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2006年福建省数学竞赛高一


32

中 等 数 学

2006 年福建省数学竞赛 ( 高一)
, 一 填空题 ( 每小题 5 分 ,共 60 分)
1. 满足
n为
2

范围是
3 2

.
2

n + 99 -

n

< 1 的最小正整数

10. 若关于 x 的方程
x - ax - 2 ax + a - 1 = 0

. 2. 对于实数 s , ,代数式 t 6 t + 3 s - 4 st - 8 t + 6 s + 5
2

恰有一个实数根 , 则实数 a 的取值范围是
. 11. 正整数 1 ,2 , …,2 006 中 , 能表示为
mn + 1 ( m , ∈N+ ) 的有 n m+ n

的最小值是
x+ y

. 2 xy . x+ y
y = x

3. 设 x , 是正实数 , y
A=

个.
n

2

,H=

12. 使得 3

1 024

- 1 能被 2 整除的最大的 .

正整数 n 为
.

若 A + H = y - x ,则

二, 解答题 ( 每小题 15 分 ,共 60 分)
13. 设 a , , 为正数 . 求 b c
u= a+ b + c b+ c a c+ a b

4. 若 △ABC 的边 BC , 上的中线长分 CA

别为 m , , 则 △ABC 的 面 积 的 最 大 值 为 n
. 1 (z > 5. 若 cos x = 0 , 且 cos ( x + z ) = 2 0) ,则满足上述条件的 z 的最小值为 6. 已知方程组 log225 x + log64 y = 4 , log x 225 - log y 64 = 1 .

+

的最小值 ( [ x ] 表示不超过 x 的最大整数) .
14. 设 m ∈N+ , 数列 a0 , a1 , …, am 满足
a0 = 37 , a1 = 72 , am = 0 , 且 ak + 1 = ak - 1 -

3
ak

的解

( k = 1 ,2 , …, m - 1) . 求 m 的值 . 15. 如 图 1 , ⊙O 为



x = x1 , y = y1



x = x2 , y = y2 .

则 log30 ( x1 x2 y1 y2 ) =

△ABC 的 外 接 圆 , AM ,
AT 分别为中线和角平分

. 7. 已知 { an } 是一个等差数列 , a1 = 19 ,
a26 = - 1. 设 A n = an + an + 1 + … + an + 6 ( n ∈

线 , 过点 B , 的 ⊙O 的 C 切线 相 交 于 点 P , 联 结
A P ,与 BC 和 ⊙O 分别相

N+ ) . 则| A n | 的最小值是

.

交于点 D , . 求证 : 点 T E 是 △AM E 的内心 .

图1

8. 已知集合 A = {1 ,2 , …,10} , f 是 A →A

的映射 ,当 a , ∈A ( a ≠b) 时 , f ( a ) ≠f ( b) , b 且对 于 任 意 一 个 i ∈ A , 都 有 f ( i ) ≠ i ,
f ( f ( i ) ) = i . 则这样的映射 f 有

16. 将集合 S = {1 ,2 , …,36} 分拆为 k 个

互不相交的非空子集 A 1 , A 2 , …, A k 的并 . 若 对于每一个 A i ( i = 1 ,2 , …, k ) , 其中任意两 个不同的元素的和都不是完全平方数 , 求 k 的最小值 .

个.

π 9. 设实数 t 满足 0 ≤t ≤ . 若关于 x 的 方程 sin ( x + t ) = 1 - sin x 无解 ,则 t 的取值

2006 年第 10 期

33 6. 12.

参考答案
一 , 2 402. 1. 原不等式等价于
n + 99 < n + 2 n + 99 < n + 1 ,则有

设 a = log225 x , b = log64 y . 则原方程组变形为
a+ b=4,

1
a

-

1
b

= 1.

n + 1.

解得 n > 49. 所以 , n ≥ 2 + 1 = 2 402. 49
8 2. . 7

解得

a1 = 3 + 5 , b1 = 1 - 5
6 12



a2 = 3 - 5 , b2 = 1 + 5.

所以 ,由 log225 x1 x2 = a1 + a2 = 6 ,得
x1 x2 = 225 = 15 ;
2

由 6 t 2 + 3 s2 - 4 st - 8 t + 6 s + 5
2t - 3 =3 s 3
2

14 + 3

3 t7

8 + , 7

由 log64 y1 y2 = b1 + b2 = 2 ,得 y1 y2 = 642 = 212 . 故 log30 x1 x2 y1 y2 = 12.
7. 7 . 5 4 .则 5

2t 3 3 5 知当 s = - 1,t = ,即 t = ,s = 时 , 上式 3 7 7 7

最小 .
3. 3 + 2 3.

由 a26 = a1 + 25 d ,得 d = x+ y

由题设知
2

2
2

+

2 xy = y - x . 于是 , x+ y

A n = 7 an + 21 d = 7 a1 + 7 ( n - 1) d + 21 d

=

3 x + 6 xy - y = 0 ,

7 (87 - 4 n) . 5



y x

2

- 6

y x

因为 n ∈N+ ,所以 ,| 87 - 4 n| ≠ 0.
7 故| 87 - 4 n| ≥ 于是 ,| A n | ≥ . 1. 5

- 3 = 0.

解得
4.

y = 3 ± 3 ( 负值舍去) . 2 x

当 n = 22 时 ,| A n | =
8. 945.

2 mn . 3

7 . 5

如图 2 ,设边 BC , 上 CA 的中线分别为 AM , , 它 BN 们的交点为 G ,于是 ,
AG = BG =

对每个映射 f , 可把集合 A 中的元素两两配对 { i , j} ,使得 f ( i ) = j , f ( j) = i . 这样 ,求映射 f 的个数 等价于求把集合 A 分拆成 5 个互不相交的二元子集 的分法数 . 可与 1 配对的有 9 个元素 , 接着有 7 个元素可
图2

2 m, 3 2 n. 3

以与剩余的最小元素配对 , …… 故共有 9 × × × × = 945 ( 种) . 7 5 3 1
9.

所以 , S △ABG ≤ 1 AG· = 2 mn . BG 2 9 则 S △ABC = 2 S △ABM = 3 S △ABG ≤ 2 mn . 3 当 AM ⊥BN 时 ,上式等号成立 .
5.

π 2 π <t≤. 3
t t

原方程为 sin ( x + t ) + sin x = 1 ,即
2sin x + 2

· cos

2

= 1.

π . 6

当 cos 当 cos

t

2 2

= 0 时 ,方程无解 ; 2 = 1 2cos
t

由题设得
1 = cos x · z - sin x· z = - sin x · z . cos sin sin 2

t ≠ t 0 时 ,sin x +

,当且仅

2

当上式右端取值在 [ - 1 ,1 ] 中时 ,原方程有解 . π 又 0 ≤t ≤ ,所以 ,0 < cos 故当 0 ≤ cos 无解 .
t t

而由 cos x = 0 ,得 sin x = 1 或 sin x = - 1. π 1 7 当 sin x = 1 时 ,sin z = , z 的最小值为 ; 2 6 当 sin x = - 1 时 ,sin z = π 1 , z 的最小值为 . 2 6

2

<

1 . 2

2

<

π π 1 t ≤ ,即 < 时 ,原方程 2 3 2 2

34

中 等 数 学 π 2 π < t≤. 3
15. 先证明 AT 是 ∠MA E 的平分线 ,即证

所以 , t 的取值范围是
3 10. a < . 4

∠BAM = ∠CA P. 如图 3 , 作 CF ⊥AB , 垂 足为 F ,联结 MF. 则
FM =

将原方程写成关于 a 的一元二次方程 2 2 3 a - ( x + 2 x ) a + ( x - 1) = 0 , 即 a - ( x + 2 x ) a + ( x - 1) ( x + x + 1) = 0 , 则 [ a - ( x - 1) ] [ a - ( x2 + x + 1) ] = 0. 所以 , x2 + x + 1 - a = 0 无实数解 . 由判别式即知 a <
11. 2 006. 3 . 4
2 2 2 2

1 BC = MC . 2

又 ∠BAC = ∠BCP ,则
FA = cos ∠BAC AC

= cos ∠BCP =
CM FM = . PC PC FA CA = . FM CP
图3

事实上 ,对于任意正整数 a ,令 m = a + a - 1 ,
n = a + 1. 则 m , 是正整数 ,且 n
2 mn + 1 ( a + a - 1) ( a + 1) + 1 = = a. 2 m+ n a + a- 1+ a+1

所以 ,

又 ∠A FM = 180° ∠B FM = 180° ∠FBC = ∠ACP , -

12. 12. 3
1 024 512 256 - 1 = (3 + 1) (3 + 1) …(3 + 1) (3 - 1) .

所以 , △A FM∽ △ACP. 则 ∠BAM = ∠CA P. ① 再证明 MD 是 ∠AME 的平分线 . 如图 4 , 由 于 M 是 BC 的中 点 , 所 以 , PO 经 过 点
M , 且 OP ⊥ BC . 联 结 OA , OC , . OE

而对于整数 k ≥ ,有 1
3
2
k

+ 1 ≡( - 1)

2

k

+ 1 = 2 (mod 4) .

所以 ,式 ① 右边的 11 个括号中 , ( 3 + 1) 是 4 的 倍数 ,其他的 10 个都是 2 的倍数 ,但不是 4 的倍数 . 故 n 的最大值为 12. 二 , 对于实数 x ,有 [ x ] > x - 1 ,所以 , 13. a+ b b+ c c+ a u= + +
c a b

由切割线定理 及 射 影 定理 ,可得
PE· = PC PA
2

= PM· . PO

> =

a+ b b+ c c+ a + + - 3 c a b a b + b a

所以 , M , , , 四点 O A E 共圆 . 于是 ,
+
c a + a c

图4

+

b c + c b

- 3

∠OMA = ∠OEA = ∠OA E = ∠PME. 故 ∠AMD = ∠EMD ,即点 T 是 △AME 的内心 . 说明 : 只证明出一条角平分线的给 10 分 .
16. 首先 ,考虑数 6 ,19 ,30.

≥ + 2 + 2 - 3 = 3. 2 由于 u 是整数 ,所以 , u ≥ 4. 当 a = 6 , b = 8 , c = 9 时 , u = 4. 故 u 的最小值为 4.
14. 因为 am = am - 2 am - 2 am - 1 = 3.

因为 6 + 19 = 52 ,6 + 30 = 62 ,19 + 30 = 72 , 所以 , 这三个数必须属于三个不同的子集 . 于是 , k ≥ 3. 另一方面 ,集合 S = {1 ,2 , …,36} 可以分拆为三 个互不相交的非空子集 A 1 , 2 , 3 的并 , 使得它们 A A 满足题设条件 . 令
A 1 = {4 k + 3| 0 ≤k ≤ ∪ ,8 ,16 ,24 ,36} , 8} {4 A 2 = {4 k + 1| 0 ≤k ≤ ∪ ,14 ,18 ,26 ,34} , 8} {6 A 3 = {2 ,10 ,12 ,20 ,22 ,28 ,30 ,32}.

3
am - 1

= 0 ,所以 ,

由递推关系式可知
3 = a k - 1 ak - a k + 1 a k .

所以 , am - 2 am - 3 = 6 , am - 4 am - 3 = 9. 故 am - n am n- 1

= 3 n.

又 a0 = 37 , a1 = 72 ,所以 ,
a0 a1 = 37 × = 3 × 72 888.

容易验证 A 1 , 2 , 3 满足题设条件 . A A 所以 , k 的最小值为 3.
( 张鹏程 提供)

而 am - 888 am - 889 = 3 × , 888 所以 , m - 888 = 1. 故 m = 889.

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