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北师大版(新课标)高中数学必修3第三章+概率单元检测卷


第三章 概率单元检测卷
姓名:___________ 学号:____________ 难度系数:0.5 评价:__________ 本试卷共三大题,总分 150 分,考试时间 120 分钟 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.从一批产品中取出三件产品,设 A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”, C=“三件产品至少有一件是次品”,则下列结论正确的是( A. A 与 C 互斥 C. B 与 C 互斥 B. 任何两个均互斥 D. 任何两个均不互斥 )

2.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件 A={抽到一等品} ,事件 B ={抽到二等品} ,事 件 C ={抽到三等品} ,且已知 P(A)= 0.65 ,P(B)=0.2 ,P(C)=0.1.则事件“抽到的不是一等品” 的概率为( A. 0.7 ) B. 0.65 C. 0.35 D. 0.3

3. 取一个正方形及其它的外接圆, 随机向圆内抛一粒豆子, 则豆子落入正方形外的概率为 ( )

2 ? D. ? ? 4 4.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6) ,
A.

2

B.

? ?2 ?

C.

骰子朝上的面的点数分别为 X、Y,则 log2 X Y ? 1 的概率为 ( A.



1 6

B.

5 1 1 C. D. 12 2 36

5.如图,A、B、C、D、E、F 是圆 O 的六个等分点,则转盘指针不落在阴影部分的概率为 F ( )

1 2 2 C. 3
A.

1 3 1 D. 4
B.

A O B C 第 5 题图

E

D

6. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数 字外完全相同.现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率 是( ) A.

3 10

B.

1 5

C.

1 10

D.

1 12

7.把一枚骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 m,第二次出现的点数 为 n.则两直线 mx+ny-1=O 与 2x+y-2=O 相交的概率为( ) A.

1 6

B.

2 3

C.

5 12

D.

11 12

8.设 M 是正△ PP 1 2P 3 及其内部的点所构成的集合,点 P 0 是正△ PP 1 2P 3 的中心,若集合

S ? ? P| P? M , P 0 P?
A.

i

P ,P ?i1 , 2 3 M 中任取一点落在 S 中的概率为( ? ,,在
C.



1 3

B.

1 4

2 3

D.

1 2

9.古代“五行”学说认为:物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木,木克土,土克 水,水克火,火克金,从五种具有不同属性的物质中任意选取两种,则这两种属性的物质不 相克的概率为( ) A.

3 10

B.

2 5

C.

1 2

D.

3 5

10. (2010·山东泰安宁阳一中高一期末考试)如图所示, OA ? 1 ,在以 O 为圆心,OA 为 半径的半圆弧长任取一点 B,则使 ?AOB 的面积大于等于 A.

2 3

B.

1 3

C.

1 4

1 的概率为( ) 4 1 D. 2
A

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在相应位置.) 11.在圆心角为 150°的扇形 AOB 中,过圆心 O 作射线交弧 AB 于 P,则同时满足:∠AOP ≥45°且∠BOP≥75°的概率为 . 12. 已知一颗粒子等可能地落入如右图所示的四边形 ABCD 内的任 意位置,如果通过大量的实验发现粒子落入△ BCD 内的频率稳 定在 为
B

D

2 附 近 , 那 么 点 A 和 点 C 到 时 直 线 BD 的 距 离 之 比 约 5
. . .

C

(第 12题图 )

13.甲、乙两人玩游戏,规则如框图所示,则甲胜的概率为 14.任取一正整数,则该数的平方的末位数是 1 的概率为

15.下列说法中正确的有 . ①平均数不受少数几个极端值的影响, 中位数受样本中的每一个数据 影响; ②抛掷两枚硬币,出现“两枚斗士正面朝上” 、 “两枚斗士反面朝上” 、 “恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大 ③用样本的频率分布估计总体分布的过程中, 样本容量越大, 估计越 准确; ④向一个圆面内随机地投一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,则该随 机试验的数学模型是古典概型. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分) (2010·安徽模拟)某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 秒之间,将测试结果按如下方式分成五组:每一组 ?13,14) ;第二组
0.38 0.32 频率 组距

13 秒与 18

?14,15) ??第五组 ?17,18? .下图是按上述分组方法得到的频率分布直

0.16

0.08 0.06 O

13

14

15

16

17

18



方图. (1)若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的 人数; (2)设 m 、 n 表示该班某两位同学的百米测试成绩,且已知 m, n ??13,14? ? ?17,18? , 求事件“ m ? n ? 1 ”的概率. 17.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,平面区域 W 中的点的坐标 ? x, y ? 满足

??1 ? x ? 2 ,从区域 W 随机取点 M ? x, y ? , ? ?0 ? y ? 2
(1)若 x ? Z , y ? Z ,求点 M 位于第一象限的概率; (2)若 x ? R, y ? R ,求 | OM |? 2 的概率.

18. (本小题满分 13 分) (2010·北京石景山区高三期末测试)联合国准备举办一次有关全 球气候变化的会议,分组研讨时某组有 6 名代表参加, A 、 B 两名代表来自亚洲, C 、 D 两名代表来自北美洲, E 、 F 两名代表来自非洲,小组讨论后将随机选出两名代表发言. (1)代表 A 被选中的概率是多少? (2)选出的两名代表“恰有 1 名来自北美洲或 2 名都来自非洲”的概率是多少? 19. (本小题满分 12 分)某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装 有编号为 0,1,2,3 四个相同小球的抽奖箱中,每次 取出一球记下编号后放回,连续取两次,若取出的两个 小球号码相加之和等于 6,则中一等奖,等于 5 中二等 奖,等于 4 或 3 中三等奖. (1)求中三等奖的概率; (2)求中奖的概率. 20. (本小题满分 13 分)育新中学的高二(1)班男同学有 45 名,女同学有 15 名,老师按 照分层抽样的方法组建了一个 4 人的课外兴趣小组. (1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数; (2)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先从 小组里选出 1 名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验, 求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率; (3)试验结束后,第一次做试验的同学得到的试验数据为 68, 70, 71, 72, 74 ,第二次做试验 的同学得到的试验数据为 69, 70, 70, 72, 74 ,请问哪位同学的实验更稳定?并说明理由. 21. (本小题满分 13 分)先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a , b . (1)设函数 f ( x) ? x ? a ,函数 g ( x) ? x ? b ,令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 F ( x) 有

且只有一个零点的概率; (2)将 a, b,5 的值分别作为三条线段的长,求这三条线段能围成等腰三角形的概率.

概率单元检测解析与答案
一、选择题 1.A 解析:事件 A 与 B 互斥,事件 A 与 C 对立,事件 B 与 C 不互斥,故选 A. 2.C 解析:抽到的产品不是一等品的概率为 1-0.65=0.35. 3.B.提示:所求概率为圆面积与正方形面积的差值除以圆面积. 4.C.提示:总事件数为 36 种.而满足条件的(x,y)为(1,2) , (2,4) , (3,6) ,共 3 种 情形. 5.B.解析:阴影部分的面积占整个转盘面积的

4 2 ? 故指针不落在阴影部分的概率为 6 3.

1?

2 1 ? . 3 3

6.A 解析:从五个球中任取两个共有 10 种情况,而 1+2=3,2+4=6,1+5=6,取出的小球 标注的数字之和为 3 或 6 的只有 3 种情况, 故取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概 率为

3 选 A. 10 3 11 ? . 6 ? 6 12

7.D 解析: 由两条直线相交得:m ? 2 n ,由于只有(2,1), (4,2), (6,3), 三对有序数对(m,n), 使 m ? 2 n , ∴P(B)= 1 ?

8.C. 9.C 解析:基本事件为金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土, 共 10 种,不相克的事件数为 5,故所求概率为 . 10.A 解析:由题意可知 S ?A0 B ?

1 2

1 1 OA ? OB sin ?AOB ? , 2 2

5? ? ? 1 ? 5? 6 ? 2. ] 之商,故所求概率为 6 若面积大于等于 ,则需 ?AOB 的范围在 [ , 4 6 6 ? 3
二、填空题 11.

1 5

解析:P 点只能在中间一段弧上运动,该弧所对的圆心角为 150°-45°-75°,

即就是 30°, 12. 13.

30 1 ? . 150 5

3 . 2

1 解析:由框图可以看出,甲胜即是取出的再球同色的时候,第一次取球,有 4 种取 2 法,第二次取球有 3 种取法,共有 4 ? 3 ? 12 种取法,第一次取红球有 3 种取法,第二
次取白球有 1 种取法,共有 3 种取法,第一次取白球有 1 种取法,第二次取红球有 3 种取法,故取出的两球不同色共有 3 ? 1 ? 1 ? 3 ? 6 (种)取法,因此取出的两球不同色

的概率为 14.

6 1 1 ? ,所以甲胜的概率为 . 12 2 2

1 解析:一个正整数的平方的末位数字只取决于该正整数的末位数,它必然是 0, 5 1,2,?,9 中的任意一个,因而基本事件为 ? ={1,2,3,?,9},共 10 个.正整
数的平方的末位数是 1 的事件 A={1,9},共 2 个.因为所有这些事件都是等可能基本事件, 故由概率的计算公式得 P( A) ? 15.③ 三、解答题 16.解析: (1)由直方图知,成绩在 14, 16? 内的人数为: 50 ? 0.16 ? 50 ? 0.38 ? 27 (人) 所以该班成绩良好的人数为 27 人. (2)由直方图知,成绩在 ?13,14? 的人数为 50? 0.06 ? 3 人, 设为 x 、 y 、 z ;成绩在 ?17,18? 的人数为 50? 0.08 ? 4 人,设为 A 、 B 、 C 、 D . 若 m , n ? ?13,14) 时,有 xy , xz , yz 3 种情况; 若 m , n 分别在 13,14? 和 17,18? 内时, A x y z 共有 12 种情况. 所以基本事件总数为 21 种,事件“ m ? n ? 1 ”所包含的基本事件个数有 12 种. ∴P( m ? n ? 1 )=
12 4 ? 21 7

2 1 ? . 10 5

?

若 m , n ? ?17,18? 时,有 AB , AC , AD , BC , BD , CD 6 种情况;

?

?

B xB yB zB

C xC yC zC

D xD yD zD

xA yA zA

17.解析: (1)若 x, y ? Z ,则点 M 的个数共有 12 个,列举如下: (-1,0) , (-1,1) , (-1,2) , (0,0) , (0,1) , (0,2) , (1,0) , (1,1) , (1,2) , (2, 0) , (2,1) , (2,2) ;当点 M 的坐标为(1,1) , (1,2) , (2,1) , (2,2)时,点 M 位 于第一象限,故点 M 位于第一象限得概率为

1 . 3

(2)如图,若 x, y ? R ,则区域 W 的面积是 3×2=6;满足 | OM |? 2 的点 M 构成的区域为

?EOA ? 600 . {( x, y) | ?1 ? x ? 2,0 ? y ? 2, x ? y ? 4} .即图中阴影部分, 易知 E(?1, 3) ,
所以阴影 BOE 的面积是

4? 3 ; ? EOA 的面积是 , 3 2

4? 3 ? 2 ? 8? ? 3 3 . 故: p (| OM |? 2) ? 3 6 36
18.解析: (1)从这 6 名代表中随机选出 2 名,共有 15 种不同的选法,分别为(A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,E) , (A,F) , (B,C),(B,D) , (B,E) , (B,F) , (C,D) , (C,E) , (C,F) , (D,E) , (D,F) , (E,F) . 其中代表 A 被选中的选法有(A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,E) , (A,F)共 5 种, 则代表 A 被选中的概率为

5 1 ? . 15 3

(2) 解法一: 随机选出的 2 名代表 “恰有 1 名来自北美洲或 2 名都来自非洲” 的结果有 9 种, 分别是(A,C) , (A,D) , (B,C),(B,D) , (C,E) , (C,F) , (D,E) , (D,F) , (E,F) . “恰有 1 名来自北美洲或 2 名都来自非洲”这一事件的概率为

9 3 ? . 15 5 8 ; 15

解法二:随机选出的 2 名代表“恰有 1 名来自北美洲”的结果有 8 种,概率为

1 . 15 8 1 3 ? ? . “恰有 1 名来自北美洲或 2 名都来自非洲”这一事件的概率为 15 15 5
随机选出的 2 名代表“都来自非洲”的结果有 1 种,概率为 19.解析: (1)设“中三等奖”为事件 A, “中奖”为事件 B, 从四个小球中有放回的取两个共有(0,0) , (0,1) , (0,2) , (0,3) , (1,0) , (1,1) (1, 2) , (1,3) , (2,0) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,0) , (3,1) , (3,2) , (3,3)16 种 不同的结果. 两个小球号码相加之和等于 4 的取法有 3 种: (1,3) , (2,2) , (3,1) 两个小球号相加之和等于 3 的取法有 4 种: (0,3) , (1,2) , (2,1) , (3,0) 由互斥事件的加法公式得

3 4 7 ? ? , 16 16 16 7 即中三等奖的概率为 . 16 P ( A) ?
(2)两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 4 种; 两个小球相加之和等于 4 的取法有 3 种; 两个小球号码相加之和等于 5 的取法有 2 种: (2,3) , (3,2) 两个小球号码相加之和等于 6 的取法有 1 种: (3,3) 由互斥事件的加法公式得:

P( B) ?

1 2 3 4 5 ? ? ? ? , 16 16 16 16 8

5 . 8 n 4 1 1 ? ? ? 某同学被抽到的概率为 , 20.解析: (1) P ? m 60 15 15 45 x ? ,? x ? 3 ? 男、女同学的人数分别为 3,1 设有 x 名男同学,则 60 4
即中奖的概率为 ( 2 ) 把 3 名 男 同 学 和 1 名 女 同 学 记 为 a1 , a2 , a3 , b , 则 选 取 两 名 同 学 的 基 本 事 件 有

(a1, a2 ),(a1, a3 ),(a1 , b),(a2 , a1 ),(a2 , a3 ),(a2 , b),(a3 , a1 ),(a3 , a2 ),(a3 , b), (b, a1 ),(b, a2 ),(b, a3 ) 共 12 种,其中有一名女同学的有 6 种

? 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 P ?

6 1 ? 12 2 68 ? 70 ? 71 ? 72 ? 74 69 ? 70 ? 70 ? 72 ? 74 ? 71 , x2 ? ? 71 (3) x1 ? 5 5

s12 ?

(68 ? 71)2 ? ? (74 ? 71) 2 (69 ? 71)2 ? ? (74 ? 71) 2 2 ? 4 , s2 ? ? 3.2 5 5

? 第二同学的实验更稳定.
21. 解析: (1) 先后 2 次抛掷一枚骰子, 将得到的点数分别记为 a , b ,事件总数为 6 ? 6 ? 36 . ∵函数 F ( x) 有且只有一个零点,

? 函数 f ( x) ? x ? a 与函数 g ( x) ? x ? b 有且只有一个交点,
所以 b ? a ,且 a, b ?{1, 2,3, 4,5,6} , ∴满足条件的情况有 a ? 2, b ? 1 ; a ? 3, b ? 1, 2 ; a ? 4, b ? 1, 2,3 ; a ? 5, b ? 1, 2,3, 4 ;

a ? 6, b ? 1, 2,3, 4,5 .共 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 15 种情况.
∴函数 F ( x) 有且只有一个零点的概率是

15 5 ? . 36 12

(2)先后 2 次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a , b ,事件总数为 6 ? 6 ? 36 .

b ? 5 , (1,5,5) , ∵三角形的一边长为 5 ∴当 a ? 1 时,

1 种 ; 当 a ? 2 时, b ? 5, (2,5,5) ,

1 种; 当 a ? 3 时,b ? 3,5 ,(3,3,5) ,(3,5,5) , 2 种; 当 a ? 4 时,b ? 4,5 ,(4, 4,5) ,

(4,5,5)

, 2 种 ; 当 a ? 5 , b ? 1, 2,3, 4,5,6 , (5,1,5) , (5, 2,5) , (5,3,5) ,

(5, 4,5) , (5,5,5) , (5, 6,5) , 6 种; 当 a ? 6 , b ? 5, 6 , (6,5,5) , (6,6,5) , 2 种

故满足条件的不同情况共有 14 种, 答:三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为

14 7 ? . 36 18


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