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1.2 充分条件与必要条件


1.2《充分条件与必要条件》

复 习

1、命题:可以判断真假的陈述句, 可写成:若p则q. 2、四种命题及相互关系:
原命题 若p则q 互 否 互 逆 互 否 为 逆 逆 为 否 互 互 逆 逆命题 若q则p 互 否

否命题 若?p则?q

逆否命题 ?则 若 q ?p

3、若命题“若p则q”为真,记作p q(或q p). ? ?
4、如果命题“若p则q”为假,则记作p q. ?

判断下列命题是真命题还是假命题: (1)若 x ? 1 ,则 x 2 ? 1 ; x 2 x ?y1 ? x 2 x ? y ; ? 2 ,则 ? 1 (2)若
(3)对角线互相垂直的四边形是菱形; 真 假 假

ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两个不等的实数解, (4)若方程

则b 2 ? 4ac ? 0 .



(5)若ab ax0 ,则 ? c ? 0(a ? 0) 两个不等的实数解 假 方程有 ? 2 ? bx a ? 0 ; ? b 2 ? 4ac ? 0 (6) 若两三角形全等 ,则两三角形面积相等; 两三角形全等



?两三角形面积相等

定义:
充分条件与必要条件:一般地,如果已知 p ? q , 即命题“若p则q” 为真命题,那么就说,p 是q 的充分条件, q 是p 的必要条件.

x ? 1 ? x2 ? 1
x ? 1是x 2 ? 1的充分条件
两三角形全等

x 2 ? 1是x ? 1的必要条件

?两三角形面积相等

两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件. 两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件.

例1 .指出下列各组命题中,p是q的什么条件,q是p的什么 条件.
(1) p : a ? Q; q : a ? R. (2) p : x ? 2 ? 0; q : ( x ? 3)( x ? 2) ? 0. (3) p : xy ? 0; q : x ? 0. (4) p : 两个角相等; q : 两个角是对顶角. (5) p : x是4的倍数; q : x是6的倍数. (6) p : 四边形的对角线平分且相等; q : 四边形是平行四边形. (7) p : 三角形的三条边相等; q : 三角形的三个角相等.

定义: 对于命题“若p则q”
1.若p ? q, q ? p, 则p是q的充分不必要条件. q是p的必要不充分条件.
2.若p ? q, q ? p, 即p ? q, 则p是q充分必要条件, 简称充要条件. 也说p与q互为充要条件.

3.若p ? q, q ? p, 则p是q的既充分不必要条件. q是p的既必要不充分条件.

例2、以“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“ 要条件”与”既不充分也不必要条件“中选出适当的一种 填空. 1)" x ? 0, y ? 0" 是 " xy ? 0"的(充分不必要条件) 2) a ? N " 是 " a ? Z "的 (充分不必要条件) "

3) x ? 1 ? 0" 是 " x ? 1 ? 0"的 (必要不充分条件) "
2

(充要条件) 4)同旁内角互补 " 是 " 两直线平行 "的 "

5)" x ? 5" 是 " x ? 3"的

(必要不充分条件) 6)" a ? b " 是 " a ? c ? b ? c "的 (充要条件)

7)已知?ABC不是直角三角形, "A<B" 是 "tan A ? tan B "的 (既不充分也不必要条件)

例3、已知?、?是不同的两个平面,直线a ? ? , 直线a ? ? , 命题p : a与b无公共点; 命题q : ? // ? , 则p是q的 ( C.充要条件

B )
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件

例4、设命题甲: 0 ? x ? 5, 命题乙 : x ? 2 ? 3, 那么甲是乙的( C.充要条件 . A ) B.必要不充分条件 D.既不充分也必要条件 A.充分不必要条件

例5、设?、? 、?为平面,m、n、l为直线,则m ? ? 的 一个充分条件是( C.? ? ? , ? ? ? , m ? ?

D

) . B.? ? ? ? m, ? ? ? , ? ? ? D.n ? ? , n ? ? , m ? ?

A.? ? ? ,? ? ? ? l , m ? l

例6、已知?、? 为锐角,若p : sin ? ? sin(? ? ? ), q :? ? ? ?

?

2 A.充分不必要条件 C.充要条件

, 则p是q的 (

B ) .
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

例7、若p是r的充分不必要条件,r是q的必要 条件,r又是s的充要条件,q是s的必要条件. 则: 1)s是p的什么条件? 必要不充分条件 2)r是q的什么条件? 充要条件

2.充要条件的证明
1 1 例1、已知x、y是非零实数,且x ? y, 求证: ? x y 的充要条件是xy ? 0.

注意:分清p与q. p : xy ? 0
证明:充分性( p ? q)

1 1 q: ? x y

?x ? 0 ?x ? 0 若xy ? 0, 则? 或? ?y ? 0 ?y ? 0

1 1 ? x ? y ?当x ? 0, y ? 0时,有: ? . x y
1 1 当x ? 0, y ? 0时,有: ? . x y

必要性(q ? p ) 1 1 y?x 若 ? , 则有: ? 0, 即xy( y ? x) ? 0. x y xy ? x ? y ? y ? x ? 0 ? xy ? 0.

例2、已知ab ? 0, 求证:a ? b ? 1的充要条件是 a ? b ? ab ? a ? b ? 0.
3 3 2 2

例3、求3x ? 10 x ? k ? 0有两个同号且不相等
2

实根的充要条件.

25 0?k ? . 3

引申

①从命题角度看

㈠若p则q是真命题,那么p是q的充分条件 q是p的必要条件. ㈡若p则q是真命题,若q则p为假命题,那么p是 q 的充分不必要条件,q是p必要不充分条件. (三)若p则q,若q则p都是真命题,那么p是q的 充要条件 (四)若p则q,若q则p都是假命题,那么p是q的 既不充分也不必要条件,q是p既不充分也不必 要条件.

引申

②从集合角度看

命题“若p则q”
已知A= x | x满足条件p},B= x | x满足条件q} { {

1) A ? B, 则p是q充分条件,q是p必要条件.
2) A ? B, 则p是q充分不必要条件,q是p必要不充分条件 .

3) A ? B, 则p是q的充要条件.
4) A ? B且B ? A,则p是q既不充分也不必要条件 .

练习: 1. 若p : x ? y , q : x ? y或x ? ? y, 则q是p的什么条件.
2 2

2. 若x, y ? R, p : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 0,
2 2

q : ( x ? 3)( y ? 4) ? 0, 则p是q的什么条件. 3.不等式 2 x+5 ? 7成立的一个必要不充分条件是() A. x ? 1 B. x ? -6 C.x ? 1或x ? -6 D.x ? 0或x ? 0

常用正面叙述词及它的否定.

正面词 语

等于 (?)

小于

大于



都是

(?)
(?)

(?)
不大于 不是 不都是

否定词 语

不等于 不小于

(?)

(?)

常用正面叙述词及它的否定.
正面词 语 至多有 至少有 至多有

一个

一个

(? 1)

(? 1)

n个 (? n ) 至少有

任意的 所有的

否定词 语

至少有 一个也
两个

(? 2)

没有 (? 0)

n+1个 (? n ? 1)

某个

某些

作业:测评卷


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