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更高更妙的物理-竞赛课件16:热力学基础


★热力学定律
▲热力学第一定律

做功改变物体内能 W ? ?E 热传递改变物体内能 Q ? ?E

W ? Q ? ?E
▲热力学第二定律

示例
表述

两种表述,一个意思——涉及热现象的变化 过程有方向!
▲热力学第二定律的微观解释--熵增加原理

一切自然过程总是沿着分子热运动的无序性增 大的方向进行. 任何孤立系统,它的熵永远不会减小.
运用

一定质量的理想气体体积由V膨胀至V′,若通过压强不变 过程实现,对外做功W1、传递热量Q1、内能变化ΔU1;若通过温度不变的过程 实现,对外做功W2、传递热量Q2、内能变化ΔU2,则 A. W1>W2 Q1 <Q2 ΔU1 >ΔU2 C. W1<W2 Q1 =Q2 ΔU1 >ΔU2 B. W1>W2 Q1 >Q2 ΔU1 >ΔU2 D. W1=W2 Q1 >Q2 ΔU1 >ΔU2

等压膨胀,温度升高,内能增大
等温膨胀,温度不变,内能不变 等压膨胀气体对外做功为

?U 1 > 0 ?U 2 = 0

?U 1 > ?U 2 W1 > W2

等温膨胀气体对外做功为 等压膨胀过程由热一律 等温膨胀过程由热一律

W1 ? P0 ? ?V ∨ W2 ? P ? ? V
?U 1 ? Q1 ? W1 0 ? Q2 ? W2

Q1 > Q2

⑴某系统初状态具有内能50 J,外界传热15 J,系统对外做功 20 J,则系统变化到末状态时的内能为多少?⑵风沿水平方向以速度v垂直吹向一直径
为d的风车叶轮上,设空气密度为ρ,假设风的动能有50%转化为风车动能,风车带动水 车将水提高h高度,效率为80%,求单位时间内最多可提升多少质量的水?

?E ? W ? Q Et ? 50 ? ?20 ? 15 E t ? 45 J 2 d ⑵单位时间到达风车叶的空气质量为 ? v? 2 1 d 4 2 这些空气的动能为 ? ? v? ?v 2 4 单位时间内转化为 1 2 3 ?? d ? v ? ?1 风车的动能为
⑴由热力学第一定律

单位时间内转化为 水的势能为

8 1 2 3 ?? d v ?1 ? ?2 ? mgh 8 2 3

m?

?? d v

20 gh

用隔板将一绝热容器隔成A和B两部分,A中有一 定质量的理想气体,B为真空,现将隔板抽去,A中气体自动充满整个容 器,此称自由膨胀,下列说法正确的是
A.自由膨胀过程中气体只做定向运动

B.自由膨胀前后气体的压强不变 C.自由膨胀前后气体的温度不变
D.容器中气体在足够长时间内能全部自动回到A部分

由热力学第一定律 自由膨胀

?E ? W ? Q ‖ ‖ ‖ 0 0 0
温 度 不 变

绝热过程

AA

B

如图所示,一根竖直的弹簧支持着一倒立气缸的活塞,使气 缸悬空而静止,设活塞与缸壁间无摩擦,可以在缸内自由移动,缸壁导热性良好使缸 内气体的温度与外界相同,则下列结论中正确的是 A.若外界大气压增大,则弹簧将压缩一些 B.若外界大气压增大,则气缸的上底面距地面高度将增加 C.若气温升高,则活塞距地面的高度将减小 D.若气温升高,则气缸的上底面距地面高度将增加

研究气缸、活塞整体:

外界大气压改变不影响原整体的力平 衡,弹簧长度不变! 研究气缸:

F簧 ? ? M ? m ? g

p大气 S ? mg ? p气 S

气缸上底下降! 弹簧长度不变,活塞高度不变
研究气缸:

p大气 S ? mg ? p气 S

气缸内气体升温膨胀,气缸上底上升!

如图所示,两根位于同一水平面内的平行的直长金属导轨, 处于恒定磁场中,磁场方向与导轨所在平面垂直.一质量为m的均匀导体细杆,放 在导轨上,并与导轨垂直,可沿导轨无摩擦地滑动,细杆与导轨的电阻均可忽略 不计.导轨的左端与一根阻值为R0的电阻丝相连,电阻丝置于一绝热容器中,电阻 丝的热容量不计.容器与一水平放置的开口细管相通,细管内有一截面为S的小液 柱(质量不计),液柱将1mol气体(可视为理想气体)封闭在容器中.已知温度 升高1K时,该气体的内能的增加量为5R/2(R为普适气体常量),大气压强为p0, 现令细杆沿导轨方向以初速v0向右运动,试求达到平衡时细管中液柱的位移.

对气体由热力学第一定律:

Q ? W ? ?E

R0

v0

其中:

5 1 2 ? p0 S ? ?x R ? ?T mv 2 2 1 5 5 S ? ?x 2 mv0 ? pS ? ?x ? R ? ?T ? R ? 2 2 2 R 2

mv0 ?x ? 7 p0 S

?

热一律应用于理想气体等值过程

i m i i E ? N ? kT ? ? RT ( ? pV ) 2 M 2 2
单原子分子

i为分子自由度

双原子分子 多原子分子 定容比热

i=3 i=5 i=6
C p ? CV ? R

cV

定压比热

cp

i?2 ? ?? CV i Cp

过 程 特 征

等温变化 ΔE=0

等容变化 W= 0

等压变化 Q,W,ΔE≠0
ΔE=Q +W

绝热变化 Q=0
ΔE=W

热 一 律 形 式

0 ?W ?Q 等温膨胀降压 Q ?W 时,对外做功 V m ,气体吸热; ? RT ln 2 M V1 等温压缩升压 p m ? RT ln 1 时,外界做功 M p2 ,气体放热; 做功等于热量 ?E ? 0 ,内能保持不 变

0=W+Q

?E ? Q 等容升温升 m 压时,气体 Q ? cV ? T2 ? T1 ? M 吸热,内能 增加;等容 W ?0 降温降压时 ,气体放热 m ,内能减少 ? E ? CV ? T2 ? T1 ? M .热量等于 内能增量

ΔE =Q

? E ?W ?Q ?E ? W 等压升温膨胀时 绝热膨胀降压
m ? R ?T ? T ? Q吸 ?M ?E ? 2 ?W1

,吸热并对外做 降温时,对外 Q?0 W ? p ?V2 ? V1 ? 功,内能增加 做功,内能减 m
W ??

M 少;绝热压缩 p1V1 ? p2V2 ? 升压升温时, ? ?1 等压降温压缩时, 外界做功,内 放热并外界做功, 能增加;功量 m m 内能减少 ?E ? CV ?T2 ? T1 ? ?E ? cV ? T2 ? T1 ? M M 等于内能增量

cV ? T2 ? T1 ?

Q放 ? ??E ? W

理想气体作绝热膨胀,由初状态(p0,V0) 至末状态(p,V),试证明在此过程中气体所作的功为
p0V0 ? pV W ? ? ?1

绝热膨胀时,对外做功量等于内能的减少:

i W ? ?E ? NR(T0 ? T ) 2
p0V0 pV i ? NR( ? ) 2 NR NR

i?2 ? ? i

p0V0 ? pV ? ? ?1

为了测定气体的γ( ? C ),有时用下列方法:一定量 C 的气体初始的温度、压强和体积分别为T0、p0、V0.用一根通有电流 的铂丝对它加热.设两次加热的电流和时间都相同.第一次保持气 体体积V0不变,温度和压强各变为T1和p1;第二次保持压强p0不变, ( p ? p )V ? ? 而温度和体积各变为T2和V1.试证明 (V ? V ) p
p V
1 0 0 1 0 0

等容升温时,吸收的电热全部用作增加内能:

等压升温时,吸收的电热用作增加内能与对外做功:

CV p1V0 p0V0 Q ? ?E ? CV n(T1 ? T0 ) ? ?CV n(( p1 ??p0 )V0) R nR nR

p0V1 p0V0 Q ? ?E ? W ? C p n(T1 ? T0 ) ? C p n( ? ) nR nR Cp ? ? P0 ?V1 ? V0 ? R



Cp

CV

?? ?

V0 ? p1 ? p0 ? p0 ?V1 ? V0 ?

两个相同的绝热容器用带有活栓的绝热细管相连,开始时活栓 是关闭的,如图,容器1里在质量为m的活塞下方有温度T0、摩尔质量M、摩尔数n 的单原子理想气体;容器2里质量为m/2的活塞位于器底且没有气体.每个容器里 活塞与上顶之间是抽成真空的.当打开活栓时容器1里的气体冲向容器2活塞下方, 于是此活塞开始上升(平衡时未及上顶),不计摩擦,计算当活栓打开且建 立平衡后气体的温度T,取

mg 1中活塞下气体压强为 S nRT0 mg 由 V ? nRT0 ? h ? 1 S mg 3 1中活塞下气体内能为 E0 ? n RT0 m 2 n M T0 mg 打开活栓重新平衡后 2中活塞下气体压强为 2 S mg 2nRT 由 V ? ? nRT ? H ? 2S mg 3 E ? n ? RT 2中活塞下气体内能为 2 h H? H? ? 由能量守恒可得: 3 nR ?T ? T0 ? ? nMg ? ? ? mg h ? ? ? ? ? 2 2? ?2 2 ? ? 3 nMg nR ? T ? T0 ? ? nR ? T0 ? 2T ? ? nR ? T ? T0 ? 2 2mg

m ?5 nM

2
m/2

26 T? T0 27

在大气压下用电流加热一个绝热金属片,使其在恒 定的功率P下获得电热能,由此而导致的金属片绝对温度T随时间t的 增长关系为 T (t ) ? T ? ?1 ? ? ( t ? t )? ? .其中T0、α、t0均为常量.求金属片热 容量Cp(T).(本题讨论内容,自然只在一定的温度范围内适用)
1/ 4 0 0

热容量定义

P ? ?t Cp ? ?T
1 ?4 1 ?4

?T T0 ? ?1 ? ? ? t ? ?t ? t0 ? ? ? T0 ? ?1 ? ? ? t ? t0 ? ? 其中 ? ?t ?t

T0? ? ?? 1 ? ? ? t ? t0 ? ? ? 4 3 4P ? T ? cp ? ?? ? T0? ? T0 ?

1 3 1? ? ? 1 ? ? 4 4 4 ? ? ? ? ? T0 ? ? 1 ? ? t ? t ? 1 ? ? t ? t ? ? ? t ? 1 ? ? t ? t ? 0 ?? 4 ? ? 0 ?? ? 0 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?t

3 ? ? 4

T0? ? 4

? T0 ? ?? ? ?T ?

3

由v1摩尔的单原子分子理想气体与v2摩尔双 原子分子理想气体混合组成某种理想气体,已知该混合理 11 想气体在常温下的绝热方程为 PV 7 ? 常量.试求v1与v2的比 值α.
i ? 2 11 设混合气体的自由度为i, 由 ? ? i 7

7 i? 2

混合前后气体总内能守恒:

3 5 7 ? 1 ? RT ? ? 2 ? RT ? ?? 1 ? ? 2 ? ? RT 2 2 4

? 1 ? 3? 2



??3

一个高为152 cm的底部封闭的直玻璃管中下半部充 满双原子分子理想气体,上半部是水银且玻璃管顶部开口,对气体 缓慢加热,到所有的水银被排出管外时,封闭气体的摩尔热容随体 积如何变化?传递给气体的总热量是多少? (大气压强p0=76 cmHg)
p 2 p ? 1 ? ?2 ?V ? ? 3 ?V 2 1.5 T ? T ? 2 由图知 1 p NR 1 2.25 3 ? V V ? ? 2?1 T ?

取76cmHg为单位压强p0,76cm长管容为单位体积 V0 ,在此单位制下,N摩气体的p-V关系为
1

2



从T1到Tm 过程,对外做功,内能增加,故: 0

T1

?

Tmax

max

NR

V
1 1.5 2

Q吸1

从Tm到T2 过程,对外做功,内能减少,故:

2 ? 1.5 5 2 ? 3 ? 2.25 ? p0V0 ? 0.5 ? NR ? ? W ? ?E ? ? ? 2 2 ? NR NR ? 2
? 1 5 ? ? 3 ? p ? 1.5 ? 2.25 ? p ? 3 ? p ? ? ? 1.5 ? p ? ? ? ? ? ? 续解 ? ? 2 2

Q吸2 ? W ? ?E

返回

已知0.1摩尔单原子气体作如图所示变化,求 变化过程中出现的最高温度与吸收的热量
气体的p-V关系为 p ? 2 ? 1 V 由气体方程 pV ? 0.1RT

2

p/atm A 1.5 1.0 p 0.5

2 p ? 2 ? p ? ? 0.1 RT

B

当p=1.0atm、V=2L时有最高温度 至此气体对外做功,吸收热量, 0 内能增大! Q吸1 ? W ? ?E1

W1 W2
1
2

V/L

3

此后气体继续对外做功,吸收热量,内能减少, Q吸2 ? W2 ? ?E2
全过程气体共吸收热量为
Q吸 ? Q吸1 ? Q吸2

Q吸2

1 5 ? ? 1.5 ? p ? ? ? ? 2.25 ? p ? 3 ? p ? ? ? 3 ? p ? ? 1.5? ? ? ? ? 2 2
2

查阅

? ?3 p ? 7.5 p ? 4.5 3 2 ? ?3 ? p ? 1.25 ? ? 16 当p ? 1.25 p
0

即管口还剩19cm长水银时,气柱吸热达最大

Q吸2max

3 ? p0V0 16

此后气柱不再吸热,故全过程气体共吸收热量为

Q吸

27 ? p0V0 16

研究气柱摩尔热容随体积的变化

由过程中对应的热力学第一定律:
5 NR ?T ? NC ?T ? p?V 2

查阅

为得到C-V关系,由

? 3 ? V ?V

? NRT

NR ? ?T ? ? ? 3 ? ?V ? ?V ? ? ? ?V ? ?V ? ? ? 3 ? V ? V

NR 5 3 ? 2V ? V ? ? 3 ? V ? ?V ? 3 ? 2V ? ?V ? C 2 R

?T ?

? 3 ? 2V ?

?V

V ? ? 76cm,114cm ? C ? ? 4.5 R, ? ?

C ? ? 短瞬趋近等温 V ? 114cm 21 ? 12V C? R V ? ? 114cm,133cm ? C ? ? ?, 0 ? 6 ? 4V

V ? 133cm

C?0

短瞬绝热

V ? ?133cm,114cm ? C ? ? 0,1.5 R ?

在两端开口的竖直U型管中注入水银,水银柱的全 长为h.将一边管中的水银下压,静止后撤去所加压力,水银便会振 荡起来,其振动周期为 T ? 2? h ;若把管的右端封闭,被封闭的空 2g 气柱长L,然后使水银柱作微小的振荡,设空气为理想气体,且认为 水银振荡时右管内封闭气体经历的是准静态绝热过程,大气压强相 考虑封闭气体,从A状态到C状态,由泊松方程: Δm )max y 当h0水银柱产生的压强.空气的绝热指数为 γ( . (1) 试求水银振动的周 ? ? p0 ( LS )γ与 ? ? y)S ] . y [( 期T2;(2) 求出 T1p 、 T2L 的关系式 Δm

专题16-例2

1

y 考虑封闭气体在 C 状态时液柱受 ? (1 ? ? ? 1) p0 L,有: 力,以位移方向为正

L h p y ? p0 ? [( ) γ? y ? 1] p0 ?? 0 ? g LL ?y

ymax O

y

h0 F? p( S? p S ?? 2( )) gy ?? ?0 gS 2? ?m Sg y? L

T2 ? 2?

? ( pm ? p ) S ? 2 ? ySg hhS ? y ? 0 ?2 2 ? ?
?? ? 2
k h0
h0 h0 ? (2 ? ?? gS ? ) 2g ? Sg L L ? gyS ? 2 ? ySg

? T1 ? L ? h0 ?? T 2 L ?? 1 ? ? ? 1? ? ? ?T T 2 L h ? ? 2? 0 ? 2

A

B

C

? ? ? ? ? ? 1? ?
2

在高度为1000 m的摩天大厦底部,室外温度为Td=30 ℃,为了估算 7 摩天大厦顶部的温度Tt,设想一片薄的空气切片(其绝热系数为 ? ? )慢慢上升至高度为z、 5 气压较低的地方,并假设这空气切片绝热膨胀,使得它的温度降低到周围空气的温度.⑴ ?p ?T 随着压强的相对变化 ,温度的相对变化 是多少?⑵楼顶的温度是多少? (玻尔兹曼常 p T ?26 量 ,空气分子质量 ,g= 9.80 m/s2) m ? 4.65 ? 10 kg k ? 1.38 ? 10 ?23 J ? K -1

⑴ 空气片作绝热变化的某元过程,由绝热方程有 :

p

? ?1

T?

? p ? ?p ? ? ? T ? ? T ? ?

? ?1

p ?

? ?1 ?

?p ? 1 ? ? ? p ? ?

? ?1

pV V ?mg ? F浮 mg ? ?p ? ?mg V Tk ?z pV ? p mg ?p ? ? 1 ? mg m ? ?z H ?z? 1 ? ? ? ?T ? Tk p kT ?? ? ?26k ? 1 ? mg 2 ? 4.65 ? 10 ? 9.80 ? ?T ?? ? 1 ? ? ? k ?z ? ? 9.4 K ?23 ? 1000K ? ?

⑵ 对一片薄的空气切片,准静态上升时有 :

?T ? ? 1 ? ? T ? p

?T ? ? ? T ?1? ?p ? T ? ?

?

? ?p ? ? ?T ? ?1? T ? ? ?1? p ? ? ? ? ? ?T ?p Δ 1 ?p ? 、Δ ?T 1 ? 为小量 ? ? ? 1? T p

?

? ?1

F浮

?z

t ? 20.6 ℃

设热气球具有不变的容积VB=1.1 m3,气 球蒙皮体积与VB 相比可忽略不计,蒙皮的质量为mH=0.187 kg,在外 界气温t1=20℃,正常外界大气压p1=1.013×105 Pa的条件下,气球开 始升空,此时外界大气的密度是ρ1=1.2 kg/m3.(1) 试问气球内部的热 空气的温度t2应为多少,才能使气球刚好浮起?(2) 先把气球系在地 面上,并把其内部的空气加热到稳定温度t3=110℃,试问气球释放升 空时的初始加速度a等于多少?(不计空气阻力)(3) 将气球下端通气 口扎紧,使气球内部的空气密度保持恒定.在内部空气保持稳定温 度t3=110℃的情况下,气球升离地面,进入温度恒为20℃的等温大气 层中.试问,在这些条件下,气球上升到多少高度h能处于力学平衡 状态?(空气密度随高度按玻尔兹曼规律 ? h ? ?1e ? mgh / kT 分布,式中 m为空气分子质量,k为玻耳兹曼常数,T为绝对温度)(4) 在上升到 第3问的高度h时,将气球在竖直方向上拉离平衡位置10 cm,然后再 予以释放,试述气球将作何种运动 .
1

解答

⑴热气球刚好浮起满足

读题

?1VB g ? m H g ? ? 3VB g ? ? m H ? ? 3VB ? a
⑶气球上升到h高处平衡时满足
m H ? ? 3VB ?h ? ? ?1 e ? mgh / kT1 VB
h?

293 而由 ?1T1 ? ?2T2 可得 m2 ? ?1VB T2 ⑵热气球内加热到t3 由 ? T ? ? T 1 1 3 3

?1VF g ? mH g ? m2 g B浮

t2 ? 68.4℃

a ? 1.03m/s2
? 827m
1

?hVB g ? mH g ? ?3VB g
kT1 ?1 ? VB ln mg mH ? ? 3VB

⑷气球在平衡位置上方x(<<h)时
? e ? mg ( h? x ) / kT ? e ? mgh / kT ? ? ? V g ? ?F ? ? ? V ? m ? ? V g ? V ? ? 1 B H h B 3 B ? ? ? ? h? x B
1

气球受力满足∑F= -Kx,故作谐振!

??

mg ?1VB g ? x kT1

2 m 2 nN N Am ? g VB ? V g 22 ? x . A 1 ? ? ? V g ?? ?1 xB . B ? x. 1 p1p V RT 11

返回

?

热力学第二定律

热力学第二定律的克劳修斯表述:在低温热 源吸取热量,把它全部放入高温热源,而不引起 其他变化是不可能的.这是从热传导的方向性来 表述的,也就是说,热传导只能是从高温热源向 低温热源方向进行的. 热力学第二定律的开尔文表述:从单一热源 吸取热量,把它完全转变为功而不引起其他变化 是不可能的.这是从机械能与内能转化过程的方 向来表述的,也就是说,当将内能转变为机械能 时,若不辅以其它手段是不可能的.
返回

若一系统由某一状态出发,经过任意的一系列的过程,最后 又回到原来的状态,这样的过程称为循环过程.
p

正循环中: W1<0
W2>0

W=W1-W2<0

Q吸 ? W
0

Q Q W1

W2

W2

W1

V

逆循环中: W1<0
W2>0

W=W2-W1>0

Q放 ? W

做正循环的系统,在膨胀阶段所吸收的热量Q1大于在压缩阶段 放出热量Q2,其差值Q1-Q2在循环中转变为系统对外所作的功W, 能完成这种转变的机械称为热机,热机就是正循环工作机.

W ?? Q1 Q1 ? Q2 ? Q1 Q2 ? 1? Q1

锅炉

Q1

气缸

水泵
冷凝器

水池
Q2 水泵

1 mol 氦气经过如图所示的循环过程,其中 p2 ? 2 p1 , V4 ? 2V1. 求1→2、2→3、3→4、4→1各过程中气体吸收的热量和热机的效率.

由理想气体状态方程得

Q12 ? CV ,m (T2 ? T1 ) ? CV ,mT1

T2 ? 2T1 T3 ? 4T1

T4 ? 2T1

P p2

2

Q23

3

Q23 ? C p,m (T3 ? T2 ) ? 2C p,mT1

Q12
1

Q34
Q 41
1

Q ?Q ? Q
1 12

Q34 ? CV ,m (T4 ? T3 ) ? ?2CV ,mT1 p1 Q41 ? C p,m (T1 ? T4 ) ? ?C p,mT1
23

4

W ?( p ? p )(V ?V ) ? pV ? RT ?Q W RT1 Q ?? ? ? Q Q T1 (3CV ,m ? 2 R) ?15.4%
1 1
2 1 4 1

? CV C T1 ,mT 1 ? p ,m 3C ?22 R T
V ,m 1

?

?

o

V1

V4 V

1

2

1

1

做逆循环的系统,依靠外界对系统所作的功,使系统从低温热源 处吸收热量,并将外界对系统做的功和由低温热源所吸取的热在 高温处通过放热传递给外界,能完成这种转变的机械称为致冷机, 致冷机是逆循环工作机.

Q2 e? W
W Q1 ? Q2 Q2 ?? ? ? 1? Q1 Q1 Q
1

一台电冰箱放在室温为 20 C 的房间里 ,冰箱储藏柜中 的温度维持在 5 C . 现每天有 2.0 ? 107 J 的热量自房间传入冰箱内 , 若要维持冰箱内温度不变 , 外界每天需作多少功 , 其功率为多少? 设 在 5 C 至 20 C 之间运转的致冷机 ( 冰箱 ) 的致冷系数, 是卡诺致冷机 致冷系数的 55% .

T2 55 e ? e卡 ? 55% ? ? ? 10.2 T1 ? T2 100 由致冷机致冷系数 e?1 Q2 得 Q1 ? Q2 e? Q1 ? Q2 e

房间传入冰箱的热量
則 Q1 ?

Q ? 2.0 ? 10 J
' 7

热平衡时

e?1 e?1 ' Q2 ? Q ? 2.2 ? 107 J e e
' 7

Q ? Q2
'

保持冰箱储藏柜在 5 C , 每天需作功

W ? Q1 ? Q2 ? Q1 ? Q ? 0.2 ? 10 J7
故功率

W 0.2 ? 10 P? ? W ? 23W t 24 ? 3600

卡诺循环是由两个准静态等温过程和两个准静 态绝热过程组成 ,只在两个有恒定温度的高、低温热 源吸、放热的理想循环. p T1 ? T2 高温热源 T1 p1 A
T1

p2 p4

B D

Q1
C

W
T2

卡诺热机
V

p3

W
W ? Q1 ? Q2

o

Q2

V1 V4

V2

V3

Q2 T2 ? ?1? ?1? Q1 T1

低温热源 T2 Q1 Q2 ? T1 T2

定容摩尔热容量CV为常量的某理想气体,经历如图 专题 16例 1 所示的p—V平面上的两个循环过程A B C A 和A B C A ,相应的效

率分别为η1和η2,试比较η1和η2的大小.
W ?? Q1

1

1

1

1

2

2

2

2

p

pV

?1 1 1

?k
W1

B1

W1 ?

1 1 ( pB1 ? pC1 )(V2 ? V1 ) ? ( pB1 ? p A1 )(V2 ? V1 ) 2 2



?1 1 2 p V W1 ? k (V2 ? V1 ) 2 2 2 W2 A2 1 C2 同理 W2 ? k ?(V2 ? V1 )2 O 2 m V1 V2 C ? TB 1 ? TA1 ? A1→B1过程吸热: Q11 ? V M 2 对此多方过程 MP V 2 kV k 1,多 ? ? ? n ? ?2? ? A? 1 1 1? 2 2 MP kV V 1 2 B 1 2 Q11 ? ? CV ?V2 ? V1 ? 方指数 n=-1! C mR R 2 ? n ? 1? V R ?V2 ? V1 ? mR ? k? 1 ? ? 2 2 同理 Q12 ? ? CV ?V2 ? V1 ? ? 1 ? ? ? CV ?V2 ? V1 ? R 2

pB1 ? p A1 ? k (V2 ? V1 )

A1

C1 ? k ? B2

设有一以理想气体为工作物质的热机循环,如图所 ?V ? 示,试证明其效率为 ? ??1
1

W ?? Q吸 1→2过程对外做功,且:

V 1?? ? 2 ? ? p1 ? ? ??1 p ? 2 ?

p1

p

1 绝热

W1? 2

p1V2 ? p2V1 ? ?E ? ? ?1

p2

3

2

W2? 3 ? p2 ?V1 ? V2 ? p p V p V i i 1V2?? 2 2 p2V2 ? 1 2 ?n R ? 3→1过程吸热: Q ? n R ? T1 ? T3 ? ? ? ? ? ? 1 2 2 ? nR nR ? ? V1 ? p1V2 ? p2V1 ? p2 ?V1 ? V2 ? ? ??1 V2 ? ? ?1 ? ? 1?? ?? ? p1 ? p1V2 ? p2V2 ? ??1 ? ?1 ? p2 ?

2→3过程外界对气体做功:

V2

V1

V

1 mol 理想气体在 400 K—300 K 之间完成一卡诺循 环.在400K等温线上,起始体积为0.0010 m3,最后体积为0.0050 m3, 计算气体在此过程中所作的功,以及从高温热源吸收的热量和传给 低温热源的热量. 在400 K等温过程中对外做的功与从高温热源所吸收的热 相同:

V2 Q1 ? RT ln ? 8.31 ? 400 ? ln 5J ? 5.35 ? 10 3 J V1

Q1 Q2 由 ? 在300 K等温过程中向低温热源放热为: T1 T2

3 Q2 ? Q1 ? 4.01 ? 10 3 J 4

在卡诺循环中的净功为:

W ? Q1 ? Q2 ? 1.34 ? 10 J
3

如图所示为单原子理想气体的两个封闭热循环: 12341和15641,比较这两个热循环过程的效率哪个高?高多少倍? 对过程12341: P 5 6 W ? PV 4P

净功

12341

0

0

0

3 3 3P0 吸热 Q1?2 ? R ? T2 ? T1 ? ? V0 P0 2 2 2P0 Cp Q2? 3 ? C p ? T3 ? T2 ? ? 2 P0V0 P 0 R i ? 2 5W C p 2 0 ?12341 ?? ? 由 Q 13 i 2 C 吸 p ? R
对过程15641:

2
1 V0

3

4
2V0 V

29 Cp 3 Q1?5 ? Q5?6 ? 3 p0V0 ? 4 p0V0 ? 2 p0V0 2 R ?15641 39 W 6 ? ?15641 ? ? ?12341 29 Q吸 29

W15641 ? 3 P0V0

用N mol的理想气体作为热机的工作物质,随着热机 做功,气体的状态变化,完成一个循环1-2-3-1,如图所示,过程1-2 和2-3在图象中是直线段,而过程3-1可表达为T ? 0.5T1 ? 3 ? BV ? BV,式 中B是一个未知常量,T1是图示坐标轴上标出的给定绝对温度.求气 体在一个循环中做的功 .

对过程3→1:

T
2T1

2

由T ? 0.5T1 ? 3 ? BV ? BV
T=T1时有: BV1 ? 1, 1 2

BV2 ? 2 即V2 ? 2V1 ? V3
3
p1 2V1 T1 2

T1
0

1 V1

3 V2 V

p1 V1 T1

p1 2V1 2T1

其中p1 ? BNRT1

续解

查阅 3→1的P-V关系为

T p ? NR ? 0.5 BT1 NR ? 3 ? BV ? V p
1 p1 W ? ? ? V1 2 2
p1
p1 2

1

2

1 BNRT1 1 ? ? ? 2 2 B

3 V V1 V2

0

NRT1 ? 4

一热机工作于两个相同材料的物体A和B之间,两物 体的温度分别为TA和TB(TA>TB),每个物体的质量为m、比热恒 定,均为s.设两个物体的压强保持不变,且不发生相变. (a)假定热机能从系统获得理论上允许的最大机械能,求出两物体A 和B最终达到的温度T0的表达式,给出解题的全部过程. (b)由此得出允许获得的最大功的表达式. (c)假定热机工作于两箱水之间,每箱水的体积为2.50 m3,一箱水 的温度为350 K,另一箱水的温度为300 K.计算可获得的最大机械 能. 已知水的比热容s=4.19×103Jkg-1.K-1,水的密度=1.00×103kg.m-3.

专题16-例3

(a)设热机工作的全过程由n(n→∞)个元卡诺循 环组成,第i次卡诺循环中,卡诺热机从高温热 源(温度设为Ti)处吸收的热量为ΔQ1后,温度 降为Ti+1;在低温热源(温度设为Tj)处放出的热 量为ΔQ2后,温度升高为Tj+1,满足
续解

?Q1 ? ms(Ti ? Ti ?1 )

?Q1 ?Q2 ? Ti Tj

?Q2 ? ms(Tj ?1 ? Tj )


Ti ? Ti ?1 T j ?1 ? T j ? Ti Tj
n n ? ?? A ? A n A A ? A?? A

?Ti ? Ti ?1 ?
Ti

A ? n

? 1? ? ?? ? ?? lim lim ?1 ? ?? ?? ?T T ? ? ? n? ? i ?n n?? i ?1 ? ? i i? ? n?? 1 ??

n n n ?T ? ?iT ?1 i ?1 ? ?

TB 同理可得A ? ln T0 (b)由卡诺热机的循环过程可知:

TA 得A ? ln T0

T0 ? e ? A T0 ? TA

TATB

W ? Q1 ? Q2 ? ms ? TA ? T0 ? ? ms ? T0 ? TB ? ? ms TA ? TB ? 2 TATB
A

? ? ms ? T

? TB

?

?

2

一反复循环运转的装置在水流速度 为u=0.1 m/s的海洋上将大海的热能转化为机械 能.考虑深度h=1 km的海水最上层的温度T1=300 K,而与水面相邻的空气温度为T2=280 K.装置在 垂直于水流方向上的宽度为L=1 km.估计该装置 所能提供的最大功率,已知水的比热为c=4200 J/(kg.K),水的密度ρ=103 kg/m3.

解答

读题

工作物质为单位时间流过的水 ? uLh 取温度从T1→T2中的某一元过程:
热机总功率:
n n

Pi ? cm ? ? Ti ?1

Ti ? T2 ? Ti ? ? Ti

? ? Ti ?1 ? Ti ? ? P ? lim?Pi ? lim?cm ?? Ti ?1 ? Ti ? ? T2 ? T ? ? n?? i ?1 n?? i ?1 i ? ?

? cm ? T1 ? T2 ? ? cmT2 lim?

n

? Ti ?1 ? Ti ?
Ti
n

Q吸

?i
n ?A A?A

? lim n??
i ?1

n

? Ti ?1 ? Ti ?
Ti

? ? T ?? T T cm ? T1 n ?T A i1 ?1 ? T 2?? P ? A ? i ?1 ? i ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?nlim T ? nn? i T? 2 ?T ?? cmT i ?1 n 2
i

n?? i ?1

T1 P ? cm ? T1 ? T2 ? ? cmT2 ln T2

T1 A ? ln T2

? 2.9 ? 10 kW
8

某空调器按卡诺循环运转,其中的作功装 置连续工作时所提供的功率为P0. ⑴夏天,室外温度为恒定的T1,启动空调器连续工作, 最后可将室温降至恒定的T2.室外通过热传导在单位时间 内向室内传输的热量正比于(T1-T2)(牛顿冷却定律), 比例系数为A.试用T1、P0和A来表示T2. ⑵当室外温度为30℃时,若这台空调器只有30%的时间 处于工作状态,则室温可维持在20℃.试问室外温度最高 为多少时,用此空调器仍可使室温维持在20℃? ⑶冬天,可将空调器吸热、放热反向.试问室外温度最 低为多少时,用此空调器可使室温在20℃?

解答

读题

⑴ 夏天,空调为致冷机,从室内吸热Q2,向室外放热Q1 Q1 Q2 ? ?P T1 T2 P0 2 0

P0 ? Q1 ? Q2

A(T1 ? T2 ) ? T2 P0 , T2 ? T1 ? ? ? ? 2A ?

P02 ? T1 ? 2 ? A 4A ? ?

Q2 ? A(T1 ? T2 ) 2 ? A ? 10 ? 0.3 P0 ? 293 ? ⑵代入数据: ? 2 ? ? A ? ? T1? ? 293 ? ? P0 ? 293

t1? ? 38.3℃
? Q2

?,向室内放热 ⑶ 冬天,空调为热机,从室外吸热 Q1
2 ? ? A ? 10 ? 0.3 P0 ? 293 ? ?? 2 t ? ? A ? ? 293 ? T1??? ? P0 ? 293 1

? 1.7℃


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