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广州七区联考 高一数学试题2014-2015学年第二学期期末教学质量监测 答案


2014-2015 学年第二学期期末教学质量监测 高一数学试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力对照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,

可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有错误,就不再给 分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 C 5 B 6 C 7 B 8 D 9 C 10 B

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算.共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 题号 答案 11 12 13 14

?4

0

700m

a , 1008a ?

1007 . ( 第一空 2 分,第二空 3 分) a

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分12分) 已知向量 a = (4, 3), b = (- 1, 2). (1)求 a 与 b 的夹角的余弦值; (2)若向量 a ? ? b 与 2a ? b 平行,求 ? 的值. 解: (1) a ? (4, 3), b ? (?1, 2)

? a ? b ? 4 ? (?1) ? 3 ? 2 ? 2, a ? 42 ? 32 ? 5, b ? (?1) 2 ? 22 ? 5 ………………3 分
∴ cos ? a, b ??

a ?b 2 2 5 ? ? a b 5 5 25

……………………6 分

(2) ∵ a = (4, 3), b = (- 1, 2). ∴ a ? ?b ? (4 ? ? ,3 ? 2? ), 2a ? b ? (7,8) ∵向量 a ? ? b 与 2a ? b 平行, ∴ …………………………8 分

4 ? ? 3 ? 2? ? 7 8

…………………………10 分

1

解得: ? ? ?

1 2

…………………………12 分

16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3(sin 2 x ? cos2 x) ? 2sin x cos x . (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)设 x ? [ ?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的值域和单调递增区间. 3 3

解: (1)∵ f ( x) ? ? 3(cos2 x ? sin 2 x) ? 2 sin x cos x ? ? 3 cos 2 x ? sin 2 x

? 2sin(2 x ? ) 3

?

.

…………………… 4 分 ………… 5 分

? f ( x) 的最小正周期为 ? .
(2)∵ x ? [ ?

? ?

, ], 3 3

??? ? 2 x ?

?

3

?

?
3



∴ ?1 ? sin(2 x ?

?
3

)?

3 . 2
……………… 9 分

? f ( x) 的值域为 [?2, 3] .

? 当 y ? sin( 2 x ?
由?

?
3

) 递增时, f ( x) 递增.

?
2

? 2x ?

?
3

?

?
3

,得 ?

?
12

?x?

?
3



故 f ( x ) 的递增区间为 ? ?

? ? ?? , . ? 12 3 ? ?

……………………12 分

17. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (1)求 ?ABC 的面积; (2)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值. 解: (1)∵ cos

A 2 5 ? , AB ? AC ? 3 . 2 5

A 2 5 ? 2 5

2

∴ cos A ? 2 cos ∵ AB ? AC ? 3

2

A 3 4 ? 1 ? , sin A ? 2 5 5

……………………4 分

∴ bc cos A ? 3 ………………………6 分 ∴ bc ? 5 ………………………7 分 ∴ ?ABC 的面积 S ?ABC ? (2)∵ bc ? 5 , b ? c ? 6 ∴ b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 …………………………………11 分 由余弦定理得

1 bc sin A ? 2 ……………………8 分 2

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 20 ………………………13 分
∴ a ? 2 5 ………………………………14 分 18. (本小题满分 14 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 13 , a2 为整数,且 Sn ? S5 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an ?1

解: (1)在等差数列 {an } 中,由 Sn ? S5 得 a5 ? 0 , a6 ? 0 , 又 a1 ? 13 , ∴? ……………………2 分

?13 ? 4d ? 0 13 13 ?d ?? , ,解得 ? 4 5 ?13 ? 5d ? 0

…………………5 分

∵ a2 为整数,∴ d ? ?3 , ∴ {an } 的通项公式为 an ? 16 ? 3n . (2)∵ bn ?

……………………6 分 ……………………7 分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ,……………………9 分 an an?1 (16 ? 3n)(13 ? 3n) 3 13 ? 3n 16 ? 3n

∴ Tn ? b1 ? b2 ?

? bn

3

1 1 1 1 ? [( ? ) ? (? 3 10 13 7

1 1 1 ?) ( ? ?) ? 10 4 7

1 1 ( ? )] ………… 12 分 ? 1 n 3 3? n1 6 3

1 1 1 n ……………………14 分 ? ( ? )? 3 13 ? 3n 13 13(13 ? 3n)

19. (本小题满分 14 分) 围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙 (利用的旧墙需维 修, 可供利用的旧墙足够长), 其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽 2 m 的 进出口,如图 2 所示.已知旧墙的维修费用为 45元 / m ,新墙的造价为 180元 / m .设利用旧 墙的长度为 x (单位: m ),修建此矩形场地围墙的总费用为 y (单位:元). (1)将 y 表示为 x 的函数,并写出此函数的定义域; (2)若要求用于维修旧墙的费用不得超过修建此矩形场地围墙的总费用的 15%, 试确定 x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. x
2

图2 解:(1)设矩形场地的宽为 am ,则

y ? 45x ? 180( x ? 2) ? 180 ? 2a ? 225x ? 360a ? 360 ……………2 分
∵ ax ? 360 ∴a ?

360 x

……………4 分

3602 ? 360 ( x ? 2) ∴ y ? 225 x ? x
(2) ∵ x ? 0 ∴ y ? 225 x ?

……………6 分

3602 ? 360 ? 2 225 ? 3602 ? 360 ? 10440 x 3602 ,即 x ? 24 时,等号成立. x

……………9 分

当且仅当 225 x ?

……………11 分

当 x ? 24 时,修建此矩形场地围墙的总费用的 15%为:1566 元,用于维修旧墙的 费用为:1080 元. ∵1080<1566 ……………13 分 ∴当 x ? 24m 时,修建此矩形场地围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元. …………14 分

4

20. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

? nan ? (n ?1)Sn ? 2n

(n ? N * ) .
(1)求 a2,a3 的值; (2)求证:数列 ?Sn ? 2? 是等比数列; (3) 设 bn ? 值. 解: (1)∵ a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ∴ a1 ? 2,

8n ? 14 , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , 并求满足 Tn ? 0 的最小自然数 n 的 Sn ? 2

? nan ? (n ?1)Sn ? 2n (n ? N * )

a1 ? 2a2 ? (a1 ? a2 ) ? 4 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 2(a1 ? a2 ? a3 ) ? 6 ……………………………………2 分 ∴ a2 ? 4, a3 ? 8 ……………………………………3 分
(2)证明:∵ a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

? nan ? (n ?1)Sn ? 2n (n ? N * )

① ②

∴当 n ? 2 时, a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 由① ? ②得

? (n ?1)an ? (n ? 2)Sn?1 ? 2(n ?1)

……………………4 分

nan ? [(n ?1)Sn ? 2n] ? [(n ? 2)Sn?1 ? 2(n ?1)] ? n(Sn ? Sn?1 ) ? Sn ? 2Sn?1 ? 2 ……………………6 分 ? nan ? Sn ? 2Sn?1 ? 2 ∴ ?Sn ? 2Sn?1 ? 2 ? 0 ,即 Sn ? 2Sn?1 ? 2 ∴ Sn ? 2 ? 2(Sn?1 ? 2) ∵ S1 ? 2 ? 4 ? 0 ∴ Sn?1 ? 2 ? 0 S ?2 ∴ n ?2 Sn ?1 ? 2
(3) 由(2)得 Sn ? 2 ? 2n?1 8n ? 14 4n ? 7 ∴ bn ? ? Sn ? 2 2n 3 1 5 ∴ Tn ? ? ? 2 ? 3 ? 2 2 2
1 3 1 5 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 2 2 2 2

∴数列 ?Sn ? 2? 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列。…………………8 分

………………………………9 分

?

4n ? 7 2n 4n ? 11 4n ? 7 ? n ?1 2n 2
5

?

以上两式相减得

1 3 1 1 Tn ? ? ? 4( 2 ? 3 ? 2 2 2 2
即 Tn ?

?

1 4n ? 7 )? n 2 2n

2 n ? 4n ? 1 ………………………………12 分 2n 当 n ? 1, 2, 3, 4 时, Tn ? 0 ,当 n ? 5 时, Tn ? 0 ………………………………13 分
所以满足 Tn ? 0 的最小自然数 n 的值为 5。………………………………14 分

6


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