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黑龙江省大庆市2015届高三第二次教学质量检测(二模)数学(理)试题 Word版含答案


大庆市高三年级第二次教学质量检测试题



学(理科)
201501

注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,

用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
2 (1)已知集合 A ? x x ? 3x ? 2 ? 0 ,集合 B ? x log x 4 ? 2 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

(A) ??2,1, 2? (2)

(B) ?1, 2?

(C) ??2, 2?

(D) ?2?

1 的共轭复数为 1? i

1 1 1 1 ? i (D) ? i 2 2 2 2 sin 2? (3)已知 tan ? ? 2 ,则 的值为 cos 2 ? (A) 2 (B) 3 (C) 4
(A) 1 ? i (B) 1 ? i (C)

(D) 6 (4)如图,网格上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则 几何体的表面积为 (A) 32 ? 4? (B) 24 ? 4? (C) 12 ?

4? 3

(D) 24 ?

4? 3

(5)执行如图所示的程序框图,输出的 T ? (A)29 (B)44 (C)52

(D)62

-1-

开始 S ? 3, n ? 1,T ? 2

T ? 2S ?

S ? S ?3 n ? n+1 T ? T +3n



输出T
结束

(6)下列说法不正确的是 (A)命题”若 x ? 0且y ? 0 ,则 x ? y ? 0 ” 的否命题是假命题 (B)命题“ ?x0 ? R , x02 ? x0 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”
2

(C) “? ?

?
2

”是“ y ? sin(2 x ? ? ) 为偶函数”的充要条件

(D) ? ? 0 时,幂函数 y ? x? 在 (0, ??) 上单调递减

?y ? x ? (7)已知某线性规划问题的约束条件是 ?3 y ? x ,则下列目标函数中,在点 (3,1) 处取得最 ? ?x ? y ? 4
小值是 (A) z ? 2x ? y (C) z ? ?1 x? y

z ? 2x ? y (B)

2

z ? ?2 x ? y (D)
5 , 则 S5 ? 4

(8) 等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 已知 a2a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2a7 的等差中项为 (A)29 (9)函数 y ? (B)31 (C)33 (D)36

cos 6 x 的图像大致为 2 x ? 2? x

-2-

(10)已知函数 f ( x) ? (A) (0, )

x ? a x ,若
1 1 , ) 16 4

1 4

(B) (

1 1 ? a ? ,则 f ( x) 零点所在区间为 16 2 1 1 1 (C) ( , ) (D) ( ,1) 4 2 2

(11)如图,已知椭圆 C 的中心为原点 O , F (?2 5,0) 为 C 的左焦点, P 为 C 上一点,满足

| OP |?| OF | 且|PF| ? 4 ,则椭圆的方程为
(A)

x2 y 2 ? ?1 25 5 x2 y 2 ? ?1 30 10
2

(B)

x2 y 2 ? ?1 36 16 x2 y 2 ? ?1 45 25
2

(C)

(D)

( 12 )设函数 f ( x) ? cos x ? 4t sin

x 3 ?t ? 3 t (x ? R ), 其中 | t ? | 将 1, f ( x) 2

的最小值记为 g (t ) ,则函数 g (t ) 的单调递增区间为 (A) ( ??, ? ]和 [1, ??)

1 3

(B) [ ?1, ? ]

1 3

(C) [ , ??)

1 3

(D) [ ? ,1]

1 3

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~(21)题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) (13)

?

1 0

(e x ? 2 x ) dx ? _______.

(14 设两个非零向量 a 与 b ,满足 | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | , ,则向量 a ? b 与 a ? b 的夹角等于 _______. ( 15 ) 函 数 y ? l o g x ? 2? ) a 1(? 且0a ? 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线 a (

mx ? ny ? 2 ? 0 上,则 m 2 ? n 2 的最小值为_______.
(16)若实数 x , y 满足方程 2 x ? e
x ? y ?1 xy ? e x ? y ?1 ( e 是自然对数的底) ,则 e ? _______.

三. 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)已知公差不为 0 的等差数列 {an } 满足 S7 ? 77 ,且 a1 , a3 , a11 成等比数列.
-3-

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? 2 n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
a

(18)在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a , b , c , a ? b ? 6ab cos C ,且
2 2

sin 2 C ? 2sin Asin B .
(1)求角 C 的值; (2)设函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
6

) ? cos ? x(? ? 0) ,且 f ( x) 图象上相邻两最高点间的距离为

? ,求 f ( A) 的取值范围.
(19)如图,平面 ABEF ? 平面ABC ,四边形 ABEF 底面为矩形,

AC ? BC , O 为 AB 的中点, OF ? EC .
(1)求证: OE ? FC ; (2)若 AB ? 2, AC ? 3 ,求二面角 F ? CE ? B 的余弦值 (20)抛物线 M : y 2 ? 2 px( p ? 0) 准线过椭圆 N :

4x2 ? y 2 ? 1 的左焦点,以原点为圆心, 5

以 t (t ? 0) 为 半径 的圆 分别 与抛物 线 M 在 第 一象 限的 图像以 及 y 轴 的 正半 轴相 交于点

A和B ,直线 AB 与 x 轴相交于点 C
(1)求抛物线 M 的方程 (2)设点 A 的横坐标为 a , 点 C 的横坐标为 c , 抛物线 M 上点 D 的横坐标为 a ? 2 , 求直线 CD 的斜率 (21)已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ax ? x, a ? R .
2

(1)当 a ?

1 时,求函数 y ? f ( x) 的极值 4

(2)若对任意实数 b ? (1, 2) ,当 x ? (?1, b] 时,函数 f ( x ) 的最大值为 f (b) ,求 a 的取值范 围

-4-

请考生在第(22)~(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 为圆的内接三角形, AB ? AC , BD 为圆的弦,且

BD // AC ,过点 A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点 E , AD 与 BC
交于点 F . (1)求证:四边形 ACBE 为平行四边形; (2)若 AE ? 6 , BD ? 5 ,求线段 CF 的长. (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知圆锥曲线 C : ?

? ? x ? 2cos ? ( ? 为参数)和定点 A(0, 3) , F 1 、 F2 是此圆锥曲线的左、 ? ? y ? 3 sin ?

右焦点,以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线 AF2 的直角坐标方程;

M 、 N 两点,求 | MF (2)经过点 F 1 且与直线 AF 2 垂直的直线 l 交此圆锥曲线于 1 | ? | NF 1|
的值. (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | , g ( x) ? ? | x ? 3 | ? m . (1)若关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 的解集为 [?5, ?1] ,求实数 m 的值; (2)若 f ( x ) 的图象恒在 g ( x) 图象的上方,求实数 m 的取值范围.

-5-

大庆市高三年级第二次教学质量检测理科数学参考答案
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 B 9 A 16. 1 10 C 11 B 12 B 答案 B D C A A C D 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. e 14. 120? 15. 2 三.解答题(本题共 6 大题,共 70 分) 17(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由等差数列 {an } 满足 S7 ? 77 知, 7a4 ? 77 ,所以 a1 ? 3d ? 11 . ①
2 因为 a1 , a3 , a11 成等比数列,所以 a3 ? a1a11 ,整理得 2d 2 ? 3a1d ,











{an }

公 ①





为 ②

0





以 解

2d ? 3a1

. 得 以

② ????????2 分 联 立 a1 ? 2, d ? 3 . 所

????????4 分 ????????6 分

an ? 3n ? 1 .
(Ⅱ)因为 bn ? 2 ,所以
an

bn ? 23n ?1 ?

1 n ?8 , 2

????????8 分

所以数列 {bn } 是以 4 为首项, 8 为公比的等比数 列,
????????10 分

由等比数列前 n 项和公式得,

4(1 ? 8n ) 23n ? 2 ? 4 Tn ? ? . 1? 8 7
18.(本小题满分 12 分)

????????12 分

解: ( I ) 因 为 a ? b ? 6ab cosC , 由 余 弦 定 理 知 a ? b ? c ? 2ab cosC , 所 以
2 2 2 2 2

cosC ?
2

c2 ,?1 分 4ab
又 因 为

sin 2 C ? 2 sin A sin B
????????2 分















得 以

c ? 2ab ,


c C?
分 因

c 2ab 1 ? ? , 4ab 4ab 2

2

o ???????? 4
为 0 5 ???????? 以

C ?( ? ,
分 所

C?

?
3

.

????????6

-6-

分 ( Ⅱ )

? 3 3 ? f ( x) ? sin(? x ? ) ? cos ? x ? sin ? x ? cos ? x ? 3 sin(? x ? ) , ? ? ? ? ? 6 2 2 3
???8 分 由 已 知 ????????9

2?

?


? ? ,? ? 2 ,
3 sin(2 A ? ), 3

则 f ( A) ?

?

2 因为 sin C ? 2sin A sin B , C ?

?
3



所以 2sin A ? sin( 因 为

2? 3 ? 1 ? A) ? ,整理得 sin(2 A ? ) ? . 3 4 6 4 2? ? ? 7? 0? A? ? ? 2A ? ? , 所 以 3 6 6 6







? 15 . ????????10 分 cos(2 A ? ) ? ? 6 4
f ( A) ? 3 sin(2 A ? ) ? 3 sin(2 A ? ? ) 3 6 6

?

?

?

? 3 ? 1 ? 3[sin(2 A ? ) ? ? cos(2 A ? ) ? ] 6 2 6 2
① f ( A) ? 3( ?

1 3 15 1 3 ? 3 5 ? ? )? , 4 2 4 2 8 1 3 15 1 3 ? 3 5 ? ? )? , 4 2 4 2 8
的 取 值 范 围 是

② f ( A) ? 3( ? 故

f ( A)

{

3?3 5 3?3 5 , }. 8 8

????????12 分

19(本小题满分 12 分) (I)证明:连接 OC ,因为 AC ? BC , O 是 AB 的中点,故 OC ? AB . 又因为平面 ABEF ? 平面 ABC ,面 ABEF ? 面 ABC ? AB , OC ? 面 ABC , 故 OC ? 平面 ABEF . ABEF OF ? 因 为 面 , 于 是 OC ? OF . ????????2 分 又 OF ? EC , OC ? EC ? C , 所 以 OF ? 平 面 O E C , 所 以 O F ? O E . ???????? 4分
-7-

O

又 F , 所





O ? C

O ,

EOF ? OC ? O





OE ?



面 以

C
.

????????5 分

O ?

E 6分 ????????

(Ⅱ)由( I )得, AB ? 2 AF ,不妨设 AF ? 1, AB ? 2 ,取 EF 的中点 D ,以 O 为原点,

AC 3 , 所以, ? AB 2 于是有 F (0, ?1,1), E(0,1,1), B(0,1,0), C( 2,0,0) , 从而 CE ? (? 2,1,1,) , OC ? 2 ,
建立空间直角坐标系。 因为 OC, OB, OD 所在的直线分别为 x, y , z 轴,

? ?n ? CE ? 0 EF ? (0, ?2,0) ,设平面 FCE 的法向量 n ? ( x, y, z) ,由 ? ? ?n ? EF ? 0 ? ?? 2 x ? y ? z ? 0 得 ? ? ? ?2 y ? 0 ??????????9 分 n ? (1,0, 2) ,
同理,可求得平面 BCE 的一个法向量 m ? (1, 则



2,0) ,设 m, n 的夹角为 ? ,
??????????11 分

cos ? ?

m?n

1 ? , m n 3
F ? C ?E

由 于 二 面 角

B 钝 二 面 角 , 所 以 所 求 余 弦 值 为 为

1 ? . 3

??????????12 分

20(本小题满分 12 分) 解: (错误! 未找到引用源。 ) 因为椭圆 N : 可得 p ? 1 , 故 抛 物 线 方 程 为

1 p 1 4x2 ? y 2 ? 1的左焦点为 (? , 0) , 所以 ? ? ? , 2 2 2 5

y2 ? 2x .

??????????4 分
2 2

(错误!未找到引用源。 ) 由题意知, A(a, 2a ) ,因为 OA ? t ,所以 a ? 2a ? t , 由 ① 于

t?0







t ? a2 ? 2a

??????????6 分

由点 B(0, t ), C (c, 0) 的坐标知,直线 BC 的方程为 又 因 为 点

A





x y ? ?1, c t BC 线 上







a 2a ? ? 1, c t

??????????8 分

-8-

将①代入上式,得 解

a 2a ? ? 1, c a(a ? 2)

???????? a?

c?

2



2

??10 分

又因为 D(a ? 2, 2(a ? 2)) 或 D(a ? 2, ? 2(a ? 2)) , 所以直线 CD 的斜率

kCD ?


2(a ? 2) 2(a ? 2) 2(a ? 2) ? ? ? ?1 a ? 2 ? c a ? 2 ? [a ? 2 ? 2(a ? 2)] ? 2(a ? 2)

kCD ?

? 2(a ? 2) ? 2(a ? 2) ? 2(a ? 2) ? ? ?1. a?2?c a ? 2 ? [a ? 2 ? 2(a ? 2)] ? 2(a ? 2)

?????

?12 分

21(本小题满分 12 分) ( 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。) 当 a ?

1 时 , f 4

? x ??l n ?

1 x ? ?1 ? 4

2

x ?, x , 则

f '( x) ?


1 1 ? x ?1, x ?1 2
理 得

f'x ?

x( x ? 2 x?

x?? ,

(

1 (

)1 分 ??????????

) 1

令 f '( x) ? 0 得 x ? 0 , x ? 1 , 当 x 变化时, f '( x), f ( x) 变化如下表:

x

(?1, 0)

0

(0,1)

1

(1, ??)

f '( x)

?

0

?

0

?

f ( x)

极大值

极小值

-9-

??????? ???3 分

计算得 f (0) ? 0 , f (1) ? ln 2 ?

3 , 4

所 以 函 数 y ? f ( x) 在 x ? 0 处 取 到 极 大 值 0 , 在 x ? 1 处 取 到 极 小 值

ln 2 ?

3 . ?????????4 分 4
x(2ax ? (1 ? 2a)) , x ?1

(错误!未找到引用源。 )由题意 f '( x) ?

(1)当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (?1, 0) 上单调递增,在 (0, ??) 上单调递减,此时,不存在实

b , 时] , 函 数 数 b ? (1, 2) , 使 得 当 x ? (? 1
f (b) .
?????????6 分

f ( x) 的 最 大 值 为

(2)当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,有 x1 ? 0 , x2 ? (错误!未找到引用源。 )当 a ? 意.
?????????7 分

1 ? 1, 2a

1 时,函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 上单调递增,显然符合题 2

(错误!未找到引用源。 )当

1 1 1 ? 1 ? 0 即 0 ? a ? 时,函数 f ( x) 在 (?1, 0) 和 ( ? 1, ??) 2 2a 2a

1 ? 1) 上单调递减, f ( x) 在 x ? 0 处取得极大值且 f (0) ? 0 ,只 2a 1 需 f (1) ? 0 , 解 得 a ? 1 ? ln 2 , 又 1 ? l n 2? , 所 以 此 时 实 数 a 的 取 值 范 围 是 2 1 1 ? ln 2 ? a ? . ?????????9 分 2 1 1 1 ? 1 ? 0 即 a ? 时,函数 f ( x) 在 (?1, ? 1) 和 (0, ??) 上 (错误!未找到引用源。 )当 2 2a 2a
上单调递增,在 (0, 单调递增,

1 ? 1, 0) 上单调递减,要存在实数 b ? (1, 2) ,使得当 x ? (?1, b] 时,函数 f ( x) 的 2a 1 ? 1) ? f (1) , 最大值为 f (b) ,需 f ( 2a 1 ? ln 2 ? 1 ? 0, (*) 代入化简得 ln 2a ? 4a 1 1 1 1 ? ln 2 ? 1 ( a ? ) ,因为 g '(a ) ? (1 ? ) ? 0 恒成立, 令 g (a ) ? ln 2a ? 4a 2 a 4a 1 1 1 故恒有 g (a ) ? g ( ) ? ln 2 ? ? 0 ,所以 a ? 时, (*) 恒成立, 2 2 2
在( 综

[ ? 1

上 l .?







n ?

a
- 10 -













2

,

) ????????? 12 分

(22) (本小题满分 10 分)

BAE= ACB . 解: (Ⅰ)因为 AE 与圆相切于点 A ,所以 行 ABC= ACB ,所以 行 ABC= BAE , 因为 AB=AC ,所以 行 所



A ∥

. 因 为

E 3分 ????????? B ∥ D A,C 所 以 四 边 形
ACBE
为 平 行 四 边

形.

????????? 5 分

(Ⅱ)因为 AE 与圆相切于点 A ,所以 AE 2 = EB ?( EB 即

BD) ,
解 得

62 = EB ?( EB

5)



BE = 4 ,

?????????7 分

根据(Ⅰ)有 AC = BE = 4, BC = AE = 6 ,

∥ A C, 得 设 CF ? x , 由 B D
8 CF ? .?10 分 3
(23) (本小题满分 10 分) 解 : ( Ⅰ ) 曲

AC CF 4 x 8 = ,即 = ,解得 x ? ,即 5 6- x BD BF 3

线

? ? x ? 2 cos ? C :? ? ? y ? 3 sin ?







x2 y 2 ? ? 1, 4 3
其 轨 迹 为

?????????2 分













F1 (?1,0), F2 (1,0) .
经 过

?????????3 分

A( 0 ,

和 3 F ) 2 (1, 0)

的 直 线 方 程 为

x y ? ?1 , 即 1 3

3x ? y ? 3 ? 0 .

??????5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,直线 AF2 的斜率为 ? 3 ,因为 l ? AF2 ,所以 l 的斜率为 角为 30 ? ,

3 ,倾斜 3

- 11 -





l













? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 ? ?y ? 1 t ? ? 2
方 程



t





数) , 代 入

?????????7 分





C









13t 2 ?12 3t ? 36 ? 0 .
因 为

?????????8 分

M, N





F1













MF1 ? NF1 ? t1 ? t2 ?

12 3 . ?????????10 分 13

(24) (本小题满分 10 分) ( Ⅰ ) 因 为

g( x ? ) ?

x ?3

? m, 0 ?所 以

x ?3 ? m , 所 以

?m ? 3 ? x ? m ? 3 ,?????3 分
由 题 意 知

??m ? 3 ? ?5 ? ?m ? 3 ? ?1







m?2.

?????????5 分

(Ⅱ)因为 f ( x ) 图象总在 g ( x) 图象上方,所以 f ( x) ? g ( x) 恒成立, 即 立,

x?2 ? x?3 ? m
?????????7 分





因为 x ? 2 ? x ? 3 ? ( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 5 , 当且仅当 ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 时等式成 立,?9 分 所 以

m













(??,5) .

?????????10 分

- 12 -


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