法? (Ⅲ)若选中的四个航天员分配到 A、B、C 三个实验室去,其中每个实验室至少一个航天 员,共有多少种选派法?

18. (10 分)已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同的 2 个红球 和 n 个黑球( n 为正整数) .现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球,若取出的 4 个球均为黑球 的概率为

1 ,求 5

(Ⅰ) n 的值; (Ⅱ)取出的 4 个球中黑球个数大于红球个数的概率.

19, (12 分) 某普通高中为了了解学生的视力状况,随机抽查了 100 名高二年级学生和 100 名高三年级学生,对这些学生配戴眼镜的度数(简称:近视度数)进行统计,得到高二 学生的频数分布表和高三学生频率分布直方图如下:
0.003 近视度数 0–100 100–200 200–300 300–400 400 以上 频率/组距

a b
0.001 0.0005 0 100 200 300 400 500 600 近视度数

学生频数

30

40

20

10

0

将近视程度由低到高分为 4 个等级:当近视度数在 0-100 时,称为不近视,记作 0;当近视 度数在 100-200 时,称为轻度近视,记作 1;当近视度数在 200-400 时,称为中度近视,记 作 2;当近视度数在 400 以上时,称为高度近视,记作 3. (Ⅰ)从该校任选 1 名高二学生,估计该生近视程度未达到中度及以上的概率; (Ⅱ)设 a ? 0.0024 ,从该校任选 1 名高三学生,估计该生近视程度达到中度或中度以 上的概率; (Ⅲ)把频率近似地看成概率,用随机变量 X , Y 分别表示高二、高三年级学生的近视程

度,若 EX ? EY ,求 b . 20. (12 分)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5 ,购买乙种商品的概率 为 0.6 ,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的。 (Ⅰ)求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (Ⅱ)求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (Ⅲ)记 ? 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求 ? 的 分布列及期望。

21. (13 分)购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元,若投保人在购买 保险的一年度内出险,则可以获得 10000 元的赔偿金.假定在一年度内有 10000 人购买了这 种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10000 元 的概率为 1 ? 0.99910 . (Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率 p; (Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50000 元, 为保证盈利的期望不小于 0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).
4

22, (13 分)
m 0 m 规定Ax ? x( x ? 1) ?( x ? m ? 1), 其中x ? R,m为正整数,且 Ax = 1,这是排列数 An (n,m是正整数,

且m ? n)的一种推广。
3 (1)求A- 15 的值 m m?1 (2) 排列数的两个性质: ① An ? nAn ?1 m m?1 m ② An ? mA ? An n ?1 (其中n, m是正整数)。

m 是否都能推广到 Ax 的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明; ( x ? R, m是正整数)

若不能,则说明理由;
3 (3)确定 Ax 单调区间。

季延中学 2015 年春高二年期中考试数学(理)参考答案 一:CACBB BDCDB BA 14,A 15,72 16,256

二:13, 180

三: 17, (1)C82 ? 28————————3 分
2 2 3 1 4 (2)C6 C4 ? C6 C4 ? C6 ? 185 ——————6 分 4 2 3 (3) C10 C4 A3 ? 7560————————10 分

2 C32 ? Cn 1 18 解: (Ⅰ)? 2 ? ,? n ? 4 ————————————5 分 2 C4 ? Cn ? 2 5

(Ⅱ)设“从甲盒内取出的 4 个球中黑球个数大于红球个数”为事件 A ,则

P( A) ?

1 1 1 2 C32 ? C2 ? C4 ? C3 ? C4 1 2 ? ? .————————————10 分 2 2 C4 ? C6 5 3

19.解: (Ⅰ)设该生近视程度未达到中度及中度以上为事件 A ??????1 分 则 P( A) ?

30 ? 40 70 ? ? 0.7 100 100

??????3 分 ??????4 分 ??????7 分 ??????4 分

(Ⅱ)设该生近视程度达到中度或中度以上为事件 B 则 P( B) ? 1 ? 0.3 ? 0.24 ? 0.46 法 2:设该生近视程度未达到中度及中度以上为事件 A ∵ a ? 0.0024 ,

∴ (b ? 0.0005 ? 2 ? 0.001 ? 0.0024 ? 0.003) ?100 ? 1 , ∴ b ? 0.0026 , ∴ P( B) ? 0.26 ? 0.1 ? 0.05 ? 0.05 ? 0.46 (Ⅲ) EX ? 0 ? 0.3 ? 1? 0.4 ? 2 ? 0.3 ? 3 ? 0 ? 1, ??????6 分 ??????7 分 ??????9 分

EY ? 0 ? a ? 1? 0.3 ? 2 ? (b ?100 ? 0.1) ? 3 ? 0.1 ? 200b ? 0.8, ???11 分
∵ EX ? EY , ∴ 200b ? 0.8 ? 1 ,

∴ b ? 0.001 . 记 B 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买乙种商品,

??????12 分

20. 【解】 :记 A 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲种商品, 记 C 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种, 记 D 表示事件:进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种, (Ⅰ) C ? A ? B ? A ? B

P ? C ? ? P A ? B ? A ? B ? P A ? B ? P A ? B ? P ? A? ? P B ? P ? A? ? P B

?

?

?

? ?

?

? ?

? ?

? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5 ————————4 分
(Ⅱ) D ? A ? B

P D ? P A ? B ? P A ? P B ? 0.5 ? 0.4 ? 0.2 ,
(Ⅲ) ? ~ B(3,0.8) ,故 ? 的分布列 ————————————————8 分

? ?

?

?

? ? ? ?
,

P ? D ? ? 1 ? P D ? 0.8

? ?

P ?? ? 0? ? 0.23 ? 0.008
2 3 2

1 P ?? ? 1? ? C3 ? 0.8? 0.22 ? 0.096

P ?? ? 2? ? C ? 0.8 ? 0.2 ? 0.384

所以 E? ? 3 ? 0.8 ? 2.4 ——————————12 分 21.解:各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是 p ,记投保的 10 000 人中出险的 人数为 ? ,则 ? ~ B(104,p) . (Ⅰ)记 A 表示事件:保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金,则 A 发生当且仅当 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ? ? 0,·

,

P ?? ? 3? ? 0.83 ? 0.512

P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? P(? ? 0) ? 1 ? (1 ? p)10 ,
又 P( A) ? 1 ? 0.99910 , 故 p ? 0.001 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)该险种总收入为 10 000a 元,支出是赔偿金总额与成本的和. 支出 盈利 盈利的期望为
4
4

4

10 000? ? 50 000 ,

? ? 10 000a ? (10 000? ? 50 000) ,
E? ? 1 0 0 0a 0 ?
?3

1 0 0E ? 0? 0
?3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 5, 0· 0 0 0

由 ? ~ B(10 , 10 ) 知, E? ? 10 000 ?10 ,

E? ? 104 a ?104 E? ? 5 ?104 ? 104 a ? 104 ?104 ?10?3 ? 5 ?104 .

E? ≥ 0 ? 104 a ? 104 ?10 ? 5 ?104 ≥ 0
? a ? 10 ? 5 ≥ 0
. ? a ≥15 (元) 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分

0 1 在②中,当 m ? 1 时,左边 ? A1 x ? Ax ? x ? 1 ? Ax ?1 ? 右边,等式成立;

当 m ≥ 2 时,左边 ? x( x ? 1)( x ? 2)

( x ? m ? 1) ? mx( x ? 1)( x ? 2)

( x ? m ? 2)

? x( x ? 1)( x ? 2)

( x ? m ? 2)[( x ? m ? 1) ? m]

? ( x ? 1) x( x ? 1)( x ? 2) [( x ? 1) ? m ? 1] ? Axm?1 ? 右边,

? ? ?3 ? 3 3 ? 3 ? 3? 3 ? ?3? 3 3 ? ∞? 的增区间为 ? ∴ 函数 Ax ? ?∞, 3 ? ?,? ? 3 , ? ;减区间为 ? 3 , 3 ? . ??13 ? ? ? ? ? ?
分.


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