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2013届高考数学一轮复习课时检测 第六章 第五节 直接证明与间接证明 理


第六章 第五节 直接证明与间接证明
一、选择题 1.(2012·宜昌模拟)若函数 F(x)=f(x)+f(-x)与 G(x)=f(x)-f(-x),其中 f(x) 的 ( 定 ) A.F(x)、G(x)均为偶函数 B.F(x)为奇函数,G(x)为偶函数 C.F(x)与 G(x)均为奇函数 D.F(x)为偶函数,G(x)为奇函数 解析:∵f(x)的定义域为 R,∴F(x)=f(x)+f(-x), 义 域 为 R , 且

f(x)













G(x)=f(x)-f(-x)的定义域也为 R.
又 F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),

G(-x)=f(-x)-f(x)=-G(x),
∴F(x)为偶函数,G(x)为奇函数. 答案:D 2.设 S 是至少含有两个元素的集合.在 S 上定义了一个二元运算“*”(即对任意的 a,

b∈S,对于有序元素对(a,b),在 S 中有唯一确定的元素 a*b 与之对应).若对任意的 a,b
∈S, a*(b*a)=b, 有 则对任意的 a, ∈S, b 下列等式中不恒成立的是 A.(a*b)*a=a B.[a*(b*a)]*(a*b)=a C.b*(b*b)=b D.(a*b)*[b*(a*b)]=b 解析:此题只有一个已知条件:a*(b*a)=b. B 中 a*(b*a)=b 原式变为 b*(a*b)=a,成立. C 中相当于已知条件中 a 替换为 b,明显成立. D 中,b*(a*b)=a,原式变为(a*b)*a=b 成立. 答案:A 3.(2012·永州模拟)函数 y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数 y=f(x+2)是偶函数,则 ( )

f(1)
( )



f(2.5)



f(3.5)













A.f(2.5)<f(1)<f(3.5) B.f(2.5)>f(1)>f(3.5) C.f(3.5)>f(2.5)>f(1)
1

D.f(1)>f(3.5)>f(2.5) 解析:因为函数 y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数 y=f(x+2)是偶函数,所以 x=2 是对称轴,在(2,4)上为减函数,由图象知 f(2.5)>f(1)>f(3.5). 答案:B 4.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值,则( A.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形 B.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C.△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形 D.△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形 解析:由条件知,△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则△A1B1C1 是锐角三角形,假 设△A2B2C2 是锐角三角形. )

? ? 由?sin B =cos B =sin? ?sin C =cos C =sin? ?
sin A2=cos A1=sin?
2 1 2 1

π -A1? 2 π -B1? 2 π -C1? 2 ,

? ? π 得?B = -B 2 ?C =π2 -C ?
π 2
2 2

A2= -A1
1

.

1

π 那么 A2+B2+C2= ,这与三角形内角和为 180°相矛盾. 2 所以假设不成立,所以△A2B2C2 是钝角三角形. 答案:D 5.不相等的三个正数 a,b,c 成等差数列,并且 x 是 a,b 的等比中项,y 是 b,c 的 等比中项, x , , 三数 则 b y A.成等比数列而非等差数列 B.成等差数列而非等比数列 C.既成等差数列又成等比数列 D.既非等差数列又非等比数列
2 2 2

(

)

2

?a+c=2b, ① ? 2 ② 解析:由已知条件,可得?x =ab 2 ?y =bc. ③ ?

?a=x , ? b 由②③得? y ? ?c= b .
2

2

代入①,得 + =2b,

x2 y2 b b

即 x +y =2b . 故 x ,b ,y 成等差数列. 答案:B 6.已知△ABC 的顶点 A(x,y),B(-1,0),C(1,0),若△ABC 满足的条件分别是:(1) △ABC 的周长是 6;(2)∠A=90°;(3)kAB·kAC=1;(4)kAB-kAC=-2.下面给出了点 A 的轨 迹方程:(a)x +y =1(y≠0);(b)x -y =1(y≠0); (c) + =1(y≠0);(d)y=x -1(y≠0). 4 3 其 中 与 条 件 (1)(2)(3)(4) 分 别 对 应 的 轨 迹 方 程 的 代 码 依 次 是 ( ) A.(a)(b)(c)(d) C.(d)(a)(b)(c) B.(c)(a)(d)(b) D.(c)(a)(b)(d)
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

x2 y2

2

解析:由△ABC 的周长是 6,|BC|=2,可知点 A 在以 B, C 为焦点的椭圆上,y≠0,与 (c)相对应;由∠A=90°, 可知点 A 在以 BC 为直径的圆 x +y =1 上, ≠0;由 kAB·kAC=1, y 化简得 x -y =1(y≠0);显然(4)与(d)相对应. 答案:D 二、填空题 7. 某同学准备用反证法证明如下一个问题: 函数 f(x)在[0,1]上有意义, f(0)=f(1), 且 1 如果对于不同的 x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求证:|f(x1)-f(x2)|< . 2 那么他的反设应该是________. 1 答案:“? x1,x2∈[0,1],使得|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|则|f(x1)-f(x2)|≥ ” 2 1 1 1 1 3 * 8.设 Sn= + + +?+ (n∈N ),且 Sn+1·Sn+2= ,则 n 的值是________. 2 6 12 n? n+1? 4 解析:由 1
2 2 2 2

n? n+1?

1 1 = - 得 n n+1

1 1 1 1 1 1 1 n n+1 n+2 到 Sn=(1- )+( - )+( - )+?+( - )= ,Sn+1·Sn+2= · = 2 2 3 3 4 n n+1 n+1 n+2 n+3
3

n+1 3 = ,解得 n=5. n+3 4
答案:5 9.定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质:(1)2] .

? 2n+2? *2 006 解析:由(2n+2)*2 006=3·[(2n)*2 006]得 =3,所以数列{(2n)*2 ? 2n? *2 006 006}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,故 2 012]答案:3 三、解答题 10.在锐角三角形中,求证:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. π 证明:∵在锐角三角形中,A+B> , 2 π ∴A> -B. 2 π π ∴0< -B<A< . 2 2 π 又∵在(0, )内正弦函数是单调递增函数, 2 π ∴sin A>sin( -B)=cos B. 2 即 sin A>cos B,同理 sin B>cos C,sin C>cos A. ∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. 11.用反证法证明:若 a,b,c,d∈R,且 ad-bc=1,则 a +b +c +d +ab+cd≠1. 证明:假设 a +b +c +d +ab+cd=1, ∵ad-bc=1, ∴a +b +c +d +ab+cd-ad+bc=0. 即(a+b) +(c+d) +(a-d) +(b+c) =0. ∴必有 a+b=0,c+d=0,a-d=0,b+c=0. 可得 a=b=c=d=0. 与 ad-bc=1 矛盾, ∴a +b +c +d +ab+cd≠1. 12.已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点( an,an+1)(n∈N )在函数 y=x +1 的图 象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 b1=1,bn+1=bn+2an, 求证:bn·bn+2<bn+1. 解:(1)由已知得 an+1=an+1,则 an+1-an=1,又 a1=1,所以数列{an}是以 1 为首项,
4
2 * 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 005

1 为公差的等差数列.故 an=1+(n-1)×1=n. (2)由(1)知,an=n,从而 bn+1-bn=2 .
n

bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+?+(b2-b1)+b1
=2
n-1

+2

n-2

1-2 n +?+2+1= =2 -1. 1-2
2

n

因为 bn·bn+2-bn+1=(2 -1)(2 =(2
2n+2

n

n+2

-1)-(2
n+1

n+1

-1)

2

-2

n+2

-2 +1)-(2

n

2n+2

-2·2

+1)

=-2 <0, 所以 bn·bn+2<bn+1.
2

n

5



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